AREA DI UN TRIANGOLO NOTE LE COORDINATE DEI SUOI VERTICI Dati tre punti di cui sono note le coordinate: A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) e C ( xC ; yC ) , per determinare l’area del triangolo, possiamo considerare AB come base, calcolare la distanza di C dalla base, ricavando così l’altezza semiprodotto di base per altezza secondo la ben nota formula dell’area del triangolo: 1 AB ⋅ CH 2 AABC = Esempio: Siano A ( 2; 3 ) , CH e poi calcolare il B ( 4;1 ) e C ( − 5; − 2 ) i vertici del triangolo ABC. Calcolo innanzi tutto la lunghezza della base AB = AB : ( 4 − 2 ) 2 + (1 − 3 )2 = 2 2 Determino l’equazione della retta passante per i punti A e B, per poterne calcolare la distanza da C: AB : x − xA y − yA = xB − x A yB − y A ⇒ x−2 y−3 = 4 − 2 1−3 ⇒ x−2 y−3 = 2 −2 ⇒ x+ y−5=0 Calcolo la distanza di C dalla retta passante per i punti A e B, ottenendo l’altezza CH: CH = −5 − 2 − 5 A questo punto posso calcolare l’area del triangolo: 1 +1 2 2 AABC = = 12 =6 2 2 1 1 AB ⋅ CH = ⋅ 2 2 2 2⋅6 2 = 12 Esiste un modo più semplice per calcolare l’area del triangolo, utilizzando il determinante di una matrice 2 x 2 così costruita: AABC = 1 xC − x A ⋅ 2 xB − x A yC − y A yB − y A Dove il tutto è indicato in valore assoluto, in quanto l’area deve essere per forza positiva. Per calcolare il determinante di una matrice 2 x 2 bisogna calcolare il prodotto dei termini della diagonale principale e sottrarre da questa il prodotto dei termini della diagonale secondaria: xC − x A xB − x A yC − y A = ( xC − x A ) ( yB − y A ) − ( yC − y A ) ( xB − x A ) yB − y A E ora possiamo rifare (più velocemente) l’esempio svolto prima: AABC = 1 −5 − 2 − 2 − 3 1 −7 −5 ⋅ = ⋅ 4−2 1−3 2 −2 2 2 = 1 ⋅ ( 14 + 10 ) = 12 2 Questo ci fornisce anche la condizione di allineamento di tre punti: l’area del triangolo è nulla se e solo se i tre vertici sono allineati. In tal caso avremmo: xC − xA xB − x A ⇒ yC − y A =0 yB − y A ⇒ ( xC − x A ) ( yB − y A ) − ( yC − y A ) ( xB − x A ) = 0 ( xC − x A ) ( yB − y A ) = ( yC − y A ) ( xB − x A ) Tre punti sono allineati se si verifica la seguente uguaglianza: ⇒ xC − x A xB − x A xC − xA y − yA = C xB − x A yB − y A y − yA = C yB − y A BIBLIOGRAFIA: G. Zwirner, L. Scaglianti – L’essenza della matematica – Cedam vol. 1 ISBN 9788813208271