LA RETTA L’equazione lineare in x e y L’equazione:
nelle due variabili
; Ogni coppia
e
0 con
.
tale che:
, , ∈ ,
e
non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare
0 si dice soluzione dell’equazione.
TEOREMA Ad ogni retta del piano cartesiano corrisponde un’equazione lineare in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano.
⟺ 0
Esiste cioè, una corrispondenza biunivoca fra i punti di una retta e le soluzioni della corrispondente equazione lineare.
Dimostrazione 1
Ad ogni retta del piano cartesiano corrisponde un’equazione lineare in due variabili
Consideriamo prima i casi particolari:
La retta
è parallela all’asse y .
Ogni punto della retta ha ascissa
e, viceversa,
ogni punto avente ascissa , qualunque sia la sua
ordinata, appartiene necessariamente alla retta .
Quindi tutti e soli i punti della retta soddisfano
l’equazione
.
La retta
è parallela all’asse :
Ogni punto della retta ha ordinata e, viceversa,
ogni punto avente ordinata , qualunque sia la sua
ascissa, appartiene necessariamente alla retta .
Quindi tutti e soli i punti della retta soddisfano
l’equazione
.
Consideriamo poi il caso di una generica retta del piano non parallela agli assi.
e
e consideriamo poi un terzo punto
; ; Fissiamo su essa due punti
; variabile su di essa.
Per il teorema di Talete si ha:
⟹
Per la proprietà transitiva
è: Condizione di allineamento di tre punti
Risolvendo la quale si ricava:
Ricordando che:
Si ottiene:
Matematica
, ,
, 0 .
0 sono numeri noti, e ponendo:
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1
Poiché le coordinate di un generico punto
;
della retta soddisfano l’uguaglianza, si conclude che tutti i punti
della retta verificano l’equazione lineare ottenuta.
Dimostriamo ora, che solo i punti della retta soddisfano
l’equazione lineare.
Supponiamo per assurdo (negazione della tesi) che le coordinate
non appartenente alla retta siano soluzioni
; del punto
0.
dell’equazione lineare, cioè sia:
della retta situato sotto
; Consideriamo poi, un punto
al punto
; .
∈
risulta che:
Essendo il punto
; 0
0
Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene:
Essendo
0 , poiché la retta non è parallela all’asse y, si ricava:
0 cioè:
coincide con il punto A.
; Il che equivale a dire che il punto
Dimostrazione 2
Ad ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano
Consideriamo prima i casi particolari:
0 ∧ 0
0
L’equazione diventa:
Essa è verificata da tutte le coppie
0 ∧ →
; che individuano una retta parallela all’asse x.
0
0
L’equazione diventa:
Essa è verificata da tutte le coppie
→
; che individuano una retta parallela all’asse y.
Consideriamo poi il caso generale:
0 ∧ 0
L’equazione è:
0
Consideriamo tre soluzioni qualsiasi dell’equazione lineare:
Sostituendo nell’equazione lineare si ha:
; 0
0
0
,
; ,
; Sottraendo la Ia equazione dalla IIa equazione si ha:
0 cioè:
Sottraendo la Ia equazione dalla IIIa equazione si ha:
0 cioè:
Per la proprietà transitiva si ha:
.
cioè
che rappresenta la condizione di allineamento di tre punti.
Pertanto le soluzioni dell’equazione lineare sono le coordinate di tre punti della retta.
Matematica
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2
La retta passan
nte per due punti Laa condizione di allineameento di tre puunti rappresennta anche
e
l’eequazione dellla retta passsante per duee punti
;
;
La forma espliccita della rettta 0 è detta forma implicita della rettta.
L’eequazione
Se ricaviamo l’’equazione riispetto alla variabile
v
s ottiene la forma
si
f
espliciita della rettaa.
0 ⟺ 0
0 0
s ottiene la forma esplicita
si
P
Ponendo:
Ill coefficientee
Ill coefficientee
è detto coefficiente angolare.
è detto ordinata all’origine.
Il ccoefficiente aangolare Ill coefficiente angolare dii una retta noon parallela all’asse
a
è il rapporto fra
f la differennza delle orddinate e la diffferenza
d
delle
ascisse di
d due punti distinti dellaa retta.
Dimostrazionee
D
S
Siano
e
due punti deella retta
soddiisfano l’equazzione
L coordinate
Le
;
soddiisfano l’equazzione
L coordinate
Le
;
S
Sottraendo
mem
mbro a membbro si ha:
.
D cui si ottienne:
Da
Daal triangolo rettangolo
tg
si ricaava che
0
.
0
0
∄
La retta passan
nte per un punto e con d
dato coefficiente angolare L’equazione della
L
d
retta paassante per ill punto 1
.
angolare
è data da:
1;
1
e aveente coefficiente
D
Dimostrazione
e
D
Dalla
relazionee
si ottiene::
∙
con
Matematica
a
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3
La retta passante per l’origine L’equazione della retta passante per l’origine degli assi cartesiani è data da:
Rette particolari Bisettrice del I ‐ III quadrante Bisettrice del II e IV quadrante
Asse delle Asse delle Teorema ‐ Rette parallele Due rette
ed (non parallele all’asse y) sono parallele
ed hanno lo stesso coefficiente angolare
⟺
Dimostrazione ⟹
Consideriamo due rette parallele ed (non verticali) che
intersecano l’asse , rispettivamente nei punti e ′
Prendiamo sull’asse x
il punto distante 1 da
il punto distante 1 da ′.
Consideriamo poi:
sulla retta il punto con la stessa ascissa di
sulla retta il punto ′ con la stessa ascissa di ′
I triangoli
e ’ ’ ’ sono congruenti perché hanno:
≅ ′ ′ e
≅
(angoli corrispondenti )
Pertanto si ha che:
≅ ′ ′.
Ma:
e
′ ′
⟹
.
Dimostrazione ⟸
Procedendo in modo inverso:
Se
⇒
⇒
⇒
e ’ ’ ’ sono congruenti perché hanno:
I triangoli rettangoli
Avendo dimostrato che i triangoli
e ’ ’ ’ sono congruenti ⇒
⇒
≅ ′ ′
≅
′ ′
e
≅ ′ ′.
⇒
∥ .
Teorema ∥ ⟺
0
⟺
Dimostrazione
∥ ⟺
Matematica
cioè
0
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0.
4
Teorema ‐ Rettte perpendiccolari Due rette
edd (non paraallele agli asssi) sono perppendicolari
⟺
Il prrodotto dei loro coefficieenti angolari è 1
∙
1
Dimostrazione ⇔
Daate due rette ed , non parallele
p
aglii assi, considderiamo le du
ue rette ′ ed ′,
risppettivamentee parallele a e a , e passsanti per l’oorigine.
′ ed ′ sono
ed soono
⇔
perrpendicolari
perpendicoolari
′ ed ′ soono
perpendicoolari
Il triangolo
è rettangoloo in
Il triaangolo
rettaangolo in
⇔
è
⇔
Lee equazioni delle
d
rette in questione
q
sonno:
∶ e
∶ e
′: ′: i punto di
d
e il punnto
Coonsideriamo il
e
1; aveenti ascissa 1:
1
1; | |
⇒
di
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
Quuindi la relazzione:
1 0
2
2
2
1.
diviene:
1 0
0
1
0
1
Po
osizione recip
proca di due
e rette Daalla geometriia euclidea, sappiamo
s
chee due rette coomplanari eed possonoo trovarsi in ttre possibili diverse posizzioni:
inccidenti, coinccidenti, paralllele e distintte.
Annaliticamentee ciò si traduuce in tre diveersi tipi di sistemi:
Sistem
ma determinato Sisstema imposssibile SSistema inde
eterminato
rettte incidenti rette paralle
ele rette coin
ncidenti ⇔ Matematica
a
′
′
∧
′
⇔
′
′
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′
∧
′ ⇔
′
′
5
′
Distanza di un punto da una retta Retta parallela all’asse x |
Retta parallela all’asse y | |
| Retta non parallela agli assi cartesiani ;
Distanza del punto 0 dalla retta |
|
√
Dimostrazione
; dalla retta
Determiniamo la distanza del punto
0 mediante la formula dell’altezza relativa
all’ipotenusa del triangolo rettangolo
L’ascissa del punto
∙
:
(*) .
è
L’ordinata del punto
è
L’ordinata del punto
è
L’ascissa del punto
∈ ∈
è
∙
∙
|
∙
|
|
|
∙
.
Sostituendo in (*) si ottiene:
∙
∙
|
|
|
|
| |
|
| |
∙
|
√
Matematica
|
|
| |
∙√
∙
| |∙| |
|
|∙√
.
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6
Luoghi geometrici L’asse di un segmento Asse di un segmento AB Dimostrazione
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto
medio.
L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli
estremi del segmento.
Considerato pertanto, un punto
; appartenente all’asse del segmento
,
applicando la definizione, si ha che:
; La simmetria assiale Fissata nel piano una retta : , la simmetria assiale rispetto alla retta è
del piano fa corrispondere il punto
; quella isometria che ad ogni punto
del semipiano opposto rispetto ad , in modo che
sia l’asse del
′ ′ ; ′
segmento ′ ossia:
1
1
2
2
1.
passa per il punto medio di ′
1
2.
′ è perpendicolare alla retta
1
2
1
1
2
Dimostrazione
Dopo aver ricavato le coordinate del punto medio
; imponiamo che il punto appartenga alla retta : ∙
.
: Dopo aver determinato il coefficiente angolare del segmento
.
imponiamo la condizione di perpendicolarità:
Risolviamo quindi il sistema formato da queste due equazioni, considerando
′
Per semplificare la scrittura delle espressioni indichiamo:
∙
2
1
′ e ′
2 2
2 1
2
1
1
2
2
2
1
Matematica
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
0 2
come incognite.
.
′
2 2
′,
del segmento
2 1
1
1
1
2
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2
2
2
1
2 7
Simm
metria rispettto alla retta y q
Simm
metria rispettto alla retta x p
2
2
Sim
mmetria risp
petto all’asse x
Sim
mmetria risp
petto all’asse
e y
Simmettria rispetto alla bisettricce y x
Simmettria rispetto aalla bisettrice y x
La simmetria ccentrale Simmetria risp
petto all’origgine O( 0 ;0) Sim
mmetria risp
petto al puntto C ( p ; q ) Matematica
a
2
2
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8
Luogo dei punti equidistanti da due rette incidenti Bisettrici degli angoli formati dalle due rette 0 e ′
′
′ 0 ∓
√
′
′
′
Dimostrazione
Se le rette : 0 ed : ′
′
′ 0 sono incidenti,
il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dalle due rette è costituito dai
punti
; appartenenti alle due bisettrici degli angoli formati dalle due rette.
Considerato pertanto, un punto
; del piano imponiamo che la distanza di
dalla retta sia uguale alla distanza di dalla retta .
; |
| ′
′
′|
√
′
∓
√
|
′
′
Luogo dei punti equidistanti da due rette parallele Mediana della striscia delimitata dalle due rette e ′ 2
′
Dimostrazione
Se le rette
: ed : ′ sono parallele, il luogo
geometrico dei punti del piano equidistanti dalle due rette è costituito dai punti
; appartenenti alle mediana della striscia delimitata dalle due rette.
.
Pertanto la sua equazione è:
Nota 1 |
| |
| ⇔ Infatti, ricordando che: |
Si ha che: |
|
|
∓
|
|
0
∓
∓
⇔
⇔ ∓
⇔
∓
Luogo dei punti aventi distanza assegnata da una retta |
Rette parallele alla retta poste da parti opposte rispetto ad e a distanza Il luogo geometrico è costituito dai punti
; appartenenti alle due rette
parallele alla retta , poste a distanza e da parti opposte rispetto alla retta .
La sua equazione è:
|
|
|
√
ed
,
.
√
Matematica
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9
Luoghi determinati da equazioni parametriche Il luogo geometrico è costituito dai punti
; del piano che soddisfano equazioni (parametriche) dipendenti da un
parametro. Al variare del parametro si ottengono tutti i punti del luogo geometrico.
Esempio 1 Dato un sistema di riferimento cartesiano in un piano, si dica che cosa rappresenta l’insieme dei punti
coordinate hanno equazioni parametriche:
3
2
∈
4 Soluzione
le cui
Per determinare l’equazione cartesiana del luogo, occorre eliminare il parametro dalle due equazioni.
Ricaviamo pertanto il parametro t dalla seconda equazione e lo sostituiamo nella prima:
⇒ 3∙
2 4
3
8 0 . Pertanto il luogo rappresenta una retta. Esempio 2 Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che cosa rappresenta l’insieme
, ottenuto al variare di nei reali. (Esame di Stato Ordinamento, Sessione suppletiva, 2008)
; 1
dei punti 1
Soluzione
Ricaviamo pertanto il parametro t dalla prima equazione e lo sostituiamo nella seconda:
1 ⇒ 1
1 Essendo però
1
1 ∀ ∈
il luogo rappresenta la semiretta di equazione
Esempio 3 Siano ed due qualunque rette del fascio di centro 1 ; 3 tra loro perpendicolari e siano e
intersezioni di con l’asse e di con l’asse . Determinare il luogo descritto dal punto medio
con
1.
rispettivamente le
del segmento
.
Soluzione
Due rette per
: tra loro perpendicolari hanno equazioni:
3
Il punto
1
0 ; 3
e
: , il punto
3
1
1
3 ; 0
0
con
⇒ il punto
Pertanto le equazioni parametriche del luogo sono:
; ∀
∈
0
Eliminando il parametro m si ottiene:
⇒
; Il luogo descritto da al variare di
; , ottenuto per
0.
Matematica
; è la retta
; 3
5
0 privata del punto
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10
I Fasci di rette Fascio proprio di rette L’insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto
chiama fascio proprio di rette per .
si
Il punto C è detto centro del fascio.
; L’equazione del fascio di rette passante per il punto
.
∙
equazione:
ha
Al variare di si ottengono tutte le rette del fascio passanti per il punto
.
P, tranne la parallela all’asse , avente equazione
Pertanto, il fascio completo è rappresentato dalle equazioni:
∨ ∙
∈
con
Fascio improprio di rette Data una retta del piano.
L’insieme formato dalla retta e da tutte le rette a essa parallele si chiama fascio improprio di rette parallele a .
La retta
è detta retta base del fascio.
Se la retta è in forma esplicita
l’equazione del fascio è con
∈
con
∈
0
Se la retta è in forma implicita
l’equazione del fascio è 0
Combinazione lineare di due equazioni 0 ed
Date due equazioni
l’espressione:
∙
∙
′
′
′
′
′
′
0,
0 ∀ ,
∈ è detta combinazione lineare delle due equazioni. I numeri p e q sono detti parametri della combinazione lineare.
Se una coppia di numeri ; è soluzione di entrambe le equazioni date, allora è anche soluzione di ogni loro
combinazione lineare.
Fascio proprio generato da due rette incidenti Date due rette ed di equazioni : 0 ed
: ′
′
′ 0 che si incontrano nel punto
, le equazioni di tutte le rette del fascio proprio passanti per si ottengono dalla combinazione lineare delle
; due rette ed :
∙
∙
′
′
′
0 ∀ ,
Le rette
ed sono dette generatrici del fascio. La retta
Poiché
e
′
′
′
La retta
si ottiene per
′
′
′
0.
0 e dividere tutti i termini per , ottenendo:
0. Ponendo in quest’ultima
∙
0. La retta si ottiene per
si ottiene per
non sono entrambi nulli, possiamo supporre che sia
∙
∈ si ottiene:
0
∀
∈ 0.
La retta non si ottiene per alcun valore di . Impropriamente si dice che la retta si ottiene per
∞, perché
facendo assumere a valori sempre più grandi, si ottengono rette del fascio che tendono ad assumere la stessa
direzione della retta .
Matematica
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11
Fascio improprio generato da due rette parallele Se le rette generatrici sono parallele le loro equazioni sono del tipo : La combinazione lineare delle due rette ed
′
0 ∀ ,
∈ 0.
si ottiene:
; 1
1
1
′
è:
∙
Esplicitando l’incognita
0 ed : 1
; ;
1
∀
1
1
1), rappresenta una qualsiasi retta del fascio parallela alle rette
Tale equazione, al variare del parametro k (con
generatrici.
Esempio 1 Studiare la natura del fascio di rette:
2
1
2
1
4
0 ∈
Soluzione
Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio:
2
1
2
1
2
2
Essendo il coefficiente angolare dipendente dal parametro , si tratta di
un fascio proprio di rette.
Riscriviamo l’equazione come combinazione lineare di due rette:
2
2
2
1
1
2
4
0 ; 4
0 ;
Le generatrici del fascio hanno equazioni:
: 2
1
0
: 2
ed
La Ia generatrice : 2
a
La II generatrice : 2
4
0
1
0 si ottiene per
4
0
0
∞ .
non si ottiene per nessun valore finito di
Per determinare il centro del fascio, in maniera semplice, conviene ricavare dalla forma implicita del fascio (traccia) le
due rette del fascio parallele agli assi cartesiani.
Il coefficiente della
si annulla per
.
Per tale valore si ottiene la retta
2
Il coefficiente della
si annulla per
2.
Per tale valore si ottiene la retta
3
Pertanto il centro del fascio è
3 ; 2 .
Per determinare il movimento delle rette del fascio al variare del parametro
per l’origine degli assi cartesiani.
Tale retta si ottiene per 1
4
0 cioè per
determiniamo la retta del fascio passante
.
Dall’esame del grafico di queste rette particolari del fascio si deduce che:
Il parametro assume valori positivi, crescenti da 0 ∞, quando le rette del fascio, ruotando in senso antiorario
attorno a C, passando dalla posizione della prima generatrice r alla posizione della seconda generatrice s.
Se invece la rotazione avviene in senso orario, il parametro k assume valori negativi, decrescenti da 0 ∞.
Matematica
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12
Esempio 2 Studiare la natura del fascio di rette:
2
1
1
6
4
0 ∈
Soluzione
Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio:
2
1
2 1
Essendo il coefficiente angolare
2
non dipendente dal parametro , il fascio è
improprio.
Riscriviamo l’equazione come combinazione
lineare di due rette:
2
2
2
6
4
4
∙ 2
0 ; 6
0
Le generatrici del fascio hanno equazioni:
: 2
4
0
ed
: 2
6
0
: 2
4
0
si ottiene per
La seconda generatrice : 2
6
0
non si ottiene per nessun valore finito di
La prima generatrice
0.
∞ .
L’equazione data pertanto, rappresenta ∀ ∈
1 tutte le rette di coefficiente angolare, con esclusione della
seconda generatrice : 2
6 0.
4 6
Per determinare il movimento delle rette del fascio al variare
1
2
del parametro ricaviamo la sua forma esplicita:
1
L’ordinata all’origine è
4
6
1
L’ordinata all’origine è positiva per
∈
1 ; L’ordinata all’origine è negativa per
∈
∞ ; 1 ∪ ; ∞ .
Nel grafico è descritto il movimento delle rette del fascio al variare del parametro .
Matematica
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13
