Distribuzione di Poisson

UNA DEDUZIONE “MACCHERONICA” DELLA LEGGE DI POISSON
La legge binomiale se n è “molto grande”, p è “molto piccola” e il prodotto np = costante:
n
Dalla legge binomiale p( x)    p x q n  x si ottiene che (utilizzando la definizione di coeff.
 x
binomiale, di fattoriale di un numero naturale, e sapendo che q=1-p):
p( x) 
nn  1n  2.....n  x  1 x
n x
p 1  p 
x!
(1)
Nel caso in cui n sia “molto grande” (la matematica dice n→ +∞) il prodotto che appare al
numeratore della prima frazione diventa:
nn  1n  2...n  x  1  n  n  n.....n  n x
(2)
e, per lo stesso motivo, l’esponente n-x diventa:
n–x≈n
(3)
Quindi la legge binomiale diventa scritta:
np  1  p n x  np  1  p n
nx x
n x
p 1  p  
x!
x!
x!
x
p( x) 
x
(4)
Visto che il prodotto np (che risulta essere una “competizione” fra n, che è molto grande, e p che è
molto piccola) è costante, lo chiamiamo np = , da cui possiano scrivere:
p ( x) 
x
x!
1  p n
(5)
Il numero di Nepero:
Per continuare dobbiamo introdurre il numero irrazionale trascendente indicato con e, chiamato
numero di Nepero.
Uno dei modi per definire il numero di Nepero, è di considerarlo il valore al quale la funzione
 1
f ( x )  1  
x

x
tende per x→ ±∞ (cioè per x che assume valori sempre più “grandi”, oppure sempre più “piccoli”;
x
x
 1
 1
in matematica si scrive lim 1   , cioè si scrive che lim 1    e ). Si può intanto notare che
x  
x  
x
x


la funzione f(x) è definita (cioè il suo dominio è) se e solo se x  1 oppure x>0, quindi ha un senso
porsi il problema di quale sia il valore (se ce n’è uno) al quale la funzione tende in un caso e
nell’altro.
Prof. Piero Strigazzi – progetto EEE – liceo G. Bruno – a.s. 2009-2010
Di seguito riportiamo una tabella in cui la prima colonna a sinistra corrisponde ai valori di x che
man mano aumentano, la colonna centrale è la base 1+1/x, e la colonna a destra è il corrispondente
valore di f(x):
x
1+1/x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
(1+1/x)^x
2
1,5
1,333333
1,25
1,2
1,166667
1,142857
1,125
1,111111
1,1
1+1/x
1,005
1,0033333
1,0025
1,002
1,0016667
1,0014286
1,00125
1,0011111
1,001
1,0009091
1,0008333
1,0007692
1,0007143
1,0006667
1,000625
1,0005882
1,0005556
1,0005263
1,0005
2
2,25
2,37037037
2,44140625
2,48832
2,521626372
2,546499697
2,565784514
2,581174792
2,59374246
(1+1/x)^x
2,711517
2,713765
2,714892
2,715569
2,71602
2,716343
2,716585
2,716773
2,716924
2,717047
2,71715
2,717237
2,717312
2,717376
2,717433
2,717483
2,717527
2,717567
2,717603
Si può notare che i valori di f(x) crescono
all’aumentare di x e che, almeno fino a
x=10, sono sempre compresi fra 2 e 3.
x=10 non è considerabile ancora x→+∞
(per ovvie ragioni, ma soprattutto perché
questa successione di valori converge
lentamente).
La prossima tabella è una continuazione,
per valori di x sempre più grandi
In questa seconda tabella si può notare
che, da x=200 a x=2000, continua a essere
vera la prima affermazione precedente.
Ora si osserva che f(x) sembra essersi
“stabilizzata” almeno per quanto riguarda i
primi tre decimali.
Oggi sappiamo che questo valore a cui
tende f(x), il numero di Nepero, è:
1) 2 < e < 3
2) e è irrazionale
3) una sua approssimazione è
2,718281828…. (1828 non è il
periodo)
Graficamente ciò che è successo è:
2,8
2,7
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2
0
4
8
12 16 20 24 28
32 36 40 44 48
Prof. Piero Strigazzi – progetto EEE – liceo G. Bruno – a.s. 2009-2010
52 56 60
N.B. il sistema cartesiano del precedente grafico è dimetrico; inoltre sull’asse delle ordinate
l’intercetta con l’asse delle ascisse è y=2 e non y=0.
Si può notare che f(x) sembra proprio “assestarsi” ad un valore preciso, se x aumenta sempre di più:
x
 1
è il significato della scrittura lim 1    e , avendo indicato con è questo valore di
x  
x

“assestamento”.
Lo stesso discorso vale per x→ -∞.
Esistono altri modi, sia grafici che algebrici per definire il numero di Nepero: è da notare, in
particolare, che questa definizione “algebrica” ha un esito lentissimo. Ancora per x=2000 la terza
cifra decimale di e che meglio approssima e non è stata raggiunta…!
Ritorno alla legge binomiale:
Siamo rimasti alla scrittura (5):
p ( x) 
x
x!
1  p n ,
che ora potremmo riscrivere più correttamente:
p ( x) 
x
x!
lim 1  p 
n
(6)
n 
p 0
dato che ci interessa il caso n→ +∞ e p→0 (con np = = costante, però!).
l’esponente può essere riscritto n = np/p = /p : in questo modo “perdiamo” la dipendenza da n,
visto che n viene “mangiato” da  che è costante.
Quindi la legge diventa:
p( x) 
x
x!

lim 1  p  p
(7)
p 0
poi possiamo eseguire una sostituzione di variabile, chiamando –p = 1/k; in questo modo la base
diventa (1+1/k), che ricorda la base della funzione che “genera” il numero e.
allora l’esponente diventa
Inoltre, se p→0, allora
Se –p = 1/k
allora p = -1/k
-k
k→∞
Il limite presente nella formula (7) diventa:

 1
lim 1  p  p  lim 1  
p 0
k 
 k
 k
Prof. Piero Strigazzi – progetto EEE – liceo G. Bruno – a.s. 2009-2010
(8)
Dalle proprietà delle potenze, sappiamo che anm = (an)m. Quindi:
 1
lim 1  
k 
 k
 k
 1  k 
 lim 1   
k 
 k  

(9)
Ma il limite della parentesi quadra è, per definizione, il numero di Nepero (fra l’altro lo è
indipendentemente sul segno dell’infinito, su cui non ci siamo più pronunciati dopo la sostituzione
di variabile..!):
 1  k 
lim 1   
k 
 k  

 e 
(10)
Conclusione:
Utilizzando il risultato (10) nella formula (5) otteniamo che la legge binomiale, per n molto grande
e p molto piccolo (si dice per eventi “rari”), tale che il prodotto np sia costante, diventa:
p( x) 
x
x!
e 
che è chiamata legge di Poisson.
Prof. Piero Strigazzi – progetto EEE – liceo G. Bruno – a.s. 2009-2010