Il numero di Nepero

Il numero di Nepero
Introduzione.
Viene qui descritto il numero di Nepero, come limite di una successione crescente limitata
inferiormente e superiormente.
Il binomio di Newton.
Prima di introdurre la successione di Nepero, oggetto di studio di questo breve scritto, è
opportuno descrivere nei suoi aspetti fondamentali il binomio di Newton.
Richiamiamo due semplici prodotti notevoli:
il quadrato di un binomio
(a + b)
2
= a 2 + 2ab + b 2
(1.1)
= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
(1.2)
il cubo di un binomio
(a + b)
3
Questi due prodotti notevoli sono due casi particolari di una relazione più generale che
prende il nome di sviluppo di Newton della potenza di un binomio, la cui espressione è la
seguente:
n
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n ⎞
⎛ n⎞
n
a
b
+
=
(
) ∑ ⎜ ⎟ a n−k bk = ⎜ ⎟ a nb0 + ⎜ ⎟ a n−1b1 + ⎜ ⎟ a n−2b2 + .......... + ⎜ ⎟ a1bn−1 + ⎜ ⎟ a 0bn
k =0 ⎝ k ⎠
⎝0⎠
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
(1.3)
Il coefficiente dello sviluppo che moltiplica i fattori a e b si chiama coefficiente binomiale
ed è così definito
⎛n⎞
n!
⎜ ⎟=
⎝ k ⎠ k !( n − k ) !
(1.4)
n! (si legge n fattoriale) = n ( n − 1)( n − 2 ) .........3 ⋅ 2 ⋅1 è il prodotto di n numeri naturali.
Per definizione si pone 0! = 1 e 1! = 1
La successione di Nepero.
Definiamo la successione n → an con
⎛ 1⎞
an = ⎜ 1 + ⎟
⎝ n⎠
n
n = 1, 2, 3, ....
(2.1)
1/4
Dimostriamo che tale successione è crescente.
1
,
n
Utilizziamo per tale scopo la formula del binomio di Newton, ponendo a = 1 e b =
otteniamo
n
n
n
⎛ n ⎞ n−k 1
⎛n⎞ 1
⎛n⎞ 1 ⎛n⎞ 1 ⎛ n⎞ 1
⎛n⎞ 1
⎛ 1⎞
+
=
=
1
1
∑
⎜ ⎟ k = 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 2 + ⎜ ⎟ 3 + ........... + ⎜ ⎟ n =
⎜
⎟ ∑⎜ k ⎟
k
n
⎝ n ⎠ k =0 ⎝ ⎠
k =0 ⎝ k ⎠ n
⎝ 1 ⎠ n ⎝ 2⎠ n ⎝ 3⎠ n
⎝n⎠ n
1
n!
1
n!
1
1+ n⋅ +
⋅ 2+
⋅ 3 + ........ =
n 2!( n − 2 ) ! n
3!( n − 3) ! n
1 n ( n − 1) 1 n ( n − 1)( n − 2 )
1 n ( n − 1)( n − 2 ) ⋅⋅⋅ ⋅2 ⋅ 1
=
2+ ⋅
+
+ ....... +
2
3
nn
2!
n
3!
n
n!
1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞
1 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞
⎛ n −1⎞
2 + ⋅ ⎜1 − ⎟ + ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ + ....... + ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ ......... ⋅ ⎜1 −
⎟
n! ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
n ⎠
2! ⎝ n ⎠ 3! ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
⎝
(2.2)
Sostituendo n + 1 ad n in ciascuno degli addendi, la somma cresce ed inoltre viene
aggiunto un ulteriore termine positivo. Pertanto la successione il cui generico elemento è
dato dalla (2.1)
I.
è crescente
an +1 > an
II.
(2.3)
è limitata inferiormente
⎛ 1⎞
2 < ⎜1 + ⎟
⎝ n⎠
n
(2.4)
Ciascun termine in parentesi tonda della (2.2) è minore dell’unità e questo comporta che
2/4
n
1 1
1
1 1
1
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ ≤ 2 + + + ....... + < 2 + + 2 + ........ + n −1
2! 3!
2 2
2
n!
⎝ n⎠
( n! ≥ 2 );
n −1
n
1⎛ 1
1 ⎞
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ ≤ 2 + ⎜1 + + ...... + n − 2 ⎟ =
2 ⎝ 2
2 ⎠
⎝ n⎠
progressione geometrica di ragione
1
2
(2.5)
1
1 − n −1
1
2 = 2 +1− 1 =
2+
2 1− 1
2n −1
2
1
3 − n −1 < 3
2
Quindi la successione è anche
III.
limitata superiormente
n
⎛ 1⎞
2 < ⎜1 + ⎟ < 3
⎝ n⎠
(2.6)
Possiamo concludere che
n
⎛ 1⎞
lim ⎜1 + ⎟ = e
x →∞
⎝ n⎠
(2.7)
dove con il simbolo e si indica il numero di Nepero, un numero trascendente, che non è
soluzione di un’equazione algebrica a coefficienti interi o frazionari, compreso tra 2 e 3.
Consideriamo un numero reale x , la cui parte intera è n e pertanto per esso vale la
seguente disuguaglianza
n < x < n +1
n
(2.8)
x
n+1
Dalla (2.8) segue
1
1 1
< <
n +1 x n
1 ⎞ ⎛
1⎞ ⎛ 1⎞
⎛
⎜1 +
⎟ < ⎜1 + ⎟ < ⎜1 + ⎟
x⎠ ⎝
n⎠
⎝ n +1⎠ ⎝
n
x
1 ⎞ ⎛
1⎞ ⎛ 1⎞
⎛
⎜1 +
⎟ < ⎜1 + ⎟ < ⎜1 + ⎟
x⎠ ⎝
n⎠
⎝ n +1⎠ ⎝
(2.9)
n +1
Quando n → ∞ anche n + 1 → ∞ e di conseguenza x → ∞ ;
3/4
di conseguenza
n
x
1 ⎞
1⎞
⎛
⎛
⎛ 1⎞
< lim ⎜1 + ⎟ < lim ⎜ 1 + ⎟
lim ⎜1 +
⎟
n →∞
x ⎠ n→∞ ⎝
n⎠
⎝ n + 1 ⎠ x →∞ ⎝
n +1
n
1 ⎞
⎛
lim ⎜1 +
⎟ =e
n →∞
⎝ n +1⎠
⎛ 1⎞
lim ⎜1 + ⎟
n →∞
⎝ n⎠
(2.10)
n +1
=e
e per il teorema del confronto
x
⎛ 1⎞
lim ⎜1 + ⎟ = e
x →∞
x⎠
⎝
(2.11)
Sviluppo in serie della funzione esponenziale
Per completezza ricordiamo inoltre che per la funzione esponenziale y = e x vale il
seguente sviluppo in serie (somma di infiniti termini), che trova una motivazione
nell’espressione (2.5)
∞
xk
x2 x3
+
+ ......
e = ∑ =1+ x +
2! 3!
k =0 k !
x
(3.1)
Ponendo x = 1 , ricaviamo per il numero e il valore seguente
1 1 1
+ + + ........... =
2! 3! 4!
1 1 1
2 + + + + ...........
2! 3! 4!
e =1+1+
(3.2)
4/4