Il numero di Nepero Introduzione. Viene qui descritto il numero di Nepero, come limite di una successione crescente limitata inferiormente e superiormente. Il binomio di Newton. Prima di introdurre la successione di Nepero, oggetto di studio di questo breve scritto, è opportuno descrivere nei suoi aspetti fondamentali il binomio di Newton. Richiamiamo due semplici prodotti notevoli: il quadrato di un binomio (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1.1) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 (1.2) il cubo di un binomio (a + b) 3 Questi due prodotti notevoli sono due casi particolari di una relazione più generale che prende il nome di sviluppo di Newton della potenza di un binomio, la cui espressione è la seguente: n ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n⎞ n a b + = ( ) ∑ ⎜ ⎟ a n−k bk = ⎜ ⎟ a nb0 + ⎜ ⎟ a n−1b1 + ⎜ ⎟ a n−2b2 + .......... + ⎜ ⎟ a1bn−1 + ⎜ ⎟ a 0bn k =0 ⎝ k ⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎝ n⎠ (1.3) Il coefficiente dello sviluppo che moltiplica i fattori a e b si chiama coefficiente binomiale ed è così definito ⎛n⎞ n! ⎜ ⎟= ⎝ k ⎠ k !( n − k ) ! (1.4) n! (si legge n fattoriale) = n ( n − 1)( n − 2 ) .........3 ⋅ 2 ⋅1 è il prodotto di n numeri naturali. Per definizione si pone 0! = 1 e 1! = 1 La successione di Nepero. Definiamo la successione n → an con ⎛ 1⎞ an = ⎜ 1 + ⎟ ⎝ n⎠ n n = 1, 2, 3, .... (2.1) 1/4 Dimostriamo che tale successione è crescente. 1 , n Utilizziamo per tale scopo la formula del binomio di Newton, ponendo a = 1 e b = otteniamo n n n ⎛ n ⎞ n−k 1 ⎛n⎞ 1 ⎛n⎞ 1 ⎛n⎞ 1 ⎛ n⎞ 1 ⎛n⎞ 1 ⎛ 1⎞ + = = 1 1 ∑ ⎜ ⎟ k = 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 2 + ⎜ ⎟ 3 + ........... + ⎜ ⎟ n = ⎜ ⎟ ∑⎜ k ⎟ k n ⎝ n ⎠ k =0 ⎝ ⎠ k =0 ⎝ k ⎠ n ⎝ 1 ⎠ n ⎝ 2⎠ n ⎝ 3⎠ n ⎝n⎠ n 1 n! 1 n! 1 1+ n⋅ + ⋅ 2+ ⋅ 3 + ........ = n 2!( n − 2 ) ! n 3!( n − 3) ! n 1 n ( n − 1) 1 n ( n − 1)( n − 2 ) 1 n ( n − 1)( n − 2 ) ⋅⋅⋅ ⋅2 ⋅ 1 = 2+ ⋅ + + ....... + 2 3 nn 2! n 3! n n! 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ n −1⎞ 2 + ⋅ ⎜1 − ⎟ + ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ + ....... + ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ ......... ⋅ ⎜1 − ⎟ n! ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n ⎠ 2! ⎝ n ⎠ 3! ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ (2.2) Sostituendo n + 1 ad n in ciascuno degli addendi, la somma cresce ed inoltre viene aggiunto un ulteriore termine positivo. Pertanto la successione il cui generico elemento è dato dalla (2.1) I. è crescente an +1 > an II. (2.3) è limitata inferiormente ⎛ 1⎞ 2 < ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠ n (2.4) Ciascun termine in parentesi tonda della (2.2) è minore dell’unità e questo comporta che 2/4 n 1 1 1 1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ ≤ 2 + + + ....... + < 2 + + 2 + ........ + n −1 2! 3! 2 2 2 n! ⎝ n⎠ ( n! ≥ 2 ); n −1 n 1⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ ≤ 2 + ⎜1 + + ...... + n − 2 ⎟ = 2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ n⎠ progressione geometrica di ragione 1 2 (2.5) 1 1 − n −1 1 2 = 2 +1− 1 = 2+ 2 1− 1 2n −1 2 1 3 − n −1 < 3 2 Quindi la successione è anche III. limitata superiormente n ⎛ 1⎞ 2 < ⎜1 + ⎟ < 3 ⎝ n⎠ (2.6) Possiamo concludere che n ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e x →∞ ⎝ n⎠ (2.7) dove con il simbolo e si indica il numero di Nepero, un numero trascendente, che non è soluzione di un’equazione algebrica a coefficienti interi o frazionari, compreso tra 2 e 3. Consideriamo un numero reale x , la cui parte intera è n e pertanto per esso vale la seguente disuguaglianza n < x < n +1 n (2.8) x n+1 Dalla (2.8) segue 1 1 1 < < n +1 x n 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ < ⎜1 + ⎟ < ⎜1 + ⎟ x⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n +1⎠ ⎝ n x 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ < ⎜1 + ⎟ < ⎜1 + ⎟ x⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n +1⎠ ⎝ (2.9) n +1 Quando n → ∞ anche n + 1 → ∞ e di conseguenza x → ∞ ; 3/4 di conseguenza n x 1 ⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 1⎞ < lim ⎜1 + ⎟ < lim ⎜ 1 + ⎟ lim ⎜1 + ⎟ n →∞ x ⎠ n→∞ ⎝ n⎠ ⎝ n + 1 ⎠ x →∞ ⎝ n +1 n 1 ⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ =e n →∞ ⎝ n +1⎠ ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠ (2.10) n +1 =e e per il teorema del confronto x ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e x →∞ x⎠ ⎝ (2.11) Sviluppo in serie della funzione esponenziale Per completezza ricordiamo inoltre che per la funzione esponenziale y = e x vale il seguente sviluppo in serie (somma di infiniti termini), che trova una motivazione nell’espressione (2.5) ∞ xk x2 x3 + + ...... e = ∑ =1+ x + 2! 3! k =0 k ! x (3.1) Ponendo x = 1 , ricaviamo per il numero e il valore seguente 1 1 1 + + + ........... = 2! 3! 4! 1 1 1 2 + + + + ........... 2! 3! 4! e =1+1+ (3.2) 4/4