Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Lezione del 16 Novembre
Esercitazioni del corso ufficiale di Statistica
Maurizio Mondello
Corso di Laurea in Economia Aziendale
Ottobre - Novembre 2006
orario esercitazioni e link ove scaricare i file
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Lez
Lez
Lez
Lez
Lez
Lez
1
2
3
4
5
6
Data
19 ottobre
26 ottobre
09 Novembre
16 Novembre
18 Novembre
23 Novembre
ore
3 ore (15-18)
3 ore (15-18)
2 ore (15-17)
4 ore (14-18)
4 ore (9-13)
4 ore (14-18)
Totale 20 ore
sito in cui è possibile scaricare le slide:
http : //ww 2.unime.it/dott_stat_ris_amb/down/mondello
Cenni introduttivi e prime definizioni
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
L’impostazione classica definisce il concetto di probabilità da
assegnare ad un certo evento come:
la proporzione di volte che l’evento si verifica in una serie di
osservazioni (prove) analoghe.
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
Es.: Se supponiamo di lanciare un dado per 100 volte e di registrare i
risultati di ogni lancio possiamo definire la probabilità dell’evento E
valore 6 nel lancio di un dado, come:
adattamento
P(E ) =
numero di volte in cui si osserva il valore 6
numero totale di lanci
Questa definizione è molto simile a quella di frequenza relativa; per
tale motivo tale approccio viene detto frequentista
La probabilità di un evento è esattamente la frequenza relativa
con cui tale evento si verifica
Def. Probabilità oggettiva o a priori
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
La probabilità, P(A), di un evento A è il rapporto tra il numero
N(A) di casi favorevoli (cioè il manifestarsi di A) ed il numero totale
N di risultati ugualmente possibili e mutuamente escludenti:
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
P(A) =
N(A)
N
Indici di forma
adattamento
Es.: Nel caso di un dado regolare si sa che la probabilità di avere un
numero qualsiasi dei sei presenti sulle facce è 16 , infatti, nel caso
dell’uscita di un 3 si ha:
P(3) =
1
6
Esempio
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
Si supponga di osservare la seguente distribuzione di frequenze
relative alla misurazione dell’altezza di alcuni soggetti e le probabilità
relative ad ogni modalità
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
xi (altezze)
155
160
165
170
175
180
185
190
ni
5
8
10
15
9
7
3
1
58
P = nNi
P(155) =
P(160) =
P(165) =
P(170) =
P(175) =
P(180) =
P(185) =
P(190) =
5
58
8
58
10
58
15
58
9
58
7
58
3
58
1
58
P
0.09
0.14
0.17
0.26
0.16
0.12
0.05
0.02
1
La somma delle probabilità di eventi esaustivi (tutti i possibili risultati
di una variabile) è =1
Spazio Campionario ed Eventi
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Lo spazio campionario Ω è l’insieme di tutti i possibili esiti di un
esperimento.
Gli elementi di tale insieme, indicati con ω, sono chiamati eventi
elementari.
Un evento quindi, è un sottoinsieme dello spazio campionario.
Es.: Definire lo spazio campionario derivante dall’esperimento lancio
di un dado. Lo spazio campionario sarà costituito dai sei possibili
risultati:Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
N.B. Lo spazio campionario contiene altri due sottoinsiemi l’insieme
vuoto, o evento impossibile, e se stesso,evento certo
Dati i risultati dello spoglio di un questionario
riportati nella seguente tavola di associazione
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
Ricordiamo che una tavola di associazione serve a mettere in
evidenza la relazione tra due caratteri qualitativi ciascuno dei quali
può assumere due sole modalità alternative
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
Risposta
Si
No
Totale
M
233
317
550
F
86
124
210
Totale
319
441
760
adattamento
Indichiamo con A l’insieme di coloro che hanno risposto SI alla
domanda e con B l’insieme di coloro che sono di sesso maschile
Dalla tabella è possibile desumere che:gli intervistati che hanno
risposto si alla prima domanda sono dati da: P(A)= 319
760 = 0.42 cioè
il 42%; e tra di essi i soggetti di sesso maschile sono stati il 73% in
233
quanto P(B|A) = n(AeB)
n(A) cioè P(B|A) = 319
Principio delle probabilità totali
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
Dati n eventi E1 , E2 , . . . , En , tra di loro incompatibili (il verificarsi
dell’uno esclude quello dei rimanenti), la probabilità che si verifichi
uno qualsiasi di questi eventi (unione) è data dalla somma delle
probabilità dei singoli eventi:
P(E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ En ) = P(E1 ) + P(E2 ) + . . . + P(En )
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
esempio: si consideri il lancio di un dado a 6 facce:
Ω : {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 }. Supponiamo di voler calcolare la
probabilità di A(E1 ∪ E2 )
Ogni faccia ha la stessa probabilità pertanto: P(E1 ) =
P(E2 ) = 61 da cui la probabilità di P(A) sarà data da:
P(A) = E1 ∪ E2 = 16 + 16
1
6
e
Principio delle probabilità composte:
La probabilità che n eventi compatibili ed indipendenti si verifichino
tutti insieme (intersezione) è data dal prodotto delle probabilità dei
singoli eventi
Si dice che A e B sono indipendenti
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
se e solo se
distribuzioni
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
es.binom
es.poisson
es.norm.
si dice che A1 , A2 , . . . , An sono a due a due indipendenti se e solo se:
Indici di forma
adattamento
P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai )P(Aj )
Probabilità condizionate
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Una popolazione si compone per il 40% di fumatori (F) e per il 60%
di non fumatori (N). Si sa che il 25% dei fumatori ed il 7% dei non
sono affetti da una determinata patologia respiratoria cronica (M).
Qual è la probablità che un individuo scelto a caso sia affetto dalla
malattia?
Da quanto sopra possiamo scrivere che la P(F)=0.4 e P(N)=0.6;
mentre la P(M|F)=0.25 e la P(M|N)=0.07
Indici di forma
adattamento
pertanto è possibile calcolare la probabilità che un individuo scelto a
caso sia affetto da malattia come:
P(M) = P(M ∩ F ) + P(M ∪ F )
= P(F )P(M|F ) + P(N)P(M|N)
= (0.4 × 0.25) + (0.6 × 0.07) = 0.142
Esempio 1: Tre mobili tra di loro indistinguibili
contengono ciascuno due cassetti.
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Il primo contiene una moneta da 1 euro in ciascuno dei due cassetti,
il secondo una moneta da 2 euro nel primo cassetto e da 1 euro nel
secondo, il terzo mobile ha una moneta da 2 euro in ciascuno dei due
cassetti. Si apre un acssetto a caso e si trova una moneta da 1 euro
Qual è la probabilità che anche l’altro cassetto dello stesso mobile
contenga una moneta da 1 euro?
Indici di forma
adattamento
Consideriammo gli eventi:
A1 :
A2 :
A3 :
B:
il
il
il
il
cassetto
cassetto
cassetto
cassetto
scelto appartiene al primo mobile;
appartiene al secondo mobile;
appartiene al terzo mobile;
contiene una moneta da 1 euro;
E’ chiaro che la probabilità richiesta è:P(A1 |B) e che
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
P(A1 ) = P(A2 ) = P(A3 ) = 1\3
P(B) = 1\2
P(B|A1 ) =1
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Per il teorema di Bayes avremo:
Indici di forma
adattamento
P(A1 |B) =
=
P(A1 )P(B|A1 )
P(B)
1
3
×1
1
2
=
2
3
Esempio 2
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Da un urna contenente b palline bianche e r palline rosse ne viene
estratta una che viene messa da parte senza guardarla. Qual è la
probabilità che la seconda estratta sia bianca?
consideriamo gli eventi:
R1 la prima pallina estratta è rossa
B1 la prima pallina estratta è bianca
B2 la seconda pallina estratta è bianca
Indici di forma
adattamento
posto n=b+r avremo che la P(R1 ) =
r
n
e la P(B1 ) =
b
n
mentre la probabilità che la seconda pallina estratta dato che la
prima era anch’essa bianca sarà:
P(B2 |B1 )
=
b−1
n−1
in quanto dopo la prima estrazione nell’urna sono rimaste n-1 palline
da cui b-1 palline bianche.
Esempio
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
In modo analogo si defisce la probabilità che la seconda pallina sia
bianca dopo che la prima era rossa:
orario
Probabilità
P(B2 |R1 )
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
=
b
n−1
Da cui la probabilità di estrarre una pallina bianca alla seconda
estrazione sarà data da:
adattamento
P(B2 ) =
=
P(B1 )P(B2 |B1 ) + P(R1 )P(B2 |R1 )
bb−1
r b
b
+
=
nn−1 nn−1
n
cioè la stessa probabilità di estrarre una pallina bianca alla prima
estrazione
Esempio 3
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Determinare la probabilità che un individuo positivo al test sia
effettivamente malato P(A1 |B1 ) dato che:
P(A1 ) =0.1 prob. di estrarre un individuo malato
P(A2 ) =0.9 prob. di estrarre un individuo sano
P(B1 |A2 ) =0.2 prob. che il test dia un falso-positivo
P(B2 |A1 ) =0.1 prob. che il test dia un falso-negativo
Indici di forma
adattamento
P(A1 |B1 ) =
P(A1 )P(B1 |A1 )
P(A1 )P(B1 |A1 ) + P(A2 )P(B1 |A2 )
dato che P(B1 |A1 ) = 1 − P(B2 |A1 ) = 0.9 allora:
P(A1 |B1 )
=
0.1 × 0.9
= 0.33
0.1 × 0.9 + 0.9 × 0.2
vediamo la rappresentazione ad albero
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Esempio 4
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Una classe ha 12 maschi e 4 femmine. Vengono scelti a caso tre dei
16 studenti: qual è la probabilità p che siano tutti i maschi
La probabilità che il primo studente scelto sia a caso è 12\16. Se il
primo studente è maschio, allora la probabilità che il secondo sia
maschio è di 11\15. Infine se i primi due studenti erano maschi allora
la probabilità che anche il terzo studente sia maschio è di 10\14.
Pertanto la probabilità che tutti e tre siano maschi è:
12
10
11
P = 16
× 11
15 × 14 = 28
secondo metodo
¡ ¢
¡12¢
Vi sono 16
3 = 560 modi di scegliere 3 dei 16 studenti, e 3 = 220
220
modi di scegliere 3 dei 12maschi, quindi p = 560
= 11
28
terzo metodo
Se gli studenti vengono scelti uno dopo l’altro, allora vi sono
16 × 15 × 14 modi di scgliere gli studenti e 12 × 11 × 10 modi di
11
scegliere i tre maschi; pertanto P = 16×15×14
12×11×10 = 28
Esempio 5
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
Gli studenti di una classe sono scelti a caso, uno dopo l’altro, per
sostenere un esame. Determinare la probabilità p che i maschi e le
femmine della classe si alternino se:
1 la classe consta di 4 maschi e 3 femmine
2 la classe consta di 3 maschi e 3 femmine
Nel primo caso se i maschi e le femmine devono alternarsi, allora il
primo studente esaminato deve essere un maschio. La probabilità che
il primo sia un maschio è 74 .
adattamento
Se il primo è un maschio, allora la probabiltà che il secondo sia
femmina sarà: 36
Così procedendo si avrà la probabilità che il terzo sia un maschio ( 35 ),
che il quarto sia femmina:( 24 ) e che il quinto sia maschio ( 23 ), che il
sesto sia femmina ( 12 ) e che l’ultimo sia maschio ( 11 ).
Pertanto:p =
4332211
7654321
=
1
35
secondo quesito
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
vi sono due casi incompatibili: il primo alunno è un maschio, e il
primo alunno è una femmina.
Se il primo è un maschio, allora la probabilità (P1 ) che gli studenti si
alternino sarà data da:
es. prob
p=
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
332211
1
=
.
654321
20
Indici di forma
adattamento
Se il primo studente è una femmina, la probabilità (P2 ) che gli
studenti si alternino sarà data da:
p=
Pertanto
P = P1 + P2 =
1
20
+
1
20
=
332211
1
=
.
654321
20
1
10
Esempio 6 (Prob. condizionata)
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
In un collegio, il 25% degli studenti è stato bocciato in matematica, il
15% in chimica ed il 10% è stato bocciato in entrambe le materie. Si
sceglie a caso uno studente
orario
Probabilità
1
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
2
3
Se egli è stato bocciato in chimica, qual è la probabilità che sia
stato bocciato in matematica?
Se egli è stato bocciato in matematica, qual è la probabilità che
sia stato bocciato in chimica?
Qual è la probabilità che sia stato bocciato in una delle due?
Soluzione 1:
Sia P(M)=0.25 la probabilità che uno studente sia bocciato in
matematica, P(C)=0.15 la probabilità di essere bocciato in chimica e
P(M ∩ C ) = 0.10, allora:
P(M|C ) =
P(M ∩ C )
0.10
2
=
=
P(C )
0.15
3
.....continua
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
soluzione 2
La probabilità che uno studente sia stato bocciato in chimica, se si sa
che è stato bocciato in matematica é:
es. prob
distribuzioni
P(C |M) =
es.binom
es.poisson
es.norm.
0.10
2
P(C ∩ M)
=
=
P(M
0.25
5
Indici di forma
adattamento
terza soluzione
P(M ∪ C ) =
=
P(M) + P(C ) − P(M ∩ C )
0.25 + 0.15 − 0.10 = 0.30
Esempio 7
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Tre macchine (A,B,C), producono rispettivamente il 60%, il 30% ed
10% del numero totale dei prezzi prodotti da una fabbrica. Le
percentuali di produzione difettosa di queste macchine sono
rispettivamente del 2%, 3% e 4%. Viene estratto a caso un pezzo
che risulta difettoso.
Determinare la probabilità che sia prodotto dalla macchina C
Posto X= pezzi difettosi, vogliamo determinare la probabilità P(C|X)
che il pezzo difettoso sia prodotto dalla macchina C
P(C |X )
=
=
P(C )P(X |C )
P(A)P(X |A) + P(B)P(X |B) + P(C )P(X |C )
4
0.10 × 0.04
=
(0.6 × 0.02) + (0.3 × 0.03) + (0.1 × 0.04)
25
Esempio 8
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
In una certa classe il 60% è composto da femmine ed il 4% dei maschi
e l’1% delle femmine sono più alti di 1.83. Si sceglie a caso uno
studente ed è più alto di 1.83, qual è la probabilità che sia femmina
Sia A=(studenti più alti di 1.83).Vogliamo determinare P(F|A), la
probabilità che uno studente sia più alto di 1.83. Applichiamo il Th
di Bayes:
Indici di forma
adattamento
P(F |A) =
=
P(F )P(A|F )
P(F )P(A|F ) + P(M)P(A|M)
0.6 × 0.01
3
=
(0.6 × 0.01) + (0.4 × 0.04)
11
Distribuzione Binomiale
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Ciascuna osservazione può essere classificata in due categorie
incompatibili ed esaustive, chiamate per convenzione successo e
insuccesso.
La probabilità di ottenere un successo, p, è costante per ogni
osservazione, così come la probabilità che si verifichi un insuccesso,
(1 − p).
Indici di forma
adattamento
Il risultato di un’osservazione, successo o insuccesso, è indipendente
dal risultato di qualsiasi altra.
La distribuzione binomiale è la legge della variabile aleatoria che
rappresenta il numero di successi della variabile X = numero di
successi quando i due parametri sono pari a n = numero di
osservazioni e p = probabilità di successo in ciascuna osservazione.
Distribuzione Binomiale
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
in generale per un campione di dimensione n la probabilità che x
volte su n la prova sia favorevole è data dalla funzione:
orario
Probabilità
es. prob
P(X )
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
=
µ ¶
n x n−x
p q
x
Indici di forma
adattamento
con:
P(X)
n
p
1−p
X
probabilità di ottenere X successi dati n e p
numerosità
probabilità di successo
probabilità di insuccesso
numero di successi nel campione (X = 0, 1, 2, 3, . . . , n)
Distribuzione Binomiale
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
p x q n−x rappresenta la probabilità di ottenere una particolare
sequenza di X successi su n osservazioni
¡n ¢
n!
x = X !(n−X )! rappresenta invece il numero di possibili sequenze di
X successi su n osservazioni continue (eventi misurati
su scala continua).
Esempio
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
In un’azienda si stima pari a 0.1 la probabilità che un ordine venga
giudicato scorretto da parte del sistema informativo. Sulla base di
questa informazione la società vuole calcolare la probabilità che si
abbia un certo numero di segnalazioni in un dato campione di ordini
di vendita.
Calcolo di P(X = 3) =, dato n=4 e p=0.1;
Qual è la probabilità di avere tre ordini scorretti in un campione di 4
ordini?
adattamento
P(X = 3)
=
=
=
=
4!
(0.1)3 × (1 − 0.1)4−3
3!(4 − 3)!
4!
(0.1)3 × (0.9)1
3!1!
4 × (0.1)3 × (0.9)1 = 0.0036
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
Qual è la probabilità di avere almeno tre ordini scorretti in un
campione di 4 ordini?
Calcolo di P(X ≥ 3) =, dato n=4 e p=0.1;
P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4)
adattamento
dai risultati precedenti si avrà:
0.0036 + 0.0001 = 0.0037
Formula di De Moivre
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Pn,np =
√ 1
2πnpq
se q − p è piccola e Pn,np+² =
²2
√ 1
e − 2npq
2πnpq
Un Urna contiene 100 palline di cui 20 rosse, 30 bianche e 50 nere.
Si effettuino 30 estrazioni di una pallina con reimmissione.Calcolare la
probabilità che esca 4 volte la pallina rossa
La probabilità che esca la pallina rossa é: P(R) =
20
100
pertanto applicando la binomiale avremo:
µ ¶
30
P30,4 =
(0.2)4 (0.8)36 = 27405 × 0.0016 × 0.0003 = 0.0142
4
applichiamo adesso la formula di De Moivre:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
posto ² = x − np
ricaviamo np = 30 × 0.2 = 6;
√
npq =
√
30 × 0.2 × 0.8 = 2.19
√
verifichiamo se ² < 3 npq che in questo caso è uguale a: 6.57
² = x − np = 4 − 6 = −2 che è minore di 6.57 pertanto si applica la
seconda formula:
P30,4
=
√
−22
1
e − 2×4.8 = 0.119
2π4.8
Distribuzione poisson
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
Si ha un processo di Poisson quando è possibile osservare eventi
discreti in un’area di opportunità : un intervallo continuo quale il
tempo, una lunghezza, una superficie ecc;
in modo tale che, diminuendo sufficientemente l’area di opportunità o
intervallo:
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
la probabilità di osservare esattamente un successo nell’intervallo
è costante;
la probabilità di osservare più di un successo nell’intervallo è pari
a zero;
il verificarsi di un successo in ciascun intervallo è statisticamente
indipendente dal verificarsi del successo in ogni altro intervallo
P(X ) =
λx e −λ
con x ∈ [0, +∞] e λ > 0
x!
(3.1)
Distribuzione poisson
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
in questo caso:
P(X) probabilità di X successi dato λ
λ numero atteso di successi nell’intervallo di tempo
e costante matematica pari a 2.71828
X numero di successi per intervallo di tempo
Esempio Distribuzione poisson
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Supponiamo di esaminare il numero di clienti che raggiungono una
banca in un’ora. Ciascun arrivo è un evento discreto che si verifica in
un particolare istante di tempo nell’intervallo continuo di un’ora.
Supponiamo che ci siano in media 180 arrivi in un’ora. Ora
suddividiamo l’intervallo di un’ora in 3600 intervalli di un secondo.
Il valore atteso del numero di arrivi in un intervallo di un secondo sarà
pari a (180\3600) = 0.05.
La probabilità che in un intervallo di un secondo arrivi più di un
cliente si avvicina a zero.
L’arrivo di un cliente in un intervallo non dipende dall’arrivo di
qualsiasi altro cliente in qualsiasi altro intervallo.
Il numero di arrivi in un’ora può essere inteso come il numero di
successi che si verificano nell’intervallo temporale considerato.
Evidentemente, il numero di arrivi varia da 0 a infinito per numeri
interi, e dipenderà dal numero medio di arrivi nell’intervallo.
Esempio 2 Calcolo di probabilità da una
distribuzione di Poisson
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Se in un minuto arrivano circa tre autovetture ai caselli autostradali
di Catania,
qual è la probabilità che nello stesso intervallo di tempo arrivino
esattamente due autovetture?
qual è la probabilità che arrivino più di due autovetture
data la distribuzione di Poisson:
Indici di forma
adattamento
f (x, λ) =
=
λx e −λ
x!
9
32 e −3
=
= 0.2240
2!
2.718283 2
....secondo quesito
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + ... + P(X = ∞)
E’ evidente che è molto più semplice calcolare il complementare
diP(X > 2) cioè calcolare P(X ≤ 2).
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
pertanto poiche P(A)=1-P(A)’
Indici di forma
adattamento
P(X > 2) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
La probabilità che in un minuto arrivino al casello più di due auto è
pari a 0.423 e la probabilità che ne arrivino più di due è pari a
1 − 0.423 = 0.577
Distribuzione Normale
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
È una variabile casuale continua che assume valori tra ∞ e -∞
Inoltre è funzione di due parametri che indicheremo con µ e σ 2 che
variano rispettivamente in ( −∞, +∞) e ( 0, +∞)
La Normale è anche conosciuta con i nomi di v.c. degli errori
accidentali perché storicamente la sua distribuzione è stata ricavata
dagli errori di misurazione accidentali, o variabile casuale di Gauss,
che fu il primo ad approfondirne le proprietà analitiche. La notazione
con cui si indica la distribuzione normale è: N(µ, σ 2 ).
Una v.c. X è definita Normale con parametri µ e σ 2 se è continua in
−∞e + ∞) e la sua funzione di densità è :
f (x) = √
(xi −µ)2
1
e − 2σ2
σ2π
Proprietà
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
È simmetrica attorno alla media;
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
Media, mediana e moda coincidono;
L’area sottesa alla curva è unitaria (in quanto è una distribuzione di
probabilità);
adattamento
La superficie compresa tra le due ordinate che distano σ (punto di
flesso della curva) da µ, comprende circa il 68% del totale,
per 2σ da µ l’area è circa il 95% e per 3σ è il 99.7%.
Distribuzione Normale Standardizzata
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
È una particolare distribuzione che ha media nulla e varianza unitaria.
Per fare riferimento a tale distribuzione occorre standardizzare la
variabile oggetto di studio. Ciò si ottiene utilizzando gli scarti della
variabile originale dalla media, riferiti a σ
La nuova variabile è uguale a:
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Z=
X −µ
σ
Indici di forma
adattamento
Ogni variabile di questo tipo gode delle seguenti proprietà: la somma
di variabili normali standardizzate è nulla, la media di variabili n.s. è
nulla; la somma dei quadrati di v. n.s. è pari ad n; la varianza è
unitaria.
1
1
f (z) = √ exp(− z)
2
2π
Probabilità di un intervallo fra valori della normale
standardizzata
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
La relazione: f (z) =
√1 exp(− 1 z)
2
2π
Rappresenta una distribuzione di probabilità per cui l’area sottesa è
uguale a 1. Invece la probabilità che la variabile z assuma tutti i
valori compresi fra due limiti qualunque z1 e z2 è espressa da:
Z z2
1
1
√ exp(− z) dz
P(−z1 , z2 ) =
2
2π
−z1
Tav. della distribuzione della normale standardizzata
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
Le tavole che si incontrano nello studio della distribuzione normale
standardizzata sono due e precisamente:
Quella relativa alle probabilità dei singoli valori z (che
corrisponde alle altezze della curva)
Quella relativa alla probabilità totale compresa tra due limiti
qualunque z1 e z2 (corrispondente alle aree).
adattamento
Maggiore interesse riveste la tavola relativa alle probabilità totali
comprese tra due valori di z.
In generale, poiché la distribuzione è simmetrica, la tavola contiene
solo i valori delle probabilità comprese tra zero e z.
Tav. della distribuzione della normale standardizzata
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Con questa tavola è possibile calcolare le probabilità corrispondenti a
qualunque intervallo di z.
Tavola - distribuzione normale standardizzata
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0
0
0.0398
0.0793
0.1179
0.1555
0.1915
0.2257
0.258
0.2882
0.3159
0.3414
0.3643
0.3849
0.4032
0.4192
0.4332
0.01
0.004
0.0438
0.0832
0.1217
0.1591
0.195
0.2291
0.2612
0.291
0.3186
0.3438
0.3665
0.3888
0.4049
0.4207
0.4345
0.02
0.008
0.0478
0.0871
0.1255
0.1627
0.1985
0.2324
0.2642
0.2939
0.3212
0.3461
0.3686
0.3888
0.4066
0.4222
0.4357
0.03
0.012
0.0517
0.091
0.1293
0.1664
0.2019
0.2357
0.2673
0.2967
0.3238
0.3485
0.3708
0.3906
0.4082
0.4236
0.437
0.04
0.016
0.0557
0.0948
0.1331
0.17
0.2054
0.2389
0.2704
0.2996
0.3264
0.3508
0.3729
0.3925
0.4099
0.4251
0.4382
0.05
0.0199
0.0596
0.0987
0.1368
0.1736
0.2088
0.2422
0.2734
0.3023
0.329
0.3531
0.3749
0.3943
0.4115
0.4265
0.4394
0.06
0.0239
0.0636
0.1026
0.1406
0.1772
0.2123
0.2454
0.2764
0.3051
0.3315
0.3554
0.377
0.3962
0.4131
0.4278
0.4406
Esempio 1:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
All’esame finale di stato, la media dei voti è stata 72 e lo scarto
quadratico medio 15. Determinare i valori standard (cioè i voti con
unità di misura data dallo scarto quadratico medio) dei voti
(a) =60
(b) =93
(c) =72
Soluzione (a):
adattamento
(a) ⇒
(b) ⇒
(c) ⇒
X − X̄
60 − 72
=
= −0.8
s
15
93 − 72
X − X̄
=
= 1.4
z=
s
15
72 − 72
X − X̄
=
=0
z=
s
15
z=
Esempio 2:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Calcolare l’area sotto la curva normale dato che Z=0; e Z=1.2
P(0 ≤ z ≤ 1.2)
dalle tavole della distribuzione normale e verificando in
corrispondenza colonna 0 e riga 1.2 incrociando avremo il valore
0.3849, che rappresenta l’area richiesta
Esempio 3:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Calcolare l’area sotto la curva normale dato che Z=-0.68; e Z=0
P(−0.68 ≤ z ≤ 0)
dalle tavole della distribuzione normale e verificando nella colonna z
in corrispondenza del valore 0.6 e da qui procedere sulla riga fino alla
colonna 8 incrociando avremo il valore 0.2517, che rappresenta l’area
richiesta.
Esempio 4:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Calcolare l’area sotto la curva normale dato che Z=-0.46; e Z=2.21
L’area richiesta è quella compresa tra z=-0.46 e z=0 più quella
compresa tra 0 e 2.21. Dalle tavole si evince che l’area compresa tra
0 e 0.46 è pari a 0.1772, mentre l’area compresa tra 0 e 2.21 è pari a
0.4864; per cui l’area richiesta sarà data da: 0.1772+0.4864=0.6636
Esempio 5:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Calcolare l’area sotto la curva normale dato che Z=0.81; e Z=1.94
L’area richiesta è quella compresa tra z=0 e z=1.94 alla quale va
sottratta l’area compresa tra z=0 e z=0.81. Dalle tavole della
normale si evince che l’area compresa tra 0 e 1.94 è pari a 0.4738;
l’area compresa tra 0 e 0.81 è pari a 0.2910. Pertanto l’area richiesta
sarà pari a: 0.4738-0.2910=0.1828.
Esempio 6:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
La lunghezza media di 500 foglie di lauro di un certo cespuglio è di
15.1 cm e lo scarto quadratico medio è pari a 1.5 cm. Assumendo
che le lunghezze siano distribuite normalmente,determinare:
1 quante lunghezze sono comprese tra 12 cm e 15.5 cm
Probabilità
es. prob
2
quante sono maggiori di 18.5 cm
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
considerata l’approssimazione è lecito assumere che le lunghezze
comprese tra 12 e 15.5cm possano assumere un valore compreso tra
11.95 cm e 15.55cm. Occorre per prima cosa determinare le unità
standard (i valori di z):
Z=
X − X̄
s
=
=
11.95 − 15.1
= −2.1 z11.95 = −2.1
1.5
15.5 − 15.1
= 0.3 z15.5 = 0.3
1.5
Esempio 6:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
la proporzione di foglie richiesta sarà data dall’area compresa tra
z = −2.10 e z = 0.30. Tale area è uguale all’area compresa tra -2.10
e 0 più l’area compresa tra 0 e 0.3 cioè 0.4821 + 0.1179 = 0.60
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Pertanto il numero di foglie di lunghezza compresa tra 12 e 15.5 cm
è dato da: 500 × (0.6) = 300
Esempio 6.b:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
Le foglie più lunghe di 18.5cm devono misurare almeno 18.5cm;
determiniamo il valore di z18.5 :
Z=
X − X̄
18.5 − 15.1
=
= 2.3 z18.5 = 2.3
s
1.5
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
la proporzione richiesta sarà data dall’area maggiore di Z=0 meno
l’area compresa tra 0 e 2.3; cioè 0.5 − 0.4893 = 0.0107
per cui le foglie più lunghe di 18.5cm saranno: 500 × (0.0107) = 5
Esempio 7
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
I voti in questionario di statistica II andavano dall’1 al 10, secondo il
numero di risposte date a 10 domande. Il voto medio è stato 6.7 e lo
scarto quadratico medio è stato di 1.2. Supponendo che i voti siano
distribuiti normalmente,
determinate:
1 la percentuale di studenti che ha ottenuto il voto 6;
2 il voto massimo del peggior 10% della classe;
3 il voto minimo del miglior 10% della classe.
determiniamo per prima cosa i valori di z5.5 e z6.5
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
i dati sono discreti ed occorre trattarli come se fossero continui, per
cui non si considera il voto 6 bensì il voto compresi tra 5.5 e 6.5
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Z=
X − X̄
s
=
=
5.5 − 6.7
= −1 z5.5 = 1.0
1.2
6.5 − 6.7
= −0.17 z5.5 = −0.17
1.2
Indici di forma
adattamento
La proporzione richiesta è l’area compresa tra Z=-1 e Z=-0.17, cioè
l’area -1 e 0 meno l’area compresa tra -0.17 e 0 pertanto sarà uguale
a 0.3413-0.0675=0.2738 (il 27%)
soluzione Si ponga X1 uguale al voto massimo
richiesto e z1 il corrispondente valore di Z.
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
dato che l’area a sinistra di z1 vale il 10% essa è uguale a 0.1. L’area
compresa tra z1 e 0 è uguale a 0.40, e z1 dalle tavole è
approssimativamente uguale a -1.28
−6.7
Ricordando che z1 = X11.2
= −1.28 ricaviamo che X1 = 5.2 che
approssimando per difetto è pari a 5 cioè il voto massimo del peggior
10%.Analogamente si pone X2 il voto minimo richiesto e z2 per la
simmetria sarà uguale a 1.28, da cui X2 = 8.2 ed il voto richiesto è 8.
Esempio 1:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Data una distribuzione normale standardizzata calcolare le probabilità
comprese tra z = 0 e z1 = 0.31
Soluzione: Dalla tavola si ricava immediatamente che:
Z 0.31
1 2
1
√ e − 2 z dz = 0.1217
P(0, +0.31) =
2π
0
Esempio 2:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
Data una distribuzione normale standardizzata calcolare le probabilità
comprese tra z = −2 e z1 = 1.55
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Soluzione:La probabilità cercata si può
scrivere:P(−2; 1.55) = P(−2; 0) + P(0; 1.55)
e dalla tavola si ricava che la P(−2; 0) = 0.4773 e la
P(0; 1.55) = 0.439 da cui:
R 1.55
1 2
P(0, +0.31) = −2 √12π e − 2 z dz = 0.473 + 0.439 = 0.9167
Esempio 3:
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
Il peso unitario di una partita di mele è distribuito in modo normale
con media m = 2.10gr e s.q.m.s = 0.15gr . Qual è la percentuale di
quella partita di mele che pesano più di 2.55 gr?
Per determinare la probabilità che X sia > 2.55 si ricorre alla
trasformata:
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
2.55−2.10
= 3e quindi P(X > 2.55) = P(z > 3) e dalla
Z = X −µ
σ =
0.15
tavola si ricava:
Indici di forma
adattamento
P(0;3) = 0.4986
P(z > 3) = 0.5 − 0.4986 = 0.0014
Quindi la percentuale di mele di peso > 2.55gr . è lo 0.14%.
Indici di forma
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Gli indici di forma descrivono le caratteristiche relative alla forma di
una distribuzione. Sono indici espressi da numeri puri, indipendenti
dalle unità di misura e riguardano la simmetria e l’appiattimento (o
kurtosi) di una distribuzione.
Simmetria:Una distribuzione si dice simmetrica quando esiste un
valore di m, tale che, se si considerano due qualsiasi valori
equidistanti da m, si trova che hanno la stessa frequenza:
Indici di forma
adattamento
f (m + x) = f (m − x)
Una distribuzione che non gode di questa proprietà è detta
asimmetrica
Per valutare l’asimmetria di una distribuzione, si possono usare
misure dell’asimmetria assoluta e misure di asimmetria relativa. Gli
indici di asimmetria assoluta si esprimono con le distanze tra la media
e la moda o la mediana.
Una misura assoluta, usata frequentemente, è la
differenza (d) tra la media e la moda
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
d = media - moda
d = 0 se la curva è simmetrica;
orario
d > 0 se la curva ha asimmetria positiva;
d < 0 se la curva ha asimmetria negativa.
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
√
per il calcolo dell’indice √
di simmetria si ricorre all’indice β1 di
3
Pearson che è uguale a β1 = m
σ 3 ove con m3 si indica il momento
terzo di origine media aritmetica e con σ 3 lo scarto quadratico medio
al cubo
Questo indice è indipendente dall’unità di misura del fenomeno e
quindi permette di fare confronti.
l’indice
√
β1 è nullo quando la distribuzione è simmetrica
Kurtosi
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Quando si descrive la forma delle curve unimodali simmetriche, con il
termine Kurtosi si intende il grado di appiattimento della
distribuzione, rispetto ad una distribuzione normale.
Nella valutazione della kurtosi, una distribuzione unimodale
simmetrica è detta:
mesocurtica quando ha forma uguale alla distribuzione normale;
leptocurtica quando ha un eccesso di frequenza delle classi centrali,
una frequenza minore delle classi intermedie ed una
presenza maggiore delle classi estreme; è quindi una
distribuzione più alta al centro ed agli estremi, è più
bassa ai fianchi;
platicurtica quando rispetto alla normale presenta una frequenza
minore delle classi centrali e di quelle estreme, con una
frequenza maggiore di quelle intermedie; è quindi una
distribuzione più bassa al centro ed agli estremi
mentre è più alta ai fianchi.
L’indice di kurtosi più utilizzato è l’indice β2 =
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
m4
σ4
ove con m4 si indica il momento quarto di origine media aritmetica e
con σ 4 lo scarto quadratico medio alla quarta, si ricorda che è
analogo al (m2 )2
L’indice β2 sarà uguale a 3 per distribuzioni mesocurtiche, maggiore
o minore di 3, rispettivamente, per distribuzioni leptocurtiche o
platicurtiche.
esempio
adattamento
xi
ni
(xi − x̄)2 ni
(xi − x̄)3
(xi − x̄)3 ni
(xi − x̄)4
(xi − x̄)4 ni
2
1
23.04
-110.59
-110.59
530.84
530.84
4
3
23.52
-21.95
-65.86
61.47
184.4
6
6
3.84
-0.51
-3.07
0.41
8
7
10.08
1.73
12.1
2.07
30.72
32.77
98.3
104.86
10
3
Tot
20
91.2
-69.12
2.46
14.52
314.57
1046.79
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
2
si ricava x̄ = 136
20 = 6.8, la Moda Mo = 8; σ = 4.56; σ = 2.13;
−69.12
1046.76
m3 = 20 = −3.46;m4 = 20 = 52.34
L’indice di asimmetria assoluta d è dato da:
d = x̄ − Mo ⇒ 6.8 − 8 = −1.2
cioè la curva presenta asimmetria negativa
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
L’indice di asimmetria
√
β1 è uguale a:
Indici di forma
adattamento
p
β1
=
m3
−3.46
=
= −0.36 la curva ha asimmetria negativa
3
σ
2.133
L’indice di Kurtosi β2
β2
=
m4
52.34
=
= 2.52 platicurtica poichè β2 < 3
4
σ
2.134
Adattamento alla normale
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Classi
d’età
<1
1−2
2−3
3−4
4−5
5−6
6−7
7 − 10
tot
intervalli
0 <= X
1 <= X
2 <= X
3 <= X
4 <= X
5 <= X
6 <= X
7 <= X
<1
<2
<3
<4
<5
<6
<7
<10
yi
xc
yrel
est. Sup
xiyi
0.93
3.82
4.86
5.09
13.3
30.1
24.78
17.12
100
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
8.5
0.0093
0.0382
0.0486
0.0509
0.133
0.301
0.2478
0.1712
1
1
2
3
4
5
6
7
10
0.465
5.73
12.15
17.815
59.85
165.55
161.07
145.52
568.15
5.6815
x̄=
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
(x − x̄)2 yi
Z
24.97
66.79
49.19
24.22
18.57
0.99
16.60
-2.548
0.5-0.4946=
0.0057
-2.004
0.5-0.4772=
0.0228
-1.459
0.5-0.4279=
0.0721
-0.915
0.5-0.3212=
0.1788
-0.371
0.5-0.1443=
0.3557
0.173
0.5+0.0675=
0.5675
0.717
0.5+0.2642=
0.7642
2.351
0.5+0.4906=
0.9946
m
√3 =
β1
3.8331
0.6186
sim
136.001
s=
1.836
P(Z < z)
fˆ
0.005
0.018
0.052
0.109
0.172
0.212
0.19
0.229
(x − x̄)3 yi
(x − x̄)4 yi
-129.37
-279.29
-156.50
-52.84
-21.93
-0.17
13.58
670.35
383.31
1080.37
m4 =
β2
10.803
0.949
kurt
1167.86
497.92
115.27
25.91
0.032
11.12
Si rammenta che la P(Z < z) può essere più semplicemente calcolata
utilizzando le apposite tavole pag 163 del libro di testo, applicando le
formule:P(Z ≤ k) = 0.5 + 0.5 × P(Z ≤ k) per k > 0 e
P(Z < −k) = 0.5 − 0.5 × P(Z ≤ k)
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
In un esperimento viene misurato il diametro del fusto di una pianta.
La misura viene effettuata tenendo il cavalletto in posizione
perpendicolare al fusto ad una altezza dal terreno di 1,30m con una
precisione non superiore al cm. Nell’autunno del 1999 sono stati
misurati i diametri (D) di 1887 Abeti rossi (Picea Abiens) presenti in
una zona di bosco a San Vito di Cadore. Le misure sono le seguenti:
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
D
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
yi
21
47
34
69
74
52
46
28
49
40
D
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
yi
43
48
51
65
76
64
72
33
32
59
D
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
yi
45
41
43
49
45
42
39
40
47
35
D
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
yi
38
26
31
46
48
23
39
30
29
16
D
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
yi
17
23
12
14
10
11
4
3
0
4
D
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
yi
7
1
5
0
6
9
0
4
0
2
Quesiti
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
Si svolga un’analisi preliminare dei dati in modo da sintetizzare
l’informazione raccolta.
Di solito, per dati riferiti al diametro del fusto, l’informazione
disponibile è già parzialmente sintetizzata attraverso l’uso di classi
(chiamate classi diametriche) di ampiezza 5cm centrate nei valori:
20, 25, 30, ..., 65, 70, 75. Si costruisca questo nuovo insieme di dati e
si svolga l’analisi come al punto precedente.
Quali sono le differenze riscontrate nell’analisi tra i due insiemi di dati
(originale e parzialmente sintetizzato). Si cerchi di spiegarne i motivi.
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
classe
18-22
23-27
28-32
33-37
38-42
43-47
48-52
53-57
58-62
63-67
68-72
73-77
xc
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
yi
245
215
283
260
223
203
189
137
76
22
19
15
p
0.13
0.114
0.15
0.138
0.118
0.107
0.1
0.073
0.04
0.012
0.01
0.008
Lezione del 16
Novembre
Maurizio
Mondello
orario
Probabilità
es. prob
distribuzioni
es.binom
es.poisson
es.norm.
Indici di forma
adattamento
fcum
245
460
743
1003
1226
1429
1618
1755
1831
1853
1872
1887
(x − x̄)
-17.811
-12.811
-7.811
-2.811
2.189
7.189
12.189
17.189
22.189
27.189
32.189
37.189
(x − x̄)2
317.244
164.130
61.017
7.904
4.790
51.677
148.563
295.450
492.337
739.223
1.036.110
1.382.996
(x − x̄)2 yi
77724.746
35288.047
17267.824
2054.946
1068.221
10490.395
28078.485
40476.651
37417.582
16262.910
19686.086
20744.946
