Nessun titolo diapositiva - Facoltà di Medicina e Psicologia

PSICOMETRIA
Corso di laurea triennale (classe 34)
DISTRIBUZIONI DI
PROBABILITA’
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’
I possibili risultati di un
esperimento costituiscono uno
spazio campionario di n eventi A
ciascun evento possiamo associare
la probabilità del suo verificarsi
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’
definita da tutti i possibili risultati e
le corrispondenti probabilità
PSICOMETRIA
Corso di laurea in Valutazione e Consulenza clinica (classe 34)
DISTRIBUZIONE
BINOMIALE
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Quando ciascun evento semplice
può avere soltanto due possibili
risultati mutuamente escludentisi
(per es. testa o croce; vero o falso;
ecc.) dalla loro combinazione
(ripetendo le prove) si ottengono
eventi composti indipendenti ai
quali è possibile associare la
probabilità del loro verificarsi.
Esempio
Un test è composto da 10 domande
con risposta vero/falso. Quali sono
le probabilità associate ai possibili
risultati?
n = 10 prove eseguite
k = 010 eventi favorevoli
n-k = 010 eventi non favorevoli
p = 1/2 = probabilità di successo
q = 1/2 = probabilità di insuccesso
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
p(k)
n k nk
pq
k
dove:
p(k) = probabilità associata a k
eventi favorevoli in n prove
n = numero delie prove
k = numero degli eventi favorevoli
(successi) che va da 0 a n
Continua…
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
p(k)
n k nk
pq
k
dove:
 n-k = numero degli eventi non favorevoli
(insuccessi)
 p = probabilità associata al successo
 q = probabilità associata all’insuccesso
= coefficiente binomiale, ovvero nCk
n
k
n
Ck
n
k
n!
k! n k !
Fattoriale:
n fattoriale (n !)
prodotto degli interi positivi da n a 1
n! n n 1 n
2 ... n
n 1
Per il calcolo, occorre moltiplicare
n per tutti i numeri interi che lo
precedono
Esempio di fattoriali
9!= 9 8 7 6 5 4 3 2 1=60480
6!=6 5 4 3 2 1=6x5!= 720
3!=3 2 1=6
2!=2 1=2
1!=1x1=1
0!=1 (per convenzione)
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Se a k si fanno assumere tutti i valori
da 0 a n  probabilità associate:
p(0)
n 0 n
pq
0
p(1)
n 1 n1
pq
1
p(2)
n 2 n2
pq
2
n!
p2qn 2
k! n k !
p(n)
n k nk
pq
k
pn
qn
k=0
npqn 1
k=1
k=n
k=2
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Se a k si fanno assumere tutti i
valori da 0 a 10 si calcolano le
relative probabilità 
p(0)
p(1)
p(2)
p(10)
0
10 0
10
.50 .50
0
1
10 1
10
.50 .50
1
2
10 2
10
.50 .50
2
10
10 10
10
.50 .50
10
.001 k = 0
.01 k = 1
.044
k=2
.001 k = 10
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
La somma di tutte le probabilità
ottenute al variare di k da 0 a 10 è
uguale a 1 
p(k)
k p(k)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.001
.01
.044
.117
.205
.246
.205
.117
.044
.01
.001
n
k 1
Distribuzione
discreta simmetrica
p(k) 1
0
1 2
3
4 5
6
7
8
9 10
k
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
La somma di tutte le probabilità associate
ai possibili risultati è uguale a 1
Le probabilità così calcolate definiscono
una distribuzione di probabilità binomiale
che ha la caratteristica di essere discreta
La distribuzione di probabilità binomiale
è definita dai parametri p e q
Tavola B (del manuale)
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Se p=q=.50 la distribuzione è
simmetrica
Se p q .50 la distribuzione è
asimmetrica
Se p <.50  è asimmetrica positiva
Se p >.50  è asimmetrica negativa
Aumentando n (il numero delle prove)
la distribuzione tende alla simmetria
qualsiasi sia p .50
Esempio
Un test è composto da 10 domande
con risposta vero/falso/non so. Quali
sono le probabilità associate ai
possibili risultati?
n = 10 eventi possibili
k = 010 eventi favorevoli
n-k = 010 eventi non favorevoli
p = 1/3 = probabilità di successo
q = 2/3 = probabilità di insuccesso
Esempio
 Se a k si fanno assumere tutti i valori da 0 a 10
si calcolano le relative probabilità 
0
p(0)
10
0
1
3
p(1)
10
1
1
3
p(2)
10
2
1
3
1
2
2
3
2
3
2
3
10 0
.02
k=0
.08
k=1
10 1
10 2
.19
k=2
…
p(10)
10 1
10 3
10
2
3
10 10
.0000
k = 10
Esempio
 La somma di tutte le probabilità ottenute al
variare di k da 0 a 10 è uguale a 1 
p(k)
k p(k)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.017
.087
.193
.258
.227
.136
.039
.016
.003
.0000
.0000
n
k 1
Distribuzione discreta
asimmetrica positiva
(p < .50)
p(k) 1
. .
0
1 2
3
4 5
6
7
8
9 10
k
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Proprietà della binomiale
Come una qualsiasi distribuzione di
frequenza la distribuzione di probabilità
binomiale ha una media, una varianza e
una deviazione standard
np
2
npq
npq
Esempio
n=10, p=.50 e q=.50
10 .50
2
5
10 .50 .50
10 .50 .50
2.5
1.58
n=10, p=1/3 e q=2/
10 .333
2
10 .333 .666
2.22
3.33
2.22 1.49
PSICOMETRIA
Corso di laurea in Valutazione e Consulenza clinica (classe 34)
DISTRIBUZIONE NORMALE
DISTRIBUZIONE NORMALE
La distribuzione NORMALE è
rappresentata da una particolare
curva continua a forma campanulare
(gaussiana)
Y
X
RELAZIONE
TRA BINOMIALE E NORMALE
Lancio moneta: k= “risultato testa”
con p=0.5
p
n=1 lancio
0.5
0
1
k
RELAZIONE
TRA BINOMIALE E NORMALE
Lancio moneta: k= “risultato testa”
p
0.375
•
0.25
.0625
n=4 lanci
•
•
•
0
•
1
2
3 4
k
RELAZIONE
TRA BINOMIALE E NORMALE
Lancio moneta: k=“risultato testa”
p
0.246
0.205
.0117
0.44
0.010
0.001
•
•
•
•
•
0 1 2 3 4
n=10 lanci
•
5
•
6
•
•
•
7 8 9
•
10
k
DISTRIBUZIONE NORMALE
E’ definita dalla seguente equazione:
Y
fx
1
e
2
dove:
=media della popolazione
=d.s. della popolazione
=costante (=3.14)
e=costante (=2.718)
1 x
2
2
DISTRIBUZIONE NORMALE
Per qualsiasi valore x che la variabile
può assumere, attraverso la funzione
si calcola la y corrispondente
yi
Y
1
e
2
yi
xi
X
1 xi
2
2
DISTRIBUZIONE NORMALE
Ha le seguenti caratteristiche:
INFINITA: va da - a +
SIMMETRICA rispetto alla Y
massima (f(x)= punto più alto
x= )
UNIMODALE ( =Mo=Me)
ASINTOTICA: si avvicina all’asse
delle X senza mai toccarlo
DISTRIBUZIONE NORMALE
CRESCENTE per - <x< e
DECRESCENTE per <x<+
due punti di flesso a
da
Y
y
Punti di flesso
1
2
Media=Moda=Mediana
Asintotica
-
-
+
X +
DISTRIBUZIONE NORMALE
La curva NORMALE è definita dai
parametri e  famiglia di
distribuzioni normali con medie e
deviazioni standard diverse
Y
1
1
2
1
3
X
2
2
3
3
DISTRIBUZIONE NORMALE
Qualsiasi siano i parametri e ,
l’area della porzione di curva
delimitata dalla media e un ordinata
espressa in termini di deviazioni
standard è costante
 + = 34.13% della distribuzione
 +2 = 47.73% della distribuzione
 +3 = 49.86% della distribuzione
DISTRIBUZIONE NORMALE
Porzioni della distribuzione comprese tra
1,2,3 deviazioni standard da (in %)
99.73%
95.46%
68.26%
Y
-3
-2
-
+
+2
+3
X
PSICOMETRIA
Corso di laurea in Valutazione e Consulenza clinica (classe 34)
DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE
DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE
Le distribuzioni campionarie (media,
proporzioni, varianza, e qualsiasi altro
indicatore) assumono forme simili alle
più importanti distribuzioni teoriche di
probabilità (normale, t di Student, ,
F di Fisher, …) delle quali si possono
usare le proprietà e i valori tabulati.
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA
DELLE MEDIE
Supponiamo di avere una popolazione
con media
e varianza
e supponiamo
di estrarre in modo casuale campioni
tutti di numerosità n.
Si dimostra che calcolando le
medie X dei campioni estratti, la
distribuzione di tali medie è una
2
normale con media e varianza
n
ESEMPIO
Popolazione (fittizia) di n=3
Punteggi X: 5 7 9
Parametri: = 7
= 2.66
= 1.63
Estraggo con reimmissione tutti i
possibili campioni di n = 2
Totale campioni =
2 = 9
D
=
D
=
3
n r
3 2
ESEMPIO
Campioni
5-5
5-7
5-9
7-5
7-7
7-9
9-5
9-7
9-9
X
5
6
7
6
7
8
7
8
9
X
5
6
7
8
9
f
1
2
3
2
1
9
Xf
5
12
21
16
9
63
X 2f
25
72
147
128
81
453
X
2
X
453 2
7 1.33
9
2
n
63
9
7
X
PROPRIETA’ DELLA DISTRIBUZIONE
CAMPIONARIA
normale
FORMA: per n>30
MEDIA:
X
2
VARIANZA:
2
X
n
DEVIAZIONE STANDARD:
X
n
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA
DELLA MEDIA
La FORMA dipende dalla n (numerosità
dei campioni:
Media meno precisa
n piccolo
n=900
n=100
n=10
X
X
X
TEOREMA DEL LIMITE
CENTRALE: dCM e Normale
Se si estraggono ripetuti campioni di
ampiezza n da una popolazione,
qualsiasi sia la forma della distribuzione
nella popolazione:
all’aumentare di n la distribuzione
campionaria della media tende ad
avvicinarsi alla normale e può essere
considerata normale per n 30
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA MEDIA
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLE MEDIE con n>30
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA NORMALE
STANDARDIZZATA
TRASFORMAZIONE IN
z
M=
media della
dCM (= )
M=media da
standardizzare
z
M
M
n
n= ampiezza campionaria
M=
errore
standard della dCM
A che serve la z? A che serve l’errore standard?
 La trasformazione in z, traduce una differenza fra medie
dalla metrica originaria (es: peso), in una nuova metrica, in
cui la nuova unità di misura corrisponde all’errore standard
 Possiamo risalire alla probabilità di osservare una
discrepanza dalla media dell’entità espressa da z.
Infatti, la z, segue la distribuzione normale di probabilità
 Rispetto alle differenze fra medie nella metrica originaria, la
z ci aiuta a capire quanto è importante in termini
probabilistici la differenza osservata.
Questo perché l’errore standard è un’unità di misura delle differenze
più interessante rispetto alle unità di misura originarie.
L’errore standard rappresenta l’errore medio della stima che noi
effettuiamo calcolando la media campionaria
Una differenza grande svariate volte l’errore medio della stima, è un
evento poco probabile, e tutto ciò che è poco probabile è in genere
molto informativo.
RIASSUMENDO…
 La dCM la si ottiene calcolando la media di ciascun
campione estratto da una popolazione con una sua
distribuzione con e
 La media della dCM è la media delle medie, la deviazione
standard si calcola con gli scarti di ciascuna media
campionaria dalla media delle medie
 La POPOLAZIONE può avere distribuzione:
Normale
diversa dalla normale
non nota
 Se n>30 la distribuzione delle medie dei campioni da essa
estratti è NORMALE, per qualunque distribuzione della
variabile.
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA
MEDIA: t di Student
La POPOLAZIONE può avere distribuzione:
Normale
diversa dalla normale
non nota
Se n<30 la distribuzione delle medie dei campioni
è del tipo t di Student. Ha le seguenti
caratteristiche:
 INFINITA, SIMMETRICA, UNIMODALE, ASINTOTICA
DISTRIBUZIONE t di Student a
confronto con la Normale
Rispetto alla normale la varianza
della distribuzione sarà maggiore
Perché n < 30 (campioni piccoli)
curva più appiattita e code più lunghe
(ad es. la porzione di area compresa tra 1
dalla media sarà minore del 68%)
Distribuzione Normale
Distribuzione t
di Student
-
+
t
DISTRIBUZIONE
t di Student
 La forma della distribuzione t varia secondo la
dimensione n dei campioni
 Ciascuna distribuzione t è definita dai parametri ,
e = gradi di libertà
n 1
 La t è quindi una Famiglia di distribuzioni legate a
il numero di = gradi di libertà (all’aumentare di
la distribuzione tende alla normale) Distribuzione Normale
Distribuzione t di
Student con =30
Distribuzione t di
Student con =5
t
DISTRIBUZIONE t di Student
 Come per la normale
p(
x
)
f (t )dt
1
La curva definisce una distribuzione di
probabilità  Distribuzione di probabilità t
definita dall’indicatore:
t
M
M
ˆM
ˆM
s
n 1
DISTRIBUZIONE t: RIASSUMENDO
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLE MEDIE con n<30
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’
TRASFORMAZIONE IN
Media da
standardizzare
t
Gradi di libertà legati a n
= ampiezza campionaria
M
t
t
Media della dCM
(= )
M
s
n 1
Errore standard
della dCM stimato a
partire da s
A che serve la t
Come la trasformazione in z, la trasformazione
in t scala le differenze osservate secondo una
nuova unità di misura data dall’errore standard.
Attenzione: non confondere la distribuzione t con i
punteggi “T”!
Questa nuova scala segue una distribuzione
nota
Quindi possiamo sapere quanto è probabile osservare
una data differenza;
Se una differenza supera di svariate volte l’errore
standard di misura ci troviamo di fronte ad una
differenza improbabile, e quindi interessante e
informativa
Uso della DcM: Intervallo di confidenza
Nella stima dei parametri ci interessa
scoprire in quale intervallo cadrà la medie della
popolazione dalla quale abbiamo estratto un
campione.
È l’equivalente della “forchetta” che i sondaggisti
affiancano ai risultati degli exit poll o delle
proiezioni su un campione di seggi
Esempio:
•Avendo un campione di anziani affetti da tre
anni da demenza progressiva e osservando una
di 68 al QI, quale sarà la media della
popolazione?
X
IINTERVALLO DI FIDUCIA
Sfruttando le proprietà della “normale”
99.73%
95.46%
68.26%
Y
-3
-2
-
+
+2
+3
X
INTERVALLO DI FIDUCIA
Posso affermare che in un campione
casuale di n>30 soggetti si avrà una
probabilità del 68,26% di ottenere X
compreso nell’intervallo
X
del 95,47%
del 99,73%
2
X
3
X
INTERVALLO DI FIDUCIA
OPPURE posso affermare avendo estratto
un campione casuale di n>30 soggetti
con media X si avrà una probabilità del
68,26% che la media della popolazione
sia compresa nell’intervallo
del 95,47%
del 99,73%
X
X 2
X
X 3
X
X
Esercizio 1
Dato un campione di numerosità n = 50
con
X 19 e S= 1.8
calcolare l’intervallo di fiducia al 95%
per la media della popolazione
Facendo riferimento alla distribuzione
normale standardizzata e all’area 95%
X
z95%
X
X
z95%
X
Esercizio 1
Sostituendo a z95% il valore corrispondente
e stimando la deviazione standard con il
Campione (stima non distorta) si ottiene
s
X 1.96
n 1
X
s
1.96
n 1
cioè
1.8
19 1.96
49
1.8
19 1.96
49
Esercizio 1
Si può concludere che la media della
popolazione sarà compresa tra
18.5
19.5
con una probabilità del 95%
Esercizio 2
Utilizzando i dati dell’esempio precedente:
X 19
e
S= 1.8
Stimare l’intervallo di confidenza
per la media della popolazione:
1. con una fiducia del 99%
2. Con una fiducia del 90%
La
statistica è
facile!!!
Distribuzioni campionarie
della differenza fra le medie
Distribuzione campionaria della differenza fra
medie
 Se si estraggono da due popolazioni distribuite normalmente
(con medie 1 e 2, varianze 12 e 22 ) un gran numero di
campioni indipendenti di ampiezza n1 e n2, e si calcola la
differenza tra le loro medie ottengo:
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA DIFFERENZA TRA MEDIE
(dCDM)
 La DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA DIFFERENZA TRA MEDIE
(dCDM) è caratterizzata da:
 una media ( M1-M2);
un errore standard (
M1-M2)
 Se n1 e n2 sono maggiori di 30, per il Teorema del limite
centrale, la dCDM è normale qualsiasi sia la distribuzione
delle popolazioni
Distribuzione campionaria della differenza
fra medie
 La media della distribuzione campionaria della differenza
tra medie è uguale alla differenza delle medie 1 e 2 delle
due popolazioni
M1 M2
M1
M2
 L’errore standard è uguale alla radice quadrata della
somma delle varianze 12 e 22 delle due popolazioni fratto
le rispettive ampiezze campionarie n1 e n2
M1 M 2
2
1
2
2
n1
n2
 Usando questo errore standard possiamo riscalare la
differenza osservata fra le due medie in termini di errore
standard (trasformazione in z)
Distribuzione campionaria della differenza
fra medie
Se 12 e 22 non sono note occorre stimarle a
partire da s12 e s22  Stima dell’errore
standard
VARIANZE STIMATE DELLA POPOLAZIONE
ˆ
2
1
n1
n1 1
ˆ M1
ˆ
2
1
s
s12
M2
2
2
n2
n2 1
s22
n1 1 n2 1
s
2
2
Distribuzione campionaria
della differenza fra medie
La z rappresenta un caso particolare, più in
generale:
Se n1 e n2 sono minori di 30 la DISTRIBUZIONE
CAMPIONARIA DELLA DIFFERENZA TRA MEDIE (dCDM) non
è normale
 Distribuzione t di Student con gradi di
libertà:
gdl = n1 + n2 - 2
t
x1 x 2 (
n1s12 n2 s22
n1 n2 2
1
2
)
n1 n2
n1n2

x1 x2
Riassumendo
 Le distribuzioni della differenza campionaria delle media
sono concettualmente simili alle distribuzioni campionarie
delle media.
 Siccome conosciamo la forma di queste distribuzioni (o
sono normali, o sono del tipo t) è possibile calcolare un
indicatore delle differenze (o z o t) tramite il quale
deriviamo un’indicazione probabilistica dell’entità delle
differenze osservate.
 La z è un caso particolare (distribuzione normale) di un
caso più generale (distribuzione t)
 Ricordiamoci che differenze grandi (grandi z o grandi t)
indicano differenze poco probabili.
 Ora sappiamo tutto ciò che ci serve per affrontare la
verifica delle ipotesi.
La
statistica è
facile!!!
Altre distribuzioni
PSICOMETRIA
Corso di laurea in Valutazione e Consulenza clinica (classe 34)
DISTRIBUZIONE
2
DISTRIBUZIONE
2
(chi quadro)
Data una distribuzione normale
standardizzata ( =0; =1) i punti z
rappresentati sull’asse delle ascisse
possono assumere sia valori
negativi che positivi. Si definisce
xi
2
1
2
zi
2
2
1
DISTRIBUZIONE
2
Estraendo a caso punti z2 per costituire
campioni con n=2 ottengo una
distribuzione (campionaria) teorica 2
con =2 (due gradi di libertà, gdl=2)
f(
2)
=2
[
2
2= z2
2 ]
+
z
1
2
DISTRIBUZIONE
2
Estraendo a caso punti z2 per costituire
campioni con n=4 ottengo una
distribuzione (campionaria) teorica 2
con =4 (gdl=4)
f(
2)
 [ 2= z21+ z22 + z23 + z24]
=4
2
DISTRIBUZIONE
2
 Si ottiene una famiglia di distribuzioni
che variano al variare del parametro
(numero degli elementi del campione).
In generale:
2
f(
2)
i 1
=n
2
z2
 [ 2= z21+ z22 + ...+ z2n]
DISTRIBUZIONE
2
Funzione continua che va da 0 a
(entro il quadrante positivo degli assi
cartesiani)
La forma dipende da (al crescere dei
gradi di libertà tende alla simmetria)
Si usa la curva per calcolare la
probabilità associata ai valori di 2
(porzioni di area), sapendo che:
p(0
2
)
f( 2 )d
0
2
1
GRADI DI LIBERTA’
I gradi di libertà sono dati dal numero
di valori liberi di variare entro
un’equazione n1+n2 + n3=N con k=3
(n° addendi)
 Se N non è fisso, tutti gli addendi
sono liberi di variare:
=k
 Se N è fisso, tutti gli addendi sono
liberi di variare meno uno:
= k-1
GRADI DI LIBERTA’
Esempio: n1+ n2 + n3=20  gdl=k-1=3-1=2
Infatti, due sono gli addendi liberi di
variare, il terzo è vincolato al totale che
deve essere 20
10 + 9 +1 = 20
8 + 3 + 9 = 20
-5 + 8 + 17= 20
Valori liberi di variare =
Gradi di libertà
Valore fisso =Vincolo
Valore vincolato ad N
DISTRIBUZIONE
2
Pearson dimostra che considerando
una distribuzione di frequenza con
fo (frequenze osservate), ft
(frequenze teoriche) e k (n° di
categorie della distribuzione):
k
i 1
(fo
ft
ft )2
2
i 1
[assimilabile]
z2
DISTRIBUZIONE
2
Ogni volta si debba confrontare una
distribuzione teorica e una
osservata si può fare riferimento
alla distribuzione teorica di
probabilità del 2 
Disponendo di una distribuzione di
frequenza è possibile usare il 2 per
la VERIFICA DELL’IPOTESI
(Prevalentemente il 2 si usa
quando si hanno variabili su scale
non metriche)
PSICOMETRIA
Corso di laurea in Valutazione e Consulenza clinica (classe 34)
DISTRIBUZIONE F di Fisher
DISTRIBUZIONE F di Fisher
La distribuzione teorica F di Fisher
(o Snedecor) è definita dal rapporto
tra chi2 indipendenti
2
1
F
1
2
2
2
1
e
2
= gradi di libertà
DISTRIBUZIONE F di Fisher
Famiglia di distribuzioni che variano
al variare dei parametri 1 e 2
f(F)
1=2
e
2=4
1= 2=12
1= 2=4
F
DISTRIBUZIONE F di Fisher
La forma dipende da 1 e 2
Funzione continua che va da 0 a
(entro il quadrante positivo degli
assi cartesiani)
Si usa la curva per calcolare la
probabilità associata ai valori di F
(porzioni di area), sapendo che:
p(0
F
)
f(F)dF
0
1
DISTRIBUZIONE F di Fisher
La curva definisce una distribuzione di
probabilità  Distribuzione F definita
dall’indicatore:
2
1
F
1
2
2
2
F
2
1
2
2
2
1
DISTRIBUZIONE F di Fisher
Poiché:
ŝ1
2
F
ŝ2
2
ŝ2
2
2
1
2
1
2
2
1
F 1, 2
2
ŝ12
ŝ22
con
ŝ12
ŝ22
2
2
2
1
2
1
n1
1
2
n2
1
DISTRIBUZIONE F di Fisher
Se si estraggono da due popolazioni
distribuite normalmente (con varianze
omogenee 12 = 22 ), campioni
indipendenti di ampiezza n1 e n2 , s12 e
s22
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DEL
RAPPORTO TRA VARIANZE
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ F
SI CALCOLA F
DISTRIBUZIONE F di Fisher
Gradi di libertà
varianza a numeratore (=
varianza stimata maggiore)
Fn1 1;n2 1
s12
Ampiezze campioni
n1
n1 1
n2
2
s2
n2 1
Gradi di libertà
varianza a denominatore
(= varianza stimata minore)
ŝ1
2
ŝ2
2
Varianze campionarie