problema 22/12 - Istituto Fermi Polo Montale
annuncio pubblicitario
1. Per gli estremi A e B di un segmento conduci, da parti opposte rispetto ad AB, due semirette che formano angoli congruenti con AB. Sulle semirette considera due segmenti AP e BQ congruenti. Dimostra che: a) PQ viene diviso da AB in due parti congruenti ∧ b) ∧ AQP ≅ QPB 2. Sia P un punto interno ad un triangolo isoscele ABC di base AB, e sia AP ≅ PB. Dimostra che il segmento CP ∧ appartiene alla bisettrice dell’angolo ACB 3. Considera un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui lati CA e CB considera due segmenti congruenti CD e CE. Congiungi A con E, poi B con D. Se F è il punto di intersezione di AE con DB, dimostra che: ∧ ∧ a) AEC ≅ BDC ∆ b) AFB è un triangolo isoscele c) se M è il punto medio di AB, il triangolo DEM è isoscele 1. Per gli estremi A e B di un segmento conduci, da parti opposte rispetto ad AB, due semirette che formano angoli congruenti con AB. Sulle semirette considera due segmenti AP e BQ congruenti. Dimostra che: c) PQ viene diviso da AB in due parti congruenti ∧ d) ∧ AQP ≅ QPB 2. Sia P un punto interno ad un triangolo isoscele ABC di base AB, e sia AP ≅ PB. Dimostra che il segmento CP ∧ appartiene alla bisettrice dell’angolo ACB 3. Considera un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui lati CA e CB considera due segmenti congruenti CD e CE. Congiungi A con E, poi B con D. Se F è il punto di intersezione di AE con DB, dimostra che: ∧ ∧ a) AEC ≅ BDC ∆ b) AFB è un triangolo isoscele c) se M è il punto medio di AB, il triangolo DEM è isoscele 1. Per gli estremi A e B di un segmento conduci, da parti opposte rispetto ad AB, due semirette che formano angoli congruenti con AB. Sulle semirette considera due segmenti AP e BQ congruenti. Dimostra che: e) PQ viene diviso da AB in due parti congruenti ∧ f) ∧ AQP ≅ QPB 2. Sia P un punto interno ad un triangolo isoscele ABC di base AB, e sia AP ≅ PB. Dimostra che il segmento CP ∧ appartiene alla bisettrice dell’angolo ACB 3. Considera un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui lati CA e CB considera due segmenti congruenti CD e CE. Congiungi A con E, poi B con D. Se F è il punto di intersezione di AE con DB, dimostra che: ∧ ∧ a) AEC ≅ BDC ∆ b) AFB è un triangolo isoscele c) se M è il punto medio di AB, il triangolo DEM è isoscele 1. ∧ ∧ Hp: ABQ ≅ BAP AP ≅ BQ Tesi: AC ≅ CB (essendo C il punto di intersezione tra AB e PQ) ∆ ∆ Dimostrazione: considero i triangoli APC e BQC , che hanno rispettivamente: -) AP ≅ BQ per Hp ∧ ∧ -) ABQ ≅ BAP ∧ per Hp ∧ -) ACP ≅ BCQ perché opposti al vertice ⇒ i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza generalizzato, ed in particolare hanno AC ≅ CB 2. Hp: AC ≅ BC AP ≅ PB ∧ ∧ ∧ Tesi: CP bisettrice di ACB , cioè ACP ≅ BCP ∆ ∆ Dimostrazione: considero i triangoli ACP e BCP , che hanno rispettivamente: -) AC ≅ BC per Hp -) AP ≅ PB per Hp -) CP in comune ∧ ∧ ⇒ i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza, ed in particolare hanno ACP ≅ BCP Considera un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui lati CA e CB considera due segmenti congruenti CD e CE. Congiungi A con E, poi B con D. Se F è il punto di intersezione di AE con DB, dimostra che: ∧ ∧ a) AEC ≅ BDC ∆ b) AFB è un triangolo isoscele c) se M è il punto medio di AB, il triangolo DEM è isoscele Hp: AC ≅ BC CD ≅ CE AM ≅ MB ∧ ∧ Tesi: a) AEC ≅ BDC b) AF ≅ FB c) DM ≅ EM ∆ ∆ Dimostrazione: considero i triangoli AEC e BDC , che hanno rispettivamente: -) AC ≅ BC per Hp -) EC ≅ DC per Hp ∧ -) l’angolo C in comune ∧ ∧ ⇒ i due triangoli sono congruenti per il I criterio di congruenza, ed in particolare hanno AEC ≅ BDC (Tesi a) ---------∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ Si ha che FAM ≅ CAM − CAE e FBM ≅ CBM − CBD Siccome: ∧ ∧ -) CAM ≅ CBM perché angoli alla base del triangolo isoscele ABC ∧ ∆ ∧ ∆ -) CAE ≅ CBD come conseguenza della dimostrazione precedente sulla congruenza dei triangoli AEC e BDC ∧ ∧ ⇒ FAM ≅ FBM perché differenza tra angoli congruenti ⇒ il triangolo FAB è isoscele (avendo due angoli tra loro congruenti) (Tesi b) -----------∆ ∆ Considero i triangoli ADM e BEM , che hanno rispettivamente: -) AM ≅ BM per Hp ∧ ∧ -) DAM ≅ EBM in quanto angoli alla base del triangolo isoscele ABC -) AD ≅ BE perché differenza tra segmenti congruenti, infatti AD ≅ AC-DC e BE ≅ BC-EC ⇒ i due triangoli sono congruenti per il I criterio di congruenza, ed in particolare hanno DM ≅ EM (Tesi c)
