1. Per gli estremi A e B di un segmento conduci, da parti opposte rispetto ad AB, due semirette che formano
angoli congruenti con AB. Sulle semirette considera due segmenti AP e BQ congruenti.
Dimostra che:
a) PQ viene diviso da AB in due parti congruenti
∧
b)
∧
AQP ≅ QPB
2. Sia P un punto interno ad un triangolo isoscele ABC di base AB, e sia AP ≅ PB. Dimostra che il segmento CP
∧
appartiene alla bisettrice dell’angolo ACB
3. Considera un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui lati CA e CB considera due segmenti congruenti CD e
CE. Congiungi A con E, poi B con D. Se F è il punto di intersezione di AE con DB, dimostra che:
∧
∧
a) AEC ≅ BDC
∆
b) AFB è un triangolo isoscele
c) se M è il punto medio di AB, il triangolo DEM è isoscele
1. Per gli estremi A e B di un segmento conduci, da parti opposte rispetto ad AB, due semirette che formano
angoli congruenti con AB. Sulle semirette considera due segmenti AP e BQ congruenti.
Dimostra che:
c) PQ viene diviso da AB in due parti congruenti
∧
d)
∧
AQP ≅ QPB
2. Sia P un punto interno ad un triangolo isoscele ABC di base AB, e sia AP ≅ PB. Dimostra che il segmento CP
∧
appartiene alla bisettrice dell’angolo ACB
3. Considera un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui lati CA e CB considera due segmenti congruenti CD e
CE. Congiungi A con E, poi B con D. Se F è il punto di intersezione di AE con DB, dimostra che:
∧
∧
a) AEC ≅ BDC
∆
b) AFB è un triangolo isoscele
c) se M è il punto medio di AB, il triangolo DEM è isoscele
1. Per gli estremi A e B di un segmento conduci, da parti opposte rispetto ad AB, due semirette che formano
angoli congruenti con AB. Sulle semirette considera due segmenti AP e BQ congruenti.
Dimostra che:
e) PQ viene diviso da AB in due parti congruenti
∧
f)
∧
AQP ≅ QPB
2. Sia P un punto interno ad un triangolo isoscele ABC di base AB, e sia AP ≅ PB. Dimostra che il segmento CP
∧
appartiene alla bisettrice dell’angolo ACB
3. Considera un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui lati CA e CB considera due segmenti congruenti CD e
CE. Congiungi A con E, poi B con D. Se F è il punto di intersezione di AE con DB, dimostra che:
∧
∧
a) AEC ≅ BDC
∆
b) AFB è un triangolo isoscele
c) se M è il punto medio di AB, il triangolo DEM è isoscele
1.
∧
∧
Hp: ABQ ≅ BAP
AP ≅ BQ
Tesi: AC ≅ CB (essendo C il punto di
intersezione tra AB e PQ)
∆
∆
Dimostrazione: considero i triangoli APC e BQC , che hanno rispettivamente:
-) AP ≅ BQ per Hp
∧
∧
-) ABQ ≅ BAP
∧
per Hp
∧
-) ACP ≅ BCQ perché opposti al vertice
⇒ i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza generalizzato, ed in particolare hanno
AC ≅ CB
2.
Hp: AC ≅ BC
AP ≅ PB
∧
∧
∧
Tesi: CP bisettrice di ACB , cioè ACP ≅ BCP
∆
∆
Dimostrazione: considero i triangoli ACP e BCP , che hanno rispettivamente:
-) AC ≅ BC per Hp
-) AP ≅ PB per Hp
-) CP in comune
∧
∧
⇒ i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza, ed in particolare hanno ACP ≅ BCP
Considera un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui lati CA e CB considera due segmenti congruenti CD e CE.
Congiungi A con E, poi B con D. Se F è il punto di intersezione di AE con DB, dimostra che:
∧
∧
a) AEC ≅ BDC
∆
b) AFB è un triangolo isoscele
c) se M è il punto medio di AB, il triangolo DEM è isoscele
Hp: AC ≅ BC
CD ≅ CE
AM ≅ MB
∧
∧
Tesi: a) AEC ≅ BDC
b) AF ≅ FB
c) DM ≅ EM
∆
∆
Dimostrazione: considero i triangoli AEC e BDC , che hanno rispettivamente:
-) AC ≅ BC per Hp
-) EC ≅ DC per Hp
∧
-) l’angolo C in comune
∧
∧
⇒ i due triangoli sono congruenti per il I criterio di congruenza, ed in particolare hanno AEC ≅ BDC (Tesi a)
---------∧
∧
∧
∧
∧
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Si ha che FAM ≅ CAM − CAE e FBM ≅ CBM − CBD
Siccome:
∧
∧
-) CAM ≅ CBM perché angoli alla base del triangolo isoscele ABC
∧
∆
∧
∆
-) CAE ≅ CBD come conseguenza della dimostrazione precedente sulla congruenza dei triangoli AEC e BDC
∧
∧
⇒ FAM ≅ FBM perché differenza tra angoli congruenti
⇒ il triangolo FAB è isoscele (avendo due angoli tra loro congruenti) (Tesi b)
-----------∆
∆
Considero i triangoli ADM e BEM , che hanno rispettivamente:
-) AM ≅ BM per Hp
∧
∧
-) DAM ≅ EBM in quanto angoli alla base del triangolo isoscele ABC
-) AD ≅ BE perché differenza tra segmenti congruenti, infatti AD ≅ AC-DC e BE ≅ BC-EC
⇒ i due triangoli sono congruenti per il I criterio di congruenza, ed in particolare hanno DM ≅ EM
(Tesi c)
