Capitolo 6 - Ateneonline

6 – C. Prati
Processi casuali
Esercizi di verifica degli argomenti svolti nel sesto capitolo del testo “Segnali e Sistemi per le
Telecomunicazioni – McGraw-Hill”.
ESERCIZIO 1
Sia dato il seguente processo casuale continuo:
1
a

rect   1
10
 10 
1 - Si determini la densita’ di probabilita’ delle ampiezze del processo casuale x(t).
2 - Si calcolino valor medio e varianza del processo casuale x(t).
x(t )  A sin 2f o t  con A variabile casuale con densita’ di probabilita’ p A a  
Soluzione:
La densità di probabilità della variabile casuale A è uniforme tra 5 e 15. La densità di probabilità delle
1
a

ampiezze del processo casuale x(t) si ottiene da p A a   rect   1 scalandola per il valore del
10
 10 
seno. Quindi px t  a, t  è uniforme tra 5 sin 2f ot  e 15 sin 2f ot  e degenera in un impulso negli zeri del

25 2
k 
 . Di conseguenza, il valor medio è 10 sin 2f ot  e la varianza
sin 2f ot  .
seno  t 
3
2 fo 

ESERCIZIO 2
Sia dato il seguente processo casuale continuo:
x(t )  A  cos2f o t  con A variabile casuale con densita’ di probabilita’ pA a   rect a
1 - Si determini la densita’ di probabilita’ delle ampiezze del processo casuale x(t).
2 - Si calcolino valor medio e varianza del processo casuale x(t).
Soluzione:
La densità di probabilità della variabile casuale A è uniforme tra -1/2 e 1/2. La densità di probabilità
1
1
delle ampiezze del processo casuale x(t) px t  a, t  è uniforme tra   cos2f ot  e  cos2f ot  . Di
2
2
1
conseguenza, il valor medio è cos2f ot  e la varianza
.
12
ESERCIZIO 3
Sia dato il seguente processo casuale continuo:
x(t )  5 sin 2f o t    con  variabile casuale con densita’ di probabilita’ p a  
Si calcolino valor medio e varianza del processo casuale x(t).
1
 a

rect 
 2
2
 2

Soluzione:
La densità di probabilità della variabile casuale  è uniforme tra 3 e 5 . Dato che  è la fase iniziale
del proceso casuale sinusoidale, tutto passa come se  fosse uniforme tra   e  , ritornando così agli
esempi descritti nel testo. Il valor medio e’ nullo e la varianza vale 25/2.
ESERCIZIO 4
Sia dato il seguente processo casuale discreto:
xn  cos2o n    con  variabile casuale con densita’ di probabilita’ p a  
a
rect  

 
1
Si calcolino valor medio e varianza del processo casuale x n .
Soluzione:
La densità di probabilità della variabile casuale  è uniforme tra  
mx  Exn   Ecos2o n    
  
  E x    m

E xn   E cos2 2o n    
2
2
x
2
n
2
x

1

1
 


 

2
2
cos2o n  a da 
2
cos2 2o n  a da 
2
2

1
2
e
2
.
cos2o n

 

1 1
1
 cos4o n  2a da 
2
2
22
2
1 4
 2 cos 2 2o n 
2 
ESERCIZIO 5
Sia dato il seguente processo casuale discreto:
1
1 

xn  cosn    con  variabile casuale con densita’ di probabilita’ p a    a     a  
2
2 
2
1 - Si determini la densita’ di probabilita’ delle ampiezze del processo casuale x n .
2 - Si calcolino valor medio e varianza del processo casuale x n .
Soluzione:
La densità di probabilità della variabile casuale  è impulsiva: la fase iniziale del coseno può assumere

n
solo 2 valori con la medesima probabilità: 0 e   . Se   0 , xn  cosn      1 . Se    ,
2
2
xn  cosn     0 . Quindi la densità di probabilità delle ampiezze del processo casuale x n sarà:
1
1
pari
 2  a   2  a  1 n

px (a)  
n
1
1
 2  a   2  a  1 n dispari
Da qui si ricava immediatamente che mx  
1
1
(n pari o dispari) e che  x2  .
2
4
ESERCIZIO 6
Sia dato il seguente processo casuale continuo:
1
a
rect  
2
2
1 - Si calcolino autorrelazione, autocovarianza e coefficiente di correlazione del processo casuale x(t).
2 – Il processo casuale x(t) e’ stazionario?
3 - Si giustifichi la seguente espressione della densita’ di probabilita’ condizionata:

a
    b 
p xt 2  b
cos2f o t 2 


xt 1  a 
cos2f o t1 
xt 1 


x(t )  A cos2f ot  con A variabile casuale con densita’ di probabilita’ p A a  
Soluzione:
La densità di probabilità della variabile casuale A è uniforme tra -1 e 1. Il valor medio del processo è
nullo. L’autocorrelazione coincide con l’autocovarianza e vale:


1
Rx t , t     E A2 cos2f o t   cos2f ot   cos2f o t   cos2f ot  che dipende sia da t che da
3
 . Il processo non è stazionario.
Il coefficiente di correlazione vale:
Cx t , t   
cos2f o t   cos2f ot 
 x t , t    

Cx t , t Cx t   , t    cos2f o t   cos2f ot 
Soluzione punto 3:
Se il valore della realizzazione del processo x(t )  A cos2f ot  al tempo t1 è a , allora il valore assunto
a
dalla variabile casuale A in quella particolare realizzazione vale A1 
. Una volta noto il
cos2f ot1 
a
cos2f ot  da cui
valore di A il processo diventa deterministico x(t )  A1 cos2f ot  
cos2f ot1 
l’espressione della densità di probabilità condizionata impulsiva.
ESERCIZIO 7
Sia dato il seguente processo casuale continuo:
x(t )  sin 2f o t    con  variabile casuale con densita’ di probabilita’ uniforme nell’intervallo
     .
1 - Si calcolino autorrelazione, autocovarianza e coefficiente di correlazione del processo casuale x(t) e
si verifichi che il processo casuale e’ stazionario.
Suggerimento: si rammenti la seguente proprieta’delle funzioni trigonometriche
sin    sin     
1
1
cos     cos2     
2
2
2 - Si trovi l’espressione del valor medio e della varianza di x(t   ) sapendo che x (t )  a .
Suggerimento: per calcolare il valor medio condizionato bisogna calcolare la densita’ di probabilita’
 . Per calcolare la densita’ condizionata ci si chieda quanti e quali valori
condizionata pxt   b

x

a
t

xt 
puo’ assumere la variabile casuale  se x (t )  a .
3 – Si confronti il risultato trovato con quello che si otterrebbe utilizzando la predizione lineare
xˆ t     a   x  
Soluzione:
1 - Il valor medio del processo è nullo. L’autocorrelazione coincide con l’autocovarianza e vale:
Rx   
1
cos2f o 
2
2 e 3 – Ci sono 2 diversi segnali del tipo x(t )  sin 2f o t    che soddisfano la condizione x(t1 )  a :


x (t )  sin 2f t  t     sin a 
xA (t )  sin 2f o t  t1   sin 1 a 
1
B
o
1
Quindi al tempo t 2 si potranno avere 2 possibili valori con la medesima probabilità:
xA (t2 )  sin 2f o t2  t1   sin 1 a 

x (t )  sin 2f t


 t1     sin 1 a 
Il valor medio condizionato vale quindi:
B
mxt2
2
o

xt 1
2




xB (t2 )  xA (t2 ) sin 2f o t2  t1   sin 1 a   sin 2f o t2  t1   sin 1 a 


2
2


 cos2f o t2  t1 sin sin 1 a   a cos2f o t2  t1   a   x  
ESERCIZIO 8
Si consideri il processo casuale stazionario discreto x n i cui campioni sono tra loro indipendenti e
possono assumere solo i valori 0 e A con uguale probabilita’.
1 - Si scriva l’espressione dell’autocorrelazione del processo casuale x n .
2 - Si calcoli il coefficiente di correlazione del processo casuale y n  xn  xn1 .
3 - Si trovi la densita’ di probabilita’ delle ampiezze del processo casuale z n  xn   n   n1 
Soluzione:
1 - Il valor medio del processo è A
2
e la varianza vale A 4 . L’autocorrelazione vale:
2
2
2
Rx m  A  m  A
4
4
2
2
2
2 - Ry m  C y m  A 4  m  A 4  2 m   m1   m1   A 4 2 m   m1   m1 
Da cui
C m 
1
1

 y m  y 2    m   m 1   m 1 
y
2
2




3 – Se xn  0 , yn  0 con probabilità ½ e yn   A con probabilità ½.
probabilità ½ e yn   A con probabilità ½.
Dunque:
1
1
1
p y a    a    a  A   a  A
2
4
4
Se xn  A , yn  0 con
ESERCIZIO 9
Sia dato il processo casuale discreto x n bianco gaussiano a valor medio nullo con potenza P=16. Il
processo x n entra in un dispositivo che lo ritarda di 2 campioni e ne riduce la potenza di 4 volte. Detto
y n il processo in uscita dal suddetto dispositivo si calcoli:
1 - La densita’ di probabilita’ delle ampiezze del processo casuale z n  xn  y n
2 – Si ripeta il calcolo precedente nel caso in cui l’autocorrelazione del processo casuale x n e’
triangolare e si annulla al campione m  4 .
Soluzione:
1
1
xn  2 . Dunque zn  xn  yn  xn  xn  2 .
2
2
Il processo zn è ancora gaussiano a valor medio nullo e varianza 20.
1 – Dai dati del problema yn 
2 - Nel caso in cui l’autocorrelazione del processo casuale x n e’ triangolare e si annulla al campione
m  4 , il valor medio di zn è sempre nullo, ma la sua varianza vale:
2

1
1
 
  E  xn  xn  2    E xn2  E xn2 2  Exn xn  2   16  4  8  28
2
4
 

Il processo zn è ancora gaussiano a valor medio nullo e varianza 28.
2
z
 
 
ESERCIZIO 10
Si consideri il processo casuale reale continuo stazionario x(t) con densita' spettrale di potenza
 f 
S x  f     rect 
    f  , varianza unitaria e potenza P=5.
 2B 
1 - Si trovino i valori di α e β in funzione di B
2 - Si trovi il valore di B sapendo che la potenza del processo y(t) all'uscita del filtro con risposta
sin 4t
impulsiva h(t ) 
si riduce del 10% rispetto alla potenza del processo x(t).
t
Soluzione:
1 – Dai dati del problema il valor medio del processo ha modulo 2. Quindi   4 e conseguentemente
1

.
2B
sin 4t
ha risposta in frequenza rettangolare unitaria tra -2 e 2
t
4
 4,5 . Da cui: B  4 .
Hz. Dunque la potenza del processo y(t) all'uscita del filtro vale Py  4 
2B
2 - Il filtro con risposta impulsiva h(t ) 
ESERCIZIO 11
Sia dato il processo casuale continuo x(t) stazionario con potenza P=26, densita’ di probabilita’ delle
1   se   1

ampiezze gaussiana e autocovarianza Cx    
.
 0 altrove

1 - Si scriva l’espressione della densita’ spettrale di potenza.
2 - Si scriva l’espressione della densita’ di probabilita’ delle ampiezze del processo dato sapendo che i
valori negativi sono piu’ probabili di quelli positivi.
3 – Il processo casuale viene filtrato con un filtro la cui risposta all’impulso e’ un rettangolo di ampiezza
unitaria e durata 10 secondi. Quanto vale il valor medio del processo filtrato?.
4 –Dopo quanto tempo le ampiezze del processo filtrato diventano tra loro indipendenti?
5 – Quanto vale la varianza del processo filtrato?
Suggerimento: non e’ necessario calcolare l’espressione completa dell’autocorrelazione del processo
filtrato, ma solo il suo valore in 0.
Soluzione:
1 – Dai dati
Rx    Cx    25
 sin f  
  25  f 
S x  f   
 f 
2
2 - Dato che i valori negativi sono piu’ probabili di quelli positivi si deduce che la densità di probabilità
delle ampiezze è gaussiana con varianza unitaria e valor medio mx  5 .
3 - m y  50
4 – Il tempo di decorrelazione è di 10 secondi.
1  

 
5 - Ry    Rx    h   h     tri   25  10tri  avendo indicato tri   
 10 
 0

1
1
2
Cy 0  2 1  t 10  t dt  2 10  t  11t dt  20  2  11  9,66
3
0
0


se
 1
altrove

ESERCIZIO 12
Sia dato il processo casuale reale x(t) gaussiano a valor medio nullo con potenza unitaria, bianco nella
banda da -5Hz a +5Hz. Il processo viene campionato con intervallo di campionamento T=0.1s ottenendo
il processo discreto x n .
1
1
1

1 - Si calcoli l’autocorrelazione del processo casuale yn  xn    n   n  2   n  4  .
2
4
4

2 - Si scriva l’espressione della densita’ di probabilita’ delle ampiezze di y n .
Soluzione:
1 - L’autocorrelazione del processo discreto x n vale:
Rx m   m
1
1
1
1
1
 1

Ry m    m   m  2   m  4     m   m  2   m  4 
2
4
2
4
4
 4

2 – Le ampiezze sono ancora gausiane a valor medio nullo e varianza pari a Ry 0 
3
.
8
ESERCIZIO 13
Sia dato un processo casuale tempo-continuo x(t) gaussiano con densita’ spettrale di potenza:
S x  f   100  f   tri( f ) dove la funzione tri( f )  rect ( f ) * rect ( f ) .
1 - Si calcolino la potenza e l’autocorrelazione del processo x(t).
2 – Si calcolino la potenza e l’autocorrelazione del processo discreto x n ottenuto campionando x(t) con
intervallo di campionamento T=1 .
3 – Il processo casuale x n viene filtrato con la seguente risposta all’impulso hn  3 n1  6 n  3 n1 .
Si calcoli l’espressione della densita’ di probabilita’ delle ampiezze del processo casuale filtrato y n .
Soluzione:
1 - L’autocorrelazione del processo vale:
 sin f  

Rx    100  
 f 
La potenza vale Rx 0  101
2
 sin m  
2 - Rx m  Rx mT   100  
  100   m
 m 
3 – Il valor medio dell’uscita è nullo. La varianza dell’uscita è data da C y 0  54 . La densità di
2
probabilità delle ampiezze del processo casuale filtrato y n è gaussiana a valor medio nullo e varianza
54.
ESERCIZIO 14
Sia dato il processo casuale continuo x(t) stazionario gaussiano con valor medio unitario e
sin 10 
autocovarianza C x   
.

1 - Si scriva l’espressione della densità di probabilità delle ampiezze del processo casuale x(t).
2 – Il processo casuale x(t) viene campionato con intervallo di campionamento T=0.1 secondi, ottenendo
il processo casuale discreto x n . Il processo casuale x n viene filtrato da un sistema con risposta
all’impulso hn   n   n 1   n  2   n 3 . Si calcoli la cross-correlazione tra uscita e ingresso.
Soluzione:
1 - La densità di probabilità delle ampiezze del processo casuale filtrato y n è gaussiana a valor medio
unitario e varianza 10.
2 - Ryx m  Rx m  hm  10 n   n 1   n  2   n  3 
ESERCIZIO 15
Sia dato il seguente processo casuale stazionario discreto:
y n  3xn  xn1  wn dove x n e’ un processo casuale stazionario formato da campioni indipendenti tra
loro con densita’ di probabilita’ gaussiana a valor medio m x e varianza  x2 e wn e’ un processo casuale
stazionario formato da campioni indipendenti tra loro e da x n con densita’ di probabilita’ gaussiana a
valor medio nullo e varianza  w2 .
1 – Si calcoli valor medio e varianza del processo casuale y n .
2 - Si calcoli la densita’di probabilita’ delle ampiezze del processo casuale y n .


3 - Si calcoli l’autocorrelazione Ry m  E yn* yn  m e il coefficiente di correlazione del processo casuale
yn .
4 - Si trovi l’espressione della stima lineare di y n m noto y n che minimizza l’errore quadratico medio. In
particolare si calcoli la stima lineare di y n m per m  1 e per m  1 .
Soluzione del punto 4.
Si faccia attenzione che in questo caso il valor medio del processo casuale non e’ nullo come
nell’esempio analizzato nel testo. Quindi, in generale, l’espressione della stima lineare di y n m noto y n
e’ la seguente: ŷ n m  y n   .
L’errore di stima vale dunque:   yˆ n m  y n m  y n    y n m
L’espressione della stima lineare di yˆ n  m si puo’ ricavare in due modi:
a – si annullano le derivate dell’errore quadratico medio rispetto ai due parametri incogniti  e
 seguendo la medesima procedura adottata nel testo;
b – s’impone che l’errore di stima sia a valor medio nullo e sia incorrelato rispetto a y n .
I calcoli del primo metodo procedono in modo del tutto analogo a quanto descritto nel capitolo 6.4.2 del
libro di testo. Utilizzando il secondo metodo, invece, i calcoli si sviluppano come segue:
 E   Ey n    y n m   0

*
*
E y n  E y n    y n m  y n  0
  




E y n

  m
2



2

  y  m y

2
m y   1    0
*
y

 E y n y n  m     y2  m y
 m
2
 m
  m y 1   
2
y
1      y m y2  m y
2
*
y
  y m y2  m y
2
0
  y2   y m y2  0
  m y 1   y m

    y m
Da cui si ottiene:
yˆ n  m   y myn  my 1   y m
In particolare si noti che se  y m  0 (campioni incorrelati) la miglior stima lineare coincidera’ con il
valor medio del processo.
Puo’ essere comodo, come si vedra’ risolvendo l’esercizio seguente, scrivere il precedente sistema di 2
equazioni nelle 2 incognite  e  nella seguente forma matriciale equivalente:
1     my 
 my
 R 0 m*      R m
y   
 y
 y 
ESERCIZIO 16
Sia dato il processo casuale stazionario gaussiano discreto y n a valor medio m y e autocorrelazione
Ry m . Si trovi l’espressione della stima lineare yˆ n  m  yn  yn 1   di yn  m noti y n e yn 1 .
Soluzione
Procedendo come nell’esercizio precedente i calcoli si sviluppano come segue:
E   Ey n  y n1    y n m   0


*
*
 E y n  E y n  y n 1    y n  m  y n  0
E y *  E y  y    y  y *  0
n 1
n
n 1
nm
n 1

  
  



m y     1    0

*
 R y 0  R y  1  m y  R y m  0
R 1  R 0  m *  R m  1  0
y
y
y
 y

m y  m y    m y

*
 R y 0  R y  1  m y  R y m
R 1  R 0  m *  R m  1
y
y
y
 y
In forma matriciale abbiamo da risolvere rispetto ai tre parametri  ,  ,  il seguente sistema:
 my
my
1     m y 



*  
 R y 0 R y  1 m y       R y m 
 R y 1 R y 0 m *y      R y m  1




Analizzando i sistemi matriciali trovati in questo esercizio e nel precedente, e’ possibile, per induzione,
scrivere l’espressione generale del sistema matriciale che consente di calcolare i parametri necessari per
la predizione lineare del campione futuro yn  m dato il campione presente y n e un numero qualsivoglia di
quelli passati.
ESERCIZIO 17
Sia dato il processo casuale stazionario discreto x n bianco con valor medio m x e varianza  x2 . Si vuole
stimare il valor medio del processo calcolando la media aritmetica di N campioni consecutivi di x n .
1 - Si calcoli il valore atteso e la varianza della stima del valor medio.
(Nota: si puo’ procedere ai calcoli richiesti direttamente dalla definizione o impostarli come un
1 N 1
problema di filtraggio lineare del processo x n con hn    n  k )
N k 0
2 - Come cambiano i risultati se il processo casuale x n non e’ bianco, ma dotato di una generica funzione
di autocovarianza C x m non impulsiva?
Soluzione
La stima del valor medio come media aritmetica vale:
mˆ x 
1
N
N 1
 xnk  xn 
k 0
1
N
N 1

k 0
nk
 x n  hn
Questa puo’ dunque essere vista come uscita di un sistema LTI con risposta impulsiva hn 
1
N
N 1

k 0
nk
Il valore atteso di m̂x vale dunque:
N 1
E mˆ x   m x  hn  m x
n 0
La sua autocorrelazione vale:


Rmˆ x [m]  R x m* hm * h m   x2 m  m x2 
1
N

k
1   m  k

N 
k   N 1 
N 1

L’autocorrelazione in m=0 vale quindi:

k   x2 m x2
2m x2




1



2
N

1

  N N N
N
N2
k   N 1 

 2 m2
m2
2
 x  x 2 N  1  x2 N  1N  x  m x2
N
N
N
N
Rmˆ x [0] 
 x2
 m x2
1
N
N 1
La varianza della stima vale dunque: Rmˆ x [0]  m x2 
N 1
k 
k 1
 x2
N
Il valore atteso della stima non cambia se la funzione di autocovarianza non e’ impulsiva. Cambia
invece la sua varianza. Al solo scopo di semplificare i calcoli, mettiamoci nell’ipotesi che il valor medio
del processo x n sia nullo.
Ripetiamo il calcolo dell’autocorrelazione (o autocovarianza visto che il valor medio e’ nullo) di m̂x :
C mˆ x [m]  Rmˆ x [m]  R x m* hm * h m  R x m 
1
N

k
1   m  k

N 
k   N 1 
N 1

La funzione di autocorrelazione di x n puo’ essere scritta nel modo seguente:
Rx m  Rx 0 m  Rx 1 m1  Rx 2 m 2  ...
e conseguentemente:
Cmˆ x [0]  
2
ˆx
m
Rx 0
Rx 1 
Rx 2 
Rx N  1  x2 2 n1 
1
2
k

2

  1  C x k 
1    2
1    ... 
2
N
N  N
N  N
N N k 1  N 
N
Il termine aggiuntivo rispetto al risultato ottenuto per campioni indipendenti puo’ essere maggiore o
minore di 1 a secondo di come e’ fatta l’autocorrelazione. Tipicamente se il processo x n ha densita’
spettrale di potenza di tipo passa-basso la varianza della stima sara’ maggiore del caso indipendente,
mentre se la densita’ spettrale di potenza e’ di tipo passa alto la varianza della stima sara’ inferiore.
Perche?
ESERCIZIO 18
Siano dati 2 processi casuali indipendenti stazionari discreti x1n e x2 n con il medesimo valor medio
m x e varianze diverse  x21 e  x22 . Si vuole stimare il valor medio m x attraverso la media pesata di 2
campioni presi uno dal primo e l’altro dal secondo processo casuale.
ˆ x  x1n  x2 n che minimizzano la
1 - Si calcolino i coefficienti  e  della media pesata m
varianza della stima di m x .
2 – Si trovi l’espressione della varianza della stima.
Soluzione
La stima del valor medio m x ha la seguente forma:
ˆ x  x1n  x2 n
m
Il valore atteso della stima deve coincidere con il valore medio del processo casuale, altrimenti questa
stima sarebbe polarizzata, cioe’ tenderebbe ad un valore diverso da quello che si vuole stimare al
tendere della varianza della stima a zero. Dunque, per evitare la polarizzazione della stima imponiamo
che:
ˆ x   Ex1n  Ex2 n     mx  mx
Em
e quindi possiamo subito scrivere che   1   
L’espressione generale della varianza della stima e’ la seguente:


 m2ˆ  E x1n  1   x2 n2  mx2   2 x2  1   2 x2
x
1
2
Il valore di  che minimizza la varianza della stima si ottiene annullando la derivata prima di  m2ˆ x
rispetto ad  :
d m2ˆ x
d
 2 x21  21    x22  0

 x22
 2

 x1   x22

 
2
  1      x1

 x21   x22

Come e’ ragionevole aspettarsi, i coefficienti della media pesata sono tanto piu’ elevati quanto la
varianza del processo relativo e’ piu’ piccola (sono misure meno “rumorose”). A questo proposito si
noti che se  x21   x22 i due coefficienti  e  valgono ½ e l’espressione della media pesata diventa la
consueta media aritmetica.
Con questi coefficienti l’espressione della varianza della stima diventa:
 m2ˆ   2 x2   2 x2
x
1
2
  x22
 2
  x   x2
2
 1
2
 2   x21
 x 
 1   x2   x2
2

 1
2
 2
 x21 x22
 x 
 2  x2   x2
1
2

E’ molto interessante scrivere l’espressione dell’inverso della varianza della stima che assume una
forma particolarmente semplice:
1

2
mˆ x
1


2
x1

1
 x2
2
Questa espressione puo’ essere generalizzata al caso di N processi casuali con le stesse caratteristiche di
quelli dati. L’espressione compatta degli N coefficienti della combinazione lineare che minimizza la
varianza ha una forma apparentemente complicata:
N
n 

1

2
xn
i 1
N
2
xi

2
N    xi
 i 1

 x2k
k 1 








con 1  n  N
(ovviamente se N=2 si ritorna all’espressione dei coefficienti  e  trovati in precedenza).
Al contrario la formula dell’inverso della varianza e’ ancora molto semplice e facile da memorizzare:
1

2
mˆ x
N

i 1
1
 x2
i
Da quest’ultima formula e’ chiaro che se uno degli N processi casuali ha varianza molto piu’ piccola di
quella degli altri (si rammenti che una varianza piccola comporta una piccola dispersione dei valori del
processo rispetto al valor medio), il valore stimato dipendera’ principalmente dal valore del campione di
quel processo. Tuttavia anche gli altri valori contribuiscono, nel loro piccolo, a diminuire la varianza
della stima. Da questo esempio si puo’ trarre un insegnamento di validita’ generale: nello stimare una
grandezza a partire da un certo numero di misure “rumorose”, bisogna utilizzare tutte le misure che si
hanno a disposizione perche’ anche quelle piu’ “rumorose”, se opportunamente pesate, contribuiscono
a migliorare la stima.