IndIce generale
1 - geOMeTrIa PIana - eleMenTI
InTrOdUTTIVI .........................3
Rette, semirette, segmenti, archi ed angoli ...................3
Teorema di Talete ........................................................6
2 - TrIgOnOMeTrIa .......................7
Circonferenza goniometrica e funzioni goniometriche...7
Relazioni fondamentali della trigonometria ..................9
Relazioni tra le principali funzioni trigonometriche......9
Funzioni trigonometriche di alcuni angoli notevoli .....10
Riduzione al primo quadrante - Angoli associati .........11
Formule di addizione e sottrazione ..............................12
Formule di duplicazione α+α=2α ..............................12
Formule di triplicazione 3α=2α+α .............................13
Formule di bisezione ...................................................13
Formule parametriche .................................................13
Formule di prostaferesi ................................................13
Formule di Werner ......................................................14
Potenze di senα e cosα ................................................14
Funzioni trigonometriche inverse ................................14
3 - nUMerI cOMPleSSI ...............15
Elementi introduttivi ..................................................15
Formula di Eulero .......................................................16
Operazioni con i numeri complessi ............................16
Addizione tra due numeri complessi .............................16
Differenza tra due numeri complessi .............................17
Prodotto tra due numeri complessi ..............................17
Rapporto tra due numeri complessi .............................18
Potenza e radice di un numero complesso ....................18
4 - geOMeTrIa PIana .................19
Circonferenze, cerchi, corde, ecc. ...............................19
Tesi di alcuni teoremi ................................................20
Triangoli generici ......................................................22
247
Classificazione dei triangoli .....................................22
Parametri e punti notevoli di un triangolo.....................22
Area S di un triangolo....................................................24
Risoluzione di un triangolo generico.............................24
Teorema dei seni..........................................................24
Teorema di Carnot.........................................................24
Formule di Briggs..........................................................24
Teorema di Nepero........................................................25
Criteri di congruenza dei triangoli................................25
Criteri di similitudine tra i triangoli................................25
Triangolo rettangolo.....................................................25
1° Teorema di Euclide...................................................26
Teorema di Pitagora.....................................................26
2° Teorema di Euclide.................................................26
Risoluzione dei triangoli rettangoli...............................26
Triangolo rettangolo inscritto in una semicirconferenza......................................................................27
Triangolo equilatero.....................................................27
Triangolo isoscele.........................................................27
5 - QUadrIlaTerI e POlIgOnI In
genere.......................................27
Quadrato.....................................................................28
Rettangolo....................................................................29
Rombo........................................................................29
Parallelogramma..........................................................29
Trapezio.......................................................................29
Casi particolari..............................................................31
Pentagono....................................................................31
Esagono.......................................................................31
6 - geOMeTrIa SOlIda..................31
Rette e piani nello spazio..............................................31
Angolo solido...............................................................32
Diedro.........................................................................33
Angoloide..................................................................33
Poliedro........................................................................33
Tetraedro......................................................................34
Cubo (Esaedro)...........................................................34
Ottaedro.......................................................................34
Dodecaedro...............................................................34
248
Icosaedro.....................................................................34
Relazione di Cavalieri ................................................35
Prisma..........................................................................35
Parallelepipedo rettangolo............................................36
Cubo e Piramide..........................................................36
Tronco di piramide retta...............................................37
Cilindro.......................................................................37
Cono............................................................................37
Tronco di cono.............................................................37
Sfera............................................................................38
Fuso e spicchio sferico..................................................38
Segmento sferico - Calotta sferica................................38
Segmento sferico a due basi.........................................38
Settore sferico...............................................................39
7 - eQUaZIOnI....................................39
Teorema fondamentale dell’algebra.............................39
Equazioni di 1° grado....................................................39
Equazioni di 2° grado....................................................40
Equazioni di 3° grado...................................................41
Equazioni binomie........................................................41
Equazioni trinomie.......................................................43
Equazioni reciproche....................................................44
Equazioni esponenziali.................................................44
Equazioni logaritmiche.................................................44
Equazioni trigonometriche elementari.........................45
8 - geOMeTrIa analITIca del
PIanO.........................................45
Elementi introduttivi...................................................45
La retta..........................................................................47
Equazioni delle rette....................................................47
Forma esplicita.............................................................47
Forma implicita............................................................49
Forma propria...............................................................49
Forma segmentaria.......................................................49
Equazione di una retta passante per due punti..............50
Incidenza, parallelismo e perpendicolarità ...................50
Famiglia di rette............................................................50
Fascio proprio...............................................................51
Fascio improprio...........................................................51
249
Considerazioni generali...............................................52
Distanza tra un punto ed una retta...............................52
Equazione di una bisettrice...........................................52
Angolo tra due rette.....................................................53
Equazione dell’asse di un segmento.............................53
Equazione polare di una retta.......................................53
Le coniche....................................................................53
La parabola..................................................................55
L’ellisse.......................................................................58
La circonferenza..........................................................60
L’iperbole.....................................................................62
Iperbole con i fuochi sull’asse y..................................64
L’iperbole equilatera.....................................................65
Generalizzazioni..........................................................66
Equazione di una conica.............................................66
Intersezioni e tangenze tra una conica e una retta........67
Intersezioni e tangenze tra due coniche.........................67
9 - FUnZIOnI eleMenTarI..........68
Funzioni trigonometriche dirette.................................70
La funzione sinusoidale...............................................70
La funzione cosinusoidale..........................................70
La tangentoide............................................................70
La cosecante.................................................................71
La secante...................................................................71
La cotangente.............................................................71
Funzioni trigonometriche inverse................................72
Arcoseno.....................................................................72
Arcocoseno................................................................72
Arcotangente..............................................................72
Arcocosecante.............................................................73
Arcosecante.................................................................73
Arcocotangente...........................................................73
Funzioni paraboliche del tipo y = xn .............................74
Iperboli del tipo y = x2 .................................................74
Funzioni esponenziali..................................................74
Funzioni logaritmiche...................................................75
Funzioni iperboliche dirette........................................75
Relazioni tra le funzioni iperboliche dirette .................77
Funzioni iperboliche inverse.....................................77
Precisazione sull’uso della terminologia....................78
250
10 - dISeQUaZIOnI e SISTeMI dI
dISeQUaZIOnI eleMenTarI..................................................79
Elementi introduttivi...................................................79
Disequazioni di 1° grado...........................................81
Disequazioni di 2° grado............................................81
Disequazioni irrazionali...............................................82
Disequazioni di grado superiore al 2°........................83
Disequazioni trigonometriche....................................83
Disequazioni esponenziali..........................................85
Disequazioni logaritmiche..........................................85
Considerazioni generali..............................................86
11 - calcOlO MaTrIcIale.........88
Elementi introduttivi....................................................88
Somma e differenza tra matrici...................................89
Prodotto tra una matrice ed un numero......................90
Prodotto tra due matrici..............................................91
Determinante di una matrice quadrata........................92
Proprietà dei determinanti...........................................93
Matrice inversa di una matrice quadrata.....................95
Caratteristica o rango di una matrice..........................96
12 - SISTeMI dI eQUaZIOnI lInearI...............................................97
Teorema di Rouché - Capelli......................................97
Regola di Cramer........................................................99
Sistema di equazioni lineari ed omogenee ....................99
13 - SPaZI VeTTOrIalI ................100
Dipendenza e indipendenza lineare ............................101
Base di uno spazio vettoriale .....................................103
Prodotto scalare tra due vettori ..................................104
Prodotto vettoriale tra due vettori ..............................104
Parallelismo e perpendicolarità tra due vettori ...........106
14 - geOMeTrIa analITIca dellO SPaZIO................................106
Piani nello spazio.......................................................108
Piano per tre punti....................................................109
Parallelismo e perpendicolarità tra due piani ..............110
251
Distanza tra un punto ed un piano.............................110
Rette nello spazio.......................................................111
Retta per due punti....................................................115
Parallelismo e perpendicolarità tra due rette ...............116
Punti, angoli, rette e piani...........................................116
Parallelismo tra un piano ed una retta di parametri....................................................................116
Retta di parametri perpendicolare ad un piano........116
Piano passante per un punto parallelo ad un piano....116
Ricerca di un piano passante per una retta data e parallela
ad un piano assegnato ......................................116
Piano passante per un punto e per una retta .................117
Equazione di una retta passante per un punto .............117
Angolo tra due rette ...................................................117
Angolo tra due piani ..................................................117
Angolo tra un piano ed una retta ................................118
Rette, piani e teorema di Rouché-Capelli ....................118
Due rette in un piano ..................................................118
Tre rette in un piano ...................................................119
Due piani nello spazio ...............................................121
Tre piani nello spazio ................................................122
Superfici nello spazio: la sfera ...................................124
L’ellissoide...............................................................125
Cilindro .....................................................................125
Iperboloide ad una falda ............................................125
Iperboloide a due falde ..............................................126
Paraboloide ellittico ..................................................126
Paraboloide iperbolico ..............................................126
15 - TraSFOrMaZIOnI geOMeTrIcHe dI Un PIanO ............127
L’affinità ....................................................................127
Omologia affine ........................................................131
La similitudine ..........................................................132
Omotetia ...................................................................134
Isometrie ...................................................................135
Rotazioni ..................................................................136
Simmetrie assiali .......................................................136
La traslazione ............................................................139
Traslazione del sistema di riferimento ........................139
252
16 - calcOlO cOMBInaTOrIO.............................................139
Disposizioni semplici ................................................139
Disposizioni con ripetizioni ......................................140
Permutazioni semplici ...............................................140
Permutazioni con ripetizioni .....................................140
Combinazioni semplici...............................................141
Combinazioni con ripetizioni.....................................141
17 - calcOlO delle PrOBaBIlITÀ ...............................................142
Definizione assiomatica di probabilità ........................142
Probabilità condizionata ............................................144
Formula di Bayes ......................................................146
18 - eleMenTI dI STaTISTIca ..146
Indici di posizione .....................................................146
La Moda ....................................................................146
La Mediana ...............................................................147
Le Medie ...................................................................147
Medie ponderate ........................................................149
Indici di dispersione ..................................................151
Le principali distribuzioni .........................................152
Distribuzione binomiale o di Bernoulli .......................152
Distribuzione di Poisson ............................................153
Distribuzione normale o di Gauss .............................153
19 - SUcceSSIOnI ............................154
Il numero di Nepero ...................................................156
Progressione aritmetica..............................................156
Progressione geometrica ...........................................157
20 - le SerIe ...................................159
Serie geometrica ........................................................159
Esempi di serie ..........................................................160
Criteri di convergenza delle serie ..............................161
Criterio di Gauss o del confronto ...............................161
Criterio di D’Alembert o del rapporto ......................161
Criterio di Cauchy o della radice ...............................162
Criterio di Leibniz .....................................................162
253
Serie di potenze nel campo reale ................................162
Serie di Taylor ...........................................................163
Sviluppi di alcune funzioni elementari ......................164
21 - lIMITI .......................................165
Limiti all’infinito .......................................................167
Limiti in un punto ......................................................172
Limite destro e limite sinistro - Continuità di una funzione .....................................................................174
Infinitesimi ................................................................177
Infiniti .......................................................................178
Tesi di alcuni teoremi sui limiti ..................................179
Teoremi sulle operazioni con i limiti ...........................180
Applicazione della regola di De L’Hospital ................183
Rapporto tra due infinitesimi .....................................184
Limiti fondamentali ..................................................185
Teorema di Weierstrasse ............................................186
Teorema dell’esistenza degli zeri ..............................186
22 - derIVaTe dI Una FUnZIOne................................................186
Tesi di alcuni teoremi sulle derivate ...........................189
Derivate prime delle funzioni elementari ...................189
Teorema di Rolle .......................................................191
Teorema di Lagrange .................................................191
Teorema di Cauchy ...................................................192
Teorema di De L’Hospital .........................................192
Derivate di ordine n di alcune funzioni elementari ....193
Differenziale .............................................................194
23 - STUdIO dI FUnZIOnI ............195
Campo di esistenza ...................................................195
Intersezione con l’asse y ............................................196
Individuazione di eventuali simmetrie ........................196
Individuazione di un’eventuale periodicità ................197
Individuazione del segno della funzione e degli eventuali zeri ...............................................................197
Comportamento di f(x) nell’intorno dei punti di discontinuità .................................................................198
Comportamento delle funzione .................................200
Ricerca degli asintoti obliqui .....................................201
254
Studio della derivata prima ........................................204
Studio della derivata seconda ...................................206
24 - InTegralI IndeFInITI .......208
Metodi di integrazione ..............................................210
Integrazione diretta ...................................................210
Integrazione per scomposizione ...............................212
Integrazione per sostituzione .....................................212
Integrali con termini irrazionali...............................217
Integrali con funzioni trigonometriche inverse ........218
Integrali con funzioni iperboliche............................219
25 - InTegralI deFInITI ............220
Proprietà dell’integrale definito .................................221
Teorema di Torricelli .................................................222
Calcolo delle aree ......................................................224
Calcolo del volume di un solido di rotazione ............225
Calcolo della lunghezza di un arco ............................225
Valore medio di una funzione ....................................226
Integrale su un intervallo illimitato .........................226
Integrali estesi ad intervalli illimitati ...........................228
26 - eQUaZIOnI dIFFerenZIalI..............................................229
27 - eQUaZIOnI dIFFerenZIalI
del PrIMO OrdIne ..............229
Equazione differenziale del primo ordine ...................229
Equazioni differenziali a variabili separate ...............229
Equazioni differenziali a variabili separabili ..............230
Equazioni differenziali omogenee .............................231
Equazioni differenziali lineari ...................................231
Equazioni differenziali lineari omogenee ...................231
Equazioni differenziali lineari non omogenee ...........232
28 - eQUaZIOnI lInearI OMOgenee del SecOndO OrdIne a
cOeFFIcIenTI cOSTanTI ..232
255
29 - alcUne TaVOle rIaSSUnTIVe...............................................233
Relazioni tra le funzioni trigonometriche ...................233
Formule di addizione e sottrazione ............................233
Funzioni trigonometiche di alcuni angoli notevoli ....233
Formule di duplicazione ............................................234
Formule di triplicazione ............................................234
Formule di bisezione .................................................235
Formule parametriche ...............................................235
Formule di prostaferesi ..............................................235
Formule di Werner .....................................................236
Risoluzione di un triangolo generico ...........................236
Teorema di Nepero ....................................................237
Risoluzione dei triangoli rettangoli.............................237
Sviluppo in serie di alcune funzioni elementari sul punto
di ascissa 0 .......................................................237
Limiti fondamentali ..................................................238
Derivate prime delle funzioni elementari ...................239
Tabella delle principali primitive ...............................241
30 - SIMBOlOgIa UTIlIZZaTa ..243
256
