PROGRAMMA DI MATEMATICA GENERALE
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
Corso O-Z
Anno accademico 2003-2004
1. I numeri e le funzioni reali
§1.1 Premessa. §1.2 Gli assiomi dei numeri reali. §1.3 Alcune conseguenze degli assiomi
√ dei numeri reali.
§1.4 Cenni di teoria degli insiemi. §1.5 Numeri naturali, interi, razionali; il numero reale 2 non è razionale
(∗) . §1.6 Il concetto intuitivo di funzione. §1.7 Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni iniettive,
suriettive, biiettive. Funzioni pari, dispari, periodiche. §1.8 Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Funzioni composte. §1.9 Funzioni lineari. Funzione valore assoluto: proprietà; disuguaglianza triangolare (∗) .
§1.10 Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo. §1.11 Le funzioni trigonometriche. §1.12 Il principio di
induzione: esempi.
2 Complementi ai numeri reali
§2.1 Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore di un insieme. §2.2 Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. §2.3 Il binomio di Newton.
3 Limiti di successioni
§3.1 Premessa. §3.2 Definizioni e prime proprietà; teorema di unicità del limite (∗) . §3.3 Successioni limitate.
§3.4 Operazioni con i limiti; limite della somma di successioni (∗) . §3.5 Forme indeterminate. §3.6 Teoremi
di confronto: teorema della permanenza del segno e suoi corollari (∗) ; teorema del confronto(∗) . §3.7 Altre
proprietà dei limiti di successione.§3.8 Limiti notevoli. §3.9 Successioni monotòne. Il numero e. e limiti
notevoli che di deducono dalla sua definizione. §3.10 Confronto fra “infiniti” e “infinitesimi”..
4 Limiti di funzioni. Funzioni continue
§4.1 Premessa. §4.2 Definizioni. §4.3 Esempi e proprietà dei limiti di funzioni. §4.4 Limiti notevoli:
lim sinx x = 0 e lim sinx x = 1.
x→+∞
x→0
§4.5 Funzioni continue. §4.6 I vari tipi di discontinuità. §4.7 Alcuni teoremi sulle funzioni continue: teorema
della permanenza del segno; teorema dell’esistenza degli zeri (∗); primo teorema dei valori intermedi; teorema
di Weierstrass; secondo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. §4.8 Criterio di invertibilità; teorema di
continuità delle funzioni inverse.
5 Derivate
§5.1 Definizione di derivata. Derivabilità e continuità (∗) §5.2 Operazioni con le derivate: derivata della
somma (∗) ,della differenza, del prodotto e del quoziente. §5.3 Derivate delle funzioni composte e delle
funzioni inverse: teorema di derivazione delle funzioni composte; teorema di derivazione delle funzioni inverse
(∗) .§5.4 Derivate delle funzioni elementari. §5.5 Significato geometrico della derivata. Retta tangente. §5.6
Le funzioni tangente ed arcotangente e loro derivate (∗) .
6 Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni
§6.1 Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (∗) .§6.2 I teoremi di Rolle (∗)e di Lagrange (∗) .§6.3
Funzioni crescenti e decrescenti: criterio di monotonia (∗) ;caratterizzazione delle funzioni costanti in un
intervallo (∗) ; criterio di stretta monotonia. §6.4 Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. §6.5 Il
teorema di l’Hôpital. §6.6 Studio del grafico di una funzione. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. §6.7 La
formula di Taylor e di McLaurin e applicazioni.
7 Integrali indefiniti
§7.1 Primitive. Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo; §7.2 L’integrale indefinito.
§7.3 Integrazione per decomposizione in somma. §7.4 Integrazione delle funzioni razionali. §7.5 Integrazione
per parti: formula di integrazione per parti (∗) .§7.6 Integrazione per sostituzione: formula di integrazione
per sostituzione.
8 Integrali definiti
§8.1 Il metodo di esaustione. §8.2 L’integrale definito: interpretazione geometrica. §8.3 Prime proprietà:
additività dell’integrale rispetto all’intervallo. §8.4 Formula fondamentale del calcolo integrale.§8.5 Calcolo
di aree di figure piane.
Testi consigliati
1. Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Calcolo, Liguori Editore, 1992.
2. Temi di esame di Istituzioni di Matematiche e di Matematica generale a cura di L. Mistrangioli, Luglio
2001, Edizioni CUSL.
Note
• Dei teoremi contrassegnati con (∗) potrà essere richiesta la dimostrazione.
