Analisi matematica - Università degli Studi dell`Insubria

Analisi Matematica
Corso di Laurea Triennale in Informatica F004
A.A. 2013/14
SCV0006
Docente: Federica Andreano
CFU
SSD
LEZIONI
ANNO
LINGUA
9
MAT/05
72
I
Italiano
Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Prerequisiti
Equazioni e disequazioni. Divisione di polinomi. Trigonometria. Retta e parabola. Spazi vettoriali, prodotto scalare, norma e distanza.
Contenuti e programma del corso
Introduzione:
Insiemi numerici. Numeri razionali e numeri reali. Proprietà di densità dei numeri reali. Intervalli. Modulo e sue proprietà. Estremo superiore, estremo inferiore.
Radici e potenze. Proprietà delle potenze. Potenze con esponente reale.
Funzioni:
Funzione, dominio, immagine, grafico. Funzioni limitate, funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione composta. Funzione inversa. Funzioni arcoseno,
arcocoseno e arcotangente. Funzioni monotone. Funzione parte intera, funzione di Heaviside, funzione segno. Teorema di monotonia di una funzione composta.
Funzioni pari, dispari e periodiche. Funzione esponenziale e funzione logaritmica.
Concetto di limite:
Distanza euclidea. Intorno sferico. Punti di accumulazione. Punti isolati. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Punti interni, esterni e di frontiera. Chiusura di un insieme.
Definizione di limite (vari casi). Unicità del limite (dim.). Limite destro e limite sinistro. Teorema della permanenza del segno per i limiti (dim.). Teorema del
confronto (dim.). Funzioni con limite finito sono definitivamente limitate (dim.). Massimi e minimi locali. Algebra dei limiti. Forme di indecisione. Limite di funzioni
composte. Limiti notevoli (dim.).
Successioni:
Successioni a valori reali. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Permanenza del segno. Successioni convergenti sono regolari. Teorema del confronto.
Limiti di successioni monotone. Limiti di alcune successioni particolari. Il numero di Nepero e. Definizione di sottosuccessione. Limite di sottosuccessioni. Infiniti e
infinitesimi. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo. Definizione di asintotico.
Ulteriori limiti di funzioni:
Limiti notevoli (dim.). Teorema “ponte” e sue conseguenze. Forme di indecisione. Asintoti orizzontale, obliquo e verticale.
Funzioni continue da ℝ in ℝ :
Definizione di funzione continua. Continuità da destra e da sinistra. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue (dim.). Composizione di funzioni
continue. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità di funzioni monotone. Teorema degli zeri (dim.). Corollario al teorema degli zeri (dim.). Teorema dei
valori intermedi (dim.). Relazione tra monotonia e invertibilità di una funzione continua (senza dim.). Continuità della funzione inversa. Teorema di Weierstrass
(senza dim.).
Calcolo differenziale per funzioni da ℝ in ℝ :
Retta secante e retta tangente. Rapporto incrementale e derivata. Significato geometrico della derivata. Derivate di funzioni elementari (calcolo attraverso la
definizione di derivata). Le funzioni derivabili sono continue (dim.). Funzioni di classe C1 . Punti a tangente verticale. Derivata destra e derivata sinistra e loro
significato geometrico. Punti angolosi e cuspidi. Algebra delle derivate. Derivata di un prodotto (dim.), di un quoziente (dim.)e di una funzione composta (dim.).
Derivata della funzione inversa (dim.). Derivata di log(x), arcsin(x), arccos(x),arctan(x) . Derivata di log|x|,
loga|x|,ax . Teorema di Fermat (dim.). Punti critici. Ricerca dei punti di estremo locale di una funzione. Teorema di Rolle (dim.). Teorema del valor medio di
Lagrange (dim.). Monotonia di una funzione derivabile e segno della derivata (dim.). Teorema di de l'Hopital. Corollario al teorema di de l'Hopital (dim.). Derivate di
ordine superiore. Funzioni convesse e funzioni concave. Funzioni convesse e continuità (senza dim.). Significato geometrico della convessità. Convessità e segno
della derivata seconda. Punti di flesso. Flessi a tangente verticale. Punti di flesso e derivata seconda. Studio di funzioni. Polinomio di Taylor. Polinomio di
MacLaurin delle funzioni esponenziale, logaritmo, seno e coseno. Teorema di Peano (senza dim.). Applicazioni del teorema di Peano (dim.). Polinomio di Taylor e
calcolo di limiti di funzioni. Errore e formula del resto di Lagrange.
Integrali:
Definizione di integrale di Riemann. Partizione di un intervallo. Somme superiori e somme inferiori. Integrabilità di funzioni continue e di funzioni limitate. Relazione
tra integrale definito e area del sottografico di una funzione integrabile. Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale (dim.). Definizione di funzione
integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.). Definizione di primitiva. Le primitive di una funzione differiscono per una costante additiva (dim.).
Calcolo dell'integrale definito tramite una sua primitiva (dim.). Integrale indefinito. Primitive di funzioni elementari. Integrazione per parti (dim.). Integrazione per
sostituzione (dim.). Integrazione di funzioni razionali. Alcune sostituzioni di base per il calcolo di integrali. Integrali di potenze di seni e coseni. Integrali impropri.
Convergenza e divergenza di un integrale improprio. Criterio del confronto (dim.) e criterio del confronto asintotico (dim.).
Serie numeriche:
Definizione e proprietà elementari. Serie a termini positivi. Criterio del confronto (dim.). Criterio del confronto asintotico (dim.). Criterio del rapporto (dim.) e criterio
della radice (dim.). Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz (dim.). Criterio dell'integrale (dim.).
Numeri complessi:
Forma algebrica di un numero complesso. Parte reale, parte immaginaria e modulo. Somma, moltiplicazione e divisione di due numeri complessi. Numero
complesso coniugato. Forma trigonometrica di un numero complesso. Argomento e argomento principale. Formula di De Moivre. Esponenziale complesso. Forma
esponenziale di un numero complesso. Radici complesse. Disposizione geometrica delle radici n -esime. Teorema fondamentale dell'algebra.
Funzioni di n variabili reali:
Distanza, intorni, insiemi aperti e chiusi. Insiemi compatti. L'elemento∞. Limiti e continuità di funzioni a valori scalari. Calcolo dei limiti. Derivate direzionali e
parziali di funzioni scalari. Differenziabilità di funzioni scalari. Condizioni necessarie per la differenziabilità (dim.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz
sulle derivate del secondo ordine (senza dim.).Insiemi convessi e funzioni convesse. Estremi liberi di funzioni scalari. Curve in ℝn . Funzioni implicite e teorema del
Dini per funzioni di due variabili (senza dim.). Estremi vincolati di funzioni di due variabili. Estremi vincolati: metodo diretto. Punti critici vincolati: metodo dei
moltiplicatori di Lagrange (dim.). Estremi assoluti di funzioni continue su un compatto. Metodo di Kuhn-Tucker per la determinazione del minimo vincolato di una
funzione di due variabili (cenni).
Tipologia delle attività didattiche
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Testi e materiale didattico
Libro di testo consigliato:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, “Analisi Matematica”, McGraw-Hill, seconda edizione.
Esercizi disponibili su e-learning
Modalità di verifica dell’apprendimento
L'esame finale consiste di una prova scritta ed una prova orale. L'esame scritto contiene 5 o 6 esercizi sugli argomenti di tutto il programma. Lo studente ha circa 2
ore e mezza di tempo e può consultare il libro di testo, ma non gli appunti o testi di esercizi. Lo studente che consegue una votazione di almeno 15/30 è ammesso
a sostenere la prova orale. L'esame orale consiste di tre domande di teoria, scelte da una lista di domande presente su e-learning. L'esame è superato se la media
tra la parte scritta e la parte orale è di almeno 18/30.
Orario di ricevimento
Il ricevimento studenti avviene per appuntamento preso per e-mail o personalmente.