a.a. 2015/2016
Laurea triennale in Fisica
Analisi Matematica III
Successioni e serie di funzioni
Nota: questo file differisce da quello proiettato
in aula per la sola impaginazione.
Considerazioni introduttive
Sia A ⊂ R. Per ogni n ∈ N, sia fn : A → R.
(Vedremo caso più generale)
Fissato x ∈ A,
• la successione di numeri reali {fn (x)} converge oppure no?
• la serie di termine fn (x) converge oppure no?
In generale, la risposta dipende da x . Esempio: fn (x) = x n
1
Sia A ⊂ R. Per ogni n ∈ N, sia fn : A → R.
Supponiamo che A0 := x ∈ A | {fn (x)} converge
sia un insieme non vuoto. La funzione f : A0 → R definita ponendo
f (x) := lim fn (x)
n→∞
per ogni x ∈ A0
si chiama limite (puntuale) della successione {fn }.
Supponiamo che A00 := x ∈ A | la serie di termine fn (x) converge
sia un insieme non vuoto. La funzione S : A00 → R definita ponendo
∞
X
S(x) :=
fn (x) per ogni x ∈ A00
n=0
si chiama somma (puntuale) della serie di termine fn .
Quali sono il limite e la somma della serie di termine fn (x) = x n ?
2
Esempi
↓ sulle serie torneremo più avanti
Determinare il limite puntuale della successione {fn } definita ponendo
fn (x) =
r
1
2
3
x2
1
+
n
(n + x)3
n3 + 1
x
1 + n x2
4
(x 2 + 3−n ) ln(x 2 + 3−n )
5
| arctan(x − n) |
6
xn
n2 + x 2
7
ln(1 + x 2n )
n+3
8
9
arctan(x 2n )
xn
x 2n
arcsin
x 2n + 1
3
10
11
12
0
n
1/x
x ∈ (−∞, 0]
x ∈ (0, 1/n]
x ∈ (1/n, +∞)
2
1 − n2 x − 2
n
0
n (cos(x) + 1)
n+1
0
sin(nx)
13
0
1 3
x∈
,
n n
altrimenti
x ∈ [(2n − 1)π, (2n + 1)π]
altrimenti
h
π
πi
x ∈ π− ,π+
n
n
altrimenti
4
Problema generale
Se le singole fn hanno certe proprietà (limitatezza, continuità,
integrabilità, derivabilità), cosa si può dire su f e S ?
Che legame c’è tra limite di integrali e integrale del limite, oppure
somma della serie di integrali e integrale della somma della serie?
E per le derivate?
In generale, non si può dire molto!
5
Esempi
• Una successione di funzioni limitate che ha per limite una funzione
non limitata:
10
• Una serie di funzioni limitate che ha per somma una funzione non
limitata:
P
x n , x ∈ (−1, 1)
• Una successione di funzioni continue che ha per limite una funzione
non continua: x n , x ∈ [0, 1]
• Una serie di funzioni continue che ha per somma una funzione
non continua:
X
x2
, x ∈R
(1 + x 2 )n
Osservazione
Il problema della continuità della funzione limite si riduce al problema della
inversione nell’ordine dei limiti, che in generale non è lecita.
m
Esempio: sm,n =
, m, n ∈ N∗
m+n
6
• Una successione di funzioni derivabili che ha per limite una funzione
non derivabile:
1
• Una successione di funzioni derivabili tali che la successione delle
derivate non converge alla derivata della funzione limite:
sin(n x)
3 oppure
√
n
• Una successione di funzioni Riemann-integrabili tali che la successione
degli integrali non converge all’integrale del limite:
np x (1 − x 2 )n , x ∈ [0, 1]
(p ≥ 1)
• Una serie di funzioni Riemann-integrabili che ha per somma una
funzione non Riemann-integrabile:
1
x = xn
0
x ∈ [0, 1] \ {xn }
con {xn } enumerazione
dei numeri razionali di [0, 1].
7
Osservazione
Gli esempi mostrano che la convergenza puntuale è troppo “debole”
per garantire che le proprietà delle singole funzioni si conservino nel
passaggio al limite.
Esaminiamo più da vicino la nozione di convergenza puntuale . . .
Esempio
Esplicitare la convergenza in termini di ε e ν per la successione
fn (x) = x n , x ∈ [0, 1].
Come sopra, ma con x ∈ [0, a] per a ∈ (0, 1).
8
Convergenza puntuale e convergenza uniforme
Sia A ⊂ R. Per ogni n ∈ N, sia fn : A → R. Sia f : A → R.
La successione {fn } converge puntualmente a f se:
per ogni x ∈ A e per ogni ε > 0 esiste νε,x ∈ N tale che per ogni n ∈ N,
con n ≥ νε,x , si ha |fn (x) − f (x)| < ε.
Diciamo che la successione {fn } converge uniformemente a f in A se:
per ogni ε > 0 esiste νε ∈ N tale che per ogni n ∈ N, con n ≥ νε ,
si ha |fn (x) − f (x)| < ε per ogni x ∈ A.
Equivalentemente:
per ogni ε > 0 esiste νε ∈ N tale che per ogni n ∈ N, con n ≥ νε ,
si ha sup |fn (x) − f (x)| < ε.
x∈A
Equivalentemente: lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n
x∈A
9
Esempio
Verificare che la successione fn (x) = x n
• non converge uniformemente in [0, 1];
• converge uniformemente in [0, a] per qualsiasi a ∈ (0, 1).
10
Teorema (convergenza uniforme e limitatezza)
Sia A ⊂ R. Per ogni n ∈ N, sia fn : A → R una funzione limitata.
Se {fn } converge uniformemente in A, allora la funzione limite è limitata.
Dimostrazione . . .
Teorema (convergenza uniforme e continuità)
Sia A ⊂ R. Per ogni n ∈ N, sia fn : A → R una funzione continua.
Se {fn } converge uniformemente in A, allora la funzione limite
è continua.
Dimostrazione . . .
Osservazione “pratica”
Se una successione di funzioni
funzione
limitate
converge puntualmente a una
continue
non limitata
si può escludere che la convergenza sia uniforme.
non continua
Esempio: x n
11
Esercizio
Studiare la convergenza uniforme delle successioni degli esempi
r
1
1
x2 +
n
0
x ∈ (−∞, 0]
x
3
10
n
x ∈ (0, 1/n]
1 + n x2
1/x x ∈ (1/n, +∞)
5
| arctan(x − n) |
Osservazione
Sia A un sottoinsieme di R (in generale, di uno spazio metrico).
Sia x̄ ∈ A punto di accumulazione di A.
Sia f : A → R continua in x̄ .
Allora:
sup f (x) = sup f (x)
x∈A\{x̄}
Verifica . . .
x∈A
12
Teorema (passaggio al limite sotto il segno di integrale)
Per ogni n ∈ N, sia fn : [a, b] → R una funzione Riemann-integrabile.
Se {fn } converge uniformemente in [a, b], allora la funzione limite f
è Riemann-integrabile e si ha
Z b
Z b
fn (x) dx =
f (x) dx.
lim
n
a
a
Dimostrazione . . .
Vale anche per funzioni integrabili in senso generalizzato su intervalli illimitati?
Controesempi. . .
Esempio
Utilizzando il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale,
calcolare
Z π −nx 2
e
+n
lim
dx.
n
3n
+
1
0
13
Osservazione
Per garantire il “passaggio al limite sotto il segno di derivata”
la convergenza uniforme non è sufficiente.
Esempi:
r
1
x
sin(nx)
fn (x) = x 2 +
fn (x) =
fn (x) = √
n
1 + nx 2
n
14
Teorema (passaggio al limite sotto il segno di derivata)
Per ogni n ∈ N, sia fn : [a, b] → R una funzione di classe C 1 .
Supponiamo che:
•
esiste x0 ∈ [a, b] tale che {fn (x0 )} converge;
• {fn0 } converge uniformemente in [a, b].
Allora:
• {fn } converge uniformemente in [a, b];
• denotata con f la funzione limite di {fn }, si ha:
• f è di classe C 1 in [a, b],
• f 0 (x) = lim fn0 (x) per ogni x ∈ [a, b].
n
Dimostrazione . . .
Cosa si può dire per funzioni definite in un intervallo qualsiasi?
15
Osservazione
Le conclusioni del teorema sono soddisfatte anche nell’ipotesi meno
restrittiva che le funzioni fn siano derivabili in [a, b].
La dimostrazione poggia sul teorema di inversione dei limiti.
Lo vedremo più avanti... forse.
16
Convergenza per successioni di funzioni a valori in uno spazio metrico
Sia X un insieme qualsiasi e sia (Y , dY ) uno spazio metrico.
Per ogni n ∈ N, sia fn : X → Y . Sia f : X → Y .
Diciamo che la successione {fn } converge puntualmente a f in X se
per ogni x ∈ X : lim dY fn (x), f (x) = 0.
n
Diciamo che la successione {fn } converge uniformemente a f in X se
lim sup dY fn (x), f (x) = 0.
n
x∈X
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Osservazioni
Se {fn } converge puntualmente in X , allora per ogni x ∈ X
la successione {fn (x)} soddisfa la condizione di Cauchy, cioè:
per ogni x ∈ X e per ogni ε > 0 esiste νε,x ∈ N tale che
per ogni n, m ∈ N, con n, m ≥ νε,x , si ha dY fn (x), fm (x) < ε.
Se (Y , dY ) è completo vale anche l’implicazione contraria.
Se {fn } converge uniformemente in X , allora soddisfa la condizione
di Cauchy uniforme, cioè:
per ogni ε > 0 esiste νε ∈ N tale che per ogni n, m ∈ N,
con n, m ≥ νε , si ha dY fn (x), fm (x) < ε per ogni x ∈ X .
Se (Y , dY ) è completo vale anche l’implicazione contraria.
Dimostrazione . . .
18
Alcuni spazi funzionali
Sia X un insieme qualsiasi e sia (Y , dY ) uno spazio metrico.
Consideriamo l’insieme B(X , Y ) := f : X → Y | f è limitata .
Definiamo d∞ : B(X , Y ) × B(X , Y ) → R+ ponendo
d∞ (f , g ) := sup dy f (x), g (x) per ogni f , g ∈ B(X , Y ).
x∈X
• La funzione d∞ è una metrica. Verifica . . .
• La convergenza nello spazio metrico B(X , Y ), d∞
è la convergenza
uniforme.
Supponiamo che anche (X , dX ) sia uno spazio metrico e consideriamo
l’insieme Cb (X , Y ) := f ∈ B(X , Y ) | f è continua in X .
• Se X è compatto, allora Cb (X , Y ) = C (X , Y ).
• Cb (X , Y ) “eredita” la metrica d∞ definita in B(X , Y ).
• Cb (X , Y ) è un insieme chiuso rispetto a d∞ . Verifica . . .
19
Teorema
Se (Y , dY ) è uno spazio metrico completo, allora sono completi
gli spazi metrici
• B(X , Y ), d∞ , con X insieme qualsiasi;
• Cb (X , Y ), d∞ , con X spazio metrico.
Dimostrazione . . .
Caso particolare
Siano a, b ∈ R, con a < b .
Lo spazio C ([a, b], R) =: C ([a, b]) è completo rispetto alla “metrica
del sup”. (In effetti, del max.)
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Consideriamo l’insieme
C 1 ([a, b]) := f : [a, b] → R | f è derivabile con derivata continua .
• C 1 ([a, b]) “eredita” da C ([a, b]) la metrica d∞ , rispetto alla quale
non è completo. Giustificare . . .
• La funzione d˜∞ definita ponendo
d˜∞ (f , g ) := d∞ (f 0 , g 0 )
per ogni f , g ∈ C 1 ([a, b])
non è una metrica. Giustificare . . .
• La funzione definita ponendo
dC 1 (f , g ) := d∞ (f , g ) + d∞ (f 0 , g 0 )
per ogni f , g ∈ C 1 ([a, b])
è una metrica, rispetto alla quale lo spazio è completo. Verificare . . .
• Generalizzazione a C k ([a, b]) . . .
21
Ulteriori osservazioni su C ([a, b])
• Una metrica alternativa
Sia R([a, b]) l’insieme delle funzioni Riemann-integrabili in [a, b].
La funzione d1 definita ponendo
Z b
d1 (f , g ) =
|f (x) − g (x)| dx per ogni f , g ∈ R([a, b])
a
non è una metrica. Giustificare . . .
La funzione d1 , ristretta a C ([a, b]) × C ([a, b]) è una metrica,
rispetto alla quale C ([a, b]) non è completo. Giustificare . . .
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• Questioni di compattezza
In C ([a, b]), d∞ esistono insiemi chiusi e limitati che non sono
compatti. Esempio . . .
In C ([a, b]), d∞ esistono successioni limitate che non ammettono
successioni estratte convergenti. Esempio . . .
Se {fn } ⊂ C ([a, b]) è una successione di funzioni equilimitate ed
equicontinue, allora {fn } ha una estratta convergente uniformemente.
(Teorema di Ascoli-Arzelà)
23
