Facoltà di Scienze
Corso di Laurea in Matematica
Scritto di Analisi Funzionale
Ferrara, 8.6.2011
(1) (9 crediti)(8 punti) Sia X uno spazio di Banach e Y un suo sottoinsieme denso e (Fn )n una successione in X 0 . Dimostrare che:
(Fn )n converge debolmente ∗ in X 0 ⇐⇒ (Fn )n é limitata in X 0 e
(Fn (y))n converge per ogni y ∈ Y .
(2) Sia T : c0 → c0 (dove c0 denota lo spazio di Banach delle successioni
infinitesime, dotato della norma k · k∞ ) l’operatore lineare definito
da
T (x) = (xn − xn+1 )n∈N
per ogni x = (xn )n∈N ∈ c0 .
(a) (6/8 punti) Provare che T e’ continuo e calcolarne la norma;
(b) (3/4 punti) Per ogni x = (xn )n∈N ∈ c0 sia
||x||T = kT xk∞ + ||x||∞ .
Si verifichi che k · kT e’ una norma equivalente a k · k∞ .
(c) (3/5 punti) dimostrare che T e’ iniettivo;
(d) (4/5 punti) stabilire se T e’ un isomorfismo topologico.
(3) (6/8 punti) Siano X, Y spazi di Banach e sia T : X → Y un
operatore lineare tale che f ◦ T ∈ X 0 per ogni f ∈ Y 0 . Provare che
T e’ continuo.
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Risoluzione.
(1) =⇒ Se (Fn )n converge debolmente ∗ in X 0 a un funzionale F allora
per definizione di convergenze debole * (Fn (x))n converge per ogni
x ∈ X. In particolare questa proprieta’ vale per ogni y ∈ Y . Inoltre per ogni x ∈ X (Fn (x))n e’ una successione (reale) limitata. In
particolare, da un corollario al Teorema di B.S. (vedi Cor. II.4 del
Brezis con B 0 = {Fn }n ) segue che la successione {Fn }n e’ limitata.
⇐= Sia x ∈ X. Proviamo che la successione Fn (x) e’ convergente.
A tal fine e’ sufficiente provare che tale successione e’ di Cauchy.
Assumiamo che supn ||Fn ||0X > 0 (altrimenti e’ ovvio che Fn ≡ 0 per
ogni n e quindi Fn (x) → 0 per ogni x ∈ X.) Ora sia > 0 e sia
y ∈ Y tale che ky − xk ≤ 4 sup ||F
. Allora
n || 0
n
X
|Fn (x) − Fm (x)| ≤
≤ |Fn (x) − Fn (y)| + |Fn (y) − Fm (y)| + |Fm (y) − Fm (x)|
≤ 2 sup ||Fn ||X 0 ky − xk + |Fn (y) − Fm (y)| ≤ + |Fn (y) − Fm (y)|.
2
n
Essendo Fn (y) di Cauchy (in quanto y ∈ Y ) vale che esiste n0 tale
che |Fn (y) − Fm (y)| ≤ 2 per ogni n, m ≥ n0 . Cosi’ segue che
|Fn (x) − Fm (x)| ≤ per ogni n, m ≥ n0 . Ora definiamo F (x) := lim Fn (x). Essendo
F limite puntuale di operatori lineari, da un corollario al Teorema
di B. S. F e’ un funzionale lineare e continuo e dalla definizione di
convergenza debole *, vale che la successione (Fn )n converge a F
rispetto alla topologia debole *.
(2) (a) Poiche’ per ogni x ∈ c0 e per ogni k ∈ N
|xk − xk+1 | ≤ |xk | + |xk+1 | ≤ sup |xn | + sup |xn | =
n
n
= 2 sup |xn | = 2kxk∞
n
segue che
kT (x)k∞ = sup |xk − xk+1 | ≤ 2kxk∞ .
k
Quindi l’operatore lineare T é continuo con ||T || ≤ 2. Inoltre,
definita x̄ ∈ c0 tale che x̄1 = 1, x̄2 = −1 e x̄n = 0 per ogni n ≥ 3
vale che kx̄k∞ = 1 e (T x̄)1 = x1 − x2 = 2 da cui ||T || ≥ 2.
(b) Per provare che k · kT e’ una norma osserviamo che
(i) k · kT ≥ 0;
(ii) kxkT = 0 implica kxk∞ = 0 da cui x = 0;
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(iii) per ogni x, y ∈ c0 dalla linearita’ di T segue che
kx + ykT = kx + yk∞ + kT (x + y)k∞
≤ kxk∞ + kyk∞ + kT x + T yk∞
≤ kxk∞ + kyk∞ + kT xk∞ + kT yk∞ = kxkT + kykT ;
(iv) per ogni x ∈ c0 e per ogni λ ∈ R, dalla linearita’ di T
segue che
kλxkT = kλxk∞ + kT (λx)k∞ = |λ|kxk∞ + kλT xk∞
= |λ|kxk∞ + kλT xk∞ |λ|kxkT
(c) per dimostrare che T e’ iniettivo e’ sufficiente provare che Ker(T ) =
{0}. Sia x ∈ Ker(T ). Allora xn − xn+1 = 0 per ogni n ∈ N ossia
xn = xn+1 per ogni n ∈ N ossia la successione (xn )n e’ costante.
Dovendo appartenere a c0 segue che x = 0.
(d) dimostriamo che T non e’ suriettivo. Infatti, scelto y = ( n1 )n∈N
proviamo che non esiste x ∈ c0 tale che T x = y. Se per assurdo
esistesse tale x ∈ c0 allora xn+1 = xn − n1 per ogni n ∈ N da
P
cui e’ facile concludere che xn+1 = x0 − ni=1 1i per ogni n ∈ N.
P
P 1
Per n → +∞ otterremo 0 = x0 − n n1 ossia la serie
n n
convergerebbe a x0 . Assurdo.
(3) Per dimostrare che T é continuo e’ sufficiente provare che se B1 e’
la palla unitaria di X allora T (B1 ) e’ un sottoinsieme limitato di
Y . Essendo f ◦ T ∈ X 0 segue che f ◦ T (B1 ) = f (T (B1 )) e’ un
sottoinsieme limitato di R. Dal corollario II.3 del Brezis (applicato
con B = T (B1 ) e G = Y ) segue che T (B1 ) e’ limitato in Y .
