Successioni e serie di funzioni

12/12/2016
Successioni di funzioni
Successioni di funzioni: convergenza puntuale
Definizione
Sia I un insieme di numeri reali e sia  f n  una successione
di funzioni reali definite in I f n : I  R,
I  R.
Si dice che f n converge puntualmente in I verso la funzione
f : I  R, se risulta
lim f n ( x)  f ( x)
n
Cioè se   0 e x  R
x  I ;
  , x  R :
f ( x)    f n ( x)  f ( x)  
n    , x
1
12/12/2016
Successioni di funzioni: convergenza puntuale
f n ( x)  f ( x)  
n    , x
• f(x)+ε
Y
f (x)
•n
•
ε
f(x)
ε
•f(x)-ε
a
x
•
b
X
Successioni di funzioni:convergenza puntuale
Per stabilire la convergenza puntuale si fissa x  I e si
considera la successione numerica  f n (x)
Esempio
n2
Dire se converge la successione f n ( x) 
1  n2 x2
x  (0,1]
Si ha
lim f n ( x)  lim
n
n2
n 1  n 2 x 2
 lim
n 12
n
1
 x2

1
x2
2
12/12/2016
Successioni di funzioni
Esempio f n ( x)  x n
lim x n  0
n
lim x n  1
n
x  [0,1]
se x  [0,1)
se x  1
Successioni di funzioni
Esempio f n ( x)  arctg nx
 2

lim arctgnx   0
n

 2
xR
se x  0
se x  0
se x  0
3
12/12/2016
Successioni di funzioni
In generale, fissato   0, il numero   , x dipende dal
punto x; se invece   , x non dipende da x allora si parla di
convergenza uniforme:
Definizione
 f n (x)
converge uniformemente in I verso f(x) se
  0    R (  non dipende da x) tale che
f n ( x)  f ( x)  
n    , x  I
Successioni di funzioni
convergenza uniforme  convergenza puntuale
Infatti, fissato   0, se   è tale che
f n ( x)  f ( x)  
n    ,
allora per ogni x  I si può scegliere   , x    e quindi la
diseguaglianza vale anche n    , x    .
Il viceversa in generale non vale.
4
12/12/2016
Successioni di funzioni
Se le fn , f sono limitate in I allora  f n (x) converge
uniformemente ad f in I se e solo se
lim sup f n ( x)  f ( x)  0
n xI
Esercizio.
x
Dimostrare che la successione f n ( x) 
converge
1

nx
uniformemente in [0,1]
x
0
n 1  nx
Fissato x in [0,1] si ha lim
Successioni di funzioni, convergenza uniforme
Vediamo se la convergenza è uniforme
x
1
 0  lim
0
n [ 0,1] 1  nx
n 1  n
lim sup
Quindi f n ( x) 
x
converge uniformemente a f(x)=0
1  nx
5
12/12/2016
Successioni di funzioni
x  x2
Esempio f n ( x) 
, x  [0,1] converge uniformemente a
n
zero.
Infatti
x  x2
0
n
n
lim
x  x2
1
lim sup
 lim
0
n [ 0,1]
n 4n
n
Successioni di funzioni
Teorema (continuità del limite uniforme di funzioni continue)
Se  f n (x) converge uniformemente in I verso f(x), e tutte le
fn(x) sono continue in x0, allora anche f(x) è continua in x0.
In generale la convergenza puntuale di una successioni di
funzioni continue non assicura la continuità della funzione
limite
6
12/12/2016
Successioni di funzioni
Esempio f n ( x)  arctg nx
 2

lim arctgnx   0
n

 2
xR
se x  0
se x  0
se x  0
La convergenza non può essere uniforme in quanto la
funzione limite non è continua
Serie di funzioni
7
12/12/2016
Serie di funzioni
Sia
 f n  una successione di funzioni reali definite in
IR.
Se x  I ( x fissato) la serie numerica

 f n ( x)  f1( x)  f 2 ( x)  ......
n 1
è convergente, cioè se la successione delle somme parziali
S n ( x) 
n
 f k ( x)  f1( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)
k 1
converge puntualmente in I, allora si dice che la serie di

funzioni
 f n  f1  f 2  ......
n 1
è convergente puntualmente in I.
Serie di funzioni
Definizione (convergenza totale)
Se esistono dei numeri reali M n  0 tali che
f n ( x)  M n , x  I , n  N
e se la serie numerica
dice che
 fn
Mn
è convergente in I, allora si
converge totalmente in I.
Teorema
La convergenza totale di una serie di funzioni implica quella
uniforme:
convergenza totale  convergenza uniforme
8
12/12/2016
Serie di funzioni
Definizione (convergenza uniforme)
La serie
 f n (x) converge uniformemente in I verso S (x)
se la successione delle somme parziali S n (x) converge
uniformemente in I verso S (x) .
Teorema
La somma di una serie di funzioni continue convergente
uniformemente è anch’essa continua.
(discende dal teorema sulla continuità del limite uniforme di
funzioni continue)
Serie di funzioni
Esercizio
Dire se converge puntualmente x  R la serie
Si ha cos nx  1 e
n2
n2



 n2
n 1
1


n 1
cos nx
n2
converge
(serie armonica
generalizzata)
cos nx converge totalmente
n2
 converge uniformemente  converge puntualmente
9
12/12/2016
Serie di funzioni

 (1  x 2 )n
Serie geometrica
n 0
1  q( x)n 1 1  (1  x 2 ) n 1
S n ( x) 

1  q( x)
x2
lim S n ( x)  lim
n
1  (1  x 2 ) n 1
n
x2
1
 x 2 x  0, - 2  x  2



x0
indeterminata x  2 , x   2

Serie di funzioni

 (1  x 2 )n
Serie geometrica
n 0
Converge solo puntualmente a S ( x)  2 , x   2 , 2 , x  0
x
perché S non è continua in I
1
Converge uniformemente in ogni intervallo del tipo



[a, b]  0, 2 , o [a, b]   2 ,0

10
12/12/2016
Serie di funzioni
  n
n 1 
x
x
 

 n n  1  Serie telescopica

n 1 

x n 1
Si ha S n ( x)  f 0 ( x)  f n 1 ( x)  x 
n 1
- converge con somma
S  lim S n  x,
n  
x 1
- diverge se x > 1
- oscilla se x < -1
Serie di funzioni
Teorema di integrazione per serie (termine a termine)
Sia  f n  una successione di funzioni continue in [a,b], se la
serie
 f n (x) è convergente uniformemente in [a,b] verso
S (x) allora
b
b
b
a S ( x)dx  a ( f n ( x))dx   a f n ( x)dx
11
12/12/2016
Esercizio

 xn
Dire se la serie
3 
in x   ,2
2 
1
è integrabile termine a termine
n 0
Serie di funzioni
Teorema di derivazione per serie (termine a termine)
Sia
 f n una successione di funzioni derivabili in (a,b) con
derivata continua in [a,b]. Se
i)
 f (x)
n
converge almeno in un punto x0  [a, b]
 f n (x) converge uniformemente in [a,b] con somma A(x)
allora anche  f (x) converge uniformemente in [a,b] e se S(x)
ii)
n
è la sua somma , si ha

S ( x)  




f n ( x)  

 f ( x)  A(x)
n
x  [a, b]
12
12/12/2016
Esercizio

Dire se la serie

n 1
x n1
n 1
è derivabile termine a termine
Serie di funzioni
Serie di potenze
Sia an  una successione di numeri reali, si chiama serie
di potenze di punto iniziale zero, la serie di funzioni:

 an x n
n 0
dove a0, a1,…, an,…. Sono i coefficienti.
L’intervallo I in cui tale serie converge si chiama
intervallo di convergenza. Il raggio di convergenza è
l’estremo superiore r di tale intervallo
13
12/12/2016
Serie di potenze
Si possono avere 3 casi:
 an x n converge solo in
1) r =0 allora la serie di potenze
x =0

an x n
2) 0 < r < +∞ allora
converge assolutamente per x  (r , r )
e totalmente in ogni [ ,  ]  (r , r )
non converge per x  r

3) r = +∞ allora
an x n
converge assolutamente in ogni x  R
e totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato
di R: [ ,  ]  R
Serie di potenze
Teorema di Cauchy

Data la serie
 an x n
n 0
se
lim
n
n
allora r 
an  
1

14
12/12/2016
Serie di potenze
Teorema di D’Alembert

Data la serie
 an x n
se
an  0
n,
n 0
e se
an 1

n an
lim
allora r 
1

( se   0  r  )
Serie di potenze
Esercizio
Determinare l’intervallo di convergenza delle seguenti serie
di potenze

 2n x n
5n
n 0
Si trova r=2, quindi I=(-2, 2)
15
12/12/2016
Serie di potenze


n 1
( x  1) n
n2
di centro x0  1
Si trova r = 1 quindi I= (-2,0)
Serie di potenze

n2
xn
(n  1)!
n 1

Si trova r = +∞ quindi I= R
16
12/12/2016
Serie di potenze
( x  1) n

n
n 1( n  1) 2

Si trova r = 2 quindi I= (-1,3)
Serie di funzioni
Esercizio
Determinare per quali valori di x converge la seguente serie

 x  n 1 
   n 
x 
 2 
n 1 

Separo in due serie:
n
 x   1
    n
n 1 2 
n 1 x
x
Sono due serie geometriche, una di ragione
e l’altra di
1
2
ragione
x

17
12/12/2016
Esercizio
Determinare per quali valori di x converge la seguente serie

e nx
n
n 1

Fissando x si ha una sere numerica e converge per x<0. Si
può trovare questo risultato utilizzando uno dei criteri
sufficienti (per esempio quello della radice) studiati per le
serie numeriche.
Se x=0 si ha una serie armonica divergente. Se x>0 la serie
data non soddisfa la condizione necessaria di convergenza .
Esercizio
Studiare la convergenza della seguente serie

 sinn x cos n x
n 0
18
12/12/2016
Esercizio
Studiare la convergenza della seguente serie
 enx  e(n1) x 

n2
19