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ESERCITAZIONE ANALISI MATEMATICA III
1. Successioni di funzioni
Esercizio 1. Si consideri la successione di funzioni
fn (x) = n ln (1 + x/n).
Calcolare il suo limite puntuale per ogni x ∈ Rn e provare che ∀a > 0 la successione
converge uniformemente nell’insieme [−a; a].
Esercizio 2. Si consideri la successione di funzioni,
nx
.
1 + n2 x2
Stabilire se esiste un insieme massimale (rispetto all’inclusione) sul quale la successione di funzioni converge uniformemente.
fn (x) =
Esercizio 3. Si consideri la successione di funzioni fn : R → R
r
1
fn (x) =
+ x2
n
Provare le seguenti affermazioni
(i) La successione converge uniformemente in R, e calcolarne il limite.
(ii) La successione delle derivate {fn0 } converge puntualmente ma non uniformemente, e calcolarne il limite.
(iii) Trovare tutti gli intervalli del tipo [a, ∞) su cui fn0 converge uniformemente.
(iv) Confrontare i risultati ottenuti con il teorema di passaggio al limite sotto il
segno di derivata e osservare che il limite uniforme di funzioni derivabili può non
essere derivabile.
Esercizio 4. Si consideri la successione di funzioni fn : [0, 1] → R cosı̀ definita
fn (x) = nx(1 − x2 )n
Verificare le seguenti affermazioni,
(i) La successione converge puntualmente alla funzione f ≡ 0
(ii) Calcolare ||fn ||∞ = sup | fn (x) |. Dedurre che {fn } non converge uniformex∈[0,1]
mente dato che lim ||fn ||∞ = +∞
n→∞
(iii) Sia a ∈ (0, 1), provare che fn → 0 uniformemente su [a, 1].
(iv) Verificare che risulta
lim
n→+∞
Z
1
Z 1
fn (x) dx 6=
lim fn (x) dx
0
0
1
n→+∞
2
ESERCITAZIONE ANALISI MATEMATICA III . . .
Esercizio 5. Verificare che la condizione di convergenza uniforme anche se sufficiente
non è necessaria per il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Si consideri
infatti la seguente successioni di funzioni definita ∀x ∈ R,
2
fn (x) = nxe−n
x2
.
Provare che risulta
(i) {fn } converge puntualmente alla funzione identicamente nulla per ogni x ∈ R.
(ii){fn } non converge uniformemente in [0, 1].
(iii) L’integrale definito di fn (x) nell’intervalle [0, 1] converge a zero.
(iv) Si determinino tutti e soli i numeri reali a < b con la proprietà che {fn }
converga uniformemente in [a, b].
Esercizio 6.(Difficile) Sia {fn } una successione convergente puntualmente alla funzione f e supponiamo che ∃M : |fn0 (x)| ≤ M, ∀n ∈ N e ∀x ∈ [a, b]. Allora fn → f
uniformemente in [a, b].
Suggerimento: Si applichi la formula di Lagrange alle singole funzioni fn e la
condizione di convergenza uniforme di Cauchy.