ESERCITAZIONE ANALISI MATEMATICA III 1. Successioni di funzioni Esercizio 1. Si consideri la successione di funzioni fn (x) = n ln (1 + x/n). Calcolare il suo limite puntuale per ogni x ∈ Rn e provare che ∀a > 0 la successione converge uniformemente nell’insieme [−a; a]. Esercizio 2. Si consideri la successione di funzioni, nx . 1 + n2 x2 Stabilire se esiste un insieme massimale (rispetto all’inclusione) sul quale la successione di funzioni converge uniformemente. fn (x) = Esercizio 3. Si consideri la successione di funzioni fn : R → R r 1 fn (x) = + x2 n Provare le seguenti affermazioni (i) La successione converge uniformemente in R, e calcolarne il limite. (ii) La successione delle derivate {fn0 } converge puntualmente ma non uniformemente, e calcolarne il limite. (iii) Trovare tutti gli intervalli del tipo [a, ∞) su cui fn0 converge uniformemente. (iv) Confrontare i risultati ottenuti con il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata e osservare che il limite uniforme di funzioni derivabili può non essere derivabile. Esercizio 4. Si consideri la successione di funzioni fn : [0, 1] → R cosı̀ definita fn (x) = nx(1 − x2 )n Verificare le seguenti affermazioni, (i) La successione converge puntualmente alla funzione f ≡ 0 (ii) Calcolare ||fn ||∞ = sup | fn (x) |. Dedurre che {fn } non converge uniformex∈[0,1] mente dato che lim ||fn ||∞ = +∞ n→∞ (iii) Sia a ∈ (0, 1), provare che fn → 0 uniformemente su [a, 1]. (iv) Verificare che risulta lim n→+∞ Z 1 Z 1 fn (x) dx 6= lim fn (x) dx 0 0 1 n→+∞ 2 ESERCITAZIONE ANALISI MATEMATICA III . . . Esercizio 5. Verificare che la condizione di convergenza uniforme anche se sufficiente non è necessaria per il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Si consideri infatti la seguente successioni di funzioni definita ∀x ∈ R, 2 fn (x) = nxe−n x2 . Provare che risulta (i) {fn } converge puntualmente alla funzione identicamente nulla per ogni x ∈ R. (ii){fn } non converge uniformemente in [0, 1]. (iii) L’integrale definito di fn (x) nell’intervalle [0, 1] converge a zero. (iv) Si determinino tutti e soli i numeri reali a < b con la proprietà che {fn } converga uniformemente in [a, b]. Esercizio 6.(Difficile) Sia {fn } una successione convergente puntualmente alla funzione f e supponiamo che ∃M : |fn0 (x)| ≤ M, ∀n ∈ N e ∀x ∈ [a, b]. Allora fn → f uniformemente in [a, b]. Suggerimento: Si applichi la formula di Lagrange alle singole funzioni fn e la condizione di convergenza uniforme di Cauchy.