Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze
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Successioni di Funzioni e Serie di Potenze
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Successioni di Funzioni
Consideriamo una successione numerica il cui valore dipende da una variabile che denotiamo
con x: 1
f1 (x), f2 (x), .., fn (x), ... più sinteticamente: {fn (x)}.
Questa è detta una successione di funzioni, ed è denotata con {fn }. Si noti che:
per n ﬁssato fn (x) è una funzione di x,
per x ﬁssato {fn (x)} è una successione numerica.
Al pari delle successioni numeriche, anche le successioni di funzioni possono assumere non
solo valori reali ma anche complessi o vettoriali.
Sia A un sottoinsieme di R, {fn } una successione di funzioni A → C, e f : A → C. Si
deﬁniscono due tipi di convergenza di funzioni:
fn → f puntualmente in A
fn → f uniformemente in A
def
⇔
def
⇔
fn (x) → f (x) ∀x ∈ A;
(1.1)
sup |fn (x) − f (x)| → 0.
(1.2)
x∈A
Nella (1.1) si noti la diﬀerenza tra fn → f (convergenza di funzioni) e fn (x) → f (x) (convergenza di numeri).
Queste convergenze possono essere lette interpretando n come una variabile temporale. Fissato una qualsiasi massimo errore ammissibile ε, la convergenza puntuale di fn a f signiﬁca
che, per ogni x, |fn (x) − f (x)| ≤ ε pur di prendere n abbastanza grande. “Quanto grande” può
dipendere da x; se poi per tutti gli x si può prendere lo stesso n, allora la convergenza è uniforme. Con la convergenza puntuale, si guarda al comportamento individuale della successione
numerica {fn (x)} per ciascun x. Con la convergenza uniforme si considera il comportamento
globale dell’insieme di queste successioni numeriche.
Proposizione 1.1 Sia {fn } una successione di funzioni A → C, e f : A → C. Allora
fn → f uniformemente in A
⇒
fn → f puntualmente in A
(1.3)
Si noti che i due limiti coincidono, qualora vi sia convergenza uniforme.
Dimostrazione. Poiché |fn (y) − f (y)| ≤ supx∈A |fn (x) − f (x)| per ogni y ∈ A,
sup |fn (x) − f (x)| → 0
x∈A
⇒
|fn (y) − f (y)| → 0 ∀y ∈ A.
L’implicazione opposta della (1.3) non sussiste.
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Anche se x potrebbe variare in un insieme qualsiasi, qui pensiamo ad x reale, per ﬁssare le idee.
È importante cogliere il senso di aﬀermazioni del tipo “A non implica B” (in formula: A ⇒
B) per una
coppia di aﬀermazioni A, B. Questo signiﬁca che anche se A è vera B può essere falsa.
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Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
Controesempi.
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Si ponga

n
se 0 < x < 1/n
0
se 1/n ≤ x < 1
fn (x) := 
gn (x) :=
f (x) := 0
1
se n < x < n + 1
0
se 0 < x ≤ n oppure x ≥ n + 1
∀x ∈]0, 1[,
∀x > 0,
g(x) := 0
(1.4)
(1.5)
è facile constatare che
fn → f puntualmente in ]0, 1[,
gn → g puntualmente in ]0, +∞[.
Tuttavia
sup |fn (x) − f (x)| = n,
0<x<1
sup |gn (x) − g(x)| = 1
∀n,
x>0
quindi entrambe le successioni non convergono uniformemente. Si noti anche che
1
0
fn (y) dy = 1 →
1
+∞
f (y) dy = 0,
0
0
gn (y) dy = 1 →
+∞
g(y) dy = 0.
0
Il seguente teorema esclude quest’ultima eventualità nel caso di convergenza uniforme.
Teorema 1.2 (Passaggio al Limite nell’Integrale) Sia {fn } una successione di funzioni continue [a, b] → C, che converge uniformemente ad una funzione f . Allora f è continua e
x
a
b
In particolare
a
x
fn (y) dy →
fn (y) dy →
f (y) dy
uniformemente in [a, b].
(1.6)
a
b
f (y) dy.
a
Dimostrazione della (1.6). Tralasciamo la veriﬁca della continuità di f , e ci limitiamo a
veriﬁcare la (1.6). Grazie alla (1.2),
sup
x∈[a,b]
≤
b
a
x
fn (y) dy
a
−
x
a
f (y) dy ≤ sup
x
x∈[a,b] a
|fn (y) − f (y)| dy
(1.7)
|fn (y) − f (y)| dy ≤ (b − a) sup |fn (y) − f (y)| → 0.
y∈[a,b]
Il seguente risultato permette di passare al limite nella derivata sotto opportune ipotesi.
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Qui incontriamo un procedimento logico che si usa frequentemente in matematica. Per giustiﬁcare
un’aﬀermazione in positivo (ovvero un teorema) si fornisce una dimostrazione; per giustiﬁcare un’aﬀermazione
in negativo (ovvero la negazione di una proprietà) si esibisce un controesempio, ovvero un esempio in cui la
proprietà non vale.
In generale è utile capire quali proprietà sono vere, ma è anche importante rendersi conto di quali altre sono
false. Pertanto i controesempi non sono meno importanti dei teoremi.
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Teorema 1.3 (Passaggio al Limite nella Derivata) Siano dati una successione {fn } di funzioni
di C 1 ([a, b]), g : [a, b] → C, x0 ∈ [a, b], ξ ∈ C tali che4
fn → g
x
Allora, posto f (x) := ξ +
x0
fn (x0 ) → ξ.
uniformemente in [a, b],
g(t)dt per ogni x ∈ [a, b], si ha
fn → f uniformemente in [a, b],
x
Dimostrazione. Poiché fn (x) = fn (x0 )+
x0
f ∈ C 1 ([a, b]),
f = g in [a, b].
fn (t)dt per ogni x ∈ [a, b], fn → f uniformemente
in [a, b] per il teorema precedente. La funzione g è continua in quanto limite uniforme di funzioni
continue. Le restanti proprietà quindi seguono dalla deﬁnizione di f e dal teorema fondamentale
del calcolo integrale.
Tuttavia, sotto la sola ipotesi che fn → f puntualmente in [a, b],
f e le fn sono derivabili in x0
⇒
fn (x0 ) → f (x0 ).
(1.8)
Controesempi. Sia f (x) := 0 e fn (x) := n−1 arctan(nx) per ogni x ∈ R ed ogni n ∈ N. Allora
fn → f uniformemente in R, ma fn (0) = 1 → f (0) = 0.
Ecco un altro controesempio. Sia gn (x) := n−1 sin(nx) per ogni x ∈ R ed ogni n ∈ N.
Allora gn (x) := cos(nx) per ogni x ∈ R. Quindi, posto g(x) := 0 per ogni x ∈ R, si ha gn → g
uniformemente in R, ma gn non converge (nemmeno puntualmente) a g = 0; ad esempio,
gn (0) = 1 per ogni n.
Inoltre, ancora sotto la sola ipotesi che fn → f uniformemente in [a, b],
le fn sono derivabili in x0
⇒
f è derivabile in x0 .
(1.9)
√
Controesempio. Sia fn (x) := x2 + n−1 per ogni x ∈ R ed ogni n ∈ N. Allora fn (x) →
f (x) := |x| per ogni x ∈ R, e le fn sono derivabili in 0 mentre f non lo è.
Se fn → f puntualmente in una famiglia di insiemi {Sa : a ∈ A} (per un qualche insieme di
indici A), allora in base alla deﬁnizione si veriﬁca immediatamente che fn → f puntualmente
nella loro unione a∈A Sa . Un’analoga proprietà non vale per la convergenza uniforme. Ad
esempio la successione {fn (x) = xn } converge uniformemente in Sa := [0, a] per ogni a ∈]0, 1[,
ma non in [0, 1[= a∈]0,1[ Sa . [Es]
Sia k ∈ N ed A ⊂ R. Si dice che una funzione f : A → C è di classe C k (e si scrive f ∈ C k (A)) se e solo se
f ammette derivate ﬁno all’ordine k, e tutte queste funzioni sono continue in A. Se f ammette derivate di ogni
ordine, f è detta di classe C ∞ .
Considereremo funzioni a valori complessi, piuttosto che reali, per il semplice motivo che questa maggiore
generalità non costa quasi nulla. In quasi tutti i casi il lettore può comunque tranquillamente interpretare i
risultati pensando a funzioni reali.
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Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
Serie di Funzioni
Data una successione di funzioni {fn }, tutte deﬁnite in uno stesso insieme ed a valori complessi,
si considera la corrispondente serie di funzioni x →
∞
fn (x). Come già per il caso delle serie
n=0
numeriche, per serie di funzioni si intende propriamente la successione di funzioni costituita
dalle somme parziali:
x →
m
fn (x)
n=0
m=1,2,...
. Tuttavia capita di usare il termine serie anche
per indicare la somma della serie che pure è una funzione, quando esiste.
I concetti di convergenza puntuale ed uniforme si estendono in modo naturale alle serie
di funzioni, dal momento che la convergenza di una serie numerica equivale a quella della
successione delle sue somme parziali. I due prossimi due teoremi possono essere facilmente
dimostrati mediante i Teoremi 1.2 e 1.3. [Es]
Teorema 2.1 (Passaggio al Limite nell’Integrale) Sia {un } una successione di funzioni continue [a, b] → C, tale che la serie di funzioni
della serie
∞
∞
un converga uniformemente. Allora la somma
k=0
un è pure una funzione continua,
k=0
x
∞
a n=0
un (y) dy =
∞ x
n=0 a
un (y) dy
∀x ∈ [a, b],
(2.1)
e quest’ultima serie converge uniformemente in [a, b].
In particolare
b
∞
a n=0
un (y) dy =
∞ b
n=0 a
un (y) dy.
Teorema 2.2 (Passaggio al Limite nella Derivata) Sia {un } una successione di funzioni di
C 1 ([a, b]) tale che, per un opportuno x0 ∈ [a, b],
∞
un converge uniformemente in [a, b],
n=0
Allora
∞
∞
un (x0 ) converge.
(2.2)
n=0
un converge uniformemente in [a, b], è derivabile in [a, b], e
k=0
∞
n=0
un
=
∞
un
in [a, b].
(2.3)
n=0
Per le serie numeriche si distinguono convergenza semplice ed assoluta (quest’ultima implica
la precedente). Lo stesso vale per successioni di funzioni e serie di funzioni.
Caveat. Per le serie di funzioni non vi è alcun legame tra convergenza semplice o assoluta
da una lato e convergenza puntuale od uniforme dall’altro. Si possono comunque accoppiare
proprietà di convergenza semplice o assoluta con proprietà di convergenza puntuale o uniforme;
ad esempio, si potrà dire che una certa serie converge assolutamente e puntualmente.
Successioni di Funzioni e Serie di Potenze
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Se non si speciﬁca se la convergenza è semplice o assoluta, si intende che è semplice; ad
esempio, “
∞
fn converge puntualmente” signiﬁca che “
n=1
∞
fn converge puntualmente e sem-
n=1
plicemente”.
Registriamo ora un importante condizione suﬃciente per la convergenza uniforme delle serie
di funzioni, ed un suo ovvio corollario.
Teorema 2.3 * (di Weierstrass) Sia data una successione di funzioni {fn : A → C}. Se esiste
una successione numerica {Mn } tale che
|fn (x)| ≤ Mn
∀x ∈ A, ∀n ∈ N,
∞
Mn < +∞,
n=0
allora la serie di funzioni
∞
fn converge uniformemente ed assolutamente in A.
n=0
Corollario 2.4 * Sia data una successione di funzioni {fn : A → C}.
∞
sup |fn (x)| < +∞
n=0 x∈A
⇒
∞
fn converge uniformemente ed assolutamente in A.
n=0
Per veriﬁcarlo basta porre Mn = supx∈A |fn (x)| per ogni n, ed applicare il teorema precedente.
Esercizi.
– Sia {fn } una successione di funzioni R → R, che convergono puntualmente ad una
funzione f . Se tutte le fn sono non decrescenti, anche f è non decrescente? Se tutte le fn sono
strettamente crescenti, anche f è strettamente crescente? Cambia qualcosa se la convergenza
è uniforme?
— Per ciascuna delle seguenti successioni di funzioni R → R
fn (x) :=

−1






nx
se −1/n < x < 1/n
1
se x ≥ 1/n,
gn (x) :=
hn (x) :=
se x ≤ −1/n
0
se x ≤ n
ex−n
se x > n,

0
se x < −1/n oppure x > 1/n

se −1/n ≤ x ≤ 1/n,
n
n (x) := e−nx
2
∀x ∈ R,
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
se ne disegni il graﬁco, e si dica se converge puntualmente e/o uniformemente; nel caso si indichi
la funzione limite.
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Serie di Potenze
È naturale sviluppare questa teoria in C piuttosto che in R. Si deﬁnisce serie di potenze una
serie di funzioni della forma
∞
an (z − z0 )n := a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · + an (z − z0 )n + · · · ,
(3.1)
n=0
ove z ∈ C e pure an ∈ C per ogni n ∈ N.
funzione
∞
f (z) =
n=0
5
an (z − z0 )n
Qui si è posto 00 := 1
:= m→∞
lim
m
6
an (z − z0 )n
Questa serie deﬁnisce la
n=0
per gli z per cui questa serie converge.
L’insieme in cui una generica serie di funzioni converge può essere molto generale; in base
al seguente teorema, l’insieme di convergenza delle serie di potenze ha invece una forma ben
precisa.
Teorema 3.1 (Teorema di Abel) Per ogni serie di potenze esiste R ∈ [0, +∞] tale che:
(i) la serie converge assolutamente per ogni z ∈ C tale che |z − z0 | < R (se R > 0),
(ii) la serie non converge nemmeno semplicemente per ogni z ∈ C tale che |z − z0 | > R (se
R < +∞).
Inoltre la serie converge uniformemente in ciascun cerchio Br (z0 ), con 0 < r < R (se
R > 0). 7
Pertanto se R = 0 la serie converge solo per z = z0 , mentre se R = +∞ la serie converge
assolutamente per ogni z ∈ C. La convergenza uniforme della serie in ciascun cerchio Br (z0 ) con
0 < r < R non implica la convergenza uniforme della serie nel cerchio BR (z0 ). Analogamente,
anche se R = +∞ non è detto che la serie converga uniformemente in tutto C.
Si noti che il teorema non dice nulla circa il comportamento della serie nei punti della
circonferenza di convergenza, ovvero per |z − z0 | = R per 0 < R < +∞. La convergenza
della serie in quei punti dipende dalla serie e dal particolare z: non esiste una regola generale.
Pertanto, denotato con S l’insieme dei punti in cui la serie converge, in generale si può solo
aﬀermare che
{z ∈ C : |z| < R} ⊂ S ⊂ {z ∈ C : |z| ≤ R}.
Esempi. (i) La serie
∞
z n /n2 ha raggio di convergenza R = 1, e converge (addirittura assolu-
n=0
tamente) in ogni punto della circonferenza di convergenza.
(ii) La serie
∞
z n ha raggio di convergenza R = 1, e non converge in alcun punto della
n=0
circonferenza di convergenza, poiché z n → 0 per |z| = 1.
(iii) La serie
∞
z n /n ha raggio di convergenza R = 1; essa converge per z = −1, grazie al
n=0
criterio di Leibniz; invece diverge per z = 1, poiché ivi coincide con la serie armonica.
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Tipicamente si usa z per indicare una variabile complessa, x per una variabile reale.
Questa identità non è da intendersi come una regola di calcolo, ma esclusivamente come una notazione che
applichiamo solo all’ambito delle serie di potenze. In altri termini, la scrittura con la sommatoria è da intendersi
solo come un’abbreviazione della somma di destra.
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Denotiamo Br (z0 ) il cerchio aperto di centro z0 e raggio r, ovvero Br (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r}.
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Teorema 3.2 Sia data una successione {an }. Se esiste L := limn→∞ |an |1/n , allora la serie
∞
an (z − z0 )n ha raggio di convergenza
n=0
R = 1/L se 0 < L < +∞,
R = +∞ se L = 0,
R = 0 se L = +∞.
Lo stesso vale per L̃ := limn→∞ |an+1 |/|an |, se questo limite esiste.
La semplice dimostrazione è basata sul criterio della radice nel primo caso, sul criterio del
rapporto nel secondo caso. [Es]
Osservazioni. (i) Il Teorema implica che se esistono sia L che L̃, allora essi coincidono.
Comunque si può dimostrare che se esiste L̃ allora esiste anche L. Quindi la prima parte del
Teorema è di applicazione più generale della seconda; tuttavia spesso è più agevole calcolare L̃
piuttosto che L.
(ii) Non sempre i limiti L ed L̃ esistono. Invece esistono sempre (ﬁniti o inﬁniti) i massimi
limiti
max lim |an |1/n := lim sup |an |1/n ,
n→∞
m→∞
n≥m
max
lim
n→∞
|an+1 |
|an+1 |
:= m→∞
lim sup
.
|an |
n≥m |an |
Il teorema si può formulare in modo più generale sostituendo i limiti L e L̃ con i corrispondenti
massimi limiti.
* Illustriamo brevemente il concetto di massimo limite di una successione a valori reali.
Si consideri l’insieme delle sottosuccessioni estratte dalla successione data; queste sono le successioni ottenute cancellando un numero qualsiasi di termini, lasciandone comunque in numero inﬁnito e conservando l’ordine dei termini. Tra queste si considerino le sottosuccessioni
convergenti; il massimo limite coincide con l’estremo superiore (≤ +∞) dei limiti di queste
sottosuccessioni.
Ad esempio la successione {(−1)n } non ha limite, ma ha massimo limite 1. A diﬀerenza
del limite, il massimo limite esiste per ogni successione. Inoltre, quando il limite esiste, esso
coincide con il massimo limite; quest’ultimo è quindi un concetto più generale.
Si deﬁnisce anche il minimo limite min limn→∞ an in modo analogo, oppure ponendo
min lim an := − max lim(−an ).
n→∞
n→∞
Per ogni successione {an } a valori reali, −∞ ≤ min limn→∞ an := max limn→∞ an ≤ +∞. *
Esempi. (i) Si ﬁssi α ∈ R e si consideri la serie
∞
nα z n . Si ha
n=0
L = lim (nα )1/n = lim eα(log n)/n = elimn→∞ α(log n)/n = e0 = 1,
n→∞
n→∞
pertanto la serie ha raggio di convergenza 1 per ogni α ∈ R. Tuttavia il comportamento sulla
circonferenza di convergenza dipende da α, come si è visto negli esempi precedenti.
(ii) È facile veriﬁcare che il raggio di convergenza delle serie
tivamente +∞ e 0.
∞
n=0
z n /n! e
∞
n=0
n!z n vale rispet-