Geometria I
Corso per la Laurea triennale in Matematica e Applicazioni
e per la Laurea triennale in Fisica
Anno Accademico 2015/16
Programma definitivo del corso
Parte I (circa 4 crediti)
Richiami di teoria elementare dei numeri complessi: definizione dell’insieme C
dei numeri complessi e delle operazioni di somma e moltiplicazione in C; modulo
e fase (o argomento) di un numero complesso; rappresentazione trigonometrica dei
numeri complessi; formula di de Moivre; calcolo di potenze di numeri complessi;
operazione di coniugio e sue proprietà relative al prodotto e alla somma di numeri
complessi. Enunciato del Teorema Fondamentale dell’Algebra.
Definizione di matrici a valori reali o complessi. Primi elementi del calcolo di matrici (nozioni di matrici quadrate, diagonali, triangolari superiori; somma e moltiplicazione per scalari; prodotto righe per colonne fra matrici; traccia di una matrice;
nozione di matrice invertibile; trasposta di una matrice; matrici quadrate simmetriche e matrici antisimmetriche). Processo di riduzione per righe e definizione
di rango di una matrice come numero di righe non nulle di una matrice ridotta
equivalente.
Tecniche di risoluzione dei sistemi lineari a coefficienti in K = R o C: matrice
completa e matrice incompleta associate ad un sistema lineare; sistemi ridotti;
Teorema di Rouchè-Capelli e calcolo dei parametri liberi per la descrizione delle
soluzioni di un sistema lineare.
Bipunti nel piano e nello spazio. Relazione di equivalenza fra bipunti. Definizione
di vettore libero. Vettori liberi paralleli, perpendicolari, complanari. Angolo fra due
vettori liberi. Modulo, direzione e verso di un vettore libero. Versori. Componente
orientata di un vettore lungo una direzione indicata da un’altro. Proiezione ortogonale di un vettore lungo una direzione. Proiezione ortogonale di un vettore su
un piano vettoriale. Somma fra vettori liberi. Prodotto per scalare di un vettore
libero. Proprietà della somma e del prodotto per scalare. Vettore nullo e vettore
opposto ad uno dato. Combinazioni lineari di vettori liberi. Vettori liberi linearmente indipendenti. Basi per i vettori liberi del piano e per i vettori liberi dello
spazio. Teorema della Base. Componenti dei vettori liberi in una base. Somma e
prodotto per scalare di vettori utilizzando le componenti.
Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto di vettori liberi: definizioni,
proprietà e formule per il calcolo in componenti. Basi ortonormali destrorse. Formule per il calcolo di componenti orientate, di proiezioni ortogonali lungo una retta,
di proiezioni ortogonali lungo un piano.
Sistemi di riferimento nel piano e nello spazio geometrico. Coordinate dei punti
del piano e dello spazio. Sistemi di riferimento Cartesiani e coordinate Cartesiane.
Calcolo del vettore associato ad bipunto tramite le coordinte. Equazioni parametriche ed equazioni in forma implicita per piani e rette dello spazio geometrico.
Calcolo di vettori paralleli a rette date o perpendicolari a piani dati. Fasci e stelle
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di piani. Metodi per la determinazione della posizione reciproca di coppie di piani,
coppie di rette e di una retta e un piano. Formula per la distanza fra due punti in
coordinate Cartesiane. Formula per la distanza fra un punto e un piano in coordinate Cartesiane. Metodi per il calcolo della distanza di un punto da una retta nello
spazio e per il calcolo della distanza fra due rette sghembe. Equazioni di sfere e di
circonferenze dello spazio geometrico in coordinate Cartesiane. Equazioni di coni e
cilindri. Coni circolari retti e cilindri circolari retti.
Parte II (circa 4 crediti)
Spazi vettoriali su K = R o C. Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari di
vettori. Vettori linearmente indipendenti. Spazi vettoriali finitamente generati.
Basi e componenti di vettori in una base. Numero dei vettori di una base come
invariante di uno spazio finitamente generato. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Teorema del Completamento di una Base. Dimensione di un sottospazio di uno
spazio finitamente generato. Dimensioni di spazi vettoriali notevoli (spazi e sottospazi di matrici, spazi di polinomi, gli spazi Kn ). Intersezione, unione e somma
di sottospazi. Somma diretta di sottospazi. Relazione di Grassmann. Spazio delle
righe e spazio delle colonne di una matrice. Uguaglianza fra le loro dimensioni
(senza dim.). Rango di una matrice.
Applicazioni lineari fra due spazi vettoriali. Caratterizzazione delle applicazioni
lineari fra Kn e Km . Loro rappresentazione in termini di matrici e vettori colonna.
Linearità dell’applicazione inversa di una applicazione lineare. Composizione di
applicazioni lineari. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Iniettività e
suriettività delle applicazioni lineari. Isomorfismi, dimensione di spazi isomorfi.
Teorema della Dimensione. Applicazione “gemella” e matrice associata ad una
applicazione lineare tra spazi vettoriali finitamente generati Determinazione di una
base del nucleo e dell’immagine di una applicazione lineare. Rango di una matrice e
dimensione della immagine di un’applicazione lineare corrispondente. Isomorfismi,
matrici invertibili e criterio di invertibilità tramite calcolo di rango.
Lo spazio Hom(V, W ) delle applicazioni lineari di V in W . Isomorfismo fra
Hom(V, W ) e Km×n . Matrici di cambiamenti di base. Cambiamenti di base e
cambiamenti delle matrici associate ad una stessa applicazione lineare. Matrici
simili. Teorema dell’uguaglianza del rango per due matrici simili. Spazio duale
di uno spazio vettoriale. Isomorfismo naturale fra V e (V ∗ )∗ . Basi e basi duali.
Relazioni fra le matrici di cambiamento di base per uno spazio vettoriale e il suo
spazio duale.
Gruppo delle permutazioni di n elementi. Segno di una permutazione. Forme
multilineari. Forme multilineari totalmente simmetriche e totalmente antisimmetriche (o alternate). Forme di volume in uno spazio vettoriale reale o complesso
finitamente generato. Proporzionalità reciproca fra due forme n-lineari alternate
in uno spazio vettoriale di dimensione n. Determinante di una matrice quadrata.
Prima e Seconda Regola di Laplace. Identità fra il determinante di una matrice e
della sua trasposta. Calcolo di un determinante tramite il metodo della riduzione
per righe. Teorema di Binet. Formula per il calcolo della matrice inversa di una
matrice con determinante non nullo.
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Teorema di Rouchè-Capelli e descrizione dell’insieme di soluzioni di un sistema
lineare in termini di una soluzione particolare e delle soluzioni del sistema omogeneo
associato. Metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare con matrice
incompleta quadrata invertibile.
Parte III (circa 4 crediti)
Autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale su R o
C. Autospazi. Endomorfismi semplici di spazi finitamente generati. Matrici diagonalizzabili. Criterio di simplicità in termini della somma delle dimensioni degli
autospazi. Polinomio caratteristico di un endomorfismo e di una matrice ed il
calcolo di autovalori e di autospazi. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
di un autovalore. Criterio di semplicità in termini delle molteplicità (geometriche
e algebriche) degli autovalori (senza dim.) Massimo numero di autovalori distinti.
Matrici diagonalizzabili e diagonalizzazioni di matrici.
Prodotti scalari Euclidei ed Hermitiani. Prodotti scalari canonici su Rn e su
C . Matrice associata ad una forma bilineare o sesquilineare in una base fissata.
Condizioni sulle matrici associate corrispondenti alle condizioni per essere prodotti
scalari Euclidei o Hermitiani. Esistenza di un prodotto scalare Euclideo o Hermitiano su ogni spazio vettoriale finitamente generato reale o complesso. Norma
di un vettore in uno spazio Euclideo o Hermitiano. Disuguaglianza di Schwarz.
e disuguaglianza triangolare. Basi ortonormali. Metodo di ortogonalizzazione di
Gram-Schmidt. Complementi ortogonale di sottospazi e decomposizioni in somma
diretta di sottospazi ortogonali di spazi Euclidei o Hermitiani.
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Isometrie fra spazi Euclidei o Hermitiani. Matrici ortogonali e matrici unitarie.
Caratterizzazione delle isometrie in termini delle loro matrici associate. Matrici di
cambiamento di base fra basi ortonormali.
Endomorfismi autoaggiunti di uno spazio Euclideo o Hermitiano. Matrici simmetriche e matrici Hermitiane. Caratterizzazione degli endomorfismi autoaggiunti
in termini delle loro matrici associate. Autovalori di endomorfismi autoaggiunti.
Ortogonalità fra autospazi distinti di endomorfismi autoaggiunti. Invarianza di
complementi ortogonali a sottospazi invarianti per endomorfismi autoaggiunti. Teorema Spettrale. Diagonalizzabilità delle matrici simmetriche e Hermitiane.
Spazi affini modellati su uno spazio vettoriale su K. Spazi affini Euclidei e Hermitiani. Il piano e lo spazio geometrico come spazi affini su E2 e su E3 . Sottospazi
affini. Rette, piani e iperpiani di spazi affini. Sistemi di riferimento in uno spazio
affine e corrispondenti coordinate. Sistemi di riferimento cartesiani. Equazioni
parametriche per rette e piani ed equazioni in forma implicita per iperpiani di uno
spazio affine Euclideo o Hermitiano. Formula per la distanza fra due punti in un
sistema di riferimento cartesiano.
Formule del cambio di coordinate fra due sistemi di riferimento del piano e in
uno spazio affine in generale. Definizione algebrica di conica. Matrici associate
ad una conica in un sistema di riferimento. Trasformazioni delle matrici associate
ad una conica al cambio del sistema di riferimento. Coniche in forma canonica e
Teorema di Classificazione delle Coniche. Coniche a centro e di tipo parabolico,
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degeneri e non degeneri. Calcolo degli assi di simmetria e del centro di simmetria
di una conica a centro. Calcolo della forma canonica di una conica in base ai suoi
invarianti.
La preparazione all’esame dovrebbe essere basata principalmente su appunti presi
alle lezioni .
Testi consigliati.
– F. Fava e F. Tricerri, Geometria e Algebra Lineare, Levrotto & Bella,
Torino, 1987.
– A. Spiro, Appunti integrativi sulla teoria del determinante, scaricabile dal
sito http://web.unicam.it/matinf/ sotto le voci “Didattica - Spiro - Dispense - Geometria I” .
– F. Tricerri, Appunti integrativi sulle coniche, scaricabile dal sito http://web.
unicam.it/matinf/ sotto le voci “Didattica - Spiro - Dispense - Geometria
I” .
– E. Abbena, E. Bargero e S. Garbiero, Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, Levrotto & Bella, Torino, 1990.
– D.V. Kletenik, A collection of Problems in Analytical Geometry, Part I &
II, Pergamon Press, Oxford, 1966.
– E. Barletta e O. Petrucci, Esercizi di Geometria, Centro Stampa 2P, Firenze,
1995.
Andrea Spiro
