Densità in R - Dipartimento di Matematica e Informatica

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DENSITÀ DI Q E DI R \ Q IN R
Verifichiamo che gli insiemi Q ed R \ Q sono densi in R, ovvero che fissato
arbitrariamente c ∈ Q (risp. R \ Q), per ogni ǫ > 0 risulta Bǫ (c) ∩ Q 6= ∅ e Bǫ (c) ∩
(R \ Q) 6= ∅, ovvero ancora, l’intervallo aperto Bǫ (c) = ]c − ǫ, c + ǫ[ contiene almeno
un numero razionale ed almeno un numero irrazionale; iterando poi l’applicazione
del risultato segue che in realtà in ]c − ǫ, c + ǫ[ esistono infiniti numeri razionali
ed infiniti numeri irrazionali. A tale scopo verifichiamo direttamente che, fissati
arbitrariamente x, y ∈ R, x < y, è possibile trovare infiniti numeri reali, razionali
ed irrazionali, strettamente maggiori di x e strettamente minori di y. Ricordiamo
che è possibile rappresentare un qualunque numero reale come un allineamento
decimale infinito (periodico o aperiodico) del tipo
±c0 , c1 . . . cn . . . ,
dove c0 ∈ N, 0 ≤ cn ≤ 9, per ogni n ∈ N, n ≥ 1, ed il simbolo “+”viene omesso
qualora la rappresentazione denoti un numero reale positivo; ricordiamo pure che,
in accordo alla definizione data a lezione, in tale rappresentazione il periodo 9 non
è contemplato, ovvero, in simboli,
∄ ν ∈ N, ν ≥ 1 : cn = 9, ∀ n ≥ ν.
Dimostriamo pertanto il seguente teorema:
Teorema 1 (Densità in R). Siano x, y ∈ R tali che x < y. Allora esistono infiniti
numeri reali z (sia razionali che irrazionali) tali che x < z < y.
Dimostrazione. In accordo alle notazioni sopra ricordate, e supponendo, senza
perdere in generalità, che sia 0 < x, possiamo scrivere
x = a 0 , a 1 . . . an . . .
e
y = b0 , b1 . . . bn . . . .
Poichè è x < y, si ha an uguale a bn fino a qualche valore – diciamo ν-1 – dell’indice
n, e per n = ν si ha an < bn , ovvero, in simboli,
∃ ν ∈ N : an = bn ∀ n = 0, . . . , ν − 1 e
aν < b ν ;
si noti che la proposizione sopra scritta, per ν = 0, deve intendersi ridotta semplicemente alla diseguaglianza a0 < b0 . Sia dunque z un numero reale da determinare
in seguito; possiamo scrivere
z = c0 , c1 . . . cν cν+1 cν+2 cν+3 . . . .
Osserviamo subito che, affinchè risulti z < y, basta porre cn = an , ∀ n = 0, . . . , ν,
e scegliere poi arbitrariamente le rimanenti cifre cn con n ∈ N, n ≥ ν + 1 : naturalmente l’avverbio “arbitrariamente”esclude il periodo 9. Per concludere poi la
dimostrazione, affinchè risulti anche x < z, basta porre cν+1 = aν+1 + 1 se aν+1 <
9, e scegliere poi arbitrariamente le rimanenti cifre cn , con n ∈ N, n ≥ ν + 2;
oppure basta porre cν+2 = aν+2 + 1 se aν+1 = 9 e aν+2 < 9, e scegliere poi
arbitrariamente le rimanenti cifre cn , con n ∈ N, n ≥ ν + 3; analogamente si procede
se aν+1 = aν+2 = 9 e aν+3 < 9, e cosı̀ via, ricordando ancora una volta che, non
potendo presentarsi il periodo 9, prima o poi dovrà comparire qualche an , con
n ≥ ν + 1, strettamente minore di 9; naturalmente, anche in tali casi, l’avverbio
“arbitrariamente”che qualifica la scelta dei rimanenti cn , esclude il periodo 9. Per
l’arbitrarietà della scelta delle cifre cn come appena esposto, segue la tesi.
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2007
Author: Andrea O. Caruso – Date: 28 ottobre 2007
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DENSITÀ DI Q E DI R \ Q IN R
Osservazione 1. Si noti che, di fatto, al variare di tutte le possibili scelte periodiche ed aperiodiche delle cn , n ≥ ν + 1, come prima mostrato, ed al variare
della cifra cν = aν + k, k = 0, . . . , bν − aν − 1, si ottengono tutti i numeri reali z
strettamente maggiori di x e strettamente minori di y.
Osservazione 2. Per completezza osserviamo che la tesi del teorema, nel caso
in cui sia x ≤ 0, segue facilmente dal caso sopra esaminato. Supposto infatti che
sia x ≤ 0, fissiamo arbitrariamente un numero naturale n tale che n > −x; si ha
ovviamente x < y se e solo se n + x < n + y : in tal caso basta osservare che, essendo
0 < n + x, esistono, per quanto prima dimostrato, infiniti numeri reali positivi z
(sia razionali che irrazionali) tali che n + x < z < n + y, ovvero x < z − n < y; la
tesi pertanto segue subito osservando che il numero reale z − n è razionale (risp.
irrazionale) se e solo se z è razionale (risp. irrazionale).
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