Algebra - Teoria - Equazioni di secondo grado

~ Copyright © Ripetizionando - All rights reserved ~
http://ripetizionando.wordpress.com
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Equazioni di secondo grado nell’algebra
In matematica un’equazione di secondo grado o quadratica è un’equazione algebrica ad
una sola incognita x che compare con grado pari a due, esprimibile nella forma:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑐𝑜𝑛
𝑎≠0
Una equazione di secondo grado, per il teorema fondamentale dell’algebra, ammette
sempre e solo due soluzioni nel campo complesso, mentre ne ammette al più due (due, una
o anche nessuna) nel campo reale.
Risoluzione di equazioni di secondo grado
Equazioni quadratiche complete
Le prime testimonianze scritte di equazioni quadratiche risalgono all’età dei Babilonesi
(circa nel 400 a.C.), i quali scoprirono un primo metodo di risoluzione. Nel 300 a.C. Euclide
scoprì un nuovo metodo risolutivo basato sempre su un criterio geometrico. Solo nel 400
d.C. circa, il matematico Savasorda, introdusse la formula risolutiva generale in Europa. La
formula generale per risolvere un’equazione quadratica è:
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Dove si definisce discriminante, indicato tramite la lettera ∆, il termine:
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
Lo studio delle soluzioni di una generica equazione quadratica si esegue tramite lo studio
del segno del discriminante:
 ∆ > 0: L’equazione ammette due soluzioni reali distinte.
 ∆ = 0: L’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti.
 ∆ < 0: L’equazione non ammette alcuna soluzione reale.
L’unica condizione di esistenza delle equazioni quadratiche è che il termine moltiplicativo,
associato alla variabile di secondo grado, sia non nullo. Possono tuttavia essere nulli i
fattori b e c, quindi esistono diversi tipi di equazioni quadratiche incomplete.
|1|
~ Copyright © Ripetizionando - All rights reserved ~
http://ripetizionando.wordpress.com
Equazioni quadratiche spurie
Si definisce spuria un’equazione quadratica in cui manca il termine noto, quindi il termine
c è nullo. Le equazioni spurie hanno la forma:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
Le equazioni spurie si risolvono tramite un raccoglimento e sfruttando la legge
dell’annullamento del prodotto (la legge afferma che se il prodotto di due numeri reali è
nullo, allora almeno uno dei due numeri deve essere nullo), nella forma:
𝑥=0
𝑥
𝑏
=0→�
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 → �
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥=−
𝑎
ATTENZIONE: Le equazioni spurie ammettono sempre due soluzioni reali distinte.
Equazioni quadratiche pure
Si definisce pura un’equazione quadratica in cui il termine b, associato alla variabile di
grado uno, è nullo. Le equazioni pure hanno la forma:
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0
Le equazioni pure si risolvono sfruttando le proprietà delle potenze:
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 → 𝑥 2 = −
𝑐
𝑐
2
→ 𝑥 = ± �−
𝑎
𝑎
ATTENZIONE: Se il termine sotto radice è negativo l’equazione pura non ammette alcuna
soluzione reale, se è positivo ammette due soluzioni reali distinte.
Equazioni quadratiche monomie
Si definisce monomia un’equazione quadratica in cui sia il termine b, che il termine c, sono
nulli. Le equazioni monomie hanno la forma:
𝑎𝑥 2 = 0
Le equazioni monomie si risolvono tramite la semplificazione:
2
𝑎𝑥 2 = 0 → 𝑥 2 = 0 → 𝑥 = ± √0 → 𝑥1,2 = 0
|2|
~ Copyright © Ripetizionando - All rights reserved ~
http://ripetizionando.wordpress.com
ATTENZIONE: Le equazioni monomie ammettono sempre due soluzioni reali, nulle,
coincidenti.
Equazioni di secondo grado in geometria
Una equazione quadratica è rappresentabile graficamente sul piano cartesiano come una
parabola. La concavità della parabola è determinata dal segno del parametro a:
 a > 0: Concavità verso l’alto.
 a < 0: Concavità verso il basso.
Il parametro b indica la simmetria della parabola rispetto all’asse verticale: se b=0, allora
la parabola è simmetrica, altrimenti no.
Il parametro c indica il punto di intersezione della parabola con l’asse verticale: se c=0,
allora la parabola interseca gli assi nell’origine.
|3|