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459 (\/T5 - \/2) (3V3 + 2N/6) + (2\/5 - 3v^) (N/S
v^\/r;;5(j=-j=)
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(Suggerimento; la prima disequazione è sempre verificata perché
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(x-2)*(x^ + ^ - 2 ) > 0
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-
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(x'-8)(x*-9x2)>0
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395
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3
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397
- — - + x-3
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0 >/ ^
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X >
1
X
4
t
fi Dato il triangolo
di vertici A(3; 0),B(0; 4), C —^; 0 :
ij 1 verificare che è isoscele;
i?i determinare l'equazione della mediana CM e verificare che è perpendicolare al lato AB;
L-) calcolarne il perimetro e l'area.
40
'
^
/j) 6 . v - R v + 7 = 0 » c-}/) = ^ . •:--/ = - ^ ^
La retta di equazione + 3}' - 3 = 0 interseca gli assi xey rispettivamente nei punti A&B.
Considerati il punto C(0; 4) e il punto D simmetrico di C rispetto ad A, calcolare l'area del
triangolo CBD.
•
.vi = 9
Data la retta r di equazione y = 2x-4 e indicati con A la sua intersezione con l'asse x&B\a
: sua intersezione con l'asse y, sia Oil simmetrico di B rispetto ad A. Determinare:
a ) l'equazione della retta s passante per A e perpendicolare alla retta r, indicando con D la sua
intersezione con l'asse y;
bì le coordinate del punto E sinmietrico di D rispetto ad A;
: r) dopo aver osservato che il quadrilatero CDBE è un rombo, calcolarne il perimetro e l'area.
a) i- = - | . v - f i ' h)E(4;-l)^c)p
= 2l).'.! = 20
Sia r la retta passante per i punti A(-2; 0) e B(0; 4). Rispondere ai seguenti quesiti:
a) scrivere l'equazione della retta n passante per A e perpendicolare a r, indicando con E la
sua intersezione con l'asse y;
b) scrivere l'equazione della retta s passante per E e parallela a r,
c) calcolare le coordinate del quarto vertice D del rettangolo AEDB;
d) verificare che il rettangolo ha una dimensione doppia dell'altra.
r: y = 2v + 4 • a) «:y=-|-.v- 1 • b) s: y = 2v - 1 • c) D(2: 3)
Il quadrilatero ABCD ha vertici di coordinate A(-3; 2), S{4; 3), C(9; - 2 ) , D(2; -3):
d) dimostrare che tutti i lati hanno la stessa lunghezza;
b) dimostrare che ABCD non è un quadrato.
io Siano A e 5 i punti di intersezione della retta r: x - 2j + 4 = 0 rispettivamente con gh assi xty.
a) Determinare l'equazione dell'asse del segmento AB, indicando con C e Z) le sue intersezioni rispettivamente con gli assi x e y.
b) Calcolare le aree dei triangoli ACB e ACD.
[a) L'asse del segmento AB è la perpendicolare alla retta AB passante per il punto medio M del segmento AB; pertanto, essendo m^g = m^=-^ eM{-2; l)...]
a) y =-2.x-3
' b) —; —
'17ì Dato il triangolo i cui lati appartengono alle rette: 2x-y = 0, x + 2y = Q e 3x + y-10 = 0:
a) verificare che è rettangolo in O e isoscele;
b) detti S e C gli altri due vertici, determinare il quarto vertice A del quadrato OBAC;
c) calcolare l'area del quadrato.
Ir, ,4(6; 2 ; •
20
Dopo aver determinato per quale valore di i le rette:
r:3fcc-2y + fe-5=0 s: (fe-1) x - 2 y + 5fe-1 = 0
sono parallele, tracciare le rette individuate e calcolare l'area del quadrilatero che ha per lati r,
5 e gli assi cartesiani.
SU Dimostrare che i tre punti A(-3; 1), 5(3; 4), C(7; 6) sono allineati. Indicata poi con r la retta
su cui giacciono, con D la sua intersezione con l'asse x, determinare:
a) la perpendicolare a r passante per B, indicando con B' la sua intersezione con l'asse x;
b) detta H la proiezione dell'origine O su r, calcolare il rapporto "^i^^^l •
£113 Dopo aver scritto l'equazione della retta r passante per i punti A\^'A —j e oyy, o;,
u , ^ ^ ^ . ^ . .
a) la distanza dell'origine O dalla retta r;
b) la distanza di C(4; -12) dalla retta r;
c) i l rapporto tra l'area del triangolo ABC e l'area del triangolo ABO.
\j
-
» b) — ' c; 6
) 2 - 0 « a',
r : 3J - 4 V
:>
313 Data la retta r di equazione x - j + 1 = 0, detti A e-S i suoi punti di intersezione con gli assi
xey, determinare:
a)
b)
c)
d)
la distanza del punto C(0; 2) dalla retta r;
la distanza del punto D(4; 2) dalla retta r;
i l rapporto tra l'area del triangolo ABD e l'area del triangolo ABC;
i l rapporto tra l'area tìel triangolo BCD e l'area del triangolo ABC.
CI)
-7=
• /?•)
• t i 3 • i/i 4
U|2 Dopo aver scritto l'equazione della retta r passante per i punti A(2; 1) e B(0; 2);
a) verificare che i l triangolo ABO è isoscele;
b) calcolare la distanza di O dalla retta r;
c) sia C i l simmetrico di O rispetto al punto A; i due triangoli AOB e ABC sono uguali? Sono
equivalenti?
d) determinare sulla retta AC i due punti £ ed la cui distanza da r è doppia della distanza di
O dar.
•_i
.V-h 2v •-4 - 0 ' / ) ) -i=:- . e) C"{4: 2). equivalenti » d) E[-2:~\)J-'{b:
3)
Un triangolo rettangolo ha un angolo a.cuto di 30° e l'altezza relatira all'ipotenusa di 7 cm. Calcola il perimetro, l'area del triangolo e le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
98 , n:
,
.-
7V3
14(1 + \/33 cm; — - \/3 cm-; 7 V 3 cm; •
3
3
• cm
Un trapezio rettangolo ha l'angolo acuto adiacente alla base maggiore di 60°. Calcola l'area del trapezio sapendo die la base juinore è i — di quella maggiore e che il perimetro è 2(9 + V 3 ) cm.
[ 14
evo?- ]
D triangolo rettangolo ABC ha l'angolo A di 90° e B di 60°. La bisettrice
dell'angolo B divide il cateto CA
in due parti tali che DA è 2 m. Calcola la lunghezza del perimetro, l'area del triangolo ABC e la lunghezza del
segmento CD.
•
I6(V3 + 1) m; 6 V 3 m-; 4m]
Un triangolo ABC ha l'angolo in C di 120°. L'altezza AH relativa alla base BC t 5 cm, il lato BC è
/
12-
5 V 3 \.
cm. Calcola il perimetro.
3 /
L / . . V3\
5+
3 /
cm
Data una circonferenza di raggio r costruisci il triangolo rettangolo OAB, retto in B (0 è il centro della circonferenza e 05 il raggio). Sapendo che l'angolo AOB ha ampiezza 60°, calcola area e perimetro del triangolo
ABC, con C intersezione di AO con la circonf5erenza.
'-; r(2 + V 3 )
EES Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza di raggio r. Gli angoli alla base maggiore sono di
60°. Calcola area e perlnietro del trapezio.
3V3
lES Un trapezio ha gli angoli alla base minore di 120° c 135°; l'altezza èa,il perimetro a(7 + V 3 + Vi). CalcoI1
la l'area del ti-apezio.
a' (21 + V 3 )
EEH Un triangolo ABC è inscritto in una semicirconferenza di centro O e raggio 2a. L'angolo CÒB è di 60°. Calcola area e perimetro del triangolo, altezza relativa al diametro AB e le due parti in cui tale altezza divide la
base.
[2\/5a-;2cì(5 +
'\^y,ciV5\òa;a]
1^
I n u n t r i a n g o l o r e t t a n g o l o u n cateto supera d i 2
d o che l a s o m m a delie lunghezze della base del t r i a n -
c m l a s u a p r o i e z i o n e s u l l ' i p o t e n u s a . D e t e r m i n a le l u n -
g o l o e dell'altezza a esso relativa è 2 4 c m , d e t e r m i n a
ghezze d e i cateri dei t r i a n g o l o , sapendo che l ' i p o t e n u -
l'area d e l t r i a n g o l o .
sa è l u n g a 9 c m .
I n u n trapezio isoscele, circoscritto a u n a circonI l l a t o d i u n r o m b o è l u n g o 2 0 c m e i l r a g g i o delia c i r c o n f e r e n z a i n s c r i t t a n e l r o m b o è l u n g o 8 c m .
ferenza, l'area m i s u r a 20a~ e i l p e r i m e t r o m i s u r a 20a.
D e t e r m i n a le misure
d e i lari del trapezio.
Q u a n t o s o n o l u n g h e le d i a g o n a l i d e l r o m b o ?
D a t a u n a semicirconferenza d i d i a m e t r o AB e
U n trapezio isoscele ABCD^h
i n s c r i t t o i n u n a se-
micirconferenza d i diametro AB = 2 r e la m i s u r a della
sua altezza è l a m e t à de] raggio.
Determina la misura
raggio r, sia PORS
u n r e t t a n g o l o i n s a i t t o nella semi-
circonferenza, c o n i l i a t o PO s u AB. D e t e r m i n a le m i sure dei l a t i del r e t t a n g o l o , i n m o d o che l a s o m m a del
l a t o PQ e della diagonale PR m i s u r i 3 r .
dell'area d e l trapezio.
U n t r a p e z i o isoscele è i n s c r i t t o i n u n a semicirconferenza i l c u i raggio m i s u r a r . L'area della s o m m a
dei q u a t i r a r i c o s t r u i t i s u i s u o i l a t i m i s u r a 7r^. Determ i n a l a m i s u r a d e l p e r i m e t r o e dell'area del t r a p e z i o .
I n u n a circonferenza d i raggio r è data u n a c o r d a
AB rale che, c o n d o t t e le t a n g e n t i alla circonferenza n e i
d u e p u n t i A t B,e i n d i c a t o c o n P i l p u n t o d ' i n c o n t r o
d i t a l i t a n g e n t i , l a distanza d i P d a A B è 4 r .
Q u a l è l a distanza della c o r d a d a l centro d e l l a circonferenza?
sììz.
base, i n m o d o che l'area d e l l a s o m m a dei q u a d r a t i cos t r u i t i s u i l a t i d e l t r i a n g o l o m i s u r i 5?-^.
^2
C o n s i d e r a u n t r i a n g o l o equilatero A B C , i l c u i la-
ro m i s u r a l. Traccia, esternamente a l t r i a n g o l o equila-
U n t r i a n g o l o isoscele è i n s c r i t t o i n u n cerchio d i
r a g g i o r . D e t e r m i n a l'altezza d e l t r i a n g o l o reìaùva.
,^
U n t r i a n g o l o A B C , isoscele suUa base A B , è i n -
s c r i t t o i n u n a circonferenza d i raggio 7,5 c m . Sapen-
tero, l a semicirconferenza d i d i a m e t r o AB. D e t e r m i na, su tale semicirconferenza, i l p u n t o P tale che
PC^ =
\
;
