Processi casuali

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica
Corso di Comunicazioni Elettriche
Processi casuali
A.A. 2007-08
Alberto Perotti, Roberto Garello
DELEN-DAUIN
Processi casuali
• Sono modelli probabilistici di insiemi di forme d’onda.
• La notazione è analoga a quella usata per i segnali:
• Un processo casuale può essere interpretato come
– un insieme di variabili casuali indicizzate dal parametro temporale
t, oppure
– una funzione di variabile reale t (tempo), dove il valore assunto in
ogni istante c(t0) è in realtà una variabile casuale, chiamata
variabile casuale puntuale del processo.
• Una specifica realizzazione è indicata con la seguente
notazione:
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Processi casuali (cont.)
• Esempio: segnale rettangolare
c(t ) = αpT (t )
dove
– α è una VC binaria: α ∈{1, -1}
– la funzione pT(t) è la porta di durata T e ampiezza 1.
• Le due possibili realizzazioni di questo processo sono
c ( 0) (t ) = pT (t )
c (1) (t ) = − pT (t )
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Processi casuali (cont.)
• Esempio: il segnale per la trasmissione di dati binari
dove
– le αi sono VC binarie in {1, -1}
– la funzione pT(t) è la porta di durata T e ampiezza 1.
• Una possibile realizzazione è
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Processi casuali (cont.)
• Esempio: il rumore termico
– La tensione a vuoto misurata ai capi di un insieme di resistori in
presenza di rumore termico è un processo casuale.
– Tale processo è il modello che viene comunemente usato per
descrivere il rumore termico
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DELEN–DAUIN
Distribuzione cumulativa e
densità di probabilità
• Fissato un istante di tempo t, si ottiene la variabile casuale
puntuale C(t).
• Si definisce la funzione distribuzione cumulativa come
e la funzione densità di probabilità (ddp) come la sua
derivata
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Valor medio, valor quadratico medio,
varianza
• A partire dalla densità di probabilità appena definita, in
modo analogo alle VC, si ottengono
– Il valor medio
– Il valor quadratico medio
– La varianza
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Momento congiunto del secondo ordine
• Date due variabili casuali puntuali C(t1) e C(t2), si
definisce il momento congiunto del secondo ordine come
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Processi casuali stazionari
• Un processo casuale è stazionario del primo ordine se la
ddp del primo ordine della VC puntuale C(t) non dipende
dall’istante t, cioè se
quindi il valor medio mC(t) è costante, indipendente dal
tempo.
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Processi casuali stazionari (cont.)
• Analogamente, un processo si dice stazionario del
secondo ordine se la ddp del secondo ordine della VC
puntuale C(t) non dipende dall’istante t, cioè se
cioè la ddp dipende solo dalla differenza t1 – t2.
• In questo caso, anche il momento congiunto MC(t1, t2)
dipende solo da t1 – t2.
• Se la stazionarietà del processo è verificata per ogni
ordine, allora si dice che il processo è stazionario in senso
stretto.
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Processi casuali stazionari (cont.)
• Un processo casuale si dice ciclostazionario se le ddp di
ogni ordine della variabile casuale puntuale C(t) dipendono
dall’istante temporale t, ma sono periodiche di periodo T.
• Ad esempio, per la ddp del primo ordine vale la seguente
relazione:
e quindi
• Per la ddp del secondo ordine:
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Medie temporali
• Si tratta di medie calcolate su una singola realizzazione del
processo c( j )(t).
• Valor medio temporale
• Per una generica funzione f, si definisce il valor medio
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Autocorrelazione e potenza
• La funzione di autocorrelazione di un processo casuale è
definita come
• La potenza è definita come
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DELEN–DAUIN
Stazionarietà in senso lato
• Un processo casuale è stazionario in senso lato (Wide
Sense Stationary, WSS) se è stazionario per la media e per
la varianza, cioè se
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Ergodicità
• L’ergodicità riguarda le relazioni tra le proprietà
statistiche d’insieme di un processo casuale e le proprietà
determinabili da una singola realizzazione.
• Un processo casuale è ergodico se, per ogni funzione f ,
la media temporale calcolata su qualsiasi realizzazione
coincide con la media statistica calcolata in qualsiasi
istante:
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DELEN–DAUIN
Ergodicità (cont.)
• È possibile quindi ignorare la dipendenza sia dal tempo che
dalla specifica realizzazione:
• Quindi:
– Tutte le realizzazioni hanno le stesse proprietà
– Tutte le VC puntuali hanno le stesse proprietà
– Le proprietà statistiche e le proprietà temporali coincidono
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Ergodicità (cont.) - media
• La media di un processo casuale ergodico vale
• Quindi, ignorando la dipendenza sia dal tempo che dalla
specifica realizzazione:
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Ergodicità (cont.) - autocorrelazione
• La funzione di autocorrelazione di un processo casuale
ergodico vale
• Quindi, ignorando la dipendenza sia dal tempo che dalla
specifica realizzazione:
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Ergodicità (cont.) - potenza
• Di conseguenza, la potenza di un processo casuale
ergodico vale
• Quindi la potenza è la stessa per ogni realizzazione e
coincide con il valor quadratico medio di una VC estratta
in qualsiasi istante.
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Densità spettrale di potenza di un processo
casuale
• La densità spettrale di potenza di un processo casuale è
definita come la trasformata di Fourier
dell’autocorrelazione:
• Proprietà:
– Reale e pari
– Gc( f ) >= 0
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Densità spettrale di potenza di un processo
casuale (cont.)
• Antitrasformando lo spettro di potenza, si ottiene la
funzione di autocorrelazione:
• La potenza del processo può allora essere espressa come
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Processi casuali ergodici e sistemi lineari
• Se un processo casuale c(t) avente spettro di potenza Gc( f )
è inviato in ingresso ad un sistema lineare tempoinvariante avente funzione di trasferimento H( f ), per il
processo y(t) d’uscita valgono le seguenti relazioni:
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Il rumore Gaussiano bianco
• Un processo casuale stazionario n(t) si dice Gaussiano
bianco se
– Gn( f ) = N0/2 per ogni f ∈ R (da questa proprietà deriva la
definizione di rumore bianco)
– Per ogni t ∈ R, n(t) è una VC Gaussiana a valor medio nullo e
varianza N0/2.
• Antitrasformando Gn( f ), si deduce che Rn(t) = N0/2 δ (t).
• Osservazione: la potenza media, calcolata come integrale
di Gn( f ) , è infinita. Tuttavia, il modello viene usato in
molti casi pratici in cui il rumore ha Gn( f ) costante per
ampi intervalli di frequenza.
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Il rumore Gaussiano bianco filtrato
• Si consideri un processo casuale n(t) Gaussiano filtrato da
un sistema LTI con H( f ) = 1 in [-B, B], dove B è la banda
del filtro, e nulla altrove.
• Il segnale ottenuto n’(t) ha densità spettrale di potenza
quindi la potenza media di n’ vale
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Esercizio 0
• È dato un processo casuale costituito da un impulso pT(t)
rettangolare di durata T e di ampiezza unitaria moltiplicato
per una VC α ∈ {0, 1}. Sia P{α = 1} = P{α = 0} = ½.
c(t ) = αpT (t )
• Determinare la media d’insieme del processo.
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Esercizio 0 - soluzione
• Le due realizzazioni del processo possono essere
rappresentate nel seguente modo:
c(0)(t)
1
T
t
c(1)(t)
t
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Esercizio 0 - soluzione
• Negli intervalli di tempo (-∞, 0) e (T, ∞) entrambe le
realizzazioni valgono 0, quindi in tali intervalli la VC
puntuale assume il solo valore 0 e la sua media vale 0.
• In [0, T] la VC puntuale assume i valori 0 e 1 con
probabilità ½, quindi la sua media vale ½
• In conclusione, la media d’insieme mc(t) vale ½ in [0, T] e
0 altrove.
mc(t)
½
T
t
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Esercizio 1
• È dato un processo casuale costituito dalla successione di
impulsi pk(t) di durata αk e ampiezza unitaria
dove pk(t) = 1 per t ∈ [0, αk]. Le VC αk sono
statisticamente indipendenti e identicamente distribuite
(iid), con densità di probabilità uniforme in [0, T].
• Determinare la media d’insieme del processo.
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Esercizio 1 - soluzione
• Una possibile realizzazione è la seguente
x(0)(t)
1
−T
−Τ+α−1
T
α0
Τ+α1
2T
t
2Τ+α2
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DELEN–DAUIN
Esercizio 1 - soluzione
• Operiamo la sostituzione t = kT + t’, con t’ ∈ [0, T].
• Si ottiene
espressione che vale in t ∈ [kT, (k + 1)T].
• In generale:
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Esercizio 2
• Si vuole trasmettere una sequenza di simboli binari αi per
mezzo dello schema riportato:
tk = T + 2kT
x(t)
R
ηk
>0
≤0
1
–1
n(t)
s(t)
1
T
2T
t
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Esercizio 2 (cont.)
• Inoltre
– Le VC αi ∈ {-1, 1} sono iid, con densità di probabilità uniforme
– n(t) è un rumore Gaussiano con densità spettrale di potenza
• Calcolare la probabilità di errore del sistema
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Esercizio 2 (cont.)
•
La VC ηk vale
η k = α k + nk
•
dove nk = n(T + 2kT).
La probabilità di errore può essere calcolata come
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Esercizio 2 (cont.)
•
Si ottiene
Pe =
1
1
P{nk < −1} + P{nk > 1}
2
2
dove nk = n(T + 2kT) è una VC Gaussiana con media nulla
e varianza (=potenza media) che deve essere calcolata
usando Gn( f ).
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Esercizio 2 (cont.)
•
Dall’espressione di Sn( f ) si ottiene
da cui si ottiene:
•
Si procede in modo analogo per αk = -1.
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Esercizio 3
•
•
Sia x(t) un processo casuale stazionario con densità di
probabilità del primo ordine uniforme in [-A, A].
Sia inoltre y(t) un segnale determinato:
•
Si consideri il processo casuale z(t) = x(t) y(t).
•
Spiegare perché z(t) non è un processo stazionario.
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Riferimenti bibliografici
[1]
G. Prati, Videocorso “Teoria dei Segnali”
[2]
R. Gaudino, Appunti sulle esercitazioni relative alla Teoria dei Segnali,
http://corsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/04AJYCC/
Comunicaz_elettr_richiami.pdf
[3]
S. Benedetto, E. Biglieri, Teoria della Probabilità e Variabili Casuali,
Bollati Boringhieri, Torino, 1988
[4]
L. Lo Presti, F. Neri, Introduzione ai Processi Casuali, CLUT, Torino, 1993
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