Teoria della probabilità

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica
Corso di Comunicazioni Elettriche
Teoria della probabilità
Variabili casuali
A.A. 2008-09
Alberto Perotti
DELEN-DAUIN
Variabile casuale
• Una variabile casuale (VC) è una funzione reale definita
sullo spazio campione S: a ciascun punto s ∈ S la VC fa
corrispondere un valore reale x = ξ(s).
• Per ogni numero reale x, l’insieme {s: ξ(s) = x} è un
evento.
• Per ogni intervallo (x1, x2), l’insieme {s: ξ(s) ∈ [x1, x2]} è
un evento.
DELEN–DAUIN
2
1
Variabile casuale (cont.)
• Esempio 1: lancio di una moneta.
– Si può associare all’evento {testa} ({T}) il valore 0 e all’evento
{croce} ({C}) il valore 1.
– Si ottiene una variabile casuale discreta binaria.
3
DELEN–DAUIN
Variabile casuale (cont.)
• Esempio 2: lancio di un dado.
– Si può associare al punto si = {è uscito il numero i} il valore
x = ξ(si) = i.
– Si ottiene una variabile casuale discreta.
DELEN–DAUIN
4
2
Variabile casuale (cont.)
• Esempio 3: misura di resitenza.
– Si può associare l’evento {il risultato della misura è r} al valore
x = ξ(r) = r.
– Si ottiene una variabile casuale continua.
5
DELEN–DAUIN
Distribuzione cumulativa
• È una funzione reale definita nel seguente modo:
• Proprietà:
– Estremi:
– F è monotona non decrescente:
DELEN–DAUIN
6
3
Distribuzione cumulativa (cont.)
• Esempio 1 (cont.): lancio di una moneta.
– P{T} = ½
– P{C} = ½
Fξ (x)
1
0
x
1
7
DELEN–DAUIN
Distribuzione cumulativa (cont.)
• Esempio 2 (cont.): lancio di un dado.
– P{è uscita la faccia i} = 1/6
Fξ (x)
1
0
DELEN–DAUIN
6
x
8
4
Distribuzione cumulativa (cont.)
• Esempio 3 (cont.): misura di resistenza.
– La distribuzione cumulativa è una funzione continua.
– R0: valore nominale della resistenza
Fξ (x)
1
0
R0
x
9
DELEN–DAUIN
Densità di probabilità
• È una funzione reale definita nel seguente modo:
• Significato:
DELEN–DAUIN
è la probabilità dell’evento
10
5
Densità di probabilità (cont.)
• Proprietà:
– Non negativa:
– Legami con la distribuzione cumulativa:
11
DELEN–DAUIN
Densità di probabilità (cont.)
• Esempio 1 (cont.): lancio di una moneta.
– P{T} = ½
– P{C} = ½
fξ (x)
½
0
DELEN–DAUIN
1
x
12
6
Densità di probabilità (cont.)
• Esempio 2 (cont.): lancio di un dado.
– P{è uscita la faccia i} = 1/6
fξ (x)
1/
6
0
1 2 3 4 5 6
x
13
DELEN–DAUIN
Densità di probabilità (cont.)
• Esempio 3 (cont.): misura di resistenza.
– La densità di probabilità è una funzione continua.
– R0: valore nominale della resistenza
fξ (x)
0
DELEN–DAUIN
R0
x
14
7
Densità di probabilità (cont.)
• Data una VC con densità di probabilita fξ(x), la probabilità
dell’evento {a < ξ < b} vale
fξ (x)
0
a
b
x
15
DELEN–DAUIN
Valor medio
• Il valor medio (o valore atteso) di una VC è definito nei
seguenti modi
– VC discreta cha assume i valori xi :
– VC continua con densità di probabilità fξ (x):
DELEN–DAUIN
16
8
Valor medio (cont.)
• Esempio 1 (cont.): lancio di una moneta.
– P{T} = ½
– P{C} = ½
fξ (x)
½
0
x
1
17
DELEN–DAUIN
Valor medio (cont.)
• Esempio 2 (cont.): lancio di un dado.
– P{è uscita la faccia i} = 1/6
fξ (x)
1/
6
0
DELEN–DAUIN
1 2 3 4 5 6
x
18
9
Valor medio (cont.)
• Esempio 3 (cont.): misura di resistenza.
– È necessario conoscere l’espressione analitica della densità di
probabilità
– Se fξ(R0 + x) = fξ(R0 – x), x ∈ R+, il valor medio è R0.
fξ (x)
1
0
R0
x
19
DELEN–DAUIN
Varianza
• La varianza di una VC è definita nel seguente modo:
– Fornisce informazioni su quanto la funzione densità di probabilità
è concentrata intorno al suo valor medio.
• La grandezza
è il valor quadratico medio, e
coincide con la varianza per le VC il cui valore atteso della
VC è nullo.
DELEN–DAUIN
20
10
Varianza (cont.)
• VC discreta cha assume i valori xi :
[
]
E (ξ − E[ξ ]) 2 = ∑ ( xi − E[ξ ]) 2 P{ξ = xi }
i
• VC continua con densità di probabilità fξ(x):
[
∞
]
E (ξ − E[ξ ]) = ∫ ( x − E[ξ ]) 2 fξ ( x)dx
2
−∞
21
DELEN–DAUIN
Varianza (cont.)
• Esempio 1 (cont.): lancio di una moneta.
– P{T} = ½
– P{C} = ½
fξ (x)
½
0
DELEN–DAUIN
1
x
22
11
Varianza (cont.)
• Esempio 2 (cont.): lancio di un dado.
– P{è uscita la faccia i} = 1/6
fξ (x)
1/
6
0
1 2 3 4 5 6
x
23
DELEN–DAUIN
Varianza (cont.)
• Esempio 3 (cont.): misura di resistenza.
– È necessario conoscere l’espressione analitica della densità di
probabilità e il valor medio di ξ.
fξ (x)
0
DELEN–DAUIN
R0
x
24
12
Densità uniforme
• Densità di probabilità uniforme in [a,b]
fξ (x)
1/
(b-a)
a
b
x
b
x
Fξ (x)
1
a
25
DELEN–DAUIN
Densità uniforme (cont.)
• Valor medio:
• Varianza
DELEN–DAUIN
26
13
Densità uniforme - esempi
• Variabile casuale ξ distribuita uniformemente in [5, 12]:
27
DELEN–DAUIN
Densità di Bernoulli
• Un esperimento ha probabilità di successo p e probabilità
di insuccesso 1 – p
• Solitamente, si associa all’evento {successo} il valore 1 e
all’evento {insuccesso} il valore 0
• Le funzioni distribuzione cumulativa e denstià di
probabilità valgono
DELEN–DAUIN
28
14
Densità binomiale
• Eseguendo n esperimenti di Bernoulli statisticamente
indipendenti con probabilità di successo p, la probabilità
di ottenere esattamente k successi vale
• Definendo la VC ξ come il numero di successi, si ottiene
29
DELEN–DAUIN
Densità Gaussiana
• Densità di probabilità Gaussiana (o normale) N(µ, σ2)
– La funzione erf(x) è chiamata funzione errore.
DELEN–DAUIN
30
15
Densità Gaussiana (cont.)
• Esempio: densità Gaussiana (o normale)
– µ: valor medio
– σ: deviazione standard
– σ 2: varianza
fξ (x)
σ = 0.5
σ=1
σ=2
µ
x
31
DELEN–DAUIN
Densità Gaussiana (cont.)
• Data una VC ξ Gaussiana con media µ e deviazione
standard σ, la probabilità dell’evento {ξ > a} è data da
1
Fξ (x)
– La funzione erfc(x) = 1 – erf(x)
è la funzione errore complementare
0
DELEN–DAUIN
µ a
x
32
16
Densità Gaussiana - esempio
• Si consideri un resistore di resistenza R scaldato ad una
qualsiasi temperatura T > 0 K e collegato ad un carico
adattato.
• La tensione che si può misurare ai capi del carico è dovuta
all’agitazione termica delle particelle cariche nel resistore.
33
DELEN–DAUIN
Densità Gaussiana – esempio (cont.)
• Campionando in un qualsiasi istante la tensione generata
dal resistore, si ottiene una VC Gaussiana a valor medio
nullo e varianza proporzionale alla temperatura
σ2 =
kT
2
• k è la costante di Boltzmann (1.38 × 10-23 J/K)
• Il prodotto kT è solitamente indicato con N0
DELEN–DAUIN
34
17
Distribuzione cumulativa congiunta di due
VC
• Date due VC ξ1 e ξ2, si definisce la funzione reale
dove
DELEN–DAUIN
35
Distribuzione cumulativa congiunta di due
VC (cont.)
• Proprietà:
– Osservando che {ξ2 < ∞} è l’evento certo, si ha
– Analogamente
– Inoltre
DELEN–DAUIN
36
18
Densità di probabilità congiunta di due VC
• Date due VC ξ1 e ξ2, si definisce la funzione reale
• La densità di probabilità marginale rispetto a ξ1 è ottenibile
integrando la congiunta rispetto a x2:
fξ1 ( x1 ) = ∫
∞
−∞
fξ1ξ 2 ( x1 , x2 )dx2
DELEN–DAUIN
37
Distribuzione cumulativa e densità
condizionate
• Data una VC ξ, si definisce la distribuzione cumulativa di
ξ condizionata all’evento A come
• La corrispondente densità di probabilità condizionata vale
DELEN–DAUIN
38
19
Distribuzione cumulativa e densità
condizionate (cont.)
• Esempio: se A è l’evento {ξ ≤ a}, si ottiene
Fξ (x|ξ ≤ a)
fξ (x|ξ ≤a)
1
0
a
x
0
a
x
39
DELEN–DAUIN
Esercizio 7
• Una VC ξ ha la seguente densità di probabilità:
1
[u(x − 1) − u(x − 3)]
2
dove u(x) è la funzione gradino unitario
• Verificare che fξ(x) sia una densità di probabilità.
• Calcolare la funzione distribuzione cumulativa.
• Calcolare inoltre la probabilità dei seguenti eventi:
fξ ( x ) =
(1)
{ξ ≤ 4}
( 2)
{ξ ≥ 2}
(3)
{| ξ |≤ 1}
( 4) {2 ≤ ξ ≤ 5 2}
DELEN–DAUIN
40
20
Esercizio 7 (cont.)
• Una funzione densità di probabilità deve soddisfare la
seguente proprietà:
• Nel nostro caso:
41
DELEN–DAUIN
Esercizio 7 (cont.)
• La distribuzione cumulativa può essere calcolata come
x
Fξ ( x) = P{ξ ≤ x} =
∫ fξ ( y)dy
−∞
=
DELEN–DAUIN
 0
x ≤1
 x −1
1≤ x ≤ 3

2

x≥3
 1
42
21
Esercizio 7 (cont.)
43
DELEN–DAUIN
Esercizio 8
• Una VC ξ ha la seguente densità di probailità:
• Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
• Calcolare inoltre
DELEN–DAUIN
44
22
Esercizio 8 (cont.)
• (1)
• (2)
• (3)
• Infine:
−2≤ x ≤ 2
45
DELEN–DAUIN
Riferimenti bibliografici
[P]
G. Prati, Videocorso “Teoria dei Segnali”
[G] R. Gaudino, Appunti sulle esercitazioni relative alla Teoria dei Segnali,
http://corsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/04AJYCC/
Comunicaz_elettr_richiami.pdf
[BB] S. Benedetto, E. Biglieri, Teoria della Probabilità e Variabili Casuali,
Bollati Boringhieri, Torino, 1988
DELEN–DAUIN
46
23