Teoria della probabilità

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica
Corso di Comunicazioni Elettriche
Teoria della probabilità
Assiomi e teoremi
A.A. 2008-09
Alberto Perotti
DELEN-DAUIN
Esperimento casuale
• Esperimento suscettibile di più risultati possibili
• Il risultato non può essere predetto con certezza
• Esempi:
–
–
–
–
Lancio di una moneta
Lancio di un dado
Calcio di rigore
Misura della resistenza di un resistore
DELEN–DAUIN
2
1
Spazio campione
• È l’insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento
casuale e si indica con S
• Esempi:
–
–
–
–
Lancio di una moneta: S = {testa, croce} = {T, C}, |S| = 2
Lancio di un dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , |S| = 6
Calcio di rigore: S = {gol, parata, palo, traversa, fuori}
Misura della resistenza:
• In questo caso, si parla di spazio campione continuo
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DELEN–DAUIN
Evento
• Ogni sottoinsieme dello spazio campione è detto evento
• Esempi:
– Lancio di una moneta: l’evento “è uscito testa” è indicato
con {testa} o {T}
– Lancio di un dado: l’evento “uscita di un numero dispari” è
E = {1, 3, 5}
– Calcio di rigore: l'evento “no gol” è N = {parata, palo, traversa,
fuori}.
DELEN–DAUIN
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2
Probabilità di un evento
• Ad ogni evento
si associa una probabilità, valore
reale in [0, 1], assegnato in modo da soddisfare i seguenti
assiomi:
– Assioma I:
– Assioma II:
– Assioma III: se A e B sono incompatibili(1) (
(1)
)
Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è vuota.
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DELEN–DAUIN
Corollari
• La probabilità dell’evento impossibile è
• La probabilità che non si verifichi l’evento A è
• Siano A e B due eventi qualsiasi:
DELEN–DAUIN
6
3
Probabilità congiunta
• L’evento
corrisponde all’occorrenza congiunta
degli eventi A e B.
– Esempio: lancio del dado.
• A = {è uscito un numero pari}
• B = {è uscito un numero ≤ 3}
• Allora l’evento congiunto A ∩ B è {2}
• La probabilità congiunta dei due eventi si indica con
DELEN–DAUIN
7
Eventi statisticamente indipendenti
• Quando il verificarsi dell’evento A non influisce sul
verificarsi dell’evento B, si dice che i due eventi sono
statisticamente indipendenti.
• In questo caso, vale il seguente risultato:
DELEN–DAUIN
8
4
Probabilità condizionata
• È la probabilità dell’evento A condizionata al verificarsi
dell’evento B.
• È definita nel seguente modo:
• Se A e B sono statisticamente indipendenti:
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DELEN–DAUIN
Probabilità condizionata
• Esempio (lancio di un dado). Qual è la probabilità che
esca un numero minore o uguale a 3, dato che è uscito un
numero dispari?
– A = {1, 2, 3}
– B = {1, 3, 5}
P{ A | B} =
DELEN–DAUIN
P{ A, B} P{1,3} 2 / 6 2
=
=
=
P{B}
P{1,3,5} 3 / 6 3
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5
Teorema della probabilità totale
• Sia A1, …, AN una partizione dello spazio campione
• La probabilità di un qualsiasi evento B vale:
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DELEN–DAUIN
Teorema di Bayes
• Vale la seguente relazione:
• Se A e B sono eventi statisticamente indipendenti, allora è
immediato verificare che
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Esperimento di Bernoulli
• È un esperimento causale avente due possibili risultati,
successo (S) e insuccesso (I).
• È caratterizzato dalla probabilità di successo p.
• La probabilità di insuccesso vale quindi 1 – p.
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DELEN–DAUIN
Esercizio 1
•
•
Un giocatore di basket deve eseguire 3 tiri liberi.
La probabilità che centri il canestro è p = 0.8.
1. Calcolare la probabilità che il giocatore segni 3 punti.
2. Calcolare la probabilità che il giocatore segni 2 punti nei primi 2
tiri e non segni nell’ultimo tiro.
3. Calcolare la probabilità che il giocatore segni 2 punti su 3.
DELEN–DAUIN
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7
Esercizio 1 (1.1 cont.)
•
L’esperimento può essere considerato come l’esecuzione
ripetuta di 3 esperimenti di Bernoulli statisticamente
indipendenti con probabilità di successo p = 0.8.
•
Lo spazio campione è costituito dalle 8 possibili
combinazioni di successo (1) e insuccesso (0)
–
S = {000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111}
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DELEN–DAUIN
Esercizio 1 (1.1 cont.)
•
L’evento A={canestro al primo tiro} è costituito da tutti i
possibili risultati {100, 110, 101, 111} e la probabilità che
A si verifichi è p = 0.8.
•
L’evento B = {canestro al secondo tiro} è costituito da
tutti i possibili risultati {010, 011, 110, 111} e la
probabilità che B si verifichi è p = 0.8.
•
L’evento C = {canestro al terzo tiro} è costituito da tutti i
possibili risultati {001, 011, 101, 111} e la probabilità che
C si verifichi è p = 0.8.
DELEN–DAUIN
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8
Esercizio 1 (1.1 cont.)
•
L’evento D = {tre canestri} equivale al verificarsi
congiunto degli eventi A, B e C, quindi D = A ∩ B ∩ C
•
Considerando i tre eventi A, B e C statisticamente
indipendenti, allora
P{D} = P{A, B, C} = P{A} P{B} P{C}
P{D} = p3 = 0.512
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DELEN–DAUIN
Esercizio 1 (1.2)
•
L’evento A={canestro al primo tiro} è costituito da tutti i
possibili risultati {100, 110, 101, 111} e la probabilità che
A si verifichi è p = 0.8.
•
L’evento B = {canestro al secondo tiro} è costituito da
tutti i possibili risultati {010, 011, 110, 111} e la
probabilità che B si verifichi è p = 0.8.
•
L’evento E = {no canestro al terzo tiro} è costituito da
tutti i possibili risultati {000, 010, 100, 110} e la
probabilità che C si verifichi è 1- p = 0.2.
DELEN–DAUIN
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9
Esercizio 1 (1.2)
•
L’evento F = {due canestri nei primi 2 tiri e nessun
canestro nell’ultimo tiro} equivale al verificarsi
congiunto degli eventi A, B e E, quindi F = A ∩ B ∩ E
•
Considerando i tre eventi A, B e E statisticamente
indipendenti, allora
P{F} = P{A, B, E} = P{A} P{B} P{E}
P{F} = p2(1-p) = 0.128
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DELEN–DAUIN
Esercizio 1 (cont.)
•
La probabilità che il giocatore segni due punti può essere
ottenuta come la somma di 3 termini
P2 = P011 + P101 + P110
dove P011 = (1 – p) p2 è la probabilità che il giocatore
sbagli il primo tiro ed esegua correttamente gli altri due.
•
Analogamente, P101 = p (1 – p) p = P011 e
P110 = p2 (1 – p) = P011
•
Si ottiene
DELEN–DAUIN
P2 = 3 (1 – p) p2 = 0.384
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Esercizio 2
1. Calcolare la probabilità che, alla prossima estrazione del
lotto, esca il numero 53 sulla ruota del lotto di Venezia.
•
Suggerimento: P{esce il 53} = 1 – P{non esce il 53}
2. Calcolare la probabilità che, alla prossima estrazione del
lotto, esca il numero 53 su almeno una delle ruote del
lotto.
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DELEN–DAUIN
Esercizio 2 (2.1)
•
Assumendo che le estrazioni sulle varie ruote siano
statisticamente indipendenti, per la domanda 2.1 si può
limitare lo spazio campione alla sola ruota di Venezia.
DELEN–DAUIN
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Esercizio 2 (2.1 cont)
• Considerando una sola ruota, lo spazio campione S consiste di tutte le
possibili quintuple non ordinate di valori interi compresi tra 1 e 90:
• Il numero di quintuple non contenenti il numero 53 è
• Quindi, assumendo che i possibili risultati siano equiprobabili, la
probabilità che non esca il 53 è
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DELEN–DAUIN
Esercizio 2 (2.1 cont.)
• Infine, la probabilità che esca il 53 sulla ruota Venezia è
DELEN–DAUIN
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Esercizio 2 (2.2)
• La probabilità che non esca il 53 su alcuna delle 10 ruote
vale
• Quindi la probabilità che il 53 venga estratto su almeno
una ruota vale
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DELEN–DAUIN
Esercizio 3
• In una biblioteca sono contenuti nI = 5 libri in italiano,
nF = 7 in francese e nE = 10 in inglese.
• Calcolare la probabilità che, estraendo due libri a caso,
siano in due lingue diverse.
– Suggerimento:
DELEN–DAUIN
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13
Esercizio 3 (cont.)
• Lo spazio campione S è costituito da tutte le possibili
coppie di libri.
• Assumiamo che la probabilità associata a ciascuno dei
possibili risultati sia uguale (uniforme).
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DELEN–DAUIN
Esercizio 3 (cont.)
• Di tutte le possibili coppie di libri
–
contengono entrambi i libri in italiano
–
contengono entrambi i libri in francese
–
contengono entrambi i libri in inglese.
DELEN–DAUIN
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14
Esercizio 3 (cont.)
• La probabilità di scegliere due libri scritti nella stessa
lingua vale dunque
• Infine:
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DELEN–DAUIN
Esercizio 4
• In un gruppo di r persone, qual è la probabilità che almeno
due persone festeggino il compleanno lo stesso giorno?
– Assumere che tutti gli anni siano di 365 giorni.
DELEN–DAUIN
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15
Esercizio 4 (cont.)
• Lo spazio campione è costituito da 365r possibili risultati.
• La probabilità che tutte le r persone compiano gli anni in
giorni diversi è
 365 

r!
r 

P{D} =
365 r
 365 
• Infatti, ci sono  r  modi di scegliere r elementi diversi da
un insieme di 365, e per ognuna di queste scelte ci sono r!
possibili modi di riordinare (permutare) gli r elementi.
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DELEN–DAUIN
Esercizio 4 (cont.)
• Infine, la probabilità che almeno due persone compiano gli
anni lo stesso giorno è
1 − P{D}
DELEN–DAUIN
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Esercizio 5
• Una sequenza di n simboli binari (bit) è trasmessa su un
canale. Per ogni bit trasmesso, il canale commette errore
con probabilità p.
• Gli eventi {errore sul bit i-esimo} e {errore sul bit j-esimo}
sono statisticamente indipendenti se i ≠ j.
1–p
1
1
p
X
Y
p
0
0
1–p
• Tale modello è chiamato canale binario simmetrico
(Binary Symmetric Channel, BSC).
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DELEN–DAUIN
Esercizio 5 (cont.)
• Analiticamente, si descrive il canale nel seguente modo
• Calcolare la probabilità che il canale introduca k o più
errori (k < n) nella trasmissione degli n bit.
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Esercizio 5 (cont.)
• La trasmissione di n bit equivale all’esecuzione ripetuta di
n esperimenti casuali di Bernoulli statisticamente
indipendenti con probabilità di successo 1 – p.
• La probabilità di avere esattamente i errori vale
dove
è il numero di sequenze binarie con
esattamente i errori e pi(1-p)n-i è la probabilità che si
verifichi una qualsiasi sequenza con i errori.
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DELEN–DAUIN
Esercizio 5 (cont.)
• Poiché, se i ≠ j,
si ha
{i errori} ∩ { j errori} = ∅
• La probabilità di avere k o più errori vale quindi
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Esercizio 6
• Un codice a ripetizione di rate 1/3 consiste nel ripetere
ciascun bit d’informazione 3 volte. Ogni blocco di 3 bit
viene trasmesso su un canale binario simmetrico con
probabilità di errore p = 10-2. Il decodificatore, nel caso in
cui i tre bit non siano tutti uguali, decide a maggioranza.
• Calcolare la probabilità di errore del sistema di
trasmissione.
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DELEN–DAUIN
Esercizio 6 (cont.)
• Si ha errore quando, in un blocco di 3 bit, 2 bit sono errati,
oppure tutti i bit sono errati:
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