Prof. Luigi Cai
1
Anno scolastico 2014 - 2015
GONIOMETRIA
MISURA DEGLI ANGOLI
La misura di un angolo si può esprimere in diversi modi, a seconda dell’unità di misura che si
sceglie.
Sistema sessagesimale
Si assume come unità di misura degli angoli il grado (cioè u = 10), che è la 90-esima parte
dell’angolo retto.
I suoi sottomultipli sono il primo (1/60 di grado) e il secondo (1/60 di primo).
In tale unità si ha, ad esempio, che l’angolo piatto misura 180o e l’angolo retto 90o.
Sistema radiale o circolare
Dato un angolo α e più circonferenze aventi il centro nel vertice dell’angolo, risulta che il rapporto
l l'
tra l’arco l e il raggio r è costante al variare della circonferenza, cioè: = = costante.
r r'
l
l’
O α
r
r’
Proprio questa proprietà consente di assumere come misura dell’angolo α tale rapporto costante,
cioè:
l
misura di α = α r =
r
e prendere come unità di misura l’angolo radiante (u = 1 rad) , cioè l’ampiezza di un angolo al
centro di una circonferenza il cui arco rettificato è uguale al raggio.
α
r
r
Esempi
-
l 2πr
=
= 2π
r
r
Cioè l’angolo giro espresso in radianti è pari a 2π.
-
L’angolo retto espresso in radianti è pari a π/2.
Se α è l’angolo giro
l = 2πr
αr =
α r = 2π
1
Prof. Luigi Cai
2
Anno scolastico 2014 - 2015
Passaggio dai radianti ai gradi e viceversa
In teoria, dette α° e αr rispettivamente le misure di un angolo in gradi e in radianti, si utilizza
la proporzione:
180° : π = α° : αr
In pratica, si procede nel seguente modo:
gradi
radianti
60°
60 o ⋅
π
180
o
=
radianti
3
π
2
π
3
gradi
3
⋅ 180 o = 270 o
2
Osservazione:
L’angolo misurato in radianti è un numero reale, pertanto può essere messo in corrispondenza
biunivoca con i punti della retta.
Circonferenza goniometrica
E’ la circonferenza che ha centro nell’origine del sistema cartesiano e raggio unitario. Un punto
P sulla circonferenza ruota in senso antiorario, partendo da A.
y
Il punto A è l’origine degli archi,
orientati positivamente secondo il verso
antiorario
•P
O
A(1,0)
x
Funzioni goniometriche seno e coseno
y
P
A
α
O
H
x
Il punto P sulla circonferenza goniometrica
(che ruota in senso antiorario) individua
l’angolo AOˆ P = α .
Si definisce seno dell’angolo α (sen α )
l’ordinata del punto P, cioè PH
Si definisce coseno dell’angolo α
(cos α) l’ascissa del punto P, cioè OH
Il seno e coseno sono funzioni che assumono, al variare dell’angolo α, valori compresi tra -1 e 1 ,
cioè:
− 1 ≤ senα ≤ +1
− 1 ≤ cos α ≤ +1
Inoltre sono funzioni periodiche di periodo 2π , cioè dopo un giro completo riacquistano gli stessi
valori e si scrive:
sen(α + 2kπ ) = senα
cos(α + 2kπ ) = cos α
2
Prof. Luigi Cai
3
Anno scolastico 2014 - 2015
Funzione goniometrica tangente
Sia T il punto in cui la tangente alla circonferenza in A(1,0) incontra il prolungamento del raggio
che individua l’angolo α.
Si definisce tangente dell’angolo α ( tg α )
l’ordinata del punto T, cioè AT.
Y
T
α
O
A
x
La tangente è una funzione periodica di periodo π , cioè riacquista gli stessi valori dopo mezzo
giro e si scrive: tg (α + kπ ) = tgα
La tangente non esiste a 90° + k 180° e 270° + k 180° .
Funzione goniometrica cotangente
Sia T il punto in cui la tangente alla circonferenza in B(0,1) incontra il prolungamento del raggio
che individua l’angolo α.
B
Si definisce cotangente dell’angolo α ( ctg α)
l’ascissa del punto T, cioè BT.
T
α
O
A
x
La cotangente è una funzione periodica di periodo π , cioè riacquista gli stessi valori dopo
mezzo giro e si scrive : ctg (α + kπ ) = ctgα
La cotangente non esiste a 0° + k 180° e 180° + k 180° .
Esercizio 1
Vedere, sulla circonferenza goniometrica, come variano le funzioni goniometriche al variare
dell’angolo α.
Esercizio 2
Rappresentare sulla circonferenza goniometrica senα =
2
3
5
, cos α = − , tgα =
3
5
3
3
Prof. Luigi Cai
4
Anno scolastico 2014 - 2015
Relazioni fondamentali
1)
sen 2α + cos 2 α = 1
Dimostrazione
Applico il teorema di Pitagora al triangolo
POH :
PO 2 = PH 2 + 0H 2
y
1 = (senα ) + (cos α )
P
2
1 = sen 2α + cos 2 α
A
α
O
2
H
x
Tale relazione permette di calcolare il seno conoscendo il valore del coseno e viceversa.
sen 2α = 1 − cos 2 α
senα = ± 1 − cos 2 α
cos 2 α = 1 − sen 2α
cos α = ± 1 − sen 2α
1 = sen 2α + cos 2 α
2)
tgα =
senα
cos α
α≠
,
π
2
+ kπ
y
Dimostrazione
I triangoli POH e OTA sono simili, per
cui:
OH : OA = PH : AT
T
P
A
α
O
H
x
cos α : 1 = sen α : tg α
tgα =
senα
cos α
4
Prof. Luigi Cai
3)
ctgα =
5
cos α
senα
Anno scolastico 2014 - 2015
α ≠ 0 + kπ
,
y
B
T
Dimostrazione
I triangoli POH e OTB sono simili, per
cui:
OH : BT = PH : OB
P
α
O
H
x
cos α : ctg α = sen α : 1
ctgα =
cos α
senα
Osservazione: La funzione ctg α è l’inverso della tg α
Proprietà particolari
Permettono di calcolare il seno e coseno conoscendo il valore della tangente.
cos 2 α =
1
1 + tg 2α
, α≠
sen 2α =
tg 2α
1 + tg 2α
, α≠
π
2
π
2
+ kπ
cos α = ±
+ kπ
senα = ±
1
1 + tg 2α
tgα
1 + tg 2α
5
Prof. Luigi Cai
6
Anno scolastico 2014 - 2015
Valori delle funzioni goniometriche in angoli particolari (30o, 45o, 60o)
1) Angolo α = 30°
y
P
30°
A
O
H
x
POH è un triangolo rettangolo con
ipotenusa uguale ad 1 unità e gli angoli
particolari di 30° e 60° , per cui:
1
sen 30° = PH =
2
3
cos 30° = OH =
2
1
0
30
1
3
sen
tg 30 0 =
= 2 =
=
0
3
cos 30
3
3
2
ctg 30 = 3
0
2) Angolo α = 60°
y
P
60°
O
A
H
x
POH è un triangolo rettangolo con
ipotenusa uguale ad 1 unità e gli angoli
particolari di 30° e 60° , per cui:
3
sen 60° = PH =
2
1
cos 60° = OH =
2
3
0
sen
60
tg 60 0 =
= 2 = 3
0
1
cos 60
2
3
ctg 60 0 =
3
6
Prof. Luigi Cai
7
Anno scolastico 2014 - 2015
3) Angolo α = 45°
y
P
45°
O
A
H
x
POH è un triangolo rettangolo con
ipotenusa uguale ad 1 unità e gli angoli
particolari di 45° , per cui:
2
sen 45° = PH =
2
2
cos 45° = OH =
2
2
0
sen 45
tg 45 0 =
= 2 =1
cos 45 0
2
2
0
ctg 45 = 1
Tabella riassuntiva
30 0 =
senα
1
2
cos α
3
2
3
3
3
tg α
ctg α
π
6
60 0 =
3
2
1
2
3
3
3
π
3
45 0 =
π
4
2
2
2
2
1
1
7
Prof. Luigi Cai
8
Anno scolastico 2014 - 2015
LEGAME TRA IL COEFFICIENTE ANGOLARE m DI UNA RETTA E LA TANGENTE
DELL’ANGOLO CHE LA RETTA FORMA CON IL SEMIASSE POSITIVO DELL’ASSE
DELLE X
Sia P un punto sulla circonferenza goniometrica tale che OP formi un angolo α con il semiasse
positivo dell’asse delle x.
y
P
A
α
O
H
x
Il punto P ha coordinate P(cosα ; senα ), quindi il coefficiente angolare della retta passante per i
punti O e P risulta:
∆y y P − y O senα − 0 senα
mOP =
=
=
=
= tgα
∆x x P − xO cos α − 0 cos α
In generale, il coefficiente angolare di una retta coincide con la tangente dell’angolo che la retta
forma con il semiasse positivo dell’asse delle ascisse, cioè:
m = tg α
8
Prof. Luigi Cai
9
Anno scolastico 2014 - 2015
ANGOLI ( o ARCHI) ASSOCIATI
Si definiscono angoli associati due angoli le cui funzioni goniometriche sono uguali in valore
assoluto.
Ne esistono di vario tipo:
• Angoli che oscillano intorno all’asse x (π-α, π+α, -α, 2π-α): il nome della funzione rimane
invariato e il segno dipende dal quadrante.
• Angoli che oscillano intorno all’asse y (π/2-α, π/2+α, 3/2π-α, 3/2π+α): il nome della funzione
cambia e il segno dipende dal quadrante.
Ad esempio, prendiamo in considerazione:
Angoli che differiscono di π : α e
I triangoli OPH e OP’H’ sono congruenti per il 4o
criterio di congruenza (angolo retto, OP=OP’,
POˆ H = P' Oˆ H ' ).
Pertanto:
• ordinata di P’ uguale ed opposta ordinata di
P, cioè: sen(π + α ) = − senα
• ascissa di P’ uguale ed opposta ascissa di P,
cioè: cos(π + α ) = − cos α
sen(π + α ) − senα
• tg (π + α ) =
=
= tgα
cos(π + α ) − cos α
P
H’
O
H
P’
Angoli che differiscono di
P’
P
H’
O
H
π+α
π
2
: α e
π
2
+α
I triangoli OPH e OP’H’ sono congruenti per il 4o
criterio di congruenza (angolo retto, OP=OP’,
POˆ H = P' Oˆ H ' ).
Pertanto:
• ordinata di P’ uguale ascissa di P , cioè:
sen(
π
+ α) = cos α
2
• ascissa di P’ uguale ed opposta ordinata di P ,
π
cioè: cos + α = − senα
2
tg (
π
2
+α) =
sen(
cos(
π
2
π
2
+α)
+α)
=
cos α
= −ctgα
− senα
9
