Trigonometria – funzioni
goniometriche e triangoli qualunque
ITIS Feltrinelli – anno scolastico 2007-2008
R. Folgieri 2007-2008
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Formule di prostaferesi
Per completare la trattazione sulle formule goniometriche, dobbiamo elencare anche
le formule di prostaferesi:
⎛ p+q⎞ ⎛
sin p + sin q = 2 sin ⎜
⎟ cos⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝
⎛ p+q⎞ ⎛
sin p − sin q = 2 cos⎜
⎟ sin ⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝
p−q⎞
⎟
2 ⎠
p−q⎞
⎟
2 ⎠
⎛ p+q⎞ ⎛ p−q⎞
cos p + cos q = 2 cos⎜
⎟ cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ p+q⎞ ⎛ p−q⎞
cos p − cos q = −2 sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
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Periodicità delle funzioni goniometriche
Prima di andare avanti, ricordiamo che le funzioni seno e
coseno di un angolo sono periodiche di periodo 360°,
quindi si usa scrivere:
sen(α + k360°) = senα
cos(α + k360°) = cosα
ovvero:
sen(α + k2π) = senα
cos(α + k2π) = cosα
La tangente di un angolo è periodica di periodo 180°
Si scrive dunque:
tg(α + k180°) = tgα
e cioè:
tg(α + kπ) = tgα
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Le equazioni goniometriche elementari
Un’equazione goniometrica è ogni equazione in cui l’incognita compare come
argomento di una funzione goniometrica.
Es. 3cosx = 3
sen2x + cos x = 1
Se non sono impossibili, ammettono sempre infinite soluzioni perché le
funzioni goniometriche sono periodiche.
Sono funzioni goniometriche elementari:
senx = m
cosx = m
tgx = m
(con m∈R)
Si tratta di determinare tutti gli angoli x in cui il valore della funzione è m. Si ha,
rispettivamente e vista la periodicità delle funzioni:
sen x = m
⎧ x = α + k ⋅ 2π
⎨
⎩ x = (π − α ) + k ⋅ 2π
cos x = m
x = ±α + k ⋅ 2π
tg x = m
x = α + k ⋅π
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Le equazioni goniometriche non elementari
Non esistono metodi generali per risolvere le equazioni goniometriche non
elementari: occorre utilizzare le fondamentali e le formule goniometriche viste.
Vediamo alcuni esempi (provate a risolvere le equazioni proposte):
3sen2x – cos2x = 0
(sono presenti due funzioni diverse… potremmo usare la relazione fonamentale)
sen2x – senx = 0
(qui si possono applicare le formule di duplicazione…)
2 cos x + tg 2
x
−2=0
2
(qui c’è x/2… si possono usare le formule di bisezione…)
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Risoluzione di triangoli qualunque
Per risolvere (trovare tutte le misure) i triangoli qualunque, si applicano due
teoremi:
Teorema dei seni:
In ogni triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto ad
esso è costante.
a
b
c
Guardando la figura, si ha:
=
=
senα
senβ
c
B
α
β
senγ
A
b
a
γ
C
Teorema del coseno (o Teorema di Carnot):
In ogni triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei
quardati delle misure degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di queste
per il coseno dell’angolo compreso tra essi.
Con riferimento alla figura: a 2 = b 2 + c 2 − 2b ⋅ c ⋅ cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2a ⋅ c ⋅ cos β
c 2 = b 2 + a 2 − 2a ⋅ b ⋅ cos γ
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