10.1 Funzione caratteristica 151 10.1. Funzione caratteristica La funzione caratteristica è uno strumento teorico utile sotto diversi aspetti per studiare la distribuzione di probabilità di numeri aleatori discreti e continui. Dato un numero aleatorio X, discreto o continuo, sia Y = eitX = cos(tX) + isen(tX), dove i è l’unità immaginaria e t è un fissato valore reale, e indichiamo con φX (t) la previsione di Y , che risulta essere una funzione di t. La funzione φX (t) si chiama funzione caratteristica di X. Nel caso discreto, posto P (X = xh ) = ph , si ha X φX (t) = ph eitxh , h mentre nel caso continuo, indicando con f (x) la densità di X, si ha Z +∞ eitx f (x)dx . φX (t) = −∞ Alcune proprietà: R +∞ P (1) φX (0) = 1 , ( h ph = 1 , −∞ f (x)dx = 1); (2) |φX (t)| ≤ φX (0) = 1 , ∀ t ; Consideriamo il caso in cui X è un numero aleatorio continuo. Z |φX (t)| = +∞ −∞ Z +∞ = −∞ √ = |eitx | | {z } itx e Z +∞ f (x)dx ≤ |eitx f (x)|dx −∞ Z +∞ f (x)dx = f (x)dx = 1 −∞ cos2 (tX)+sin2 (tX)=1 (3) Se Y = aX + b, si ha φY (t) = P(eitY ) = P(eit(aX+b) ) = eibt P(eiatX ) = eibt φX (at); (4) In particolare, se Y = −X, si ha: φY (t) = φ−X (t) = P(e−itX ) = φX (−t) = φX (t), dove il numero complesso α + iβ = α − iβ, ovvero il coniugato di α + iβ. Infatti φX (t) = P(cos(tX) + i sin(tX)) = P(cos(tX)) + iP(sin(tX)) = P(cos(tX)) − iP(sin(tX)) = φX (−t) (5) Se φX (t) è una funzione reale, si ha φX (−t) = φX (t). G.Sanfilippo 10.1 Funzione caratteristica 152 Se φX (t) è una funzione reale, si ha φX (t) = φX (t). Allora φ−X (t) = φX (−t) = φX (t) e quindi φX (t) è una funzione reale pari. (6) Se X ha una densità simmetrica rispetto all’asse delle Y , cioè f (x) = f (−x), ∀x ∈ R, allora X e −X hanno la stessa densità e pertanto si ha φ−X (t) = φX (t), ovvero φX (t) è reale. Esempi. a) Dato un evento E di probabilità p, sia X = |E|. Si ha φX (t) = φ|E| (t) = peit·1 + qeit·0 = peit + q . b) Dati n eventi E1 , . . . , En , indipendenti ed equiprobabili di probabilità p, consideriamo il n.a. X = |E1 | + · · · + |En |. Si ha X ∼ B(n, p); inoltre φX (t) = n X P (X = h)eith = n X n h n−h ith p q e h h=0 h=0 · · · = (peit + q)n . c) Sia dato un numero aleatorio X con distribuzione di Poisson di parametro λ. Indicando con pn = P (X = n), si ha φX (t) = +∞ X pn e itn = n=0 +∞ n X λ n=0 n! −λ itn e e =e −λ +∞ X (λeit )n n=0 it = e−λ eλe = eλ(e n! it −1) . d) Sia dato un numero aleatorio X con distribuzione geometrica di parametro p, ovvero ph = pq h−1 per h ∈ N. Ricordando che per un numero complesso |x| < 1 si ha (serie geometrica di ragione x) ∞ X xh−1 = h=1 1 , 1−x otteniamo φX (t) = +∞ X ph eith = h=1 = peit +∞ X pq h−1 eith = h=1 +∞ X h=1 (qeit )h−1 = peit . 1 − qeit e) Se X ha una distribuzione normale standard, X ∼ N0,1 , si ha Z +∞ x2 1 φX (t) = eitx √ e− 2 dx . 2π −∞ G.Sanfilippo 10.1 Funzione caratteristica 153 Essendo +∞ Z itx φX (t) = e −∞ x2 1 √ e− 2 dx = 2π Z +∞ eitx N (x)dx ; −∞ allora φ0X (t) = R +∞ −∞ ix eitx N (x)dx = = [−ieitx N (x)]+∞ −∞ − t R +∞ −∞ eitx N (x)dx = = −t φX (t) ; quindi φ0X (t) d = log φX (t) = −t , φX (t) dt da cui segue log φX (t) = − t2 + c, 2 ed essendo φX (0) = 1, risulta c = 0. t2 Quindi: φX (t) = e− 2 (funzione reale e pari). f) Se X ha una distribuzione normale di parametri m, σ, il n.a. Y = t2 X−m σ ha una distribuzione normale standard e si ha φY (t) = e− 2 . Allora, osservando che X = σY + m, applicando la proprietà 3), con a = σ, b = m, si ottiene φX (t) = eimt− σ 2 t2 2 . g) Se X ha una distribuzione esponenziale di parametro λ, si ha Z +∞ eitx λe−λx dx = φX (t) = 0 Z +∞ λ =λ e−(λ−it)x dx = · λ − it 0 h) X ∼ Gc,λ . Si ha φX (t) = = R +∞ c λ λ−it 0 c λ eitx Γ(c) xc−1 e−λx dx = = [φY (t)]c , (Y ∼ G1,λ = Exp(λ)) . Calcolo dei momenti. Per ogni fissato intero k = 1, 2, . . ., la previsione di X k , che indichiamo con m(k) , si chiama momento di ordine k di X. G.Sanfilippo 10.1 Funzione caratteristica 154 Teorema 10.1. Se, per un intero positivo k è P(|X|k ) < ∞, allora la derivata k − esima di φX (t) esiste per ogni t, è continua, e si ha Z +∞ (k) (ix)k eitx f (x)dx . φX (t) = −∞ Cenno sulla dimostrazione. Ricordiamo che, dato un numero aleatorio continuo X, con densità f (x), si ha Z +∞ eitx f (x)dx . φX (t) = −∞ Nelle ipotesi del Teorema 10.1 derivando rispetto alla variabile t, si ha Z +∞ 0 ixeitx f (x)dx , φX (t) = −∞ φ00X (t) = Z +∞ (ix)2 eitx f (x)dx , −∞ ........................................ Z +∞ (k) (ix)k eitx f (x)dx . φX (t) = −∞ ........................................ Allora, se esistono i vari momenti di X, si ha Z +∞ 0 φX (0) = i xf (x)dx = im(1) , −∞ φ00X (0) =i 2 Z +∞ x2 f (x)dx = i2 m(2) , −∞ ........................................ Z +∞ (k) k xk f (x)dx = ik m(k) . φX (0) = i −∞ ........................................ φ (k) (0) Pertanto, si ha m(k) = Xik . Un ragionamento analogo si può fare se X è un n.a. discreto. In molti casi, dovendo calcolare m(k) , conviene sfruttare tale formula anzichè applicare la definizione Z +∞ (k) m = xk f (x)dx , −∞ nel caso continuo, oppure m(k) = X n nel caso discreto. G.Sanfilippo pn xkn , 10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti 155 Esempio 10.1. Sia X ∼ N0,1 , si ha P(X r ) = 0, r dispari (2k)! , r = 2k, k ∈ N. 2k k! Esercizio 10.1. Sia X un numero aleatorio con distribuzione uniforme in [a, b], con a < b, verificare che eitb −eita , t 6= 0 it(b−a) φX (t) = 1, t=0 P(X r ) = P(X 2k ) = Sia Y = cX + d, con c > 0, verificare che Y ha distribuzione uniforme in [ac + d, bc + d]. Esercizio 10.2. Sia X un numero aleatorio con distribuzione uniforme in [0, 1], verificare che i lim φ0X (t) = . t→0 2 ( Sfruttare il fatto che limt→0 φX (t) = 1 ). Esercizio 10.3. Sia X un numero aleatorio con distribuzione esponenziale di parametro λ > 0 e sia Y = aX, con a > 0, verificare che Y ha distribuzione esponenziale di parametro λ/a. 10.2. Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti La proprietà più importante delle funzioni caratteristiche è la seguente: dati n numeri aleatori X1 , . . . , Xn stocasticamente indipendenti e posto Y = X1 + · · · + Xn , si ha φY (t) = · · · = φX1 (t) · · · · · φXn (t) . Consideriamo il caso n = 2. Si ha φX1 +X2 (t) = P(eit(X1 +X2 ) ) = P(eitX1 eitX2 ) = P(eitX1 )P(eitX2 ) = φX1 (t)φX2 (t). | {z } X1 ⊥X2 Ad esempio, dati n eventi E1 , . . . , En , indipendenti ed equiprobabili di probabilità p, e posto X1 = |E1 | , . . . , Xn = |En | , si ha φX1 (t) = · · · = φXn (t) = peit + q . Quindi φX1 +···+Xn (t) = φX1 (t) · · · · · φXn (t) = (peit + q)n . Ritroviamo in questo modo la funzione caratteristica del numero aleatorio |E1 | + · · · + |En |, che ha distribuzione binomiale di parametri n, p. G.Sanfilippo 10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti 156 Altri due aspetti teorici importanti relativi alle funzioni caratteristiche sono: 1. La corrispondenza tra funzioni caratteristiche e distribuzioni di probabilità è biunivoca; quindi la funzione caratteristica φX (t) determina univocamente la distribuzione di probabilità di X. Esempio 10.2. Ricordando che ad una distribuzione normale di parameσ 2 t2 tri m, σ corrisponde la funzione caratteristica eimt− 2 e quindi, se X ∼ t2 N (x), si ha φX (t) = e− 2 . Allora, se Y = 2X + 3, si ha 2 φY (t) = · · · = e3it−2t , e quindi Y ∼ N3,2 . Altro esempio: se X ∼ Nm1 ,σ1 e Y ∼ Nm2 ,σ2 , con X, Y stocasticamente indipendenti, si ha φX (t) = eim1 t− 2 t2 σ1 2 φY (t) = eim2 t− , 2 t2 σ2 2 . Inoltre, per il n.a. Z = aX + bY si ha φZ (t) = · · · = eim3 t− 2 t2 σ3 2 , con m3 = am1 + bm2 , q σ3 = a2 σ12 + b2 σ22 . Pertanto Z ∼ Nm3 ,σ3 . Si noti che, volendo evitare l’uso della funzione caratteristica, il calcolo della di- stribuzione di Z richiederebbe un ragionamento pro- babilistico molto più complicato. Esempio 10.3. Siano X1 ∼ P(λ1 ) e X2 ∼ P(λ2 ) si ha φX1 +2 (t) = φX1 (t)φX2 (t) = eλ1 (e it −1) eλ2 (e e(λ1 +λ2 it −1) = )(eit −1) . Pertanto X1 + X2 ∼ P(λ1 + λ2 ) Esempio 10.4. La funzione caratteristica di un n.a. X con distribuzione Gα,λ , cioè con densità, Gα,λ (x) = λα α−1 λx x e , x > 0. Γ(α) è data da φX (t) = λ λ − it α . Pertanto dati 2 numeri aleatori X1 , X2 , rispettivamente, con distribuzione Gα1 ,λ e Gα2 ,λ , si ha X1 + X2 ∼ Gα1 +α2 ,λ . G.Sanfilippo 10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti 157 Esercizio 10.4. caratteristica di un numero aleatorio discreto P5La funzione eikt X è φX (t) = k=1 5 . Calcolare la previsione di X. P(X) = Soluzione. Si ha φ0X (t) = 5 X ikeikt k=1 5 , da cui segue φ0X (o) = 5 X ik k=1 5 = i(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3i = iP(X) . 5 Pertanto: P(X) = 3 . Esercizio 10.5. La funzione caratteristica di un numero aleatorio X è data 2 2it− t2 da φX (t) = e . Posto Y = X − 2, calcolare la probabilità p dell’evento (|Y | ≤ 2). Risp.: p = Soluzione. t2 φX (t) = e2it− 2 è la funzione caratteristica di una distribuzione normale di parametri m = 2, σ = 1. Pertanto Y = X − 2 ha una distribuzione normale standard. Allora: p = P (|Y | ≤ 2) = 2Φ(2) − 1 ' 0.9545 . Esercizio 10.6. Le funzioni caratteristiche di due numeri aleatori X, Y indiit it pendenti sono rispettivamente φX (t) = e2(e −1) e φY (t) = e3(e −1) . Posto Z = X + Y , calcolare la previsione m di Z. Risp.: m = Si ha: it −1) φZ (t) = φX (t)φY (t) = e2(e e3(e it −1) it −1) = e5(e , da cui ricordando che φ0Z (0) = imZ e osservando che it −1) φ0Z (t) = e5(e it 5eit i, φ0Z (0) = 5i, segue: mZ = 5. In effetti, e5(e −1) è la funzione caratteristica di una distribuzione di Poisson di parametro λ = 5. G.Sanfilippo