10.1 Funzione caratteristica 151 10.1. Funzione caratteristica La

10.1 Funzione caratteristica
151
10.1. Funzione caratteristica
La funzione caratteristica è uno strumento teorico utile sotto diversi aspetti
per studiare la distribuzione di probabilità di numeri aleatori discreti e continui.
Dato un numero aleatorio X, discreto o continuo, sia
Y = eitX = cos(tX) + isen(tX),
dove i è l’unità immaginaria e t è un fissato valore reale, e indichiamo con
φX (t) la previsione di Y , che risulta essere una funzione di t. La funzione
φX (t) si chiama funzione caratteristica di X.
Nel caso discreto, posto P (X = xh ) = ph , si ha
X
φX (t) =
ph eitxh ,
h
mentre nel caso continuo, indicando con f (x) la densità di X, si ha
Z +∞
eitx f (x)dx .
φX (t) =
−∞
Alcune proprietà:
R +∞
P
(1) φX (0) = 1 , ( h ph = 1 , −∞ f (x)dx = 1);
(2) |φX (t)| ≤ φX (0) = 1 , ∀ t ; Consideriamo il caso in cui X è un
numero aleatorio continuo.
Z
|φX (t)| = +∞
−∞
Z
+∞
=
−∞
√
=
|eitx |
| {z }
itx
e
Z +∞
f (x)dx ≤
|eitx f (x)|dx
−∞
Z +∞
f (x)dx =
f (x)dx = 1
−∞
cos2 (tX)+sin2 (tX)=1
(3) Se Y = aX + b, si ha
φY (t) = P(eitY ) = P(eit(aX+b) ) =
eibt P(eiatX ) = eibt φX (at);
(4) In particolare, se Y = −X, si ha:
φY (t) = φ−X (t) = P(e−itX ) = φX (−t) = φX (t),
dove il numero complesso α + iβ = α − iβ, ovvero il coniugato
di α + iβ. Infatti
φX (t) = P(cos(tX) + i sin(tX)) =
P(cos(tX)) + iP(sin(tX)) =
P(cos(tX)) − iP(sin(tX)) = φX (−t)
(5) Se φX (t) è una funzione reale, si ha
φX (−t) = φX (t).
G.Sanfilippo
10.1 Funzione caratteristica
152
Se φX (t) è una funzione reale, si ha φX (t) = φX (t). Allora
φ−X (t) = φX (−t) = φX (t) e quindi φX (t) è una funzione reale pari.
(6) Se X ha una densità simmetrica rispetto all’asse delle Y , cioè
f (x) = f (−x), ∀x ∈ R,
allora X e −X hanno la stessa densità e pertanto si ha φ−X (t) =
φX (t), ovvero φX (t) è reale.
Esempi.
a) Dato un evento E di probabilità p, sia X = |E|. Si ha
φX (t) = φ|E| (t) = peit·1 + qeit·0 = peit + q .
b) Dati n eventi E1 , . . . , En , indipendenti ed equiprobabili di probabilità p,
consideriamo il n.a. X = |E1 | + · · · + |En |. Si ha X ∼ B(n, p); inoltre
φX (t) =
n
X
P (X = h)eith =
n X
n h n−h ith
p q
e
h
h=0
h=0
· · · = (peit + q)n .
c) Sia dato un numero aleatorio X con distribuzione di Poisson di parametro λ. Indicando con pn = P (X = n), si ha
φX (t) =
+∞
X
pn e
itn
=
n=0
+∞ n
X
λ
n=0
n!
−λ itn
e
e
=e
−λ
+∞
X
(λeit )n
n=0
it
= e−λ eλe = eλ(e
n!
it −1)
.
d) Sia dato un numero aleatorio X con distribuzione geometrica di parametro p, ovvero ph = pq h−1 per h ∈ N. Ricordando che per un numero
complesso |x| < 1 si ha (serie geometrica di ragione x)
∞
X
xh−1 =
h=1
1
,
1−x
otteniamo
φX (t) =
+∞
X
ph eith =
h=1
= peit
+∞
X
pq h−1 eith =
h=1
+∞
X
h=1
(qeit )h−1 =
peit
.
1 − qeit
e) Se X ha una distribuzione normale standard, X ∼ N0,1 , si ha
Z +∞
x2
1
φX (t) =
eitx √ e− 2 dx .
2π
−∞
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10.1 Funzione caratteristica
153
Essendo
+∞
Z
itx
φX (t) =
e
−∞
x2
1
√ e− 2 dx =
2π
Z
+∞
eitx N (x)dx ;
−∞
allora
φ0X (t) =
R +∞
−∞
ix eitx N (x)dx =
= [−ieitx N (x)]+∞
−∞ − t
R +∞
−∞
eitx N (x)dx =
= −t φX (t) ;
quindi
φ0X (t)
d
=
log φX (t) = −t ,
φX (t)
dt
da cui segue
log φX (t) = −
t2
+ c,
2
ed essendo φX (0) = 1, risulta c = 0.
t2
Quindi: φX (t) = e− 2 (funzione reale e pari).
f) Se X ha una distribuzione normale di parametri m, σ, il n.a. Y =
t2
X−m
σ
ha una distribuzione normale standard e si ha φY (t) = e− 2 . Allora, osservando che X = σY + m, applicando la proprietà 3), con a = σ, b = m, si
ottiene
φX (t) = eimt−
σ 2 t2
2
.
g) Se X ha una distribuzione esponenziale di parametro λ, si ha
Z +∞
eitx λe−λx dx =
φX (t) =
0
Z +∞
λ
=λ
e−(λ−it)x dx =
·
λ − it
0
h) X ∼ Gc,λ . Si ha
φX (t) =
=
R +∞
c
λ
λ−it
0
c
λ
eitx Γ(c)
xc−1 e−λx dx =
= [φY (t)]c , (Y ∼ G1,λ = Exp(λ)) .
Calcolo dei momenti.
Per ogni fissato intero k = 1, 2, . . ., la previsione di X k , che indichiamo
con m(k) , si chiama momento di ordine k di X.
G.Sanfilippo
10.1 Funzione caratteristica
154
Teorema 10.1. Se, per un intero positivo k è P(|X|k ) < ∞, allora la
derivata k − esima di φX (t) esiste per ogni t, è continua, e si ha
Z +∞
(k)
(ix)k eitx f (x)dx .
φX (t) =
−∞
Cenno sulla dimostrazione. Ricordiamo che, dato un numero aleatorio
continuo X, con densità f (x), si ha
Z
+∞
eitx f (x)dx .
φX (t) =
−∞
Nelle ipotesi del Teorema 10.1 derivando rispetto alla variabile t, si ha
Z +∞
0
ixeitx f (x)dx ,
φX (t) =
−∞
φ00X (t) =
Z
+∞
(ix)2 eitx f (x)dx ,
−∞
........................................
Z +∞
(k)
(ix)k eitx f (x)dx .
φX (t) =
−∞
........................................
Allora, se esistono i vari momenti di X, si ha
Z +∞
0
φX (0) = i
xf (x)dx = im(1) ,
−∞
φ00X (0)
=i
2
Z
+∞
x2 f (x)dx = i2 m(2) ,
−∞
........................................
Z +∞
(k)
k
xk f (x)dx = ik m(k) .
φX (0) = i
−∞
........................................
φ
(k)
(0)
Pertanto, si ha m(k) = Xik . Un ragionamento analogo si può fare se X è
un n.a. discreto. In molti casi, dovendo calcolare m(k) , conviene sfruttare
tale formula anzichè applicare la definizione
Z +∞
(k)
m =
xk f (x)dx ,
−∞
nel caso continuo, oppure
m(k) =
X
n
nel caso discreto.
G.Sanfilippo
pn xkn ,
10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti
155
Esempio 10.1. Sia X ∼ N0,1 , si ha
P(X r ) = 0,
r dispari
(2k)!
,
r = 2k, k ∈ N.
2k k!
Esercizio 10.1. Sia X un numero aleatorio con distribuzione uniforme in
[a, b], con a < b, verificare che
eitb −eita
, t 6= 0
it(b−a)
φX (t) =
1,
t=0
P(X r ) = P(X 2k ) =
Sia Y = cX + d, con c > 0, verificare che Y ha distribuzione uniforme in
[ac + d, bc + d].
Esercizio 10.2. Sia X un numero aleatorio con distribuzione uniforme in
[0, 1], verificare che
i
lim φ0X (t) = .
t→0
2
( Sfruttare il fatto che limt→0 φX (t) = 1 ).
Esercizio 10.3. Sia X un numero aleatorio con distribuzione esponenziale di parametro λ > 0 e sia Y = aX, con a > 0, verificare che Y ha
distribuzione esponenziale di parametro λ/a.
10.2. Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti
La proprietà più importante delle funzioni caratteristiche è la seguente:
dati n numeri aleatori X1 , . . . , Xn stocasticamente indipendenti e posto
Y = X1 + · · · + Xn , si ha
φY (t) = · · · = φX1 (t) · · · · · φXn (t) .
Consideriamo il caso n = 2. Si ha
φX1 +X2 (t) = P(eit(X1 +X2 ) ) = P(eitX1 eitX2 ) =
P(eitX1 )P(eitX2 ) = φX1 (t)φX2 (t).
|
{z
}
X1 ⊥X2
Ad esempio, dati n eventi E1 , . . . , En , indipendenti ed equiprobabili di
probabilità p, e posto
X1 = |E1 | , . . . , Xn = |En | ,
si ha
φX1 (t) = · · · = φXn (t) = peit + q .
Quindi
φX1 +···+Xn (t) = φX1 (t) · · · · · φXn (t) = (peit + q)n .
Ritroviamo in questo modo la funzione caratteristica del numero aleatorio
|E1 | + · · · + |En |, che ha distribuzione binomiale di parametri n, p.
G.Sanfilippo
10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti
156
Altri due aspetti teorici importanti relativi alle funzioni caratteristiche sono:
1. La corrispondenza tra funzioni caratteristiche e distribuzioni di probabilità è biunivoca; quindi la funzione caratteristica φX (t) determina univocamente la distribuzione di probabilità di X.
Esempio 10.2. Ricordando che ad una distribuzione normale di parameσ 2 t2
tri m, σ corrisponde la funzione caratteristica eimt− 2 e quindi, se X ∼
t2
N (x), si ha φX (t) = e− 2 . Allora, se Y = 2X + 3, si ha
2
φY (t) = · · · = e3it−2t ,
e quindi Y ∼ N3,2 .
Altro esempio: se X ∼ Nm1 ,σ1 e Y ∼ Nm2 ,σ2 , con X, Y stocasticamente
indipendenti, si ha
φX (t) = eim1 t−
2 t2
σ1
2
φY (t) = eim2 t−
,
2 t2
σ2
2
.
Inoltre, per il n.a. Z = aX + bY si ha
φZ (t) = · · · = eim3 t−
2 t2
σ3
2
,
con
m3 = am1 + bm2 ,
q
σ3 = a2 σ12 + b2 σ22 .
Pertanto Z ∼ Nm3 ,σ3 . Si noti che, volendo evitare l’uso della funzione
caratteristica, il calcolo della di- stribuzione di Z richiederebbe un ragionamento pro- babilistico molto più complicato.
Esempio 10.3. Siano X1 ∼ P(λ1 ) e X2 ∼ P(λ2 ) si ha
φX1 +2 (t) = φX1 (t)φX2 (t) = eλ1 (e
it −1)
eλ2 (e
e(λ1 +λ2
it −1)
=
)(eit −1)
.
Pertanto X1 + X2 ∼ P(λ1 + λ2 )
Esempio 10.4. La funzione caratteristica di un n.a. X con distribuzione
Gα,λ , cioè con densità,
Gα,λ (x) =
λα α−1 λx
x e , x > 0.
Γ(α)
è data da
φX (t) =
λ
λ − it
α
.
Pertanto dati 2 numeri aleatori X1 , X2 , rispettivamente, con distribuzione
Gα1 ,λ e Gα2 ,λ , si ha X1 + X2 ∼ Gα1 +α2 ,λ .
G.Sanfilippo
10.2 Somma di numeri aleatori stocasticamente indipendenti
157
Esercizio 10.4.
caratteristica di un numero aleatorio discreto
P5La funzione
eikt
X è φX (t) = k=1 5 . Calcolare la previsione di X.
P(X) =
Soluzione.
Si ha
φ0X (t)
=
5
X
ikeikt
k=1
5
,
da cui segue
φ0X (o) =
5
X
ik
k=1
5
=
i(1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= 3i = iP(X) .
5
Pertanto: P(X) = 3 .
Esercizio 10.5. La
funzione caratteristica di un numero aleatorio X è data
2
2it− t2
da φX (t) = e
. Posto Y = X − 2, calcolare la probabilità p dell’evento
(|Y | ≤ 2).
Risp.: p =
Soluzione.
t2
φX (t) = e2it− 2 è la funzione caratteristica di una distribuzione normale di
parametri m = 2, σ = 1. Pertanto Y = X − 2 ha una distribuzione normale
standard. Allora:
p = P (|Y | ≤ 2) = 2Φ(2) − 1 ' 0.9545 .
Esercizio 10.6. Le funzioni caratteristiche di due numeri aleatori X, Y indiit
it
pendenti sono rispettivamente φX (t) = e2(e −1) e φY (t) = e3(e −1) . Posto
Z = X + Y , calcolare la previsione m di Z.
Risp.: m =
Si ha:
it −1)
φZ (t) = φX (t)φY (t) = e2(e
e3(e
it −1)
it −1)
= e5(e
,
da cui ricordando che φ0Z (0) = imZ e osservando che
it −1)
φ0Z (t) = e5(e
it
5eit i,
φ0Z (0) = 5i,
segue: mZ = 5. In effetti, e5(e −1) è la funzione caratteristica di una
distribuzione di Poisson di parametro λ = 5.
G.Sanfilippo