I numeri naturali, interi, razionali e reali Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 1 / 19 La matematica che studiamo in questo corso, riguarda e usa le proprietà dei numeri reali. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 2 / 19 La matematica che studiamo in questo corso, riguarda e usa le proprietà dei numeri reali. Per capire quanto apprenderemo nel nostro corso si deve dapprima capire cosa diversifica i numeri reali da altri tipi di numeri che si usano ogni giorno. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 2 / 19 I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 3 / 19 I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprietà cruciali dei naturali numeri : (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 3 / 19 I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprietà cruciali dei naturali numeri : c’è un primo numero naturale, (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 3 / 19 I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprietà cruciali dei naturali numeri : c’è un primo numero naturale, per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 3 / 19 I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprietà cruciali dei naturali numeri : c’è un primo numero naturale, per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore. Nessun numero naturale è il suo successore. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 3 / 19 I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprietà cruciali dei naturali numeri : c’è un primo numero naturale, per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore. Nessun numero naturale è il suo successore. Nessun numero naturale ha più di un successore. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 3 / 19 I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprietà cruciali dei naturali numeri : c’è un primo numero naturale, per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore. Nessun numero naturale è il suo successore. Nessun numero naturale ha più di un successore. Nessun numero naturale è il successore di più di un numero naturale. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 3 / 19 I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprietà cruciali dei naturali numeri : c’è un primo numero naturale, per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore. Nessun numero naturale è il suo successore. Nessun numero naturale ha più di un successore. Nessun numero naturale è il successore di più di un numero naturale. Solamente il numero 1 non è il successore di alcun numero naturale. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 3 / 19 I numeri naturali sono come una scala. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 4 / 19 I numeri naturali sono come una scala. Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 4 / 19 I numeri naturali sono come una scala. Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino. Questo è la idea base del principio di induzione, che permette di studiare molte proprietà dei numeri naturali. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 4 / 19 I numeri naturali sono come una scala. Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino. Questo è la idea base del principio di induzione, che permette di studiare molte proprietà dei numeri naturali. L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 4 / 19 I numeri naturali sono come una scala. Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino. Questo è la idea base del principio di induzione, che permette di studiare molte proprietà dei numeri naturali. L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N N = {1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . } (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 4 / 19 Operazioni tra numeri naturali (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 5 / 19 Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 5 / 19 Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 5 / 19 Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali. Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 5 / 19 Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali. Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale. Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero naturale. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 5 / 19 Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali. Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale. Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero naturale. Per la divisione, questo non è sempre vero. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 5 / 19 Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali. Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale. Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero naturale. Per la divisione, questo non è sempre vero. Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 5 / 19 Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali. Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale. Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero naturale. Per la divisione, questo non è sempre vero. Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale. Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturali non sono adeguati. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 5 / 19 I numeri interi Primo rimedio (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 6 / 19 I numeri interi Primo rimedio Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 6 / 19 I numeri interi Primo rimedio Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Si ottengono in questo modo i numeri interi. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 6 / 19 I numeri interi Primo rimedio Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Si ottengono in questo modo i numeri interi. L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z Z = {. . . . . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . } (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 6 / 19 I numeri interi Primo rimedio Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Si ottengono in questo modo i numeri interi. L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z Z = {. . . . . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . } L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente ai numeri interi. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 6 / 19 I numeri interi Primo rimedio Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Si ottengono in questo modo i numeri interi. L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z Z = {. . . . . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . } L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente ai numeri interi. Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’è più un primo numero: l’insieme degli interi non ha minimo. Sicuramente però si può sottrarre ogni intero da ogni altro intero e ottenere ancora come risultato un intero. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 6 / 19 I numeri interi Primo rimedio Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Si ottengono in questo modo i numeri interi. L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z Z = {. . . . . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . } L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente ai numeri interi. Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’è più un primo numero: l’insieme degli interi non ha minimo. Sicuramente però si può sottrarre ogni intero da ogni altro intero e ottenere ancora come risultato un intero. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 6 / 19 I numeri razionali Secondo rimedio (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 7 / 19 I numeri razionali Secondo rimedio Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici) (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 7 / 19 I numeri razionali Secondo rimedio Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici) Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente a questo sistema espanso. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 7 / 19 I numeri razionali Secondo rimedio Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici) Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente a questo sistema espanso. Dobbiamo però abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 7 / 19 I numeri razionali Secondo rimedio Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici) Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente a questo sistema espanso. Dobbiamo però abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore. Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale (tranne zero) e ottenere come risultato un razionale . (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 7 / 19 I numeri razionali Secondo rimedio Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici) Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente a questo sistema espanso. Dobbiamo però abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore. Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale (tranne zero) e ottenere come risultato un razionale . L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 7 / 19 Proprietà d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 8 / 19 Proprietà d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 8 / 19 Proprietà d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due. Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro, ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero intero tra di essi. Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad esempio la loro media aritmetica. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 8 / 19 Proprietà d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due. Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro, ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero intero tra di essi. Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad esempio la loro media aritmetica. Di più, ce ne sono infiniti. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 8 / 19 Proprietà d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due. Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro, ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero intero tra di essi. Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad esempio la loro media aritmetica. Di più, ce ne sono infiniti. Questa proprietà è chiamata densità di Q. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 8 / 19 Proprietà d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due. Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro, ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero intero tra di essi. Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad esempio la loro media aritmetica. Di più, ce ne sono infiniti. Questa proprietà è chiamata densità di Q. Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto vicini quanto si vuole. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 8 / 19 Proprietà d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due. Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro, ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero intero tra di essi. Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad esempio la loro media aritmetica. Di più, ce ne sono infiniti. Questa proprietà è chiamata densità di Q. Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto vicini quanto si vuole. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 8 / 19 I numeri razionali non bastano Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanza utili. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 9 / 19 I numeri razionali non bastano Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanza utili. Si può operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e con l’eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 9 / 19 I numeri razionali non bastano Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanza utili. Si può operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e con l’eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale. Se si vuole operare con funzioni quali radice quadrata o se si vuole semplicemente calcolare la lunghezza di una circonferenza o l’area di un cerchio, i razionali non sono più sufficienti. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 9 / 19 I decimali finiti Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si considerano i decimali: 4 1, 4 = 1 + 10 (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 10 / 19 I decimali finiti Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si considerano i decimali: 4 1, 4 = 1 + 10 Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si considerano i centesimi: 41 1, 41 = 1 + 100 (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 10 / 19 I decimali finiti Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si considerano i decimali: 4 1, 4 = 1 + 10 Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si considerano i centesimi: 41 1, 41 = 1 + 100 Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola: 414 1, 414 = 1 + 1000 (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 10 / 19 I decimali finiti Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si considerano i decimali: 4 1, 4 = 1 + 10 Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si considerano i centesimi: 41 1, 41 = 1 + 100 Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola: 414 1, 414 = 1 + 1000 e cosı́ via. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 10 / 19 I decimali finiti Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si considerano i decimali: 4 1, 4 = 1 + 10 Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si considerano i centesimi: 41 1, 41 = 1 + 100 Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola: 414 1, 414 = 1 + 1000 e cosı́ via. In generale se un decimale occupa sino all’n-esimo posto dopo la virgola, dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste al numeratore e 10n come denominatore. Cosı́ si capisce immediatamente che i numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 10 / 19 I decimali periodici Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 11 / 19 I decimali periodici Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti. Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄). Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni punto e ottenere: 3 33 333 3333 ... 10 100 1000 10000 (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 11 / 19 I decimali periodici Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti. Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄). Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni punto e ottenere: 3 33 333 3333 ... 10 100 1000 10000 Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente 31 . (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 11 / 19 I decimali periodici Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti. Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄). Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni punto e ottenere: 3 33 333 3333 ... 10 100 1000 10000 Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente 31 . E non è la sola successione di razionali che converge a 13 . Ecco due altre successioni che convergono ad 13 : (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 11 / 19 I decimali periodici Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti. Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄). Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni punto e ottenere: 3 33 333 3333 ... 10 100 1000 10000 Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente 31 . E non è la sola successione di razionali che converge a 13 . Ecco due altre successioni che convergono ad 13 : 4 10 34 100 334 1000 3334 10000 (Università di Bologna) ... , 1 4 5 16 21 64 I numeri naturali, interi, razionali e reali 85 256 341 1024 ... 11 / 19 I decimali periodici Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti. Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄). Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni punto e ottenere: 3 33 333 3333 ... 10 100 1000 10000 Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente 31 . E non è la sola successione di razionali che converge a 13 . Ecco due altre successioni che convergono ad 13 : 4 10 34 100 334 1000 3334 10000 ... , 1 4 5 16 21 64 85 256 341 1024 ... Ogni numero razionale può essere scritto o come un decimale finito, o come decimale infinito periodico. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 11 / 19 I decimali non periodici e i numeri reali (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 12 / 19 I decimali non periodici e i numeri reali I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 12 / 19 I decimali non periodici e i numeri reali I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure infinita e periodica sono i numeri razionali, (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 12 / 19 I decimali non periodici e i numeri reali I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure infinita e periodica sono i numeri razionali, quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 12 / 19 I decimali non periodici e i numeri reali I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure infinita e periodica sono i numeri razionali, quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali. I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunque rappresentazione decimale. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 12 / 19 I decimali non periodici e i numeri reali I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure infinita e periodica sono i numeri razionali, quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali. I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunque rappresentazione decimale. L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 12 / 19 I numeri irrazionali Tra √ i numeri irrazionali ve ne sono alcuni molto famosi ed importanti: 2, π, e. I primi due sono ben noti dalle scuole superiori, il numero e è anche chiamato numero di Nepero ed è il imite della successione: (1 + n1 )n . Calcoliamo qualche termine di questa successione: n 1 2 10 100 1000 10000 (1 + 1n )n (1 + 1)1 (1 + 12 )2 1 10 (1 + 10 ) 1 100 (1 + 100 ) 1 1000 (1 + 1000 ) 1 (1 + 10000 )10000 (Università di Bologna) valore numerico 2 9 = 2, 25 4 10 1, 1 = 2, 59.. 1, 01100 = 2, 70.. 1, 0011000 = 2, 716.. 1, 000110000 = 2, 718.. I numeri naturali, interi, razionali e reali 13 / 19 Valore assoluto di un numero reale Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero reale non negativo, che indichiamo con |a|. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 14 / 19 Valore assoluto di un numero reale Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero reale non negativo, che indichiamo con |a|. |a| = a se a ≥ 0, pause |a| = −a se a < 0. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 14 / 19 Valore assoluto di un numero reale Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero reale non negativo, che indichiamo con |a|. |a| = a se a ≥ 0, pause |a| = −a se a < 0. ad esempio | − 54 | = (Università di Bologna) 5 4 . I numeri naturali, interi, razionali e reali 14 / 19 Valore assoluto di un numero reale Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero reale non negativo, che indichiamo con |a|. |a| = a se a ≥ 0, pause |a| = −a se a < 0. ad esempio | − 54 | = 5 4 . Avremo spesso a che fare con il modulo di una espressione, ad esempio 3 − x. Si avrà: 3 − x, se x ≤ 3; |3 − x| = x − 3, se x > 3. Notiamo che |3 − x| = |x − 3|, visto che l’unica differenza nella definizione si ha per x = 3, ma in questo caso x − 3 = 3 − x = 0 (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 14 / 19 Sistema di ascisse sulla retta reale Su una retta si fissa un sistema di riferimento considerando: un punto O (origine) a cui si associa il valore 0 a destra di O, un altro punto che chiamiamo U (punto unità) e cui si associa il valore 1 Il segmento OU è la unità di misura del sistema fissato. In questo modo viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti i punti della retta ed i numeri reali, nel senso che ad ogni punto di tale retta corrisponde uno e un solo numero reale. Tale numero(detto detto ascissa del punto) in valore assoluto individua la distanza dall’origine nell’unità di misura scelta,inoltre è positivo se il punto si trova a destra di O e negativa altrimenti. Viceversa, ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta (Università euclidea. di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 15 / 19 Intervalli reali Si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di R: (a, b) = {x ∈ R tali che a < x < b} intervallo limitato aperto. [a, b] = {x ∈ R tali che a ≤ x ≤ b} intervallo limitato chiuso. [a, b) = {x ∈ R tali che a ≤ x < b} intervallo limitato chiuso a sinistra (e aperto a destra). (−∞, b) = {x ∈ R tali che x < b } intervallo aperto illimitato (a sinistra) o semiretta inferiore aperta. [a, +∞) = {x ∈ R tali che x ≥ a} intervallo chiuso illimitato (a destra) o semiretta superiore chiusa. (a, b], (−∞, b], (a, +∞) sono definiti analogamente. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 16 / 19 Le coordinate cartesiane sul piano R2 è l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali e la sua rappresentazione geometrica è il piano. Il sistema più ampiamente usato nel piano è quello delle coordinate cartesiane, basato su un insieme di assi perpendicolari tra loro. Queste coordinate prendono il nome da René Descartes (Cartesio), un filosofo e scienziato francese che nel ’600 ideò un modo di ”etichettare” ogni punto di un piano con una coppia di numeri. Il sistema è basato su 2 linee rette (”assi”), perpendicolari tra loro, su ciascuna delle quali è fissato un sistema di ascisse, con origine nel punto in cui esse si incontrano e con la stessa unità di misura. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 17 / 19 L’ascissa sull’asse orizzontale è indicata con la lettera x, e sull’altro asse con y. Dato quindi un punto P, si tracciano da esso le parallele agli assi, e i valori x e y sulle intersezioni definiscono completamente il punto. In onore di Descartes (Cartesio), questo modo di etichettare i punti è noto come sistema cartesiano e i due numeri (x, y) che definiscono la posizione di ogni punto sono le sue coordinate cartesiane. Nei grafici è spesso usato questo sistema, come pure sulle mappe. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 18 / 19 Piano cartesiano e quadranti Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario: I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive; II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva; III quadrante: simmetrico al primo rispetto all’origine; IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all’origine. (Università di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 19 / 19