I numeri naturali, interi, razionali e reali

I numeri naturali, interi, razionali e reali
Lezione per Studenti di Agraria
Università di Bologna
(Università di Bologna)
I numeri naturali, interi, razionali e reali
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La matematica che studiamo in questo corso, riguarda e usa le proprietà
dei numeri reali.
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La matematica che studiamo in questo corso, riguarda e usa le proprietà
dei numeri reali.
Per capire quanto apprenderemo nel nostro corso si deve dapprima capire
cosa diversifica i numeri reali da altri tipi di numeri che si usano ogni
giorno.
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I numeri naturali
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.
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I numeri naturali
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.
Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri
in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le
proprietà cruciali dei naturali numeri :
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I numeri naturali
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.
Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri
in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le
proprietà cruciali dei naturali numeri :
c’è un primo numero naturale,
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I numeri naturali
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.
Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri
in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le
proprietà cruciali dei naturali numeri :
c’è un primo numero naturale,
per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre
parole, un successore.
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I numeri naturali
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.
Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri
in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le
proprietà cruciali dei naturali numeri :
c’è un primo numero naturale,
per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre
parole, un successore.
Nessun numero naturale è il suo successore.
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I numeri naturali
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.
Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri
in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le
proprietà cruciali dei naturali numeri :
c’è un primo numero naturale,
per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre
parole, un successore.
Nessun numero naturale è il suo successore.
Nessun numero naturale ha più di un successore.
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I numeri naturali
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.
Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri
in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le
proprietà cruciali dei naturali numeri :
c’è un primo numero naturale,
per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre
parole, un successore.
Nessun numero naturale è il suo successore.
Nessun numero naturale ha più di un successore.
Nessun numero naturale è il successore di più di un numero naturale.
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I numeri naturali
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.
Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri
in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le
proprietà cruciali dei naturali numeri :
c’è un primo numero naturale,
per ogni numero naturale, c’è il numero naturale successivo, o in altre
parole, un successore.
Nessun numero naturale è il suo successore.
Nessun numero naturale ha più di un successore.
Nessun numero naturale è il successore di più di un numero naturale.
Solamente il numero 1 non è il successore di alcun numero naturale.
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I numeri naturali sono come una scala.
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I numeri naturali sono come una scala.
Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un
gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino.
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I numeri naturali sono come una scala.
Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un
gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino.
Questo è la idea base del principio di induzione, che permette di studiare
molte proprietà dei numeri naturali.
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I numeri naturali sono come una scala.
Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un
gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino.
Questo è la idea base del principio di induzione, che permette di studiare
molte proprietà dei numeri naturali.
L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N
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I numeri naturali sono come una scala.
Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un
gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino.
Questo è la idea base del principio di induzione, che permette di studiare
molte proprietà dei numeri naturali.
L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N
N = {1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . }
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Operazioni tra numeri naturali
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Operazioni tra numeri naturali
Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro
numero naturale.
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Operazioni tra numeri naturali
Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro
numero naturale.
La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali.
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Operazioni tra numeri naturali
Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro
numero naturale.
La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali.
Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.
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Operazioni tra numeri naturali
Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro
numero naturale.
La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali.
Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.
Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero
naturale.
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Operazioni tra numeri naturali
Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro
numero naturale.
La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali.
Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.
Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero
naturale.
Per la divisione, questo non è sempre vero.
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Operazioni tra numeri naturali
Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro
numero naturale.
La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali.
Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.
Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero
naturale.
Per la divisione, questo non è sempre vero.
Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.
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Operazioni tra numeri naturali
Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro
numero naturale.
La sottrazione, invece, non è sempre possibile tra numeri naturali.
Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.
Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero
naturale.
Per la divisione, questo non è sempre vero.
Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.
Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturali
non sono adeguati.
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I numeri interi
Primo rimedio
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I numeri interi
Primo rimedio
Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri
naturali, lo zero e i numeri negativi.
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I numeri interi
Primo rimedio
Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri
naturali, lo zero e i numeri negativi.
Si ottengono in questo modo i numeri interi.
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I numeri interi
Primo rimedio
Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri
naturali, lo zero e i numeri negativi.
Si ottengono in questo modo i numeri interi.
L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z
Z = {. . . . . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . }
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I numeri interi
Primo rimedio
Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri
naturali, lo zero e i numeri negativi.
Si ottengono in questo modo i numeri interi.
L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z
Z = {. . . . . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . }
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono
facilmente ai numeri interi.
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I numeri interi
Primo rimedio
Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri
naturali, lo zero e i numeri negativi.
Si ottengono in questo modo i numeri interi.
L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z
Z = {. . . . . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . }
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono
facilmente ai numeri interi.
Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’è più un primo numero:
l’insieme degli interi non ha minimo.
Sicuramente però si può sottrarre ogni intero da ogni altro intero e
ottenere ancora come risultato un intero.
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I numeri interi
Primo rimedio
Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri
naturali, lo zero e i numeri negativi.
Si ottengono in questo modo i numeri interi.
L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z
Z = {. . . . . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . . . . }
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono
facilmente ai numeri interi.
Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’è più un primo numero:
l’insieme degli interi non ha minimo.
Sicuramente però si può sottrarre ogni intero da ogni altro intero e
ottenere ancora come risultato un intero.
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I numeri razionali
Secondo rimedio
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I numeri razionali
Secondo rimedio
Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri
razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici)
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I numeri razionali
Secondo rimedio
Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri
razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici)
Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si
estendono facilmente a questo sistema espanso.
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I numeri razionali
Secondo rimedio
Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri
razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici)
Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si
estendono facilmente a questo sistema espanso.
Dobbiamo però abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.
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I numeri razionali
Secondo rimedio
Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri
razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici)
Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si
estendono facilmente a questo sistema espanso.
Dobbiamo però abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.
Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale
(tranne zero) e ottenere come risultato un razionale .
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I numeri razionali
Secondo rimedio
Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri
razionali, cioè frazioni (i numeri decimali periodici)
Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si
estendono facilmente a questo sistema espanso.
Dobbiamo però abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.
Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale
(tranne zero) e ottenere come risultato un razionale .
L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q
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Proprietà d’ordine
Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di
o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende
facilmente agli interi e ai razionali.
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Proprietà d’ordine
Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di
o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende
facilmente agli interi e ai razionali.
Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due.
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Proprietà d’ordine
Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di
o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende
facilmente agli interi e ai razionali.
Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due.
Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro,
ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero
intero tra di essi.
Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad
esempio la loro media aritmetica.
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Proprietà d’ordine
Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di
o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende
facilmente agli interi e ai razionali.
Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due.
Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro,
ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero
intero tra di essi.
Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad
esempio la loro media aritmetica.
Di più, ce ne sono infiniti.
(Università di Bologna)
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Proprietà d’ordine
Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di
o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende
facilmente agli interi e ai razionali.
Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due.
Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro,
ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero
intero tra di essi.
Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad
esempio la loro media aritmetica.
Di più, ce ne sono infiniti.
Questa proprietà è chiamata densità di Q.
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Proprietà d’ordine
Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di
o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende
facilmente agli interi e ai razionali.
Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due.
Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro,
ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero
intero tra di essi.
Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad
esempio la loro media aritmetica.
Di più, ce ne sono infiniti.
Questa proprietà è chiamata densità di Q.
Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto vicini
quanto si vuole.
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Proprietà d’ordine
Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di
o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende
facilmente agli interi e ai razionali.
Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due.
Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro,
ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero
intero tra di essi.
Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad
esempio la loro media aritmetica.
Di più, ce ne sono infiniti.
Questa proprietà è chiamata densità di Q.
Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto vicini
quanto si vuole.
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I numeri razionali non bastano
Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanza
utili.
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I numeri razionali non bastano
Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanza
utili.
Si può operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e con
l’eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale.
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I numeri razionali non bastano
Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanza
utili.
Si può operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e con
l’eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale.
Se si vuole operare con funzioni quali radice quadrata o se si vuole
semplicemente calcolare la lunghezza di una circonferenza o l’area di un
cerchio, i razionali non sono più sufficienti.
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I decimali finiti
Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si
considerano i decimali:
4
1, 4 = 1 + 10
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I decimali finiti
Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si
considerano i decimali:
4
1, 4 = 1 + 10
Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si
considerano i centesimi:
41
1, 41 = 1 + 100
(Università di Bologna)
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I decimali finiti
Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si
considerano i decimali:
4
1, 4 = 1 + 10
Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si
considerano i centesimi:
41
1, 41 = 1 + 100
Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:
414
1, 414 = 1 + 1000
(Università di Bologna)
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I decimali finiti
Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si
considerano i decimali:
4
1, 4 = 1 + 10
Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si
considerano i centesimi:
41
1, 41 = 1 + 100
Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:
414
1, 414 = 1 + 1000
e cosı́ via.
(Università di Bologna)
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I decimali finiti
Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si
considerano i decimali:
4
1, 4 = 1 + 10
Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si
considerano i centesimi:
41
1, 41 = 1 + 100
Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:
414
1, 414 = 1 + 1000
e cosı́ via.
In generale se un decimale occupa sino all’n-esimo posto dopo la virgola,
dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste al
numeratore e 10n come denominatore. Cosı́ si capisce immediatamente
che i numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.
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I decimali periodici
Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.
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I decimali periodici
Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.
Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso
mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le
cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄).
Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni
punto e ottenere:
3
33
333
3333
...
10
100
1000
10000
(Università di Bologna)
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I decimali periodici
Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.
Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso
mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le
cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄).
Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni
punto e ottenere:
3
33
333
3333
...
10
100
1000
10000
Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente 31 .
(Università di Bologna)
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I decimali periodici
Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.
Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso
mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le
cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄).
Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni
punto e ottenere:
3
33
333
3333
...
10
100
1000
10000
Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente 31 .
E non è la sola successione di razionali che converge a 13 .
Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :
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I decimali periodici
Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.
Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso
mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le
cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄).
Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni
punto e ottenere:
3
33
333
3333
...
10
100
1000
10000
Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente 31 .
E non è la sola successione di razionali che converge a 13 .
Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :
4
10
34
100
334
1000
3334
10000
(Università di Bologna)
...
,
1
4
5
16
21
64
I numeri naturali, interi, razionali e reali
85
256
341
1024
...
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I decimali periodici
Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.
Il numero 13 è chiaramente un razionale, ma non può essere espresso
mediante un decimale finito; si può scrivere come un decimale infinito le
cui cifre si ripetono: 1, 33333....(1, 3̄).
Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni
punto e ottenere:
3
33
333
3333
...
10
100
1000
10000
Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente 31 .
E non è la sola successione di razionali che converge a 13 .
Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :
4
10
34
100
334
1000
3334
10000
...
,
1
4
5
16
21
64
85
256
341
1024
...
Ogni numero razionale può essere scritto o come un decimale finito, o
come decimale infinito periodico.
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I decimali non periodici e i numeri reali
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I decimali non periodici e i numeri reali
I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali
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I decimali non periodici e i numeri reali
I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali
I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure
infinita e periodica sono i numeri razionali,
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I decimali non periodici e i numeri reali
I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali
I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure
infinita e periodica sono i numeri razionali,
quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.
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I decimali non periodici e i numeri reali
I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali
I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure
infinita e periodica sono i numeri razionali,
quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.
I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunque
rappresentazione decimale.
(Università di Bologna)
I numeri naturali, interi, razionali e reali
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I decimali non periodici e i numeri reali
I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali
I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure
infinita e periodica sono i numeri razionali,
quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.
I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunque
rappresentazione decimale.
L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R
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I numeri irrazionali
Tra
√ i numeri irrazionali ve ne sono alcuni molto famosi ed importanti:
2, π, e.
I primi due sono ben noti dalle scuole superiori, il numero e è anche
chiamato numero di Nepero ed è il imite della successione: (1 + n1 )n .
Calcoliamo qualche termine di questa successione:
n
1
2
10
100
1000
10000
(1 + 1n )n
(1 + 1)1
(1 + 12 )2
1 10
(1 + 10
)
1 100
(1 + 100 )
1 1000
(1 + 1000
)
1
(1 + 10000 )10000
(Università di Bologna)
valore numerico
2
9
=
2, 25
4
10
1, 1 = 2, 59..
1, 01100 = 2, 70..
1, 0011000 = 2, 716..
1, 000110000 = 2, 718..
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Valore assoluto di un numero reale
Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero
reale non negativo, che indichiamo con |a|.
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Valore assoluto di un numero reale
Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero
reale non negativo, che indichiamo con |a|.
|a| = a se a ≥ 0, pause
|a| = −a se a < 0.
(Università di Bologna)
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Valore assoluto di un numero reale
Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero
reale non negativo, che indichiamo con |a|.
|a| = a se a ≥ 0, pause
|a| = −a se a < 0.
ad esempio | − 54 | =
(Università di Bologna)
5
4
.
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Valore assoluto di un numero reale
Se a è un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a è un numero
reale non negativo, che indichiamo con |a|.
|a| = a se a ≥ 0, pause
|a| = −a se a < 0.
ad esempio | − 54 | =
5
4
.
Avremo spesso a che fare con il modulo di una espressione, ad esempio
3 − x. Si avrà:
3 − x, se x ≤ 3;
|3 − x| =
x − 3, se x > 3.
Notiamo che |3 − x| = |x − 3|, visto che l’unica differenza nella definizione
si ha per x = 3, ma in questo caso x − 3 = 3 − x = 0
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Sistema di ascisse sulla retta reale
Su una retta si fissa un sistema di riferimento considerando:
un punto O (origine) a cui si associa il valore 0
a destra di O, un altro punto che chiamiamo U (punto unità) e cui si
associa il valore 1
Il segmento OU è la unità di misura del sistema fissato.
In questo modo viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti i
punti della retta ed i numeri reali, nel senso che ad ogni punto di tale retta
corrisponde uno e un solo numero reale.
Tale numero(detto detto ascissa del punto) in valore assoluto individua la
distanza dall’origine nell’unità di misura scelta,inoltre è positivo se il
punto si trova a destra di O e negativa altrimenti.
Viceversa, ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della
retta (Università
euclidea.
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Intervalli reali
Si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di R:
(a, b) = {x ∈ R tali che
a < x < b} intervallo limitato aperto.
[a, b] = {x ∈ R tali che
a ≤ x ≤ b} intervallo limitato chiuso.
[a, b) = {x ∈ R tali che a ≤ x < b} intervallo limitato chiuso a
sinistra (e aperto a destra).
(−∞, b) = {x ∈ R tali che x < b } intervallo aperto illimitato (a
sinistra) o semiretta inferiore aperta.
[a, +∞) = {x ∈ R tali che x ≥ a} intervallo chiuso illimitato (a
destra) o semiretta superiore chiusa.
(a, b], (−∞, b], (a, +∞) sono definiti analogamente.
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Le coordinate cartesiane sul piano
R2 è l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali e la sua
rappresentazione geometrica è il piano.
Il sistema più ampiamente usato nel piano è quello delle coordinate
cartesiane, basato su un insieme di assi perpendicolari tra loro. Queste
coordinate prendono il nome da René Descartes (Cartesio), un filosofo e
scienziato francese che nel ’600 ideò un modo di ”etichettare” ogni punto
di un piano con una coppia di numeri. Il sistema è basato su 2 linee rette
(”assi”), perpendicolari tra loro, su ciascuna delle quali è fissato un
sistema di ascisse, con origine nel punto in cui esse si incontrano e con la
stessa unità di misura.
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L’ascissa sull’asse orizzontale è indicata con la lettera x, e sull’altro asse
con y. Dato quindi un punto P, si tracciano da esso le parallele agli assi, e
i valori x e y sulle intersezioni definiscono completamente il punto. In
onore di Descartes (Cartesio), questo modo di etichettare i punti è noto
come sistema cartesiano e i due numeri (x, y) che definiscono la posizione
di ogni punto sono le sue coordinate cartesiane.
Nei grafici è spesso usato questo sistema, come pure sulle mappe.
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Piano cartesiano e quadranti
Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti,
indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:
I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;
II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata
positiva;
III quadrante: simmetrico al primo rispetto all’origine;
IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all’origine.
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