Matematica I

Matematica I - A.A. 2004-2005
Prerequisiti
1. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Valore assoluto.
2. Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei
triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi.
Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano;
distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di
parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.
3. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze; polinomi: divisibilità, regola di Ruffini,
radici, fattorizzazione. Potenze con esponente razionale o reale. Funzione esponenziale, suo
grafico e sue principali proprietà. Logaritmo, suo grafico e sue principali proprietà.
4. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico; operazioni algebriche (somma,
prodotto, differenza, quoziente) su funzioni e loro effetto sui grafici; intersezioni tra grafici e
loro significato algebrico; grafico della funzione valore assoluto.
5. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di equazioni e di disequazioni.
6. Equazioni e disequazioni irrazionali; con esponenziali, logaritmi e valore assoluto.
7. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli
notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni e disequazioni con funzioni
trigonometriche.
Testi consigliati
1. Marco Bramanti: Precalculus, Progetto Leonardo
2. Giovanni Malafarina: Matematica per i precorsi, McGraw-Hill
Contenuti del Corso
1. Elementi di teoria degli insiemi. Sommatorie. Binomio di Newton. Gli insiemi numerici N, Z e
Q. I numeri reali. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza della
radice n-esima in R. Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi.
Radici n- esime dei numeri complessi.
2. Successioni. Limiti di successioni. Teorema di unicità del limite (*).Successioni divergenti ed
irregolari. Successioni monotone. Teorema di esistenza del limite per le successioni monotone.
Calcolo dei limiti. Il numero di Nepero e. Infiniti ed infinitesimi. Ordini di infinito ed
infinitesimo. Serie numeriche: definizioni e primi esempi. Serie geometrica e serie di Mengoli.
Condizione necessaria per la convergenza (*). Criteri di convergenza per serie a termini positivi
e per serie a segno alterno.
3. Funzioni reali di variabile reale. Grafico di una funzione. Funzioni limitate. Funzioni pari e
funzioni dispari. Funzioni monotone. Funzioni periodiche. Definizione di limite. Continuità.
Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Funzione composta. Funzione inversa e suo grafico.
Proprietà delle funzioni continue. Teorema degli zeri (*). Teorema dei valori intermedi. Calcolo
dei limiti. Limiti notevoli. Gerarchia degli infiniti.
4. Definizione di derivata e derivate delle funzioni elementari. Punti angolosi, cuspidi e flessi a
tangente verticale. Regole per il calcolo delle derivate. Derivata della funzione composta.
Derivata della funzione inversa. Teorema di Fermat (*). Teorema del valor medio o di Lagrange
(*). Condizioni per la monotonia di una funzione derivabile. Ricerca dei massimi e minimi.
Teorema di l'Hopital. Differenziale di una funzione. Derivata seconda, concavità e convessità.
Condizioni necessarie e sufficienti per la convessità e la concavità (*). Formula di Taylor al
secondo ordine. Formula di Taylor di ordine n. Resto secondo Lagrange e resto secondo Peano.
5. Definizione di integrale. Interpretazione geometrica e cinematica. Proprietà dell'integrale.
Teorema della media (*). Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Primitive e metodo di
calcolo dell'integrale. Integrazione per scomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione
delle funzioni razionali.
6. Equazioni differenziali. Equazioni del primo ordine, integrale generale e problema di Cauchy.
Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del
secondo ordine. Teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Equazioni
omogenee e non omogenee. Risoluzione delle equazioni omogenee. Equazioni omogenee a
coefficienti costanti. Equazione caratteristica. Equazioni non omogenee. Metodi per la ricerca di
soluzioni particolari.
(*) denota i teoremi e le proposizioni di cui è richiesta dimostrazione.
Testo consigliato: M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA, Zanichelli
Eserciziari consigliati:
• Sandro Salsa, Annamaria Squellati, Esercizi di Matematica, volume 1, Zanichelli
• M. Bramanti, Esercizi di Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Ed. Esculapio, Bologna,
2001
Esame
L’esame consta di due prove. La prima è una prova scritta durante la quale si richiede la risoluzione
di alcuni esercizi. La seconda è una prova di tipo teorico che può essere, a discrezione della
commissione esaminatrice, scritta oppure orale. Oggetto della prova teorica è l’intero programma
del corso (prerequisiti compresi).
Per poter accedere alla prova di teoria è necessario aver conseguito una votazione di almeno 15/30
nella prima prova.
La prova scritta e la prova di teoria devono essere necessariamente effettuate nello stesso
appello d’esame.
Prove intermedie (compitini)
Nella settimana dal 2/11/04 al 5/11/04 verrà effettuata una prova intermedia relativa alla parte di
programma svolta nelle prime 6 settimane di corso. Gli studenti che riporteranno una votazione di
almeno 15/30 in tale prova potranno sostenere la seconda prova intermedia che verrà effettuata in
corrispondenza con il primo appello d’esame di Gennaio 2005. Gli studenti che conseguiranno una
votazione di almeno 15/30 anche in questa seconda prova potranno accedere alla prova di teoria.
Ulteriori informazioni riguardanti le prove intermedie saranno comunicate nel corso delle lezioni.