Matematica del Continuo (Comunicazione Digitale)
a.a. 2012/13
Programma del corso
Numeri complessi
Rappresentazione algebrica ed operazioni tra numeri complessi.
Rappresentazione trigonometrica: prodotto di numeri complessi e rotazioni, calcolo di radici.
Cenni al teorema fondamentale dell’algebra.
Decomposizione di polinomi in fattori irriducibili, complessi e reali. Decomposizione in campo reale di
razionali fratte in fratti semplici.
Numeri reali, razionali ed interi
Elementi di combinatoria: n!, coeff. Binomiale, binomio di Newton.
Maggioranti e minoranti di un sottoinsieme della retta reale.
Massimo e minimo, cenni ad estremo superiore ed estremo inferiore.
Numeri naturali: Principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Limiti di successioni
Nozione di limite, unicità del limite e passaggio alle sottosuccessioni, limitatezza delle successioni
convergenti, teorema del confronto.
Operazioni sui limiti e casi di indecisione.
Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero.
Criterio della radice e del rapporto: confronto tra infiniti.
Confronti tra successioni e simboli di Landau: asintotico, o piccolo, O grande, Omega grande e Teta
grande. Relazioni tra i diversi simboli. Caratterizzazione al limite dei simboli grandi di Landau.
Funzioni continue
Nozione di continuità e sua interpretazione grafica.
Limiti di funzioni e rivisitazione della continuità: i diversi tipi di discontinuità.
Relazioni tra limiti di funzioni e limiti di successioni.
Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta.
Estensione dei simboli di Landau al caso di funzioni.
Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale
Nozione di derivata: approssimazione lineare e tangente ad una curva.
Continuità delle funzioni derivabili. Punti angolosi e cuspidi.
Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Operazioni con le derivate.
Punti di estremo relativo e Teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle e di Lagrange e loro applicazioni: caratterizzazione monotonia larga e stretta,
caratterizzazione estremi locali.
Studi di funzione. Principio di Fermat e legge di rifrazione.
Cenni alla convessità.
Teorema di De l’Hôpital e confronto di infiniti.;
Approssimazione locale di una funzione tramite polinomi: formula di Taylor, resto di Peano e resto di
Lagrange. Sviluppi notevoli ed operazioni con gli sviluppi. Sviluppi asintotici.
Calcolo integrale
Calcolo delle aree: approssimazione e metodo di esaustione.
Cenni all’integrale di Rieman: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà
dell’integrale definito.
Teorema della media integrale e Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive e Formula
fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti e loro calcolo: integrazione per decomposizione, per sostituzione e per parti.
Integrazione di razionali fratte.
Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.
Somme e serie
Somme finite e simbolo di sommatoria: cambi di indice e manipolazione di somme. Somme di
progressioni geometriche, di potenze di interi, telescopiche.
Nozione di serie e rapidità di approssimazione della somma: ridotte e rapidità di divergenza, resti e
rapidità di convergenza. Esempi notevoli: serie geometrica, serie armonica, serie di Mengoli e
telescopiche. Frazioni generatrici di allineamenti decimali. Rapidità di divergenza per la serie dei
fattoriali.
Condizione necessaria di convergenza.
Convergenza assoluta e relazioni con la convergenza.
Serie a termini positivi: regolarità, confronto, rivisitazione dei criteri della radice e del rapporto.
Stime della rapidità di divergenza o di convergenza coi simboli di Landau. Stime col confronto
integrale: ln(n!) e serie armonica generalizzata. Stime col confronto classico e col confronto asintotico
con serie note. Stime con i criteri della radice e del rapporto.
Serie di potenze
Definizione e raggio di convergenza. Serie formali.
Operazioni algebriche con le serie di potenze: combinazioni lineari, prodotto di Cauchy o di
convoluzione, derivazione.
Serie di Taylor: esempi notevoli. Convergenza e cenni all’analiticità. Razionali fratte: cenni alle
relazioni tra singolarità e raggio di convergenza della serie di Taylor.
Ricorsione e funzioni generatrici
Introduzione alle equazioni di ricorrenza.
Traduzione di problemi di conteggio in equazioni di ricorrenza.
Funzioni generatrici e risoluzione delle equazioni di ricorrenza: serie di potenze ordinaria associata ad
una successione e proprietà formali di manipolazione.
Esempi notevoli: numeri di Fibonacci e numeri di Catalan, espressione esplicita e comportamento
asintotico.
Nota bene: i teoremi in corsivo sono gli unici per i quali è prevista la conoscenza della relativa
dimostrazione.
Riferimenti:
Matematica Assistita - Unimi (in rete)
Marcellini Sbordone – Calcolo – Liguori editore
H.S.Wilf, Generatingfunctionology, Academic Press (in rete)
