correzione I compito di V A, del 17 ottobre 2012

Classe V A
Anno scolastico 2012/2013
17 ottobre 2012
COMPITO DI MATEMATICA
I del I quadrimestre
CORREZIONE
1) Quante, e di che specie, sono le discontinuità della funzione f ( x) 
Risposta: La funzione è discontinua solo in 0 e lim 
x 0 
Dunque in 0 si ha una discontinuità di III specie.
ex 1
?
x
ex 1
 1 (limite notevole)
x
2) Per quali valori di a e b risulta continua la seguente funzione su tutto R?
e2x  1
 ax  b se x  0

x

f ( x)  
xa
se 0  x  1
2
b
(
x

1
)

se x  1

ln
x

Risposta: La funzione è chiaramente continua prima dello 0, lo è tra 0 e 1, e lo è dopo
l’1. Occorre verificare (e imporre)
continuità in 0
e
continuità in 1
lim (
h 0
e 2x  1
 ax  b)  f (0)  lim ( x  a)
h 0
x
lim ( x  a)  f (1)  lim
h 1
h 0
2b( x  1)
ln x
(Si riconoscono due limiti fondamentali o riconducibili a tali. Dunque occorre risolvere il sistema)
2  b   a

1  a  2b
 e  x per x  0
2
 x  2 per x  0
3) Disegna (con unità di misura 2 quadretti) il grafico di g ( x)  
e determina la sua immagine (o codominio).
La g (x ) presenta discontinuità? Di che specie?
Il grafico è l’unione di due tratti di curve note.
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Il dominio di g è chiaramente R.
Codominio g(x) = ]0;1[  [2;+[ (lo si ricava dal grafico)
La funzione presenta una discontinuità di I specie in 0, con salto h = – 1
1
3A) Trova g    (ossia l’antimmagine di 1/2)
2
1 
g      x  D | g ( x) 
2 
1
 … è solo per x>0 che la funzione g assume il valore ½
2
1
1
g     ln 2
dunque basta risolvere e  x 
Ricaviamo dunque:
2
2
3B) La g (x ) è invertibile nel suo dominio? Se sì, determina l’espressione analitica e il
grafico di g 1 ( x) .
Risposta: È invertibile a patto di considerare come Target il Codominio.
(La g va invertita “a pezzi”, prendendo come dominio dei due “pezzi” il codominio della diretta.)
  ln x per 0  x  1
g 1 ( x)  
 x  2 per x  2
(Il grafico è già stato riportato in rosso nella figura sopra)
4) Trova il punto di intersezione tra i due asintoti (della curva grafico) della funzione
h( x ) 
x 3  2 x 2  5x
e determina l’angolo che essi formano tra loro.
x2
La curva presenta chiaramente l’asintoto verticale x=2 , mentre all’infinito non
presenta né asintoto orizzontale né obliquo, ma parabola asintotica (ci sono due gradi di
differenza tra numeratore e denominatore), la cui equazione si ottiene effettuando la
divisione tra i polinomi N(x) e D(x)
h( x )  x 2  5 
10
x2
y  x 2  5 è l’equazione della parabola asintotica.
I due asintoti si intersecano in (2; – 1 ), la tangente alla parabola in quel punto ha
coefficiente 4.
(Non si può usare la formula della tangente dell’angolo fra due rette perché una delle due rette è verticale,
e dunque non ha m)
L’angolo tra i due asintoti (asintoto verticale e tangente alla parabola) è il complementare di
quello che ha tangente 4, e dunque ha tangente 1/4
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5) Rappresenta il grafico probabile della funzione g ( x) 
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x 4  16
. La curva taglia uno
x 2  4x
dei suoi asintoti? Se sì, determina l’ascissa α di tale intersezione con un’approssimazione
di 0,25.
Studio
 x 4  16  0
I valori che appartengono al dominio soddisfano al seguente sistema 
x  0  x  4
Dunque D = ]–;–2]  ]2;4[  ]4;+[
(Non occorre studiare il segno di N e D per metterli sul grafico, trattandosi di fattori elementari)
(si osservi che il Numeratore non ha segno tra – 2 e 2, non essendo appunto reale)
lim g ( x)   x = 4 asintoto verticale
x4
lim g ( x)  1
x 
y = 1 asintoto orizzontale
Il grafico (probabile) è dunque
4

 y  x  16
La curva taglia il suo asintoto orizzontale? Risolviamo il sistema 
x 2  4x

y 1
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 x 4  16  ( x 2  4 x) 2
che equivale a risolvere 
x  0 x  4

L’equazione sopra x 3  2 x 2  2  0 ha zeri per x  0  x  4 ?
Un rapido confronto grafico tra le curve del sistema y  x 3  y  2 x 2  2 (entrambe
facilmente disegnabili) mostra (teorema dello zero) che esse si intersecano tra 2 e 3.
Quindi la curva non taglia l’asintoto e il grafico sopra è corretto.
6) Applicando la definizione di derivata calcola la derivata della funzione
f ( x)  lg( x  1)  3x 2 nel punto di ascissa x0  2
Calcolo
lg( 2  h  1)  3(2  h) 2  lg 1  12
lg( 1  h)  3h(4  h)
 lim

h 0
h 0
h
h
f ' (2)  lim
lg( 1  h)
3h(4  h)
 lim
 1  12  13
h 0
h 0
h
h
 lim