TEMPUS PECUNIA EST
COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE
FINANZIARIE E AZIENDALI
Direttore
Beatrice V
Università degli Studi di Cagliari
Comitato scientifico
Umberto N
University of Maryland
Russel Allan J
Università degli Studi di Firenze
Gian Italo B
Università degli Studi di Urbino
Giuseppe A
Università degli Studi di Cagliari
TEMPUS PECUNIA EST
COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE
FINANZIARIE E AZIENDALI
Al suo livello più profondo la realtà è la matematica della natura.
P
Questa collana nasce dall’esigenza di offrire al lettore dei trattati che
aiutino la comprensione e l’approfondimento dei concetti matematici che caratterizzano le discipline dei corsi proposti nelle facoltà di
Scienze economiche, finanziarie e aziendali.
Beatrice Venturi
Alessandro Pirisinu
Elementi di Matematica finanziaria
per le scienze economiche
giuridiche e aziendali
Copyright © MMXIV
ARACNE editrice S.r.l.
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via Raffaele Garofalo, /A–B
Roma
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di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: novembre
Indice
9
Prefazione
11
Capitolo I
I regimi finanziari
1. La matematica finanziaria, 11
2. I concetti fondamentali, 11
3. Il regime dell’interesse semplice, 13
4. Il regime dello sconto commerciale, 16
5. Il regime dell’interesse composto, 18
6. I tassi equivalenti e i tassi convertibili, 22
7. Il tasso continuo e la forza d’interesse, 25
8. La scindibilità delle leggi finanziarie, 27
9. I titoli di Stato, 28
Esercizi svolti, 31 – Esercizi proposti, 38
41
Capitolo II
Le rendite
1. L’equivalenza finanziari, 41
2. Le progressioni aritmetiche e geometriche, 43
3. La classificazione delle rendite, 44
4. I calcoli finanziari per le rendite , 45
5. I problemi inversi sulle rendite, 55
Esercizi svolti, 57 – Esercizi proposti, 64
5
7
68
Prefazione
Indice
Indice
67
Capitolo III
I prestiti: ammortamento e valutazione
1. Il rimborso globale, 67
2. Il rimborso graduale, 68
3. L’ammortamento italiano, 70
4. L’ammortamento americano, 71
5. L’ammortamento francese, 71
6. I problemi finanziari , 74
7. Il leasing , 77
8. La valutazione dei prestiti, 79
Esercizi svolti, 82 – Esercizi proposti, 92
95
Capitolo IV
La valutazione degli investimenti
1. La durata media finanziaria (duration), 96
2. Il tempo di recupero (payback period), 96
3. Il valore attuale netto (net present value), 97
4. Il tasso interno di rendimento (IRR), 98
5. Il T.A.N. e il T.A.E.G., 99
Esercizi svolti, 100 – Esercizi proposti, 108
111 Capitolo V
Introduzione al calcolo delle probabilità
1. Spazio di probabilità, 111
2. Variabile casuale, 113
3. Processo stocastico, 115
4. L’ammortamento dei prestiti obbligazionari, 119
125 Riferimenti bibliografici
7
Prefazione
Questo lavoro nasce dal desiderio di offrire a chi affronta lo
studio della matematica finanziaria una trattazione agevole e per
quanto possibile completa dei diversi tipi di operazioni finanziarie
nella maniera in cui si svolgono nella realtà dei mercati finanziari.
Partendo dalle prime nozioni sui regimi finanziari, il testo affronta le più comuni operazioni finanziarie certe: le rendite; i prestiti,
il loro rimborso e la loro valutazione; si conclude con gli strumenti
che vengono utilizzati per la valutazione degli investimenti (tasso interno di rendimento, duration, payback e altri) e con un’introduzione
al calcolo probabilistico. Questi argomenti sono sicuramente efficaci
per meglio comprendere le nozioni che verranno affrontate nei corsi
degli anni successivi al primo, in cui si sostiene l’esame di matematica
finanziaria; cioè la finanza aziendale e la tecnica bancaria, per citarne
alcuni.
Alla fine di ogni capitolo è anzitutto presente una serie di esercizi svolti e commentati che ulteriormente approfondiscono la teoria
presentata nel testo; vengono poi proposti altri problemi, per consentire di esercitarsi personalmente nello studio della materia anche da un
punto di vista operativo.
Cagliari, Luglio 2014
Beatrice Venturi
Alessandro Pirisinu
9
810
Prefazione
Presentazione degli autori
Indice
Capitolo I
I regimi finanziari
1. La matematica finanziaria
È quella branca della matematica che si occupa delle operazioni finanziarie certe: si tratta di scambi di somme di denaro nel tempo, scambi
che sono indipendenti da eventi aleatori.
La matematica finanziaria dunque considera soltanto operazioni in base alle quali è possibile confrontare somme diverse, disponibili in
tempi diversi, siano esse prestate (per ricevere un compenso successivamente) o ricevute (in modo da averne la disponibilità per successivi
futuri investimenti).
I due aspetti fondamentali presenti in un’operazione finanziaria sono
perciò l’aspetto monetario e lo scorrere del tempo, senza il quale non
vi è operazione finanziaria.
2. I concetti fondamentali.
Le operazioni finanziarie fondamentali sono l’operazione di capitalizzazione e di attualizzazione.
Consideriamo la prima operazione di capitalizzazione, cioè
l’investimento o prestito di una somma di denaro. Si definisce il prestito come quell’operazione che consiste nella cessione di una somma
in denaro, pattuendo la restituzione a un certo tempo t fissato, aumentata di interessi, cioè del compenso spettante al prestatore.
Si possono dunque individuare gli elementi fondamentali
dell’operazione:
C: è il capitale impiegato – prestato – al tempo t0 ;
M: è il montante prodotto al tempo t1 , cioè la somma che viene restituita a chi ha erogato il prestito;
I: è l’interesse prodotto dall’operazione, cioè il compenso che spetta a chi ha prestato la somma di denaro.
Questi tre elementi sono legati dalla seguente relazione:
M=C+I.
Da ciò, si ha:
I=M–C.
9
11
12
10
(OHPHQWLGL0DWHPDWLFD¿QDQ]LDULDSHUOHVFLHQ]HHFRQRPLFKHJLXULGLFKHHD]LHQGDOL
Capitolo I
Si noti che tutti gli elementi dell’operazione sono quantitativamente
definiti e fissati, cioè l’operazione non dipende da elementi di incertezza, come accade per qualunque operazione finanziaria certa.
L’operazione di capitalizzazione si associa al concetto di interesse e il
montante può essere considerato come il valore futuro di una somma
disponibile oggi per l’investimento.
Schematizzando l’operazione:
t1
t0
I
C
M
Consideriamo adesso l’operazione finanziaria di attualizzazione: essa
consiste nella restituzione anticipata al tempo t0 di una somma di denaro che inizialmente doveva essere restituita al tempo t1 , stabilendo
un compenso per l’anticipata estinzione del debito.
Anche qui si possono dunque individuare gli elementi dell’operazione:
M: è il capitale che deve essere restituito alla scadenza t1 ;
VA: è il valore attuale, cioè la somma che viene restituita anticipatamente al tempo t0 ;
S: è lo sconto, cioè il compenso che spetta a chi esegue un pagamento prima della sua scadenza stabilita.
Questi tre elementi sono collegati dalla seguente relazione:
VA = M – S .
Da ciò, si ha:
S = M – VA .
L’operazione di attualizzazione dunque si associa al concetto di sconto e il valore attuale può essere considerato come il valore odierno di
una somma che scade in futuro.
Anche questa operazione può essere schematizzata:
t1
t0
S
VA
M
I regiPi ¿nanziari
I regimi finanziari
13
11
Adesso, si possono dare altre due importanti definizioni:
il tasso di interesse i (interest rate) è il compenso prodotto da un
capitale unitario investito nell’unità di tempo; il tasso può anche
essere indicato come tasso percentuale p; i due tassi stanno nella
p
e, ovviamente, p i 100 ; ad esempio, sono in
relazione i
100
I
corrispondenza i tassi p 7% e i 0,07 ; in generale: i
.
C
il tasso di sconto d (discount rate) è anch’esso un compenso prodotto da un capitale unitario che viene restituito anticipatamente in
S
un tempo unitario; in generale: d
.
M
t = t1 – t0 : è la durata dell’operazione finanziaria che viene misurata in anni o frazione d’anno, se non altrimenti specificato.
In una generica operazione finanziaria, fissati C ed M, si definiscono
inoltre:
M
il fattore di capitalizzazione r:
r=
;
C
C
il fattore di attualizzazione v: v =
.
M
La relazione tra i fattori r e v è di proporzionalità inversa:
1
1
essendo r =
e v=
, si ha: r v 1 .
v
r
Vi sono diverse leggi finanziarie, cioè diversi principi con cui vengono calcolate le diverse grandezze sopra indicate, cioè interesse (I),
montante (M), ecc. Questi differenti modi di calcolo danno luogo ai
regimi finanziari: i più importanti sono il regime dell’interesse semplice, il regime dello sconto commerciale, il regime dell’interesse
composto.
3. Il regime dell’interesse semplice
Ogni regime finanziario è rappresentato da una legge finanziaria cioè
dipende da un assunto fondamentale: nel caso del regime semplice, ta-
14
12
(OHPHQWLGL0DWHPDWLFD¿QDQ]LDULDSHUOHVFLHQ]HHFRQRPLFKHJLXULGLFKHHD]LHQGDOL
Capitolo I
le assunto è che l’interesse I si calcola sempre sul capitale C, al tasso i,
per la durata di tempo t. In altre parole, l’interesse I è proporzionale al
capitale C e al tasso i per tutta la durata dell’operazione. Ciò significa
che:
I C i t .
Ricordando quanto indicato nel paragrafo precedente, possiamo ricavare le formule per esprimere il montante e le altre grandezze finanziarie:
M = C + I = C + Cit = C(1 + it) e quindi: M = C(1 + it) .
La formula del montante è una formula lineare rispetto al tempo: ciò
indica un legame di diretta proporzionalità diretta tra tempo di capitalizzazione e montante ottenuto. In questa formula, possiamo enucleare
(1 + it), cioè il fattore di capitalizzazione semplice. Se si considera il
tempo unitario, si ha r = (1 + i) o fattore unitario di capitalizzazione
semplice. Graficamente:
M
M
C (1 i t )
1 i
1
0
1
t
Adesso, per ricavare la formula del valore attuale, basta ricordare che
esso è il valore odierno di una somma scadente in futuro; quindi, logicamente, l’attualizzazione è l’operazione inversa della capitalizzazione e la formula del valore attuale sarà dunque la formula inversa di
quella del montante; per, comodità, anche il valore attuale VA può essere indicato con C:
M
1
VA = C =
=M
.
1 it
1 it
I regiPi ¿nanziari
I regimi finanziari
15
13
§ 1 ·
Anche in questa formula, possiamo enucleare ¨
¸ , cioè il fattore
© 1 it ¹
di attualizzazione semplice.
§ 1 ·
Se si considera il tempo unitario, si ha v = ¨
¸ o fattore unitario di
©1 i ¹
attualizzazione semplice.
Adesso possono essere ricavate le formule dell’interesse I e dello
sconto, che nel regime semplice prende il nome di sconto razionale
Sr :
I = C(1 + it) – C = Cit
(che, ovviamente, è la legge base del
regime semplice);
1 ·
M
it
§
Sr = M –
= M ¨1 , dove si ha:
¸= M
1 it
1 it
© 1 it ¹
§ it ·
-¨
¸ è il fattore di sconto razionale;
© 1 it ¹
i
-d=
(considerato il tempo unitario) è il fattore unitario
1 i
di sconto razionale.
Quest’ultimo indica la relazione tra tasso unitario i di interesse
e tasso unitario d di sconto. Da quest’ultima relazione, si può
d
ricavare la relazione inversa tra i e d: i
; ecco perché il
1 d
tasso d viene anche detto tasso di interesse anticipato.
Per completare il regime semplice, si possono ora indicare le due formule del tempo di investimento e del tasso di capitalizzazione semplice; dalla formula del montante si ha M = C(1 + it);
dividendo primo e secondo membro per C si ha:
M
M
da cui
1;
1 it
it
C
C
M
1
C
infine i
che è il tasso di capitalizzazione semplice ;
t
16
14
(OHPHQWLGL0DWHPDWLFD¿QDQ]LDULDSHUOHVFLHQ]HHFRQRPLFKHJLXULGLFKHHD]LHQGDOL
Capitolo I
t
M
1
C
che è il tempo di capitalizzazione semplice .
i
A proposito dell’ultima formula, è interessante ricordare che vi sono
diverse convenzioni sul calcolo dei tempi: nella matematica finanziaria si usa generalmente la convenzione dell’anno commerciale (cosiddetta 30/360): indipendentemente dall’anno considerato, la durata
dell’anno è di 360 giorni e i mesi sono tutti di 30 giorni.
Nella concreta realtà delle operazioni finanziarie, invece, vi sono altre
convenzioni: innanzi tutto, si può considerare l’anno civile, dove la
durata è di 365 giorni o 366 se l’anno è bisestile e la durata
dell’operazione viene calcolata come distanza tra due date precise (la
cosiddetta convenzione act/act): se si indica con n il numero di giorni
tra due date e con N il numero di giorni dell’anno considerato, il rapporto n/N indica la durata in termini di frazione d’anno. Questa viene
utilizzata per gli strumenti di mercato finanziario, cioè titoli di durata
medio-lunga come i CCT e i BTP.
Inoltre, vi sono casi diversi come la convenzione act/360 (utilizzata
per i BOT), la convenzione act/365, ecc.
4. Il regime dello sconto commerciale
In questo regime finanziario lo sconto Sc si calcola proporzionalmente al capitale alla scadenza M, al tasso d per la durata di tempo t. Ciò
significa che:
Sc M d t .
A partire da questa formula, ricordando che Sc = M – VA = M – C, si
ha:
VA = C = M – Sc = M – Mdt = M(1 – dt) .
In questa formula, possiamo enucleare (1 – dt), cioè il fattore di attualizzazione nello sconto commerciale; se si considera il tempo unitario,
si ha v = (1 – d), che è il fattore unitario di attualizzazione.
Adesso, per ricavare la formula del montante si calcola la formula inversa di quella del valore attuale; essendo:
I regiPi ¿nanziari
I regimi finanziari
17
15
C = M(1 – dt) ,
dividendo il primo e il secondo membro per (1 – dt), si ha:
C
1
=C
.
M=
1 dt
1 dt
In questo regime, la formule del montante è una funzione che, rispetto
al tempo di capitalizzazione, rappresenta un’iperbole: il tratto economicamente significativo è nel primo quadrante fino all’asintoto verti1
cale t
, cioè si può capitalizzare per un tempo corrispondente
d
all’inverso del tasso di sconto;
1
25 .
ad esempio: se d = 0,04, allora t
0,04
Graficamente:
M
M
C
1 d t
1
0
t max
1
d
t
18
16
(OHPHQWLGL0DWHPDWLFD¿QDQ]LDULDSHUOHVFLHQ]HHFRQRPLFKHJLXULGLFKHHD]LHQGDOL
Capitolo I
§ 1 ·
Il fattore ¨
¸ è detto il fattore di capitalizzazione in regime di
© 1 dt ¹
sconto commerciale e, se si considera, il tempo unitario, si ha
§ 1 ·
r ¨
¸ o fattore unitario di capitalizzazione.
©1 d ¹
Per concludere la trattazione di questo regime, si può ricavare la formula dell’interesse maturato in regime di sconto commerciale:
C
Cdt
§ dt ·
I=M–C=
–C=
= C¨
¸ .
1 dt
1 dt
© 1 dt ¹
§ dt ·
Come si vede, ¨
¸ indica il fattore di interesse e, considerato il
© 1 dt ¹
tempo unitario, si ritrova la formula del tasso di interesse anticipato
d
vista nel regime di interesse semplice: i
.
1 d
5. Il regime dell’interesse composto
Nel regime dell’interesse composto l’interesse maturato in ogni periodo viene capitalizzato nel periodo successivo cioè va a far parte del
capitale che frutterà altri interessi nel periodo successivo.
Dunque, per ricavare la formula del montante si considera il capitale C
al momento iniziale dell’operazione e poi si considerano i montanti
M 1 , M 2 , M 3 , … , M n , scadenti rispettivamente dopo un periodo,
due periodi, tre periodi … , fino all’ultimo periodo.
Se i è il tasso di interesse, dopo un periodo si ha:
M 1 = C (1 + i) ;
nel secondo periodo, gli interessi andranno calcolati non più su C come nel regime semplice, ma su M 1 per un ulteriore periodo, sempre al
tasso i; dunque:
M 2 = M 1 (1 + i) = C (1 + i)(1 + i) = C (1 i ) 2 .
I regiPi ¿nanziari
I regimi finanziari
19
17
Si ha insomma M 2 = C (1 i ) 2 . Il discorso può essere riproposto alla
fine del terzo periodo: gli interessi andranno calcolati su M 2 e si ha:
M 3 = M 2 (1 + i) = C (1 i ) 2 (1 + i) = C (1 i)3 .
Generalizzando il procedimento, si ottiene la formula del montante:
M n = C (1 i ) n .
Più semplicemente, la formula viene indicata:
M = C (1 i)t , (con t numero reale).
Come si vede, stavolta la formula mostra il legame di tipo esponenziale tra tempo di capitalizzazione e montante ottenuto: ciò è proprio dovuto al fatto che l’interesse maturato in ogni periodo entra a far parte
della somma che sarà capitalizzata nel periodo successivo.
Il fattore (1 i)t è chiamato fattore di capitalizzazione composta ed
r (1 i) è il fattore unitario di capitalizzazione composta.
Per calcolare la formula del valore attuale, si procede come negli altri
due regimi finanziari: l’operazione di attualizzazione è logicamente
l’operazione inversa di quella di capitalizzazione e dunque la formula
del capitale iniziale (o valore attuale) si ricava dalla formula del montante vista sopra, M = C (1 i)t ;
dividendo primo e secondo membro per (1 i)t si ottiene:
M
C = VA =
= M (1 i) t .
(1 i)t
Nelle due formule appena ricavate appare ancor più chiaro il senso
economico-finanziario di ciò che esse rappresentano: nella formula del
montante il segno positivo dell’esponente indica proprio il senso del
tempo che “scorre in avanti”, cioè il montante è visto in modo prospettico come valore futuro di una somma oggi disponibile; viceversa,
il segno meno all’esponente della formula del valore attuale sta ad indicare il senso dello “scorrere indietro” del tempo o, meglio, sta ad indicare che il valore attuale è visto in modo retrospettivo come il valore
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18
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Capitolo I
odierno di una somma scadente in futuro, il cui pagamento viene anticipato.
Una volta ricavate le formule del montante e del valore attuale, si possono ricavare le altre formule del regime finanziario:
l’interesse maturato in capitalizzazione composta
essendo I = M – C, si ha:
I = C (1 i)t – C = C (1 i )t 1 ;
>
>
@
@
il fattore (1 i )t 1 è detto anche fattore di interesse composto ;
il tasso di capitalizzazione composta
essendo M = C (1 i)t , dividendo per C si ha:
M
(1 i)t =
;
C
adesso, estraendo la radice t-esima del primo e del secondo membro si ottiene:
M
1+i= t
; infine la formula cercata è:
C
i=
t
M
–1 ;
C
il tempo di capitalizzazione composta
essendo M = C (1 i)t , dividendo per C si ha:
M
(1 i)t =
;
C
adesso, passando al logaritmo del primo e del secondo membro si
M
ottiene: log (1 i)t = log ;
C
per le proprietà dei logaritmi è possibile scrivere:
t log (1 i) = log M log C ;
log M log C
infine, la formula cercata è: t =
.
log(1 i )
