Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
Lezione 4
la moda
La classe modale
Statistica
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Quartili, decili,
percentili
Università degli studi di Cassino
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
1 / 28
Outline
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
1
Indici di posizione
2
la moda
La classe modale
3
La mediana
Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie
Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di
variabili discrete
4
Quartili, decili, percentili
5
Calcolo indici di posizione per v. continue in classi
Metodo di interpolazione lineare
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
2 / 28
Indici robusti (o di posizione): la moda
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La moda di una distribuzione di frequenze si indica con M o e
corrisponde alla modalità con la frequenza assoluta (relativa)
più alta
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Esempio
Dato un collettivo di 10 unità statistiche, si consideri la
seguente serie di osservazioni:
{1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 1}
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
risulta M o = 4, dal momento che la modalità 4 presente
cinque volte nel collettivo.
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
3 / 28
Indici robusti (o di posizione): la moda
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
classe modale
E’ possibile calcolare la moda anche per variabili quantitative
continue raggruppate in classi: se le classi sono di ampiezza
diversa si fa riferimento alla densità di frequenza e non alla
frequenza di ciascuna classe.
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
4 / 28
Indici robusti (o di posizione): la mediana
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
La mediana M e di una distribuzione corrisponde alla modalità
osservata sulla unità statistica centrale nella distribuzione
ordinata delle osservazioni
variabile X discreta
Si considerino le osservazioni ordinate dal valore minimo x1 al
valore massimo xn , la mediana M e sar data da
(
x( n+1 )
se n dispari
2
Me =
x( n ) +x( n +1)
2
2
se n pari
2
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
5 / 28
La mediana per variabili discrete (dati in
distribuzione unitaria)
Lezione 4
A. Iodice
Esempio (n dispari)
Indici di
posizione
la moda
Dato un collettivo di 15 unità statistiche, si consideri la
seguente serie di osservazioni:
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
{29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5}
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
la mediana è data dalla modalità che occupa la posizione
n+1
2 = 16/2 = 8, vale a dire M e = 18
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
6 / 28
La mediana per variabili discrete (dati in
distribuzione unitaria)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
Esempio (n pari)
Dato un collettivo di 12 unità statistiche, si consideri la
seguente serie di osservazioni:
La classe modale
{34, 42, 1, 34, 19, 42, 25, 35, 21, 15, 9, 10}
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 9, 10, 15, 19, 21, 25, 34, 34, 35, 42, 42}
la mediana data dalla semi somma delle modalità che occupano
le posizioni n2 = 12/2 = 6 e n2 + 1 = (12/2) + 1 = 7, vale a
dire M e = 21+25
= 46
2
2 = 23
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
7 / 28
La mediana per variabili discrete (dati organizzati
in frequenze)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una
distribuzione di frequenze (seriazione) l’individuazione della
modalità assunta dall’unità statistica di posto centrale risulta
agevole se, calcolate le frequenze relative cumulate, si
considera la funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver
ordinato le modalità di X in modo crescente) .
individuare la modalità x(i−1) tale che
F (x(i−1) ) < 0.5
F (x(i) ) ≥ 0.5
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
La mediana data da M e = xi : tra le ni unità statistiche che
presentano la modalità xi ci saranno quelle di posizione
centrale (o delle posizioni centrali se n dispari)
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
8 / 28
La mediana per variabili discrete (dati organizzati
in frequenze)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una
distribuzione di frequenze (seriazione) l’individuazione della
modalità assunta dall’unità statistica di posto centrale risulta
agevole se, calcolate le frequenze relative cumulate, si
considera la funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver
ordinato le modalità di X in modo crescente) .
individuare la modalità x(i−1) tale che
F (x(i−1) ) < 0.5
F (x(i) ) ≥ 0.5
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
La mediana data da M e = xi : tra le ni unità statistiche che
presentano la modalità xi ci saranno quelle di posizione
centrale (o delle posizioni centrali se n dispari)
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
8 / 28
La mediana per variabili discrete (dati organizzati
in frequenze)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
9 / 28
La mediana per variabili discrete (dati organizzati
in frequenze)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
9 / 28
La mediana per variabili discrete (dati organizzati
in frequenze)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
9 / 28
La mediana per variabili discrete (dati organizzati
in frequenze)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
9 / 28
Quantili di una distribuzione
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana corrisponde alla modalità assunta dall’unità statistica che bipartisce
la distribuzione ordinata delle osservazioni Il 50% delle unità statistiche si trova
alla sinistra della mediana, l’altro 50% alla sua destra. Analogamente possibile
definire i seguenti quantili di una distribuzione.
primo quartile Q1 : corrisponde alla modalità assunta dall’unità statistica
per la quale 25% delle unità statistiche presenta valori ad essa inferiori
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
secondo quartile Q2 : coincide con la mediana
terzo quartile Q3 : corrisponde alla modalità assunta dall’unità statistica per
la quale 75% delle unità statistiche presenta valori ad essa inferiori
decili: le soglie sono in questo caso 10%, 20%, 30%, 40%, . . .
Quartili, decili,
percentili
i percentili generalizzazione dell’indice di posizione a qualunque percentuale
della distribuzione
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
10 / 28
Quantili di una distribuzione
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
Regola generale per il calcolo:
ordinare le modalità in modo crescente
la moda
α
n dove α è il
calcolare l’indice i come segue: i = 100
percentile di interesse, n è il numero di modalità
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
se i è un intero, il valore corrispondente a α è la media tra
la posizione i e la posizione i + 1
se i non è un intero, arrotondare per eccesso ottenendo i∗ ;
il valore di interesse è quello corrispondente alla posizione
i∗
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
11 / 28
Quartili in distribuzione unitaria)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
Esempio
Dato un collettivo di 15 unità statistiche, si consideri la seguente serie di
osservazioni:
La classe modale
{29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5}
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
calcolare i quartili, il 68o e il 20o percentile.
Q1 corrisponde
a α = 25, n = 15;
α
25
n = 100
15 = 3.75. Poichè i non è intero, si arrotonda per
i = 100
eccesso, dunque i∗ = 4, il valore corrispondente alla posizione 4 è Q1=13.
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
12 / 28
Quartili in distribuzione unitaria)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
Esempio (2)
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
calcolare i quartili, il 68o e il 20o percentile.
Q2 corrisponde
a α = 50, n = 15;
α
50
i = 100
n = 100
15 = 7.5. Poichè i non è intero, si arrotonda per
eccesso, dunque i∗ = 8, il valore corrispondente alla posizione 8 è Q2=18.
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Q3 corrisponde
a α = 75, n = 15;
α
75
n = 100
15 = 11.25. Poichè i non è intero, si arrotonda per
i = 100
eccesso, dunque i∗ = 12, il valore corrispondente alla posizione 12 è
Q3=25.
α = 68, n
= 15; 68 α
n = 100 15 = 10.2. Poichè i non è intero, si arrotonda per
i = 100
eccesso, dunque i∗ = 11, il valore corrispondente alla posizione 11 è 24.
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
α = 20, n
= 15; 20 α
i = 100
n = 100 15 = 3. Poichè i è intero, si effettua la media dei
valori di posizione i = 3 e i + 1 = 4; dunque 7+13
= 10.
2
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
13 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
Per calcolare il valore del percentile α si ricorre al calcolo dell’equazione della retta passante per due punti.
A. Iodice
Retta passante per due punti
Indici di
posizione
Dati due punti P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ), l’equazione dell’unica retta
passante per P1 e P2 è descritta dalla seguente equazione
la moda
(x2 − x1 ) × (y − y1 ) − (y2 − y1 ) × (x − x1 ) = 0
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
si ottiene la seguente equazione
x × (y2 − y1 ) − x1 × (y2 − y1 ) = (x2 − x1 ) × (y − y1 )
se y1 6= y2 l’equazione può essere riscritta in forma esplicita
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
x(y2 − y1 ) = x1 × (y2 − y1 ) + (x2 − x1 ) × (y − y1 )
da cui
x = x1 ×
(y − y1 )
(y2 − y1 )
+
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
(y2 − y1 )
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
14 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
Retta passante per due punti (epilogo...)
la moda
La classe modale
x = x1 ×
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
(y2 − y1 )
(y − y1 )
+
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 ) (y2 − y1 )
la forma esplicita dell’equazione della retta passante per due punti è
x = x1 +
Quartili, decili,
percentili
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
15 / 28
Calcolo indici di posizione per variabili suddivise in
classi
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in
chilogrammi.
la moda
La classe modale
fino a 50
(50,55]
(55,60]
(60,65]
(65,70]
(70,75]
(75,80]
(80,85]
(85,90]
oltre 90
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
f.abs
4.00
3.00
2.00
2.00
2.00
3.00
1.00
0.00
2.00
1.00
f.rel
0.20
0.15
0.10
0.10
0.10
0.15
0.05
0.00
0.10
0.05
cum.f.abs
4.00
7.00
9.00
11.00
13.00
16.00
17.00
17.00
19.00
20.00
F(x)
0.20
0.35
0.45
0.55
0.65
0.80
0.85
0.85
0.95
1.00
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
16 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
Si supponga di voler calcolare il 72mo percentile, ovvero sia
α = 0.72.
Individuare graficamente il percentile α
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
17 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Utilizzo dell’interpolazione
Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione di
partizione contenente l’α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazione
della retta
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
x = x1 +
(y2 − y1 )
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
In questo, per α = 0.72 risulta
Quartili, decili,
percentili
P2 = (x2 = 75, y2 = 0.8)
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
y = α = 0.72
P1 = (x1 = 70, y1 = 0.65)
x =?, è il valore del percentile che si vuole trovare
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
18 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Utilizzo dell’interpolazione
Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione di
partizione contenente l’α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazione
della retta
(y − y1 )
x = x1 +
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
sostituendo le quantità note
Quartili, decili,
percentili
x = 70 +
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
(.72 − 0.65)
× (75 − 70) = 72.33
(0.8 − 0.65)
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
19 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
approssimazione del valore di un generico percentile tramite
F (x) F. di ripartizione
La mediana
xα ' x1 + (x2 − x1 )
α − F (x1 )
F (x2 ) − F (x1 )
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
x2 è la modalità per la quale F (x2 ) ≥ α
Quartili, decili,
percentili
x1 è la modalità per la quale F (x2 ) < α
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
20 / 28
La mediana per variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Nel caso di variabili continue, la suddivisione in classi delle
modalità del carattere consente l’identificazione della classe
mediana: in tale classe cadrà la modalità assunta dall’unità
statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione
ordinata delle modalità
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
21 / 28
La mediana per variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Nel caso di variabili continue, la suddivisione in classi delle
modalità del carattere consente l’identificazione della classe
mediana: in tale classe cadrà la modalità assunta dall’unità
statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione
ordinata delle modalità
approssimazione del valore M e (tramite F (x) F. di ripartizione)
M e ' xi−1 + (xi − xi−1 )
0.5 − F (xi−1 )
F (xi ) − F (xi−1 )
Quartili, decili,
percentili
xi la modalità per la quale F (xi ) ≥ 0.5
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
xi−1 la modalità per la quale F (xi−1 ) < 0.5
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
21 / 28
La mediana per variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
22 / 28
La mediana per variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
22 / 28
La mediana per variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
22 / 28
La mediana per variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
22 / 28
La mediana per variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
Trovati i valori xi , xi−1 , F (xi ) e F (xi−1 ) possibile ricavare il
valore approssimato di M e
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
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La mediana per variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
la moda
Trovati i valori xi , xi−1 , F (xi ) e F (xi−1 ) possibile ricavare il
valore approssimato di M e
La classe modale
0.5 − F (xi−1 )
=
F (xi ) − F (xi−1 )
0.5 − 0.3897
=
= 80 + (100 − 80)
0.5247 − 0.3897
= 80 + 20 × 0.817 = 96.3407
La mediana
M e 'xi−1 + (xi − xi−1 )
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
23 / 28
Proprietà della mediana
Lezione 4
A. Iodice
la mediana sempre un valore osservato su una delle unità
statistiche oggetto di studio
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
24 / 28
Proprietà della mediana
Lezione 4
A. Iodice
la mediana sempre un valore osservato su una delle unità
statistiche oggetto di studio
Indici di
posizione
la moda
la mediana minimizza la somma degli scarti in valore
assoluto. Dato un valore c,
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
n
X
|xi − c|
i=1
Quartili, decili,
percentili
minima se (e solo se) c ≡ M e.
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
24 / 28
Proprietà della mediana
Lezione 4
A. Iodice
la mediana sempre un valore osservato su una delle unità
statistiche oggetto di studio
Indici di
posizione
la moda
la mediana minimizza la somma degli scarti in valore
assoluto. Dato un valore c,
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
n
X
|xi − c|
i=1
Quartili, decili,
percentili
minima se (e solo se) c ≡ M e.
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
resistenza della mediana ai valori estremi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
24 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
Utilizzo dell’interpolazione per il calcolo dei quartili
la moda
In questo caso α = 0.25
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
x = x1 +
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
sostituendo le quantità note
Quartili, decili,
percentili
x = 50 +
(.25 − 0.2)
× (55 − 50) = 51.66 = Q1
(0.35 − 0.2)
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
25 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Individuare graficamente il valore corrispondente ad α
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
26 / 28
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Indici di
posizione
Utilizzo dell’interpolazione per il calcolo dei quartili
la moda
In questo caso α = 0.75
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
x = x1 +
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
sostituendo le quantità note
Quartili, decili,
percentili
x = 70 +
(.75 − 0.65)
× (75 − 70) = 73.33 = Q3
(0.8 − 0.65)
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
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Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in
classi)
Lezione 4
A. Iodice
Individuare graficamente il valore corrispondente ad α
Indici di
posizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo della
mediana nel caso
di distribuzioni
unitarie
Calcolo mediana
nel caso di
distribuzioni di
frequenze di
variabili discrete
Quartili, decili,
percentili
Calcolo indici
di posizione
per v.
continue in
classi
Metodo di
interpolazione
lineare
A. Iodice ()
Lezione 4
Statistica
28 / 28
