Lezione 4 - Statistica
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Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione Lezione 4 la moda La classe modale Statistica La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Alfonso Iodice D’Enza [email protected] Quartili, decili, percentili Università degli studi di Cassino Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 1 / 28 Outline Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione 1 Indici di posizione 2 la moda La classe modale 3 La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete 4 Quartili, decili, percentili 5 Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 2 / 28 Indici robusti (o di posizione): la moda Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La moda di una distribuzione di frequenze si indica con M o e corrisponde alla modalità con la frequenza assoluta (relativa) più alta La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Esempio Dato un collettivo di 10 unità statistiche, si consideri la seguente serie di osservazioni: {1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 1} Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi risulta M o = 4, dal momento che la modalità 4 presente cinque volte nel collettivo. Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 3 / 28 Indici robusti (o di posizione): la moda Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete classe modale E’ possibile calcolare la moda anche per variabili quantitative continue raggruppate in classi: se le classi sono di ampiezza diversa si fa riferimento alla densità di frequenza e non alla frequenza di ciascuna classe. Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 4 / 28 Indici robusti (o di posizione): la mediana Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi La mediana M e di una distribuzione corrisponde alla modalità osservata sulla unità statistica centrale nella distribuzione ordinata delle osservazioni variabile X discreta Si considerino le osservazioni ordinate dal valore minimo x1 al valore massimo xn , la mediana M e sar data da ( x( n+1 ) se n dispari 2 Me = x( n ) +x( n +1) 2 2 se n pari 2 Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 5 / 28 La mediana per variabili discrete (dati in distribuzione unitaria) Lezione 4 A. Iodice Esempio (n dispari) Indici di posizione la moda Dato un collettivo di 15 unità statistiche, si consideri la seguente serie di osservazioni: La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete {29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5} che ordinata in modo crescente diventa {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi la mediana è data dalla modalità che occupa la posizione n+1 2 = 16/2 = 8, vale a dire M e = 18 Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 6 / 28 La mediana per variabili discrete (dati in distribuzione unitaria) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda Esempio (n pari) Dato un collettivo di 12 unità statistiche, si consideri la seguente serie di osservazioni: La classe modale {34, 42, 1, 34, 19, 42, 25, 35, 21, 15, 9, 10} La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi che ordinata in modo crescente diventa {1, 9, 10, 15, 19, 21, 25, 34, 34, 35, 42, 42} la mediana data dalla semi somma delle modalità che occupano le posizioni n2 = 12/2 = 6 e n2 + 1 = (12/2) + 1 = 7, vale a dire M e = 21+25 = 46 2 2 = 23 Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 7 / 28 La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una distribuzione di frequenze (seriazione) l’individuazione della modalità assunta dall’unità statistica di posto centrale risulta agevole se, calcolate le frequenze relative cumulate, si considera la funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver ordinato le modalità di X in modo crescente) . individuare la modalità x(i−1) tale che F (x(i−1) ) < 0.5 F (x(i) ) ≥ 0.5 Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi La mediana data da M e = xi : tra le ni unità statistiche che presentano la modalità xi ci saranno quelle di posizione centrale (o delle posizioni centrali se n dispari) Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 8 / 28 La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una distribuzione di frequenze (seriazione) l’individuazione della modalità assunta dall’unità statistica di posto centrale risulta agevole se, calcolate le frequenze relative cumulate, si considera la funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver ordinato le modalità di X in modo crescente) . individuare la modalità x(i−1) tale che F (x(i−1) ) < 0.5 F (x(i) ) ≥ 0.5 Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi La mediana data da M e = xi : tra le ni unità statistiche che presentano la modalità xi ci saranno quelle di posizione centrale (o delle posizioni centrali se n dispari) Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 8 / 28 La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 9 / 28 La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 9 / 28 La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 9 / 28 La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 9 / 28 Quantili di una distribuzione Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana corrisponde alla modalità assunta dall’unità statistica che bipartisce la distribuzione ordinata delle osservazioni Il 50% delle unità statistiche si trova alla sinistra della mediana, l’altro 50% alla sua destra. Analogamente possibile definire i seguenti quantili di una distribuzione. primo quartile Q1 : corrisponde alla modalità assunta dall’unità statistica per la quale 25% delle unità statistiche presenta valori ad essa inferiori La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete secondo quartile Q2 : coincide con la mediana terzo quartile Q3 : corrisponde alla modalità assunta dall’unità statistica per la quale 75% delle unità statistiche presenta valori ad essa inferiori decili: le soglie sono in questo caso 10%, 20%, 30%, 40%, . . . Quartili, decili, percentili i percentili generalizzazione dell’indice di posizione a qualunque percentuale della distribuzione Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 10 / 28 Quantili di una distribuzione Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione Regola generale per il calcolo: ordinare le modalità in modo crescente la moda α n dove α è il calcolare l’indice i come segue: i = 100 percentile di interesse, n è il numero di modalità La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete se i è un intero, il valore corrispondente a α è la media tra la posizione i e la posizione i + 1 se i non è un intero, arrotondare per eccesso ottenendo i∗ ; il valore di interesse è quello corrispondente alla posizione i∗ Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 11 / 28 Quartili in distribuzione unitaria) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda Esempio Dato un collettivo di 15 unità statistiche, si consideri la seguente serie di osservazioni: La classe modale {29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5} La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili che ordinata in modo crescente diventa {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} calcolare i quartili, il 68o e il 20o percentile. Q1 corrisponde a α = 25, n = 15; α 25 n = 100 15 = 3.75. Poichè i non è intero, si arrotonda per i = 100 eccesso, dunque i∗ = 4, il valore corrispondente alla posizione 4 è Q1=13. Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 12 / 28 Quartili in distribuzione unitaria) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda Esempio (2) {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} calcolare i quartili, il 68o e il 20o percentile. Q2 corrisponde a α = 50, n = 15; α 50 i = 100 n = 100 15 = 7.5. Poichè i non è intero, si arrotonda per eccesso, dunque i∗ = 8, il valore corrispondente alla posizione 8 è Q2=18. La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Q3 corrisponde a α = 75, n = 15; α 75 n = 100 15 = 11.25. Poichè i non è intero, si arrotonda per i = 100 eccesso, dunque i∗ = 12, il valore corrispondente alla posizione 12 è Q3=25. α = 68, n = 15; 68 α n = 100 15 = 10.2. Poichè i non è intero, si arrotonda per i = 100 eccesso, dunque i∗ = 11, il valore corrispondente alla posizione 11 è 24. Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi α = 20, n = 15; 20 α i = 100 n = 100 15 = 3. Poichè i è intero, si effettua la media dei valori di posizione i = 3 e i + 1 = 4; dunque 7+13 = 10. 2 Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 13 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 Per calcolare il valore del percentile α si ricorre al calcolo dell’equazione della retta passante per due punti. A. Iodice Retta passante per due punti Indici di posizione Dati due punti P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ), l’equazione dell’unica retta passante per P1 e P2 è descritta dalla seguente equazione la moda (x2 − x1 ) × (y − y1 ) − (y2 − y1 ) × (x − x1 ) = 0 La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete si ottiene la seguente equazione x × (y2 − y1 ) − x1 × (y2 − y1 ) = (x2 − x1 ) × (y − y1 ) se y1 6= y2 l’equazione può essere riscritta in forma esplicita Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi x(y2 − y1 ) = x1 × (y2 − y1 ) + (x2 − x1 ) × (y − y1 ) da cui x = x1 × (y − y1 ) (y2 − y1 ) + × (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) (y2 − y1 ) Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 14 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione Retta passante per due punti (epilogo...) la moda La classe modale x = x1 × La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete (y2 − y1 ) (y − y1 ) + × (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) (y2 − y1 ) la forma esplicita dell’equazione della retta passante per due punti è x = x1 + Quartili, decili, percentili (y − y1 ) × (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 15 / 28 Calcolo indici di posizione per variabili suddivise in classi Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in chilogrammi. la moda La classe modale fino a 50 (50,55] (55,60] (60,65] (65,70] (70,75] (75,80] (80,85] (85,90] oltre 90 La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi f.abs 4.00 3.00 2.00 2.00 2.00 3.00 1.00 0.00 2.00 1.00 f.rel 0.20 0.15 0.10 0.10 0.10 0.15 0.05 0.00 0.10 0.05 cum.f.abs 4.00 7.00 9.00 11.00 13.00 16.00 17.00 17.00 19.00 20.00 F(x) 0.20 0.35 0.45 0.55 0.65 0.80 0.85 0.85 0.95 1.00 Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 16 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione Si supponga di voler calcolare il 72mo percentile, ovvero sia α = 0.72. Individuare graficamente il percentile α la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 17 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Utilizzo dell’interpolazione Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione di partizione contenente l’α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazione della retta (y − y1 ) × (x2 − x1 ) x = x1 + (y2 − y1 ) Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete In questo, per α = 0.72 risulta Quartili, decili, percentili P2 = (x2 = 75, y2 = 0.8) Calcolo indici di posizione per v. continue in classi y = α = 0.72 P1 = (x1 = 70, y1 = 0.65) x =?, è il valore del percentile che si vuole trovare Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 18 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Utilizzo dell’interpolazione Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione di partizione contenente l’α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazione della retta (y − y1 ) x = x1 + × (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) sostituendo le quantità note Quartili, decili, percentili x = 70 + Calcolo indici di posizione per v. continue in classi (.72 − 0.65) × (75 − 70) = 72.33 (0.8 − 0.65) Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 19 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale approssimazione del valore di un generico percentile tramite F (x) F. di ripartizione La mediana xα ' x1 + (x2 − x1 ) α − F (x1 ) F (x2 ) − F (x1 ) Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete x2 è la modalità per la quale F (x2 ) ≥ α Quartili, decili, percentili x1 è la modalità per la quale F (x2 ) < α Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 20 / 28 La mediana per variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Nel caso di variabili continue, la suddivisione in classi delle modalità del carattere consente l’identificazione della classe mediana: in tale classe cadrà la modalità assunta dall’unità statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata delle modalità Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 21 / 28 La mediana per variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Nel caso di variabili continue, la suddivisione in classi delle modalità del carattere consente l’identificazione della classe mediana: in tale classe cadrà la modalità assunta dall’unità statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata delle modalità approssimazione del valore M e (tramite F (x) F. di ripartizione) M e ' xi−1 + (xi − xi−1 ) 0.5 − F (xi−1 ) F (xi ) − F (xi−1 ) Quartili, decili, percentili xi la modalità per la quale F (xi ) ≥ 0.5 Calcolo indici di posizione per v. continue in classi xi−1 la modalità per la quale F (xi−1 ) < 0.5 Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 21 / 28 La mediana per variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 22 / 28 La mediana per variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 22 / 28 La mediana per variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 22 / 28 La mediana per variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 22 / 28 La mediana per variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda Trovati i valori xi , xi−1 , F (xi ) e F (xi−1 ) possibile ricavare il valore approssimato di M e La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 23 / 28 La mediana per variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda Trovati i valori xi , xi−1 , F (xi ) e F (xi−1 ) possibile ricavare il valore approssimato di M e La classe modale 0.5 − F (xi−1 ) = F (xi ) − F (xi−1 ) 0.5 − 0.3897 = = 80 + (100 − 80) 0.5247 − 0.3897 = 80 + 20 × 0.817 = 96.3407 La mediana M e 'xi−1 + (xi − xi−1 ) Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 23 / 28 Proprietà della mediana Lezione 4 A. Iodice la mediana sempre un valore osservato su una delle unità statistiche oggetto di studio Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 24 / 28 Proprietà della mediana Lezione 4 A. Iodice la mediana sempre un valore osservato su una delle unità statistiche oggetto di studio Indici di posizione la moda la mediana minimizza la somma degli scarti in valore assoluto. Dato un valore c, La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete n X |xi − c| i=1 Quartili, decili, percentili minima se (e solo se) c ≡ M e. Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 24 / 28 Proprietà della mediana Lezione 4 A. Iodice la mediana sempre un valore osservato su una delle unità statistiche oggetto di studio Indici di posizione la moda la mediana minimizza la somma degli scarti in valore assoluto. Dato un valore c, La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete n X |xi − c| i=1 Quartili, decili, percentili minima se (e solo se) c ≡ M e. Calcolo indici di posizione per v. continue in classi resistenza della mediana ai valori estremi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 24 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione Utilizzo dell’interpolazione per il calcolo dei quartili la moda In questo caso α = 0.25 La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete x = x1 + (y − y1 ) × (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) sostituendo le quantità note Quartili, decili, percentili x = 50 + (.25 − 0.2) × (55 − 50) = 51.66 = Q1 (0.35 − 0.2) Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 25 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Individuare graficamente il valore corrispondente ad α Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 26 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione Utilizzo dell’interpolazione per il calcolo dei quartili la moda In questo caso α = 0.75 La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete x = x1 + (y − y1 ) × (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) sostituendo le quantità note Quartili, decili, percentili x = 70 + (.75 − 0.65) × (75 − 70) = 73.33 = Q3 (0.8 − 0.65) Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 27 / 28 Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi) Lezione 4 A. Iodice Individuare graficamente il valore corrispondente ad α Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare A. Iodice () Lezione 4 Statistica 28 / 28
