Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
Esercizio 1.
Un’azienda produce palline da tennis che hanno probabilità 0,02 di essere difettose,
indipendentemente l’una dall’altra. La confezione di vendita contiene 8 palline prese a caso dalla
produzione totale. La garanzia afferma che se è presente più di una pallina difettosa la scatola verrà
restituita.
a) Che percentuale di confezioni si prevede ritornerà?
b) Se compro 5 confezioni con che probabilità ne dovrò restituire una?
c) Qual è la probabilità non venga restituita nessuna scatola?
d) Se ne compro 10 con che probabilità ne dovrò restituire una?
Soluzione 1
Se X è il numero di palline difettose in una scatola di 8, X ~ Bin(8;0,02).
( )
( )
Così abbiamo:
a) P(X>1) = 1 – [P(X=0) – P(X=1)]
(
=
[ ( )
(
)
)
(
(
)
)
]
b) Ogni scatola viene resa con probabilità pari a circa 0,010. Allora se compriamo 5 scatole la
probabilità di renderne una sarà:
(
)
( )
(
)
c) La probabilità che non venga restituita nessuna scatola:
(
)
( )
(
)
d) Su 10 confezioni la probabilità di restituirne una è:
(
)
(
)
(
)
1
Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
Esercizio 2
La probabilità che un cliente che entra in un negozio di elettrodomestici compri un computer è del
20%. Considerando che nel negozio ci sono 7 clienti:
a) costruire la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartizione;
b) calcolare il valore atteso;
c) calcolare lo scarto quadratico medio.
Soluzione 2
a) π = 0,20;
Numero
Clienti
X
1 – π = 0,80;
Pr(x)=
( )
0
1
2
3
4
5
6
7
b)
c)
(
F(X)=
)
0,2097
0,3670
0,2753
0,1147
0,0287
0,0043
0,0004
0,0001
( )
√
(
)
n=7
∑
( )
0,2097
0,5767
0,8520
0,9667
0,9953
0,9997
0,9999
1,0000
√
2
Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
Esercizio 3
La tabella seguente mostra il numero di giorni, in un periodo di 50 giorni, durante i quali sono
avvenuti, in una certa città, X incidenti automobilistici. Adattate una distribuzione di Poisson alla
distribuzione data.
Numero di
incidenti
0
1
2
3
4
Numero di
giorni
21
18
7
3
1
Soluzione 3
La funzione di probabilità della v.c. di Poisson è ( )
dove il parametro è sia la media che la varianza della stessa v.c., per cui per ottenere
calcolare la media aritmetica degli incidenti dalla tabella precedente.
∑
(
) (
) (
) (
) (
)
∑
basta
A questo punto nella distribuzione di Poisson ( )
bisogna sostituire a X il
numero di incidenti per trovare le probabilità corrispondenti e il numero degli incidenti teorici. I
calcoli sono presentati nella tabella successiva.
Numero di incidenti
0
1
2
3
4
Pr (X incidenti)
0,4066
0,3659
0,1647
0,0494
0,0111
Valori teorici
20,33 o 20
18,30 o 18
8,24 o 8
2,47 o 2
0,56 o 1
Valori osservati
21
18
7
3
1
Da notare che l’adattamento della distribuzione di Poisson alla distribuzione data è piuttosto buono.
Nella distribuzione di Poisson la varianza è . Il calcolo della varianza della distribuzione data
fornisce il valore 0,97 che è molto prossimo al valore trovato (0,90) e ciò può essere considerata
come una ulteriore prova della bontà di adattamento della distribuzione di Poisson alla distribuzione
campionaria data.
3
Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
Esercizio 4
Un centralino di un’azienda è operativo dalle 9 del mattino alle 9 di sera per i clienti che vogliono
fare un reclamo in relazione ad un prodotto acquistato. Esperienze passate mostrano che in media si
riceve 1 chiamata ogni due minuti. Calcolare la probabilità che:
a)
In un minuto si ricevano zero chiamate;
b)
In un minuto si ricevano tre o più chiamate;
c)
In un minuto si ricevano meno di due telefonate
d)
In cinque minuti si ricevano esattamente quattro chiamate;
e)
In cinque minuti si ricevano non più di tre chiamate;
Soluzione 4
Possiamo applicare la distribuzione di Poisson, la cui funzione di probabilità è: ( )
λ = 0,5
a)
( )
b) P(x≥3) = 1 - ∑
( )
( )
( )
)
(
)
( )
d) λ=0,5*5=2,5
)
(
)
e) (
(
)
c)
(
)
(
( )
( )
Dove
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
4
Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
Esercizio 5
Se il 3% delle lampadine prodotte da una fabbrica è difettoso, trovate la probabilità che, in un
campione di 100 lampadine (utilizzando sia la distribuzione binomiale tramite Excel sia la
distribuzione di Poisson):
e)
0 lampadine siano difettose;
f)
Al massimo 2 lampadine siano difettose;
g)
Almeno 4 lampadine siano difettose;
h)
Tra 1 e 3 lampadine siano difettose;
i)
Determinare la media e la varianza della distribuzione delle lampadine difettose.
Soluzione 5
Distribuzione binomiale:
a)
(
)
b)
(
)
c)
(
)
d)
(
(
)
(
∑
)
(
)
Dove
(
)
(
)
∑
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
La funzione di densità della v.c. di Poisson è: ( )
Essendo λ=n*p = 0,03*100 = 3, abbiamo:
a)
(
)
b)
(
)
(
)
(
)
(
c)
∑
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
( )
d)
(
)
∑
( )
5
Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
( )
e)
( )
µ = σ2 = λ = 3
6
Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
Esercizio 6
La tabella seguente mostra la statura di un campione di studenti. Adattate una distribuzione normale
alla distribuzione data.
Classi di
Studenti
statura
Fino a 155
15
155 - 165
40
165 - 175
80
175 - 185
48
Oltre 185
17
Soluzione 6
La funzione di densità di probabilità della v.c. Normale è
(
)
√
dove il parametro è la media e il parametro σ2 è la varianza (σ è lo scarto quadratico medio)
della stessa v.c.
Per adattare la distribuzione data ad una normale, occorre preliminarmente calcolare media e
varianza della distribuzione data.
Classi di
Studenti
Valore
xini
(xi-µ)2ni
statura
centrale
145 - 155
15
150,0
2287,5
3828,009
155 - 165
40
160,0
6300,0
4818,025
165 - 175
80
170,0
13400,0
76,05
175 - 185
48
180,0
8520,0
3909,63
185 - 195
17
190,0
3187,5
6153,161
∑
∑(
)
√
A questo punto occorre calcolare le aree al di sotto della curva normale per ognuna delle classi di
statura che rappresentano le rispettive probabilità:
(
)
∫
(
)
√
Standardizzando, abbiamo
(
)
(
(
)
)
Dalla tavola B troviamo che P(z=-1,39)=0,41774;
per cui la probabilità cercata è 0,5 – 0,41774 = 0,08226.
Analogamente calcoliamo le altre probabilità:
(
(
)
)
(
∫
(
)
√
)
(
)
Dalla tavola B troviamo che P(z=-1,39)=0,41774; mentre P(z=-0,36)=0,14058
per cui la probabilità cercata è 0,41774 – 0,14058 = 0,27716.
7
Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
(
(
)
)
(
∫
)
√
(
(
)
)
Dalla tavola B troviamo che P(z=-0,36)=0,14058; mentre P(z=0,69)=0,25175
per cui la probabilità cercata è 0,14058 + 0,25175 = 0,39233.
(
(
)
)
(
∫
)
√
(
)
(
)
Dalla tavola B troviamo che P(z=0,69)=0,25175; mentre P(z=1,70)=0,45543
per cui la probabilità cercata è 0,45543 - 0,25175 = 0,20368.
(
(
)
)
∫
(
)
√
(
)
(
)
Dalla tavola B troviamo che P(z=1,70)=0,45543
per cui la probabilità cercata è 0,5 - 0,45543 = 0,04457.
Nella tabella seguente, riportiamo i dati utili per l’esercizio
Classi di statura
Pr (X studenti)
Valori teorici
Fino a 155
0,08226
16,5
155 - 165
0,27716
55,4
165 - 175
0,39233
78.5
175 - 185
0,20368
40,7
Oltre 185
0,04457
8,9
Valori osservati
15
40
80
48
17
Da notare che l’adattamento della distribuzione Normale alla distribuzione data è piuttosto buono.
8
Esercitazione n.1
(v.c. Binomiale, Poisson, Normale)
Esercizio 7
I negozi A e B della catena YX di elettrodomestici hanno rispettivamente scorte settimanali di 30 e
20 forni a microonde. Supponiamo che la domanda settimanale di questi elettrodomestici segue la
distribuzione normale nel negozio A con media 25 e scarto quadratico medio 5; nel negozio B con
media 16 e sqm 3,5. Con queste informazioni, il management vuole sapere quale dei due negozi ha
la maggiore probabilità di esaurire le scorte di magazzino.
Soluzione 7
Per risolvere il problema è necessario calcolare la probabilità di esaurimento delle scorte del
negozio A utilizzando la distribuzione normale con media 25 e sqm 5 e calcolandone l’area a destra
di 30. Analogamente, per il negozio B si può trovare l’area a destra di 20 sottesa alla distribuzione
normale con media 16 e sqm 3,5. Infine, si devono confrontare queste due probabilità per vedere in
quale negozio risulta esservi una maggiore probabilità di esaurimento scorte di magazzino.
Per il negozio A, standardizzando il valore 30 otteniamo
Dalla Tavola della curva normale standardizzata troviamo che la P(z=1)=0,34134 per cui la
probabilità che ci interessa (nella coda destra) è 0,5 – 0,34134 = 0,15866;
Per il negozio B, standardizzando il valore 20 otteniamo
Dalla Tavola della curva normale standardizzata troviamo che la P(z=1,14)=0,37286 per cui
la probabilità che ci interessa (nella coda destra) è 0,5 – 0,37286 = 0,12714.
Quindi, il negozio A ha la maggiore probabilità di esaurire le scorte di forni a microonde.
9
