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Soluzioni
1. La variabile casuale numero di mancini, si configura come una è una variabile Binomiale
generalizzata di parametri n=100 e p=0,02. Poiché n è grande e p relativamente piccolo (n> 30 e
np<10) la probabilità cercata può essere espressa da una variabile di Poisson di parametro
=1000,02=2 (numero medio di mancini nati in un anno).
Quindi la probabilità che in un anno vi siano 3 o più mancini su 100 nati è data da:
P(mancini  3) = 1-[P(0)+P(1)+P(2)] = 1 – [(2 0 /0!)e -2 + (2 1 /1!)e -2 + (2 2 /2!)e -2 ] =
1- 5e -2 = 1 -0,6767 = 0,323324 (se avessimo utilizzato la binomiale generalizzata avremmo
ottenuto 0,323314).
Potremmo pensare anche di utilizzare la Normale di parametri =1000,02=2 e
=1000,020,98 = 1,4, in questo caso: P(mancini  3) = P(Z  (3-2)/1,4) = 0,237525 (in
questo caso l’approssimazione non è molto buona perché la distribuzione del numero di mancini
su 100 è molto asimmetrica).
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
2. La variabile casuale numero di prelievi eseguiti con successo è una Binomiale generalizzata di
parametri n=5 e p=2/3.
Quindi la probabilità che su 5 prelievi si ottengano almeno 2 successi è data da:
P(prelievi con successo  2) = 1-[P(0) + P(1)] = 1- [(1/3) 5 + 10(1/3) 5 ] = 0,95
La probabilità di non fare prelievi con successo è (1/3) n e quindi si deve determinare il più
piccolo valore di n per il quale 1 - (1/3) n > 0,9, cioè (1/3) n < (1 - 0,9) e quindi n=3.
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
3. P(OTTIMO) = P[Z  (X-25)/2] = 16%, quindi poiché Z=1 si ha X = 25 + 21 = 27, mentre
P(SCARSO) = P[Z  (X-25)/2+ = 6%, quindi poiché Z=-1,6 risulta X = 25 - 21,6  22.
4. La variabile X = numero di individui allergici, essendo p=0,001 e n = 2000, può essere descritta
da una v.c. di Poisson P(=np=2).
a. PrX  3 
23  e 2 8  e 2

 0,180
3!
6
 2 0  e 2 21  e 2 2 2  e 2 
  1  5  e 2  0,323


b. PrX  2  1 - PrX  0- PrX  1- PrX  2  1  
1!
2! 
 0!
5. ….
6. Se X = numero di studenti che riescono a laurearsi entro sei anni, la variabile X si distribuisce
secondo una distribuzione binomiale Bi(n=5; p=0,4).
 5
a. PrX  0     0,4 0  0,65  0,65  0,07776  0,08
 0
 5
5!
 0,41  0,6 4  0,2592  0,26
b. PrX  1     0,41  0,6 4 
1!4!
 1
c. PrX  1  1  PrX  0  1 0,07776  0,92224  0,92
 5
d. PrX  5     0,45  0,6 0  0,01024  0,01
 5
7. X = età al menarca si distribuisce come N(=12,5 anni; =1,5 anni)

9 - 12,5 
a. PrX  9 anni  Pr Z 
  PrZ  2,33  PrZ  2,33  0,00999  0,01
1,5 

10 - 12,5
13 - 12,5 
Pr10  X  13 anni  Pr
Z
  Pr 1,67  Z  0,33 
b.
1,5 
 1,5
 1  PrZ  0,33 PrZ  1,67  1  0,3707  0,0475  0,5818
8. X = numero di incidenti che possiamo supporre si distribuisca come una Poisson, infatti nel
50% dei giorni si è avuto un numero di incidenti inferiore o uguale a 2.
Occorre quindi trovare, dai dati osservati, il valore del parametro caratteristico della
distribuzione di Poisson, cioè la media aritmetica. Ricavando dalla distribuzione di frequenza il
numero medio di incidenti in una giornata come:
0  21  1 18  2  7  3  3  4 1 45

 0,9
50
50
si ha che la X si distribuisce secondo una Poisson P(=0,9) e quindi si possono calcolare le
probabilità di 0, 1, 2, 3, 4 incidenti.
M=
Numero di
incidenti
(X)
0
1
2
3
4
TOTALE
Numero di
giorni
(Frequenza
osservata)
21
18
7
3
1
50
Numero di giorni
(Frequenza
Pr{X incidenti}
calcolata dalla
Poisson)
0,4066
500,4066=20,33=20
0,3659
500,3659=18,30=18
0,1647
500,1647=8,23=8
0,0494
500,0494=2,47=3
0,0111
500,0111=0,56=1
50
 1,0000
Si può vedere che il numero di giorni calcolato con la distribuzione di Poisson è molto vicino al
numero di giorni osservato e quindi la distribuzione di Poisson approssima bene il numero di
incidenti.