QUESTIONARIO Quesito n.7 Area di un poligono regolare inscritto

Sessione ordinaria 18-06-2015/ Seconda prova scritta – Liceo Scientifico
QUESTIONARIO
Quesito n.7
Area di un poligono regolare inscritto in un cerchio e limite
7. Detta A(n) l’area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r, verificare che
n
 2 
A(n)   r 2  sen 
 e calcolarne il limite per n.
2
 n 
Risoluzione
Facciamo riferimento alla Figura 1.
La corda P1P2 sia il lato del poligono regolare di n lati
inscritto nella circonferenza di raggio r e centro O, con
n3. Congiungendo gli estremi P1, P2 con il centro O si
ottiene un triangolo isoscele il cui angolo nel vertice O ha
ampiezza 2/n radianti. Conduciamo l’altezza OH1 del
triangolo relativa alla base P1P2; l’angolo acuto =H1OP2
ha ampiezza /n. Dal triangolo rettangolo H1OP2
deduciamo che
 
 
H1 P2  OP2  sen    r  sen   ;
n
n
 
 
OH1  OP2  cos    r  cos   .
n
n
Possiamo calcolare l’area del triangolo P1OP2.
Figura 1
S  POP
1
2 
1
1
 
 
 PP
 2  H1P2  OH1  H1P2  OH1  r 2  sen   cos  
1 2  OH1 
2
2
n
n
L’area A(n) del poligono regolare di n lati inscritto sarà n volte l’area del triangolo P1OP2, perciò risulta
 
 
A  n   n  r 2  sen   cos   .
n
n
Ricordando la formula di duplicazione sen  2   2sen  cos  possiamo scrivere ancora
A n 
n 2
 
  n
 2 
 r  2sen   cos     r 2  sen 

2
n
n 2
 n 
Studio del limite
Osserviamo che
 2 
 2 
 2 
sen 
sen 
sen 



n
 2 
 n   lim r 2 
 n      r 2  lim
 n 
2
lim
r

lim  r 2  sen 


n 
n 
n  2
2
2
2
 n  n
n
n
n
2
 y , se n   allora y  0 e ricordando il limite notevole
Con
n
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
Pagina 1
Sessione ordinaria 18-06-2015/ Seconda prova scritta – Liceo Scientifico
senx
 1 , con x espresso in radianti, possiamo scrivere
x 0
x
 2 
sen 

 n    r 2  lim seny   r 2 1   r 2
 r 2  lim
y 0
n 
2
y
n
lim
Conclusione
L’area del poligono regolare di n lati inscritto nel cerchio di raggio r al tendere ad infinito del
numero dei lati tende al valore dell’area del cerchio in cui è inscritto.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
Pagina 2