TASSI DI ACCRESCIMENTO

TASSI DI ACCRESCIMENTO
Sia N il numero di individui di una data popolazione. N
varia col tempo: N= f(t)
Se indichiamo con t1 e t2 due istanti distinti di tempo,
allora f(t1) ed f(t2) sono i numeri di individui
corrispondenti. La differenza
ΔN= f(t2) - f(t1) è la variazione totale dell’ampiezza della
popolazione nell’intervallo di tempo da t1 a t2 . Per ΔN>0
si ha un aumento, per ΔN<0 si ha una diminuzione.
E’ rilevante anche la lunghezza dell’intervallo di tempo
Δt = t2 - t1
TASSI DI ACCRESCIMENTO
Il rapporto
ΔN f(t2) - f(t1)
Δt = t2 -t1
rappresenta la variazione media per unità di tempo
nell’intervallo da t1 a t2 . Diremo tale quantità tasso
medio di variazione, detto anche tasso di
accrescimento o, in termini matematici, rapporto
incrementale.
Si osserva che l’ “accrescimento” può essere talvolta
una quantità negativa.
TASSI DI ACCRESCIMENTO
Sia M=f(t) la massa di un certo alimento nutriente in
funzione del tempo, supponiamo che l’alimento si
disgreghi chimicamente e, quindi M diminuisca nel tempo
ΔM= f(t2) - f(t1) indica la diminuzione della massa nel
passare dal tempo t1 a t2
ΔM f(t2) - f(t1)
Δt = t2 -t1
Rappresenta il tasso medio di reazione. Per quanto
supposto, se t1 < t2 , tale tasso è negativo
TASSI DI ACCRESCIMENTO
OSSERVAZIONE Non è necessario che la variabile
libera sia il tempo, ad esempio potremmo pensare al tasso
di variazione del volume di una cellula, supposta
approssimativamente sferica, in funzione del raggio: V(r )
e considerare ΔV/Δr.
Indichiamo, più in generale, y=f(x). Il tasso di variazione,
o rapporto incrementale è
Δy f(x2) - f(x1)
Δx = x2- x1
DERIVATE
La variazione media è il coefficiente angolare della retta
che collega i punti (x1, f(x1)) e (x2,f(x2)), che ha equazione
Δf
y = f(x1 ) + Δx (x-x1)
Facciamo tendere x2 a x1 e consideriamo la variazione
istantanea, che indicheremo indifferentemente
Δy
limx →x Δx
2 1
Δf
limx →x Δx
2 1
DERIVATE
Genericamente si indica il punto verso cui si fa tendere x
con x0
f(x1) - f(x0)
Δf
limx →x Δx =limx →x x - x
1 0
1 0
1 0
f(x0+Δx) - f(x0)
f(x0+h) - f(x0)
=limΔx→0
= limh→0
Δx
h
DERIVATE
Se il limite del rapporto incrementale esiste ed è finito,
diremo che la funzione è derivabile in x0. Il valore del
limite viene detto derivata di f in x0, ed indicato con varie
simbologie
Δy
dy df
limx→x Δx = y'= f '(x0 ) = dx = dx = Df(x0 )
0
DERIVATE
In effetti il limite del rapporto incrementale non è detto
che esista. Per esempio, scriviamo
f(x) - f(x0)
f(x) - f(x0 ) = (x-x0 )· x-x
0
Se f è derivabile in x0, allora per x→x0 il secondo membro
tende a 0 (perché?); quindi f(x) tende a f(x0), cioè f è
continua in x0
DERIVATE
Possiamo quindi affermare che se la funzione non è
continua in x0 allora non può essere derivabile in x0,
vale a dire:
f(x) derivabile in x0 ⇒ f(x) continua in x0
Tuttavia la continuità in x0 non assicura la derivabilità in
x0
DERIVATE
Geometricamente l’esistenza del limite del rapporto
incrementale significa che le rette secanti per x e x0
tendono ad una retta limite quando x tende a x0. Questa
retta è detta retta tangente al grafico di f in x0 ed ha
equazione
y=f(x0) + f’(x0)(x-x0)
CALCOLO DI DERIVATE
La derivata di una funzione costante, f(x)=c per ogni x,
è 0, infatti
[f(x+h)-f(x)]/h = (c - c)/h = 0
Pensando in termini geometrici…non stupisce…!
Vale anche il viceversa
Una funzione derivabile con derivata identicamente nulla
su un intervallo è necessariamente costante su
quell’intervallo
CALCOLO DI DERIVATE
La derivata di una funzione lineare, f(x)=mx+q
costante, infatti
[f(x+h)-f(x)]/h = [m(x+h) +q - (mx+q)]/h = mh/h =m
è
Pensando in termini geometrici…non stupisce…!
La funzione valore assoluto f(x)=|x| non è derivabile in
x=0, infatti il rapporto incrementale è |h||h, ed ha limite
destro, per x che tende a 0, 1 e limite sinistro -1
CALCOLO DI DERIVATE
Se le funzioni f e g sono derivabili in x anche la loro
somma (o la loro differenza) è derivabile in x e si ha
(f ± g)’(x) = f’(x) ± g’(x)
Provalo per esercizio!
Due funzioni derivabili che hanno la stessa derivata
differiscono per una costante additiva, infatti
se f’=g’ allora (f-g)’ = f’-g’=0, per cui f-g è una costante
c e quindi f=g+c
CALCOLO DI DERIVATE
La derivata di f(x)=ax2 è f’(x)= 2ax, infatti il rapporto
incrementale
[a(x+h)2 - ax2]/h = (2axh + ah2)/h = 2ax +ah
quindi per h→0, si ottiene il limite f’(x)=2ax
La derivata di una funzione quadratica f(x) = ax2 +bx+c è
quindi f’(x)= 2ax + b
CALCOLO DI DERIVATE
Più in generale, si dimostra che la derivata di f(x)=axn
è f’(x)= naxn-1
La derivata di un prodotto fg di due funzioni derivabili:
[(fg)(x+h)-(fg)(x)]/h =[f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)]/h =
[f(x+h)g(x+h) -f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h)-f(x)g(x)]/h=
[(f(x+h)-f(x))/h]g(x+h) + [(g(x+h)-g(x))/h]f(x)
Passando al limite per h→0, si ha
(fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
CALCOLO DI DERIVATE
Supponiamo che f:I→R sia una funzione derivabile in un
punto x con f(x)≠0 allora 1/f è derivabile in x e si ha
(1/f)’ = -f’/ f2
Dimostriamolo:
[1/f(x+h) - 1/f(x)]/h = (f(x) - f(x+h))/(f(x+h)f(x)h)=
-[(f(x+h)-f(x))/h]·1/(f(x+h)f(x)
da cui, passando al limite per h→0, si ottiene il risultato
annunciato
Esempio: deriviamo 1/x3, si ha
(1/x3)’=-3x2/x6 =-3x-4
CALCOLO DI DERIVATE
Più in generale deriviamo 1/xn, si ha
(1/xn)’=-nxn-1/x2n =-nx-n-1
Si osserva che poiché 1/xn = x-n, e si è ottenuto
(x-n)’ =-nx-n-1
la regola di derivazione per le potenze ad esponente
naturale si estende anche alle potenze intere
CALCOLO DI DERIVATE
Supponiamo che f e g siano funzioni derivabili in un
punto x con g(x)≠0 allora f/g è derivabile in x e si ha
(f/g)’ = (f’g-fg’)/ g2
Infatti, per la regola del prodotto, si ha
(f/g)’ = (f·1/g)’=f’·(1/g) + f·(1/g)’ =f’· (1/g) +f · (-g’/g2)=
= (f’g-fg’)/g2
CALCOLO DI DERIVATE
Esempio: deriviamo la seguente funzione razionale
(x2-3x+6)/(3x+2) per x≠-2/3
((x2-3x+6)’·(3x+2) - (x2-3x+6)(3x+2)’)/(3x+2)2 =
((2x-3) ·(3x+2) - 3(x2-3x+6))/(3x+2)2 =
(6x2 -5x -6 -3x2 +9x -18)/(9x2+12x+4)=
(3x2 +4x-24)/(9x2+12x+4)
CALCOLO DI DERIVATE
Vogliamo determinare la derivata di una funzione
composta go f, supponendo f derivabile in x e g derivabile
in f(x), e la composizione go f definita vicino ad x, si ha
(go f(x+h)- go f(x))/h = [g(f(x+h)) -g(f(x))]/h=
[g(f(x)+f(x+h)-f(x))-g(f(x))]/(f(x+h)-f(x))· (f(x+h)-f(x))/h=
[g(y+h1)-g(y)]/h1 (f(x+h)-f(x))/h
dove si è posto y=f(x) ed h1=f(x+h)-f(x). Poiché f, essendo
derivabile, è anche continua, quando h tende a 0 anche h1
tende a 0, e quindi passando al limite, otteniamo
(go f)’(x)=g’(f(x))f’(x)
CALCOLO DI DERIVATE
Sia f una funzione invertibile, derivabile in un punto x, tale
che f(x)=y, con f’(x)≠0, allora la funzione inversa f-1 è
derivabile nel punto y=f(x) e vale
(f-1)’(y) = 1/f’(f-1(y))
Infatti, dal rapporto incrementale
[f-1(y+h)- f-1 (y)]/h= [f-1(y+h)- x]/(y+h-y) =
(x1 -x)/[f(x1)-f(x)] = h1/[f(x+h1)-f(x)]
dove si è posto x1 = f-1(y+h) ed h1 = x1 -x
Poiché f-1 è continua in y, per h→0 anche h1→0, quindi si
ottiene la regola enunciata
CALCOLO DI DERIVATE
Siamo in grado ora di calcolare la derivata della funzione
potenza con esponente razionale xp/q. Tale funzione può
essere vista come funzione composta go f(x), dove f(x)=
x1/q e g è la funzione potenza di esponente p, quindi,
utilizzando la relazione vista per la derivata di una
funzione composta, abbiamo
(xp/q)’=((x1/q)p)’=p (x1/q)p-1(x1/q)’
Dobbiamo calcolare la derivata di x1/q che possiamo
vedere come funzione inversa della funzione potenza con
esponente q, si ottiene
(x1/q)’=1/[q (x1/q)q-1]=(1/q)·(x(1-q)/q)
CALCOLO DI DERIVATE
Ed infine
(xp/q)’=((x1/q)p)’=p (x1/q)p-1(x1/q)’= p (x1/q)p-1·(1/q)·(x(1-q)/q)=
(p/q) x(p/q)-1
Possiamo quindi concludere che, anche per le potenze con
esponente razionale, vale la stessa regola di derivazione
delle potenze con esponente naturale.
CALCOLO DI DERIVATE
Calcoliamo la derivata della funzione logaritmo in base
naturale , si ha
[log(x+h) - logx]/h =(log[(x+h)/x])/h = log(1+h/x)1/h
Ricordiamo che limn→∞ (1+a/n)n = ea
quindi, indicando con a=1/x, e ponendo h=1/n, si ottiene
che limh→0 (1+h/x)1/h = e1/x per cui il limite del rapporto
incrementale esiste ed è uguale a
log( e1/x)= 1/x
La derivata del logaritmo in base naturale è 1/x
CALCOLO DI DERIVATE
Si osserva che il calcolo della derivata per un logaritmo in
una base b diversa dalla naturale procederebbe in modo
analogo e si avrebbe
(logbx)’=logb( e1/x)=(1/x) logbe =1/(x·logb)
dove, nell’ultima uguaglianza, si è applicato
cambiamento di base, ripordandoci alla base naturale
il
CALCOLO DI DERIVATE
Per ottenere la derivata della funzione exp(x)=ex ,
possiamo applicare il teorema per la derivata della
funzione inversa, considerando ex come funzione inversa
di logx, si ha
(ex )’= 1/(1/ ex ) = ex per cui la derivata della funzione
esponenziale con base e è uguale alla funzione stessa
Per una funzione esponenziale di base b>0, possiamo
considerare la relazione bx =exp(xlogb), per cui,
utilizzando la derivata di una funzione composta, si ha
(bx )’=(logb) bx
CALCOLO DI DERIVATE
Possiamo analogamente calcolare la derivata di una
qualsiasi funzione potenza xα, dalla relazione
xα =exp(log xα)=exp(αlogx), per cui
(xα )’= xα (α/x)= αxα−1
Tale regola di derivazione per una funzione potenza vale,
quindi, per ogni esponente reale
CALCOLO DI DERIVATE
Calcoliamo la derivata della funzione sinx:
Scriviamo il rapporto incrementale e usiamo le formule di
prostaferesi
[sin(x+h)-sinx]/h= [2cos((x+h+x)/2)sin((x+h)-x)/2)]/h=
[2cos(2x+h)sin(h/2)]/h =cos(2h+x)sin(h/2)/(h/2)
Passando al limite per h→0 e ricordando che
limx→0 (sinx)/x =1, otteniamo
(sinx)’= cosx
In modo analogo si ottiene (cosx)’= - sinx
CALCOLO DI DERIVATE
Per la derivata della funzione tanx, teniamo conto che
tanx=sinx/cosx, applichiamo quindi la regola di
derivazione per il rapporto tra due funzioni
(tanx)’= [cosxcosx-sinx(-sinx)]/(cosx)2 =1/ (cosx)2
Per la derivata della funzione arcsinx, usiamo la derivata
della funzione inversa
(arcsinx)’= 1/cos(arcsinx), poiché cost=sqr(1-sin2t)
nell’intervallo [-π/2, π/2] dove è possibile invertire sint, si
ottiene (arcsinx)’=1/sqr(1-sin2(arcsinx))=1/sqr(1-x2)
CALCOLO DI DERIVATE
Analogamente per la derivata della funzione arccosx, si
ottiene
(arccosx)’= -1/sqr(1-x2)
Per la derivata della funzione arctanx, si ha
(arctanx)’= cos2(arctanx)
scrivendo
1+tan2x=1+sin2x/cos2x=1/cos2x,
cos2x=1/(1+tan2x), da cui
(arctanx)’=1/(1+ tan2(arctanx))=1/(1+x2)
si
ha