Lezione 3 – Calcolo delle derivate

Modulo 2 – U.D. 3– Lez. 3
Lezione 3 – Calcolo delle derivate
Matematica del continuo
Modulo 2 - Studio di funzione
Unità didattica 3 – Le derivate
Laura Citrini
Università degli Studi di Milano - SSRI - CdLOnline
Tavola delle derivate prime fondamentali
y=c (costante)
y’=0
y=xn (n reale, n≠0)
y’=nxn-1
y=ln|x|
y’=1/x
y=ex
y’=ex
y=senx
y’=cosx
y=cosx
y’=−senx
y=tgx
y' =
y=ctgx
y' = −
y=arcsenx
y' =
y=arctgx
y' =
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1
cos2x
1
sen2x
1
x reale, x≠0
x≠π/2 +k π
x≠k π
1 − x2
1
1 + x2
1
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Regole di derivazione
Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in un intervallo I.
Linearità
Per ogni h,k∈R, F(x)
=
hf(x)+ kg(x) è derivabile in I e si ha:
F’(x)
=
hf’(x)+kg’(x).
Regola di Leibniz
Sia F(x)= f(x)·g(x). Allora:
F’(x)= f’(x)·g(x)+ f(x)·g’(x)
Attenzione: f(x)·g(x) non è (f·g)(x)= f(g(x))!.
Quoziente
f(x)
Sia F(x) =
, nei punti in cui g(x)≠0, risulta:
g(x)
f'(x) ⋅ g(x) − f(x) ⋅ g'(x)
F'(x) =
[g(x)] 2
Casi particolari
La derivata di una somma è la somma delle derivate, quindi
si derivano i singoli addendi separatamente.
In particolare la derivata di un polinomio
an xn + an-1xn-1+ ... + a1x +a0
vale:
nan xn-1 + (n-1)an-1xn-2+ ... + 2a2x +a1
La formula: se y=xn Öy’=nxn-1 vale per ogni n≠0, sia
negativo, che frazionario, quindi, per esempio :
1
1
y=x-3 Ö y’=-3x-4
Ö y' = x − =
y= x =x
2
2 x
1
2
1
2
1
, nei punti in cui g(x)≠0, per la regola della
g(x)
derivazione di un quoziente risulta:
g'(x)
F'(x) = −
[g(x)] 2
Sia F(x) =
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Esempi
Calcolare la derivata y’ quando:
y = 3 x3
y=
y=
y=
1
x3
1
4
x3
1
+ 3x 4 − 3 x
x3
y = (x2 + 2) x
y=
lnx
x2
Derivazione delle funzioni composte
Sia y= (f·g)(x)= f(g(x))=f(u) ove si è posto u=g(x).
Supponiamo che la funzione g sia derivabile rispetto a x, e la
funzione f sia derivabile rispetto a u.
Allora risulta (le due formulazioni sono equivalenti)
dy dy du
o y’=f’(u)·g’(x)=f’(g(x))·g’(x)
=
dx du dx
Esempi:
Calcolare y’ se y=sen(x+x3)
Calcolare y’ se y=(3x+5)10
Calcolare y’ se y=e3x+5
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In sintesi
• Abbiamo visto
– Una tavola di derivate (bisogna saperle…)
– Alcune regole per il calcolo delle derivate (derivata di
una somma, di un prodotto, di un quoziente)
– La derivata di “funzione di funzione” cioè di funzioni
composte.
• Ricordate che:
– Il calcolo della derivata non è difficile, ci sono poche
regole, che non hanno eccezioni, ma..
– Bisogna conoscere le derivate di base
– Bisogna riconoscere quale formula bisogna usare.
FINE
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