LICEO SCIENTIFICO “GUIDO CASTELNUOVO”
FIRENZE
Anno scolastico 2014/15
Programma di MATEMATICA
per la classe 4ª sez. B
prof. IVAN CASAGLIA
1. TRIGONOMETRIA
1.1 FUNZIONI GONIOMETRICHE
Le formule di addizione e di sottrazione. Le formule di duplicazione. Le formule di
triplicazione e il problema della trisezione di un angolo con riga e compasso. Gli altri
problemi senza soluzione della geometria antica: duplicazione del cubo, quadratura del
cerchio. Le formule di bisezione. Le formule parametriche; una formula per le terne
pitagoriche. Le formule di Werner e le formule di prostaferesi. Le equazioni goniometriche
elementari: periodicità delle soluzione, soluzioni fondamentali e soluzione generale. Le
funzioni goniometriche inverse e i loro grafici: arccos x , arcsin x e arctan x . Disequazioni
goniometriche elementari. Equazioni e disequazioni riconducibili alle equazioni e
disequazioni goniometriche elementari. Equazioni e disequazioni lineari in coseno e seno: uso
delle formule parametriche, metodo grafico. Funzioni lineari in coseno e seno: il fattore
normalizzante e l’angolo aggiunto, rappresentazione grafica, applicazione alla risoluzione
delle equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni omogenee in coseno e seno. Modelli
periodici.
1.2 TRIGONOMETRIA
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo: teorema del coseno, teorema dei seni. Risoluzione
dei triangoli: condizioni necessarie per l’esistenza di un triangolo; esame dei casi possibili a
partire dagli elementi noti. Teorema della corda. Problemi riconducibili allo studio di
funzioni, equazioni e disequazioni goniometriche.
2. NUMERI COMPLESSI
Le origini storiche dei numeri complessi: risoluzione delle equazioni di terzo grado e radici
quadrate di numeri negativi. I numeri complessi e le operazioni di addizione e
moltiplicazione. Le proprietà di addizione e moltiplicazione: C come campo. La
rappresentazione geometrica dei numeri complessi: il piano di Gauss. Coniugato di un
numero complesso, modulo di un numero complesso: proprietà. Forma trigonometrica e
coordinate polari. Interpretazione geometrica dell’addizione (traslazione) e della
moltiplicazione (roto–omotetia). Potenze di un numero complesso: formula di De Moivre.
Radici n–esime dell’unità e radici n–esime di un numero complesso. Richiami sugli zeri di
un polinomio, divisibilità, molteplicità di uno zero. Notizie intorno al teorema fondamentale
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dell’algebra, alle sue conseguenze e alla risolubilità delle equazioni algebriche di grado
superiore al quarto.
3. SUCCESSIONI E MODELLI
Definizione di successione; assegnazione mediante il termine generale o per ricorrenza.
Progressioni aritmetiche e progressioni geometriche. Successioni e modelli: crescita di
popolazioni (il principio di Malthus e la crescita geometrica, la crescita con risorse
limitate), concentrazione e smaltimento di un farmaco, applicazioni finanziarie
(capitalizzazione semplice e capitalizzazione composta), raffreddamento. Il principio
d’induzione matematica come estensione del modus ponens. Dimostrazione per induzione
matematica di alcune importanti identità aritmetiche: somma dei primi n numeri interi,
somma dei primi n numeri dispari, somma delle prime n potenze ad esponente intero di un
numero reale diverso da 1; generalizzazione: somma dei primi termini di una progressione
aritmetica e geometrica; somma dei primi quadrati). Media aritmetica e media geometrica.
4. FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI
Problemi che conducono a introdurre il concetto di potenza ad esponente irrazionale: un
esempio finanziario (determinare il tempo necessario per ottenere un certo montante in
capitalizzazione composta). Richiami sulle definizioni di potenze ad esponente naturale,
intero e razionale e sulle proprietà formali delle potenze. Classi contigue e proprietà di
completezza di R . La definizione di potenza ad esponente reale. Le funzioni esponenziali:
definizione, proprietà, costruzione del grafico. Il logaritmo come funzione inversa.
Significato del logaritmo, grafici e proprietà. Logaritmi decimali e calcolo numerico.
Equazioni e disequazioni esponenziali. Equazioni e disequazioni logaritmiche. Grafici di
funzioni riconducibili alle funzioni esponenziali e logaritmiche. La capitalizzazione continua
e la definizione del numero e. Logaritmi naturali. Notizie sulla irrazionalità e trascendenza
del numero e. Cenni sulla cardinalità degli insiemi infiniti: potenza del numerabile;
numerabilità di N,Z e Q . Non numerabilità di R . Numerabilità dell’insieme dei numeri
algebrici. Modelli esponenziali: crescita maltusiana, crescita con risorse limitate nel
continuo, decadimento radioattivo, pressione atmosferica in funzione dell’altitudine.
Modelli logaritmici: relazione tra sensazione e stimolo, sensazione sonora e decibel; un
modello per la memoria nel tempo.
5. PROBABILITÀ
Valutazioni di probabilità: lo schema classico e lo schema statistico. Eventi e loro
rappresentazione come insiemi. Operazioni sugli eventi. Schema classico: lancio di monete,
dadi, estrazioni di carte da un mazzo. Schema statistico: tavole di sopravvivenza.
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Sesso di un nascituro: modelli e valutazioni. La probabilità geometrica (lancio di una
moneta su un pavimento, problema dell’appuntamento). La regola della somma (caso di
eventi incompatibili, caso generale), la probabilità dell’evento contrario. Il problema del
campionamento casuale e l’analisi combinatoria. Principio fondamentale dell’analisi
combinatoria. Disposizioni semplici e complete, permutazioni, combinazioni semplici. I
coefficienti binomiali e le loro proprietà. Triangolo di Tartaglia, potenza del binomio.
Probabilità e informazione: la probabilità condizionata. La regola del prodotto. Eventi
indipendenti. Problemi interessanti: i problemi del Cavaliere di Meré; il problema del
compleanno. Il teorema di Bayes per due o più alternative. Alcune applicazioni interessanti:
il sofisma del giurato, il paradosso di Monty Hall. Notizie intorno a entropia e probabilità.
6. GEOMETRIA DELLO SPAZIO
Punti, rette e piani nello spazio. Posizioni relative di due piani, di una retta e di un piano e
di due rette. Parallelismo tra piani e tre rette e piani. Perpendicolarità tra piani e tra rette
e piani. Teorema delle tre perpendicolari. Angoli diedri: sezioni e ampiezza. Angolo di una
retta rispetto ad un piano. Distanze tra un punto e un piano, tra due piani paralleli, tra
una retta ed un piano paralleli, tra due rette sghembe. Angoli solidi e prismi. Piramidi,
prismi e parallelepipedi. I poliedri regolari. La formula di Eulero per i poliedri.
Firenze, 6 giugno 2015
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