TOMO 1 ALGEBRA Buzzi 2011-2012_anno_1

BOOK IN PROGRESS
MATEMATICA
ALGEBRA
PRIMO ANNO
TOMO NR. 1
ITIS “Majorana” Brindisi (BR) ITC “Tosi” Busto Arsizio (VA) ITC “Calabretta” Soveraro (CZ)
ISISS “Scarambine” Lecce (LE) ITIS “Buzzi” Prato (PO) ITIS “Ferraris” Napoli (NA)
ITC “Pacioli”Crema (CR) ITIS “FerniI” Francavilla Fontana (BR)
LICEO SCIENTIFICO”Guaraci”Soverato (CZ) ITI “Malignani” Udine (UD)
LICEO “Brocchi” Bassano del Grappa (VI) ITIS “Volterra-Elia” Ancona (AN)
ITI “Cassata” Gubbio (PG) ITIS “Fermi” Isernia (IS)
In me m o ria del Pre side Franc e s c o Ros si
che ha se m pr e credut o in que st o progetto
e l’ha se m pr e sost e n u t o.
SOMMARIO DEL TOMO 1
CAPITOLO 1: IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI
1.1 Gli insiemi e la loro rappresentazione
1.2 I sottoinsiemi
1.3 Insieme delle parti
1.4 Operazioni tra insiemi
1.5 Esercizi di riepilogo
pag. 1
pag. 6
pag. 7
pag. 8
pag. 14
ESERCIZI CAPITOLO 1
pag. 19
CAPITOLO 2: GLI INSIEMI NUMERICI
2.1 Il concetto di numero e l’insieme dei numeri naturali
2.2 Operazioni in N
2.3 Divisibilità e numeri primi
2.4 Considerazioni sui numeri naturali
2.5 Il sistema binario
2.6 L’insieme Z
2.7 Operazioni in Z
2.8 L’insieme Q
2.9 Operazioni in Qa
2.10 Operazioni in Q
2.11 Gli insiemi N, Z, Q
pag. 39
pag. 40
pag. 47
pag. 52
pag. 60
pag. 65
pag. 69
pag. 75
pag. 86
pag. 89
pag. 100
ESERCIZI CAPITOLO 2
pag. 103
CAPITOLO 3: LA LOGICA
3.1 Le proposizion logiche e i principi della logica
3.2 Operazioni logiche
3.3 Espressioni logiche e tavole di verità
3.4 Tautologie e contraddizioni
capitolo non presente in questo volume
pag. 147
pag. 149
pag. 155
pag. 159
3.5 Proposizioni logicamente equivalenti o equiveridiche
3.6 Proposizioni aperte
3.7 Schemi di ragionamento
pag. 160
pag. 162
pag. 170
ESERCIZI CAPITOLO 3
pag. 174
CAPITOLO 4: LE RELAZIONI
4.1 Le relazioni e la loro rappresentazione
4.2 Relazione inversa
4.3 Le relazioni in un insieme e le loro proprietà
4.4 Relazioni di equivalenza e relazion d’ordine
4.5 Funzioni
4.6 Funzioni composte
4.7 Funzioni numeriche
pag. 187
pag. 192
pag. 193
pag. 196
pag. 202
pag. 208
pag. 211
ESERCIZI CAPITOLO 4
pag. 214
CAPITOLO 1
IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI
1.1 Gli insiemi e la loro rappresentazione
La teoria ingenua degli insiemi1 considera gli insiemi come collezioni ben definite di oggetti,
indipendentemente dalla natura degli elementi che li costituiscono. Gli oggetti che formano un
insieme, chiamati elementi dell’insieme, devono essere, quindi, distinguibili tra loro e individuabili
senza ambiguità.
Così le seguenti collezioni di oggetti:
•
i pianeti del sistema solare;
•
le capitali europee;
•
i numeri naturali;
•
3, a, Arno, 127, Roma, Tirreno;
costituiscono ognuna un insieme dal punto di vista matematico; per loro è infatti vera una delle due
possibilità:
un dato oggetto è un elemento dell’insieme considerato,
un dato oggetto non è un elemento dell’insieme considerato.
Invece, le collezioni di oggetti:
•
le ragazze carine dell’ITIS “E. Majorana” di Brindisi nel corrente a.s.;
•
i segmenti del piano non troppo lunghi;
•
alcuni numeri naturali;
non costituiscono esempi di insiemi per la matematica: nel primo caso la scelta è soggettiva,
dipendente dal gusto personale; nel secondo caso non sappiamo cosa significhi “non troppo lunghi”
per cui l’insieme non è ben definito; nel terzo caso la parola “alcuni” dà la possibilità di costruire
collezioni di numeri tra loro diverse e, quindi, non si è in grado di determinare quali elementi
appartengono al nostro “aspirante insieme” e quali no.
Per indicare gli insiemi utilizzeremo le lettere maiuscole dell’alfabeto: A, B, C, D, E, ......
Seguiremo l’usuale convenzione di indicare con N l’insieme dei numeri naturali, con Z quello degli
interi relativi, con Q quello dei razionali e con R quello dei reali.
Gli elementi di un insieme vengono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto: a, b, c, d, e, ........
1
La teoria ingenua (o intuitiva) degli insiemi venne creata, alla fine del XIX secolo, principalmente dal matematico,
russo di origine ma tedesco per formazione, Georg Cantor che aveva riformulato la matematica in modo da fondarla
solo sulla nozione di insieme. Nei primi anni del XX secolo, la Matematica fu scossa sin dalle fondamenta dalla
scoperta di contraddizioni, dette paradossi o antinomie, soprattutto nella teoria degli insiemi per cui, per superare tali
problemi, si ricorse all’assiomatizzazione della teoria degli insiemi, cioè ad assiomi che definivano gli insiemi e le
operazioni che si potevano effettuare su di essi (teoria assiomatica degli insiemi).
1
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si utilizza la notazione simbolica:
a ∈ A (si legge “a appartiene ad A”)
Il simbolo ∈ è detto “simbolo di appartenenza”.
Per indicare che a non è un elemento dell’insieme A si utilizza la notazione simbolica:
a∉A (si legge “a non appartiene ad A”)
Il simbolo ∉ è detto “simbolo di non appartenenza”.
Intuitivamente diremo che un insieme è finito se è possibile elencarne tutti gli elementi, in caso
contrario si parla di insieme infinito.
Inoltre, due insiemi A e B sono detti uguali, e scriveremo A = B, se hanno gli stessi elementi.
Un insieme può essere rappresentato in tre modi diversi:
rappresentazione tabulare (o per estensione o per elencazione):
Secondo tale rappresentazione, gli elementi vengono scritti tutti all’interno di parentesi graffe, uno
di seguito all’altro, separati da virgole o da punti e virgole.
Così, l’insieme A dei pianeti del sistema solare viene indicato nel seguente modo:
A = { Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno, Plutone }
(leggi “A è l'insieme formato dagli elementi Mercurio, Venere, Terra, ………………………...…”),
mentre l’insieme B, formato dagli elementi 0 , 1 , 2 , 3 , 4, viene indicato:
B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }.
Osserviamo che riusciamo a rappresentare un insieme sotto forma tabulare soltanto se questo
contiene un numero finito di elementi.
L’insieme N dei numeri naturali può, comunque, essere indicato:
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ….. },
scrivendo, cioè, i “primi” elementi dell’insieme e, poi, aggiungendo i puntini di sospensione;
analogamente, quando non si generano ambiguità, potremo procedere per altri insiemi,.
Gli elementi di un insieme possono essere elencati in un ordine qualsiasi; così:
{ 1 , 2 }= { 2 , 1 };
ed è, inoltre, irrilevante la ripetizione (molteplicità) degli elementi; cioè:
{ 1 , 2 , 2 }= { 1 , 1 , 1 , 2 }= { 1 , 2 },
in quanto gli insiemi risultano uguali perché tutti formati dagli stessi elementi.
rappresentazione per proprietà caratteristica:
Per indicare l’insieme X dei numeri naturali multipli di 3 possiamo scrivere:
X = { numeri naturali multipli di 3},
2
oppure, utilizzando i simboli del linguaggio matematico:
X = { x / x = 3 · n , n ∈ N}
che si legge: “X è l’insieme degli x tali che x = 3 · n , con n appartenente all’insieme dei numeri
naturali”. In questo modo X è stato rappresentato per proprietà caratteristica.
La rappresentazione per proprietà caratteristica di un insieme consiste nell’individuarlo, in modo
inequivocabile, attraverso la proprietà che caratterizza tutti e soli i suoi elementi.
Questo metodo è utile, soprattutto, nel caso in cui l’insieme da rappresentare sia infinito o contenga
un numero elevato di elementi.
rappresentazione grafica:
Un insieme può essere rappresentato graficamente mediante i diagrammi di Venn (detti anche
diagrammi di Eulero – Venn).
Per rappresentare un insieme con i diagrammi di Eulero – Venn si disegna una linea chiusa, al cui
interno vengono posti gli elementi appartenenti all’insieme; all’esterno, eventuali oggetti che non vi
appartengono.
Così, l’insieme A delle vocali dell’alfabeto italiano viene rappresentato come in figura:
A
.e
.a
.i
.o
.u
Consideriamo ora l’insieme
X = { x ∈ N / x2 = 2},
cioè l’insieme dei numeri naturali il cui quadrato è uguale a 2. Quali numeri appartengono ad X ?
Nessuno; infatti:
02 = 0 ; 12 = 1 ; 22 = 4 ; 32 = 9 ; ………
Quindi X è un insieme che non contiene alcun elemento: è l’insieme vuoto, indicato con il simbolo
Ø oppure con { }.
ATTENZIONE
a ≠ {a} in quanto “a” è un elemento di un dato insieme mentre {a} è un insieme il cui
unico elemento è a.
Così: {∅} non è la rappresentazione dell’insieme vuoto, ma rappresenta l’insieme il cui
unico elemento è l’insieme vuoto.
3
Esempi
a) I numeri pari sono i multipli di 2 e i numeri dispari sono i successivi dei numeri pari;
pertanto:
la rappresentazione per caratteristica dell’insieme dei numeri pari è
{
P = x / x = 2 ⋅ n, n ∈ N
}
la rappresentazione per caratteristica dell’insieme dei numeri dispari è
{
}
D = x / x = 2 ⋅ n + 1, n ∈ N .
b) Rappresentiamo in forma tabulare e grafica l’insieme
{
}
A = x ∈ N / x = 3k − 2, k = 0, 1, 3, 5 .
Gli elementi dell’insieme A sono i numeri naturali ottenuti sostituendo alla lettera k, uno alla
volta, i numeri 0, 1, 3, 5 così come indicato nell’insieme; pertanto:
− se k = 0: x = 3 ⋅ 0 – 2 = 0 – 2 = - 2;
ma – 2 ∉ N, quindi −2 ∉ A;
− se k = 1: x = 3 ⋅ 1 – 2 = 3 – 2 = 1;
e 1∈ N , quindi 1∈ A;
− se k = 3; x = 3 ⋅ 3 – 2 = 9 – 2 = 7;
e 7 ∈ N, quindi 7∈ A;
− se k = 5; x = 3 ⋅ 5 – 2 = 15 – 2 = 13; e 13∈ N, quindi 13∈ A.
La rappresentazione tabulare di A è quindi:


A = 1, 7, 13


A
La rappresentazione grafica di A è la seguente:
13 .
1.
7.
♦ Rappresentiamo in forma tabulare e mediante i diagrammi di Eulero - Venn l’insieme
a−5


T = x ∈ Z / x =
, a ∈ N e 1 < a ≤ 5 .
2


Prima di tutto determiniamo i valori da assegnare alla lettera a.
La condizione “ 1 < a ≤ 5 , con a ∈ N ”, indica che ad a devono essere assegnati i valori da 1 a 5,
escluso 1 ed incluso 5; ad a si attribuiscono, allora, i valori 2, 3, 4, 5.
Gli elementi dell’insieme T sono, quindi, i numeri interi ottenuti sostituendo alla lettera a, uno
alla volta, i numeri naturali appena determinati:
4
−
se a = 2 , x =
2−5
3
=− ,
2
2
3
3
ma − ∉ Z , quindi − ∉ T
2
2
−
se a = 3 ,
3−5
2
= − = −1 ,
2
2
e −1 ∈ Z , quindi −1 ∈ T
−
se a = 4 , x =
4−5
1
=− ,
2
2
1
1
ma − ∉ Z , quindi − ∉ T
2
2
−
se a = 5 ,
5−5 0
= =0
2
2
e 0∈ Z ,
x=
x=
quindi 0 ∈ T
La rappresentazione tabulare di T è, dunque:


T = − 1, 0


T
La rappresentazione grafica di T è la seguente:
-1 .
0.
ATTENZIONE
{
}
Sia A = x ∈ N / x = 5k − 2 e − 1 ≤ k < 6 .
L’insieme A non è “ben definito” perché non è stato indicato a quale insieme numerico
appartiene k.
Non possiamo, quindi, rappresentare l’insieme A.
PROVA TU
1) Rappresenta in forma tabulare e mediante i diagrammi di Eulero - Venn i seguenti insiemi:


A =  x / x è una vocale della parola " parco"


2k + 1


B = x ∈ N / x =
, k = 1, 3, 4, 6, 7 
3


C = { x / x ∈ N e x < 9}


2m 2 + 1
, m ∈ Z e − 2 ≤ m ≤ 3
D = x ∈ Z / x =
m −1


2) Dati gli insiemi:
A = {3, 6, 9, 12}
rappresentali per proprietà caratteristica.
5
e
B = {a, e, i, o ,u},
1.2 I sottoinsiemi
Definizione:
Si dice che un insieme A è un sottoinsieme di un insieme B se tutti gli elementi di A sono elementi
di B e si scrive:
A ⊆ B (leggi “ A contenuto in B ” o “A incluso in B ” o, ancora, “ A sottoinsieme di B ”),
oppure
B ⊇ A (leggi anche “B contiene A” o “B include A” ).
Un sottoinsieme A di B si dice proprio se esiste almeno un elemento di B che non
appartiene ad A e scriveremo:
A ⊂ B (leggi “A contenuto strettamente in B ” o “A incluso strettamente in B ” o, ancora,
“A sottoinsieme proprio di B ”),
oppure
B ⊃ A (leggi anche “B include strettamente A”).
Esempio
Dati gli insiemi A = { 1 , 2 , 5 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, si ha che A è un sottoinsieme di B perché
tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, quindi A ⊆ B.
Poiché esiste almeno un elemento di B (3 e/o 4) che non appartiene
B
A
.1 .2
.3
.5
.4
ad A, si ha che A è un sottoinsieme proprio di B, cioè A ⊂ B.
In base alla definizione data, si ha che ogni insieme A è sottoinsieme di se stesso perché tutti gli
elementi di A appartengono ad A.
Possiamo quindi scrivere:
A⊆A.
Tra i sottoinsiemi di un insieme consideriamo anche l’insieme vuoto. Per la sua particolare
caratteristica di non contenere elementi, si conviene di considerare l’insieme vuoto come
sottoinsieme di un qualsiasi insieme.
Possiamo quindi scrivere:
Ø ⊆ A , qualunque sia l’insieme A.
In generale:
dato un insieme A , sono chiamati sottoinsiemi impropri (o banali) di A l’insieme A stesso e
l’insieme vuoto.
Si può facilmente osservare che c’è una certa analogia tra i simboli ⊆ e ⊂ ed i simboli ≤ e <,
così come tra i simboli ⊇ e ⊃ ed i simboli ≥ e > .
6
Il simbolo “ ⊄ ” significa “non è sottoinsieme”; per esempio, dati gli insiemi:


F = 2, a, 5, 7, b 


e


G = 2, s, 5, b, 3


sia ha che F ⊄ G (F non è sottoinsieme di G ) e che G ⊄ F (G non è sottoinsieme di F) [osserva gli
elementi dei due insiemi].
PROVA TU
Rappresenta con i diagrammi di Eulero – Venn gli insiemi
A = {x / x è un numero pari minore di 18} e B = {x / x è un multiplo di 4 minore di 20}
e stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
1.3
A⊃B
V
F
A⊆B
V
F
B⊆A
V
F
B⊂A
V
F
Insieme delle parti
Definizione
Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti di A e si indica con P(A), l’insieme di tutti i
sottoinsiemi, propri e impropri, di A.
Esempio
Dato l’insieme A = { a , b , c }, l’insieme delle parti di A è:
P(A) = {{ a }, { b }, { c }, { a , b }, { a , c }, { b , c }, Ø , { a , b , c }}.
Quanti sono gli elementi di P(A) ? Gli elementi di P(A) sono ______ .
PROVA TU
Sia B = {a, e} ;
P(B) = __________________________________________________
Quanti elementi ha P(B) ? _____________
Sia C = {2, m, 5} ; P(C) = _________________________________________________
Quanti elementi ha P(C) ? __________
Sia D = {3, 6, 9, 15} ; P(D) = _________________________________________________
Quanti elementi ha P(D) ? ______________
Esiste una relazione fra il numero degli elementi di un insieme A e il numero degli elementi
di P(A)? Se sì, qual è? ______________________________________________________
Si può dimostrare, cioè, che, se A contiene n elementi, P(A) contiene 2
7
elementi.
1.4 Operazioni tra insiemi
1.4.1
Intersezione di insiemi
Definizione:
Dati due insiemi A e B, si dice intersezione dei due insiemi, e si indica con A ∩ B, l’insieme degli
elementi che appartengono sia ad A che a B. In simboli si ha:
A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B },
( leggi “A intersezione B è l’insieme degli x tali che x ∈ A e x ∈ B”), dove abbiamo utilizzato il
simbolo di congiunzione logica ∧ (leggi “e”) del quale parleremo in seguito.
Esempio
Dati gli insiemi A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 2 , 4 , 6 , 8 }, si ha:
A ∩ B = { 2 , 4 }.
La parte in giallo rappresenta l’intersezione tra i due insiemi.
Osserviamo che:
A
o se B ⊆ A, allora A ∩ B = B;
B
A∩B = B
o se A e B non hanno elementi in comune, allora A ∩ B = Ø. In tal caso i due insiemi A e B si
dicono disgiunti.
A
B
A∩B = Ø
1.4.2
Unione di insiemi
Definizione:
Dati due insiemi A e B, si dice unione dei due insiemi, e si indica con A ∪ B, l’insieme degli
elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi dati. In simboli si ha:
A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B },
( leggi “A unione B è l’insieme degli x tali che x ∈ A o x ∈ B”), dove abbiamo utilizzato il simbolo di
disgiunzione logica (inclusiva) ∨ (leggi “o”) del quale parleremo in seguito.
Esempio: Dati gli insiemi A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 2 , 4 , 6 , 8 }, si ha:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}.
A
La parte colorata rappresenta l’unione tra i due insiemi.
B
.3
.1
.5
.2
.4
.6
.8
8
PROVA TU
a) Rappresenta
A = {x / x è una lettera della parola “calcio” }
graficamente gli insiemi
e B = {x / x è una lettera della parola “circo” }; successivamente colora di rosso l’insieme
C = A ∩ B e di verde l’insieme F = A ∪ B.
b) Verifica esempi concreti o, astrattamente, mediante i diagrammi di Eulero – Venn, che per
le operazioni di intersezione e unione valgono le seguenti proprietà:
PROPRIETÀ
DEFINIZIONE
Idempotenza
Commutativa
Associativa
Distributiva dell’intersezione rispetto all’unione
Distributiva dell’unione rispetto all’intersezione
A∩A = A
A∪A = A
A∩B = B∩A
A∪B = B∪A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)
Partizione di un insieme
PROVA TU
Sia X = { Gaia, Anna, Cosimo, Lucia, Arturo, Luca, Ester, Gabriele, Sara, Laura, Aldo, Elena} e
considera i sottoinsiemi di X formati dai nomi che hanno la stessa iniziale.
Completa:
A = {Anna, ___________, ______________}
C = { ______________ }
E = {Ester, ___________}
G = {Gaia, ___________ }
L = {Luca, ___________, ______________}
S = { ______________}
Riporta gli elementi dei sottoinsiemi nel diagramma di Eulero – Venn:
X
•
•
L
A
•
•
•
C
•
•
•
•
•
G
•
9
•
E
S
Osserva che:
o ogni sottoinsieme è diverso dall’insieme vuoto;
o i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti;
o l’unione di tutti i sottoinsiemi è l’insieme X.
Si dice che l’insieme {A, C, E, G, L, S} costituisce una partizione dell’insieme X.
In generale, dato un insieme Y, si chiama partizione di Y l’insieme dei sottoinsiemi di Y tali che:
o ogni sottoinsieme è diverso dall’insieme vuoto;
o i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti;
o l’unione di tutti i sottoinsiemi è l’insieme Y.
PROVA TU
Dato l’insieme E = { Milano, Torino, Napoli, Firenze, Mantova, Vercelli, Siena, Pisa }, determina
una partizione dell’insieme E.
1.4.3
Differenza di insiemi
Definizione:
Dati due insiemi A e B, si dice differenza dei due insiemi, presi nell’ordine, e si indica con A – B,
l’insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B. In simboli si ha:
A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B },
( leggi “A meno B è l’insieme degli x tali che x ∈ A e x ∉ B”).
Esempio
Dati gli insiemi A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 2 , 4 , 6 , 8 }, si ha:
A – B = { 1 , 3 , 5 } (parte in azzurro della figura),
e
B – A = { 6 , 8 } (parte in verde della figura).
Quindi, per la differenza non vale la proprietà commutativa.
Osserviamo che:
•
se A ⊆ B allora A – B = Ø;
•
se A ∩ B = Ø allora A – B = A e B – A = B .
Se B è un sottoinsieme di un insieme A, l’insieme differenza
complementare di B rispetto ad A ed indicato con il
A – B viene anche chiamato
A
simbolo CA(B) o BA (parte in rosso della figura).
B
10
PROVA TU
•
Dopo aver rappresentato graficamente gli insiemi:
{
E = x / − 7 < x < 4, x ∈ Z
}
e
{
}
F = x / 2 ≤ x < 9, x ∈ N ,
colora di azzurro l’insieme E – F e di giallo l’insieme F – E.
•
Dopo aver verificato che l’insieme C = { x ∈ Z / x = (m − 3) 2 − 3, m ∈ Z ∧ −2 < m < 3} è un
sottoinsieme di D = {−5, − 3, − 2, 0, 1, 3, 6, 10, 13, 20, 22, 29, 33} , determina l’insieme
CD .
1.4.4
Prodotto cartesiano di insiemi
Definizione:
Dati due insiemi A e B, si dice prodotto cartesiano dei due insiemi, presi nell’ordine, e si indica
con A
× B, l’insieme di tutte le coppie ordinate (x, y), in cui il primo elemento x appartiene ad A e
il secondo elemento y appartiene a B.
In simboli:
A
× B = {(x , y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}
( leggi “il prodotto cartesiano di A per B è l’insieme delle coppie ordinate (x , y) tali che x ∈ A e
y ∈ B ”).
Se A = B, il prodotto cartesiano si indica A
× A o A2 .
Esempio
Dati gli insiemi A = { a , b , c} e B = { 1 , 2 } si ha:
× B = {(a , 1) , (a , 2), (b , 1) , (b , 2) , (c , 1) , (c , 2)}.
B × A = {(1 , a) , (1 , b) , (1 , c) , (2 , a ) , (2 , b) , (2, c)}.
A
Si può facilmente osservare che A
× B ≠ B × A, cioè il prodotto cartesiano di due insiemi, non
vuoti e distinti, non gode della proprietà commutativa.
Osserviamo, inoltre, che l’insieme A ha 3 elementi, l’insieme B ha 2 elementi e l’insieme A × B
ha 6 ( = 3 · 2) elementi.
Questa è una proprietà generale:
se un insieme A è formato da m elementi e un insieme B è formato da p elementi, l’insieme
A × B è formato da m · p elementi.
Oltre che elencandone le coppie, il prodotto cartesiano ha alcune interessanti forme di
rappresentazione grafica:
11
rappresentazione sagittale ( o a frecce)
Dopo aver disegnato gli insiemi A e B con i diagrammi di Eulero – Venn, si unisce con un segmento
orientato (freccia) ogni elemento del primo insieme con
ciascun elemento del secondo insieme, individuando in
questo modo tutte le coppie ordinate.
Quindi: A
× B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
B
A
.
b.
a
Questo metodo è consigliabile solo se gli insiemi hanno
un piccolo numero di elementi, perché altrimenti diventa
c
.1
.2
.
di difficile lettura.
rappresentazione matriciale ( o con tabella a doppia entrata)
Costruiamo una tabella ai cui lati sono posti gli elementi degli insiemi
B
A e B (nella colonna gli elementi di A e nella riga gli elementi di B);
1
2
a
(a;1)
(a;2)
b
(b;1)
(b;2)
c
(c;1)
(c;2)
A
ogni coppia ordinata si trova nella casella incrocio della riga e della
colonna corrispondenti.
Per esempio, la coppia (b;2) deve essere posta all’incrocio tra la riga b
e la colonna 2.
rappresentazione cartesiana (o reticolo)
Si disegnano due semirette perpendicolari aventi la stessa origine, si indicano sulla semiretta
“orizzontale” gli elementi dell’insieme A e
B
sulla semiretta “verticale” gli elementi dell’insieme B.
Conducendo le rette che formano la quadrettatura, si rappresentano
2
simbolicamente le coppie con i punti d’intersezione delle rette
1
verticali con quelle orizzontali (nodi).
. ..
. ..
a
b
c
A
rappresentazione ad albero
In questo tipo di grafico si parte da un nodo iniziale, detto radice, e si tracciano tanti segmenti,
chiamati rami, per quanti sono gli elementi
a
.
del primo insieme, ognuno dei quali termina
in un nodo a sua volta ramificato, con tanti
rami quanti sono gli elementi del secondo
insieme (da qui la struttura ad albero).
Percorrendo le ramificazioni, dalla radice al
nodo finale, si ottengono tutti gli elementi
.
.
b
radice
.c
.1
.2
.1
.2
.1
.2
(a;1)
(a;2)
(b;1)
(b;2)
(c;1)
(c;2)
del prodotto cartesiano.
12
PROVA TU
1) Dati gli insiemi A = {1, 4, 5} e B = {3, f, 4, s}, rappresenta in tutti i modi possibili A × B.
2) Dati gli insiemi A =
{ t,
}
{
}
s, m , B = 5, 9 , C =
{ a,
o
A × (B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C )
o
A × (B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C )
}
i, u , verifica che:
OSSERVAZIONE
Tenendo conto dei risultati dell’esercizio 2), possiamo affermare che, per il prodotto cartesiano fra
due insiemi, valgono le seguenti proprietà:
♦ proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’operazione di unione;
♦ proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’operazione di intersezione.
Esempi:
Sia A × B = {(−3, 7), (7, 7), (−3, 1), (7, 4), (−3, 4), (7,1)}; determiniamo gli insiemi A e B.
Ricordando la definizione di prodotto cartesiano di due insiemi, osserviamo che gli elementi di
A sono quegli elementi che occupano il primo posto all’interno di ciascuna coppia ordinata e gli
elementi di B sono quegli elementi che occupano il secondo posto all’interno di ciascuna coppia
ordinata. Si ha, dunque, A = { -3, 7} e B = {7, 1, 4}.
Nella seguente figura è rappresentato P × Q o Q × P ?
Poiché sulla semiretta orizzontale è rappresentato l’insieme P e su quella verticale l’insieme Q,
nella figura è rappresentato l’insieme P × Q.
PROVA TU
a) Rappresenta Q × P con la rappresentazione ad albero, con la rappresentazione sagittale e
con la rappresentazione matriciale, essendo P e Q gli insiemi dell’ esercizio precedente.
13
2m − 1
1
2

b) Siano A =  x ∈ Q / x =
, m = − , 0,  e B = { x ∈ N / x = 3n, n ∈ N ∧ x ≤ 7} due
m+2
2
3

insiemi. Dopo averli espressi in forma tabulare, rappresenta in tutti i modi possibili A
1.5
× B.
ESERCIZI DI RIEPILOGO


2m 2 − 3
1
1
1) Rappresenta graficamente gli insiemi A =  x ∈ Z / x =
, m = −2, −1, − , 0, , 1, 2 
3m + 1
2
2


{
}
e B = x / x = 3 ⋅ k − 7, k ∈ N e 1 ≤ k < 6 .
Colora di rosso A ∩ B , colora di verde A ∪ B , colora di giallo A − B , colora di azzurro B − A .
Rappresenta in forma tabulare P(A).
Stabilisci, inoltre, se le seguenti affermazioni sono vere o false:
V
F
{−1}∈ A
V
F
B ⊃ − 4, 5
V
F
2⊂ B
V
F
B⊃A
V
F
∅⊂ A
V
F
0∈ A
V
F
B⊄A
V
F
{−1}∈ P(A)
V
F
5∈ A∩ B
V
F
∅⊆B
V
F
{− 1, 5, −3} ⊂ A
V
F
5∈ B
V
F
A∩ B = ∅
V
F
A⊆ B
{
}
2) Completa inserendo gli elementi mancanti in modo che le seguenti uguaglianze siano vere:
a)
{− 3, ........, 5, .......}∩ {− 9, ......., 2} = { 2, −5}
b)
{f ,
c)
{u, ......., .........} × {− 1, .......} = {(......, 8), (a, −1), (i, 8), (i, ......), (......, ......), (......, ......)}
} {
} {
s, p ∪ f , ......., ........ = f , a, p, s, t
}
3) Inserisci negli insiemi E, F, G della figura gli elementi a, d, m, p, s, t in modo tale che siano
vere le seguenti affermazioni:
o
{
E ∪ G = {a, p , d
F ∩ E = {p, t }
G ∩ E = {m, t }
o
F ∩ E ∩ G = {t }
o
o
o
}
, m , t}
E ∪ F = a, p , s , m , t
14
4)
Per ciascuna delle seguenti figure, colora l’insieme indicato:
− nella fig. a, l’insieme (A – B) ∪ (B ∩ C) ;
− nella fig. b, l’insieme ( A ∩ C ) ∪ ( A − B ) .
B
C
A
fig. b
5)
Per ciascuna delle seguenti figure, determina un’espressione con le operazioni fra insiemi che
rappresenti la parte colorata:
________________________
_________________________
ESERCIZIO SVOLTO
E’ stata organizzata una manifestazione di nuoto; i 30 atleti che vi hanno aderito si affrontano sulla
distanza di 100 m nei quattro stili: stile libero, dorso, rana, delfino.
Tutti gli iscritti partecipano ad almeno una prova e gli atleti che gareggiano nella prova a delfino
non partecipano ad alcuna altra prova. Inoltre, si sa che:
12 atleti si sono iscritti alla gara a stile libero; 10 alla gara a rana, 15 alla gara a dorso; 2 atleti
gareggiano nei tre stili: stile libero, dorso e rana; 6 atleti partecipano alle gare a stile libero e dorso;
5 atleti partecipano solo alle gare a dorso, 3 atleti partecipano alle gare a stile libero e rana.
Stabilisci:
a) quanti sono i partecipanti alla prova a delfino;
b) quanti partecipano solo alla prova a stile libero;
c) quanti partecipano alle prove a rana e dorso, ma non a stile libero.
15
Per rispondere a queste domande rappresentiamo il problema con un “modello” nel quale inserire le
informazioni date.
I partecipanti alla manifestazione possono essere divisi in quattro insiemi: uno per ogni stile di gara
Siano U = {x / x è iscritto alla manifestazione},
L = {x / x partecipa alla gara a stile libero},
D = {x / x partecipa alla gara a dorso},
R = {x / x partecipa alla gara a rana},
F = {x / x partecipa alla gara a delfino}.
Nel rappresentare gli insiemi mediante i diagrammi di Eulero – Venn, teniamo conto di alcune
informazioni contenute nel testo:
o L, D, R, F sono sottoinsiemi di U
o l’insieme F è disgiunto da L, D, R
o (L ∩ D ) ∩ R ≠ ∅
o L ha 12 elementi
o D ha 15 elementi
o R ha 10 elementi
Le questioni poste richiedono di determinare il numero degli elementi di:
a) F
(colore giallo nel diagramma)
b) L – ( D ∪ R )
(colore celeste nel diagramma)
c) ( R ∩ D ) – L
(colore verde nel diagramma)
Analizziamo, ora, le informazioni date dal problema.
• Dai dati del problema emerge che ( L ∩ D ) ∩ R è
formato da 2 elementi; scriviamo, dunque, nella
parte che rappresenta (L ∩ D ) ∩ R , il numero 2.
16
• Dai dati del problema si ha che L ∩ D è formato da 6
elementi; di questi 2 sono elementi di ( L ∩ D ) ∩ R,
quindi ( L ∩ D ) – [( L ∩ D ) ∩ R ] (parte colorata) è
formato da 4 elementi; scriviamo 4 nella parte colorata
del diagramma.
• Dai dati del problema si rileva che D – ( L ∪ R ) (parte
colorata del diagramma) è formato da 5 elementi;
scriviamo 5 nella parte colorata.
• Dai dati del problema deduciamo che L ∩ R è formato da
3 elementi; di questi 2 sono elementi di ( L ∩ D ) ∩ R,
quindi ( L ∩ R ) – [( L ∩ D ) ∩ R ] (parte colorata del
diagramma) è formato da 1 elemento; scriviamo 1 nella
parte colorata.
L’ultimo diagramma è il “modello” del problema; in esso sono riportate tutte le informazioni (dati)
rilevate dal testo.
Completiamo il diagramma inserendo le informazioni
mancanti che possiamo, adesso, dedurre.
I partecipanti alla sola prova a stile libero (cioè il
numero di elementi di L – ( D ∪ R ) (colore celeste del
diagramma) sono 12 – (4 + 2 + 1) = 5.
Questa è la risposta alla domanda b).
I partecipanti alle prove a rana e dorso, ma non a
stile libero, cioè il numero di elementi di ( R ∩ D ) – L
(colore verde del diagramma) è 15 – ( 5 + 4 + 2) = 4.
Questa è la risposta alla domanda c).
I partecipanti alla sola prova a rana, cioè il numero di elementi di R – ( L ∪ D ) (colore rosso del
diagramma) sono 3.
17
Il numero di partecipanti alla sola prova a delfino, cioè il numero di elementi di F, è dato dalla
differenza fra il numero degli iscritti alla manifestazione (30) e il numero degli elementi di
( L ∪ D ) ∪ R che, come puoi facilmente rilevare dal diagramma, è 24; l’insieme F è formato da
30 – 24 = 6 elementi.
Questa è la risposta alla domanda a).
PROVA TU
Dall’indagine svolta fra i 60 soci di un circolo sportivo è emerso che alcuni praticano il calcio, altri
il basket ed altri ancora il tennis, ma nessun socio pratica tutti e tre gli sport. Inoltre, 24 soci
praticano il basket e 20 il tennis; 15 soci praticano solo il calcio, mentre 6 soci praticano sia il
basket che il calcio, 5 soci praticano sia il calcio che il tennis e 7 soci praticano sia il basket che il
tennis. Quanti soci praticano solo il basket? Quanti soci non praticano alcuno dei tre sport?
(Risolvi il problema con i diagrammi di Eulero – Venn, come nell’esercizio svolto).
I soci del circolo sportivo possono essere divisi nei seguenti insiemi:
U = {x / x è socio del circolo sportivo},
C = { x / x è socio del circolo sportivo che pratica il calcio},
B = { x / x è socio del circolo sportivo che pratica il basket},
T = { x / x è socio del circolo sportivo che pratica il tennis}.
Nella rappresentazione grafica è necessario tenere conto delle seguenti informazioni:
o U è formato da ………. elementi
o C, B, T sono sottoinsiemi di U
o (C ∩ B) ∩ T = ∅
o B è formato da ………. elementi
o T è formato da ………. elementi
Completa il seguente diagramma nel quale è colorato di giallo l’insieme dei soci che praticano solo
il basket e di celeste l’insieme dei soci che non praticano alcuno sport.
U (…)
(…)
C(…)
(…)
(…)
(…)
(…)
(…)
T (…)
B (…)
18
ESERCIZI CAPITOLO 1
Gli insiemi
Conoscenza e comprensione
1) Come può essere “definito” un insieme?
2) Come si indica, in generale, un insieme? E un elemento di un insieme?
3) Scrivi, a fianco di ciascuno dei seguenti insiemi, il simbolo con il quale essi vengono indicati:
a) l’insieme dei numeri naturali:
……
b) l’insieme dei numeri interi relativi:
……
c) l’insieme dei numeri razionali:
……
4) Le seguenti collezioni di oggetti sono insiemi:
a) I colori dell’arcobaleno.
V
F
b) I migliori giocatori di calcio.
V
F
c) Le stelle più luminose dell’Universo.
V
F
d) I minerali della Terra.
V
F
e) Le stelle nane rosse dell’Universo.
V
F
5) Una sola delle seguenti scritture indica che a è un elemento dell’insieme B. Quale?
a) a ⊆ B
b) A ∈ B
c) a ∈ B
d) B ⊃ a
e) B ∈ a
6) Una sola delle seguenti scritture indica che b non è un elemento dell’insieme F. Quale?
a) b ⊄ F
b) b ∉ F
c) b ∈ F
d) F ⊃ b
e) F∉ b
7) Quali delle seguenti scritture indicano l’insieme vuoto?
{}
19
;
{∅}
;
0
;
{0}
;
∅.
8) In quali modi si può rappresentare un insieme? Fai un esempio per ciascuno di essi.
9) Sia C = {x / x è un colore della bandiera italiana}; completa con i simboli ∈, ∉:
a) bianco ….. C
d) nero
….. C
b) rosa
….. C
e) viola
….. C
c) rosso
….. C
f) azzurro ….. C
10) Sia B = {x ∈ N / x è divisore di 15}. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a)
1∈B
b) 15 ∉ B
c)
3 ⊂B
d) B ⊃ 5
e) {3}∈ B
11) Sia A = {x / −5 < x < 3}. È possibile rappresentare l’insieme A ? Giustifica la tua risposta.
12) Che cosa si intende per sottoinsieme di un dato insieme?
13) Quando, un sottoinsieme di un insieme si dice proprio? Quali sono i sottoinsiemi impropri?
14) Spiega perché le seguenti scritture non sono corrette e, successivamente, riscrivile
correttamente:
a) ♣ ⊂ {♦, ♥, ♠, ♣}
e) ∅ ∈ B
b) A ⊂ A
f) 4 ∉ {x ∈ Z / −3 < x ≤ 4}
c) {1, 5 } ⊃ {1, 3, 5, 9}
g) {a}∈ {a, e, i, o, u}
d) {0} ∈ {−2, 0, 2}
h) B ⊃ ∅
15) Che cos’è l’insieme delle parti di un insieme? Con quale simbolo viene indicato?
16) Se m è il numero degli elementi di un insieme A, qual è il numero degli elementi dell’insieme
delle parti di A ?
17) Sia B = {x ∈ N / x = 2 ⋅ n, con 0 ≤ n < 3}. Allora:
a) 0 ∈P(B)
V
F
f) ∅ ∈P(B)
V
F
b) 6 ∈B
V
F
g) {2}∈P(B)
V
F
c) B ∈P(B)
V
F
h) {{0},{2}}⊂ P(B)
V
F
d) {0, 2} ⊂ P(B)
V
F
i) 1∈B
V
F
e) 0 ∈B
V
F
l) ∅ ⊆ P(B)
V F
20
18) Come è definita l’operazione di unione di due insiemi? Scrivila con i simboli del linguaggio
matematico.
19) Come è definita l’operazione di intersezione di due insiemi? Scrivila con i simboli del
linguaggio matematico.
20) Quali proprietà valgono per l’operazione di unione di due insiemi? E per l’operazione di
intersezione?
21) Quando due insiemi si dicono disgiunti?
22) Che cos’è una partizione di un insieme?
23) Sia A un insieme. Esiste una sola partizione di A ? Giustifica la tua risposta.
24) Sia G = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}. Quale, fra i seguenti insiemi, è una partizione di G ?
a) {{−2}, {0, 2}, {−1, 2}, {1, 3}}.
b) {{−2, 0, 2}, {1}, {−1, 3}, {}}.
c) {{−2, 2}, {0}, {1, 3}, {−1}}.
d) {{−2, 0}, {1, 3}, {−1}}.
e) {{−2}, {0, 2, −1}, {1, 3}, ∅}.
25) Come è definita l’operazione di differenza di due insiemi? Scrivila con i simboli del linguaggio
matematico.
26) Siano A e B due insiemi tali che A ⊂ B. Che cosa si intende per insieme complementare di A
rispetto a B ? Con quale simbolo si indica? Scrivi la sua definizione con i simboli del linguaggio
matematico.
27) Per la differenza fra insiemi, vale la proprietà commutativa? Giustifica, anche con degli esempi,
la tua risposta.
28) Come è definita l’operazione di prodotto cartesiano di due insiemi? Scrivila con i simboli del
linguaggio matematico.
29) Come può essere rappresentato il prodotto cartesiano di due insiemi?
30) Quali proprietà valgono per l’operazione di prodotto cartesiano di due insiemi?
31) Siano A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} due insiemi. Completa, inserendo i simboli
delle operazioni fra insiemi, in modo che siano verificate le seguenti uguaglianze:
21
a) A ….. B = {0, 1, 2}.
c) B ….. A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
b) B ….. A = {−3, −2, −1}.
d) (−2, 4) ∈ B ….. A.
Esercizi
Insiemi e rappresentazione di un insieme
1) Stabilisci se le seguenti collezioni di oggetti costituiscono degli insiemi:
a) I ragazzi più alti di Brindisi.
b) I pianeti del Sistema solare.
c) I numeri naturali maggiori di 298.
d) Le frazioni più piccole.
e) Gli esseri viventi unicellulari della Terra.
f) Gli aerei più veloci.
2) Rappresenta nel modo che ritieni opportuno i seguenti insiemi:
“I numeri naturali minori di 9”;
“I giorni della settimana”;
“I numeri razionali minori 3”;
“Le vocali della parola ‘spazio’ ”;
“I numeri interi relativi maggiori di −14”;
“Le persone residenti a Brindisi”;
“I multipli di 5 minori di 4”;
“I numeri pari multipli di 3”.
3) Rappresenta i seguenti insiemi mediante la rappresentazione tabulare e per caratteristica:
4) I seguenti insiemi sono rappresentati in forma tabulare; rappresentali mediante i diagrammi di
Venn e per caratteristica:
{
}
C = 5, 8, 11, 14, 17 ;
F = {Mercurio, Venere};
H = {12, 16, 20, 24, 28};
K = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
22
5) Rappresenta gli insiemi:
K = {x / x è una lettera della parola “calcio”};
M = {x / x è una consonante della parola “palco”};
S = {x ∈ Z / − 4 ≤ x < 3},
mediante i diagrammi di Venn e completa le seguenti proposizioni inserendo i simboli ∈, ∉:
a) o … K ;
f) a … M ;
b) 3 … S ;
g) 0 … S ;
c) l … M ;
h) a … K ;
d) − 4 … S ;
i) p … K ;
e) − 5… S ;
l) i … M .
6) Rappresenta, sotto forma tabulare e mediante i diagrammi di Venn, gli insiemi:
2 ⋅ n +1

∧ n = −2, −1, 0, 2
A = x ∈ Z / x =
n −1

;
B = {x ∈ N / x = 3 ⋅ m − 2, con m ∈ Z ∧ −2 < m ≤ 2};
}
{
C = x ∈ N / x = t 2 − 2 ⋅ t + 1 ∧ t = 0, 1, 2, 3, 4 ;
n n
1
3

D =  x ∈ N / x = + − 4 ⋅ n ∧ n = , 1, , 2,
2 3
2
2


3 .

7) Rappresenta mediante la rappresentazione per caratteristica i seguenti insiemi:
T = {10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31};
P = {− 4, − 3, − 2, − 1 , 0, 1, 2};
L = {1, 10, 100, 1000, 10000};
E = {16, 8, 0, 20, 12, 4};
F = {1, 5, 10, 17, 26, 37}.
8) Rappresenta, se possibile, mediante i diagrammi di Venn gli insiemi:
{
}
B = x ∈ N / x = 5k − 7, k = 0, 2, 4, 6 ;
{
}
F = x / x è una consonante della parola " parco" ;
L = {x / x < 2};


h2 −1


S = x ∈ Q / x =
, 2 < h < 6 .
2h


23
Sottoinsiemi
Esempio
Dati gli insiemi A = {x ∈ Z / − 4 ≤ x < 3} e B = {0, 1, 2}, stabilisci se B è un sottoinsieme di A e
rappresenta gli insiemi con i diagrammi di Venn.
Determiniamo gli elementi di A; essi sono : − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2.
Osserviamo che tutti gli elementi di B sono elementi di A, quindi B è un sottoinsieme di A.
Notiamo, anche, che esistono elementi di A che non appartengono a B; quindi B è un sottoinsieme
proprio di A.
Riportiamo gli elementi di A all’interno di una linea chiusa e, all’interno di tale linea, tracciamo
un’altra linea chiusa che racchiuda gli elementi di B. Si ottiene la seguente rappresentazione:
A
−3
−4
1
0
−2
B
−1
2
9) Rappresenta gli insiemi B = {x / x è una lettera della parola “pali”}, C = {x / x è una lettera
della parola “palla”} e D ={x / x è una lettera della parola “palio”} con i diagrammi di Venn;
successivamente stabilisci se:
a) B e C sono sottoinsiemi propri o impropri di D;
b) C è un sottoinsieme proprio o improprio di B.
10) Dopo aver rappresentato graficamente gli insiemi A = {−2, 3, 5, 0, −4} e B = {0, −2, 5},
stabilisci quale delle seguenti proposizioni è vera.
A=B
;
A⊂ B
;
B ⊃ A.
11) Sia A = {x / x è una vocale della parola “casa”}; scrivi tutti i sottoinsiemi propri di A.
12) Sia G = {−2, 0, 4}. Scrivi tutti i sottoinsiemi impropri di G.
13) Sia M = {x ∈ Z / −3 < x < 5}. Uno solo dei seguenti insiemi è un sottoinsieme di M. Quale?
a) {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) {−2, 0, 1, 5, 6}
c) {−3, −2, −1, 3, 4, 5}
d) { −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
e) { −2, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
24
14) Sia S = {x ∈ N / x = 4 ⋅ a + 2, con a = 1, 3, 5, 7}; l’insieme R = {6, 20, 14} è un sottoinsieme
di S ? Giustifica la tua risposta.
15) Osserva la figura e completa:
a) 3 ⋅ 7 − 6 …. T ;
e)
3
− 2 …. T ;
2
b)
i) 14 : 2 + 5 …. T ;
f) 3 ⋅ 8 − 2 ⋅ 9 …. T ;
c) 15 − 3 ⋅ 4 …. T;
g)
7
− 4 …. F;
4
d)
3
− 1 …. T ;
2
1
5 5 
⋅ 6 −  −  …. F;
3
 3 12 
h) 9 − 6 + 5 …. F;
l)
5 1 1
−  −  …. F;
6  2 3
m) 7 ⋅ 8 − 17 ⋅ 3 …. T ;
n)
1
2
⋅4+
…. T .
2
3
16) Sia A = {a, b, c, d, e} e B = {x ∈ Z / x2 = −4}. Quale delle seguenti proposizioni è vera? E
perché?
a) B ⊆ A;
b) B ⊂ A;
c) B ⊄ A;
d) A ⊂ B;
e) A = B.
17) Dopo aver rappresentato in forma tabulare e con i diagrammi di Venn gli insiemi:
A = {x / x è una lettera della parola “coppia”};
B = {x / x è una lettera della parola “coppa”};
C = {x / x è una lettera della parola “ceppo”},
stabilisci se sono vere o false le seguenti proposizioni:
25
a) B ⊆ A
V
F
e) A = C
V
F
b) C ⊄ B
V
F
f) C = B
V
F
c) B ⊇ C
V
F
g) A ⊃ C
V
F
d) C ⊂ B
V
F
h) A ⊃ B
V
F
18) Osserva la seguente figura e completa inserendo, in maniera opportuna, i simboli ⊂, ⊆, ⊄, ⊃, ⊇:
a) A ….. B
;
e) D ….. A
;
i) E ….. B
;
b) B ….. F
;
f) E ….. C
;
l) D ….. B
;
c) A ….. F
;
g) C ….. F
;
m) B ….. C
;
d) F ….. E
;
h) ∅ ….. B
;
n) A ….. A .
2k − 1


19) Siano A =  x ∈ Z / x =
, con k = 0, 1, 2  e B = {x ∈ Z / x 2 = 1 due insiemi.
k +1


}
Quali delle seguenti proposizioni sono corrette?
A = B;
A ⊆ B;
A ⊃ B;
2 ∈ A;
B ⊆ A;
{ 1 } ∈ B;
{−1} ⊂ A.
20) Sia M = {m}; quali delle seguenti scritture non sono corrette?
m ∈ M;
{m} ⊂ M;
∅ ⊆ M;
{m} ∈ M;
{} ⊂ M.
21) Sia T = {a, e, u}. Scrivi tutti i sottoinsiemi propri di T.
22) Dati gli insiemi:
G = {x ∈ N / x = 3 ⋅ n, con n ∈ N e 0 ≤ n ≤ 10};
H = {x ∈ N / x = 4 ⋅ n, con n ∈ N e 0 ≤ n < 8},
determina almeno tre insiemi che siano sottoinsiemi sia di G che di H. Rappresenta,
successivamente, i sottoinsiemi trovati per caratteristica.
23) Sia A = {b, c, d}; determina tutti i possibili sottoinsiemi di A e rappresenta in forma tabulare
l’insieme P(A).
24) L’insieme A = {{s}, {t},{s, t}} rappresenta l’insieme delle parti di un insieme? Giustifica la
tua risposta.
25) Sia P(C) = {{7}, {3}, {0}, {7,3}, {7,0}, {0,3},{},{3, 7, 0}}; qual è l’insieme C ?
26
26) Sia D = {x / x è una lettera della parola “catastrofe”}. Quanti sono gli elementi di P(D) ?
27) Sia S = {x ∈ N / x = 2 ⋅ n – 5, con n = 0, 1, 2}. Quanti sono gli elementi di P(S)? Elencali.
28) Sia B = {x ∈ Z / x2 = 9} . Uno solo dei seguenti insiemi è l’insieme P(B). Quale?
a) {{3}, {−3}, ∅};
b) {{−3, 3}, {3},{−3}};
c) {{3}, ∅};
d) {{−3}, {3}, {}, {−3, 3}};
e) {−3, 3}.
29) Completa in modo che l’insieme {{7},{7, 9}, ∅, ….. } rappresenti l’insieme delle parti di un
insieme.
n+2


30) Sia dato l’insieme B =  x ∈ Z / x =
, con − 2 ≤ n < 1  .
n −1


Una sola proposizione è falsa; quale?
a) B = {0, −2};
b) 0 ∈ B;
c) {0, −2} ⊂ P(B);
d) {0, −2} ⊆ B;
e) {{0}, {−2}} ∈ P(B).
31) Osserva la figura e completa inserendo, in maniera opportuna, i simboli ∈, ∉, ⊂, ⊆, ⊃, ⊇, ⊄:
27
a) {s, m} ….. B;
i) f ….. A;
b) D ….. A;
l) 7 ….. B;
c) {o, 3} ….. D;
m) h …. A;
d) {m, h, o, e} ….. B;
n) {s, f} ….. A;
e) {1, 3, 7, 5} ….. D;
o) {m} ….. B;
f) 3 ….. A;
p) g ….. B;
g) ∅ ….. D;
q) A ….. {s, m, g, h, f};
h) e ….. D;
r) {1, h} ….. D.
Operazioni tra insiemi
Unione e intersezione
Esempio:
Dati A = {x ∈ N / 3 < x < 8} e B = {x ∈ N / x <10 ∧ x è pari}¸ rappresentiamo in forma tabulare e
con i diagrammi di Venn gli insiemi A ∪ B e A ∩ B.
Rappresentiamo, innanzi tutto, in forma tabulare gli insiemi A e B; si ha che:
A = {4, 5, 6, 7};
B = {2, 4, 6, 8}.
▪
L’unione di A e B è l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A o a B, riportando
una sola volta gli elementi in comune. La rappresentazione tabulare dell’unione dei due insiemi
è la seguente:
A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 7, 8}.
Rappresentiamo A ∪ B con i diagrammi di Venn (colore celeste della figura)
A tale scopo, osserviamo che gli insiemi A e B hanno alcuni elementi in comune; allora
rappresentiamo A e B in modo che le due linee chiuse, una per l’insieme A ed una per l’insieme B, si
intersechino e nella parte comune inseriamo gli elementi in comune:
▪
L’intersezione di due insiemi è l’insieme formato dagli elementi comuni ai due insiemi. La
rappresentazione tabulare di A ∩ B è, quindi:
A ∩ B = {4, 6}
Rappresentiamo A ∩ B con i diagrammi di Venn (colore giallo della figura):
28
32) Per ciascuna delle seguenti coppie di insiemi, rappresenta in forma tabulare e con i diagrammi
di Venn gli insiemi A ∪ B e A ∩ B :
a) A = {m, s, a, t, e}
e
B = {a, b, c, s, e};
b) A = {1, 3, 5, 7}
e
B = {−2, 0, 2, 3, 5};
c) A = {x / x è una consonante di “ latte”}
e
B = {x / x è una lettera di “ moto”};
d) A = {x ∈ N / 2 < x < 6}
e
B = {x ∈ N / x = 2 ⋅ n, con n = 0, 1, 2, 3};
e) A = {x ∈ N / 2 < x < 8}
e
B = {x ∈ N / x + 2 = 10}.
33) Dati gli insiemi
A = {x / x è una vocale di “podere”},
B = {x / x è una lettera di “dopo”} e
C = {o, p, d, i}. Determina la rappresentazione tabulare dei seguenti insiemi:
A ∩ B ; B ∪ C ; B ∩ C ; A ∩ C ; B ∪ (A ∩ C) ; A ∩ (B ∪ C) .
2⋅n + 3

, con n = − 1, 0, 1
34) Dati gli insiemi A =  x ∈ Z / x =
2 ⋅ n −1

}
e B = {x ∈ Z / x + 1 = 4};
rappresenta, nel modo che ritieni più opportuno, A ∩ B.
35) Dati gli insiemi
A = {x / x è uno dei giorni della settimana che inizia con la lettera “m”} e
B = {Domenica, Lunedì}; determina A ∪ B e A ∩ B.
36) Dati gli insiemi F = {x ∈ N / x + 2 = 0} e G = {−1, 1, 3}, determina F ∪ G e G ∩ F.
37) Siano A = {x ∈ Z / −3 ≤ x < 2} e B = {x ∈ N / 0 ≤ x ≤ 4} due insiemi. Una sola delle seguenti
proposizioni è falsa. Quale?
a) {−3, 3} ⊂ A ∪ B;
b) {0, 1} ⊂ A ∩ B;
c) −2 ∈ A ∪ B;
d) A ∩ B = ∅;
e) 1 ∈ A ∩ B.
Differenza fra insiemi e insieme complementare
38) Per ciascuna delle coppie di insiemi dell’esercizio 32), rappresenta in forma tabulare e mediante
la rappresentazione grafica gli insiemi A – B e B – A.
39) Dati gli insiemi S = {x ∈ N / x è un divisore di 54} e T = {x ∈ N / x è un divisore di 45},
determina gli insiemi S – T e T – S.
29
n+3


40) Siano A =  x ∈ Q / x =
, con n = −2, −1, 1, 2  e B = {x ∈ N / 0 ≤ x ≤ 4} due insiemi.
n


Rappresenta, mediante i diagrammi di Venn, l’insieme B – A.
41) Completa il diagramma sapendo che:
A – B = {1, 2, 4};
B – A = {8, 9};
A ∪ B = {1, 2, 4, 7, 8, 9}.
42) Dati gli insiemi M = {−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8}, P = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} e S = {−3, −1, 1, 3, 5},
rappresenta in forma tabulare i seguenti insiemi:
a) M − (P ∪ S);
b) (P − M) ∩ S;
c) (M ∩ S) − P;
d) (M − P) ∩ S;
e) (M ∩ P) − S.
43) Completa inserendo gli elementi mancanti:
a) {−4, …. , 3, 1} − {…. , 7, 1, 9} = {5, 3};
b) {a, e, …. , g} − {a, b, e, c} = {…. , f}.
44) Siano P = {x / x è un mese che inizia con la lettera “a”} e M = {x / x è un mese dell’anno} due
insiemi. Rappresenta in forma tabulare, con i diagrammi di Eulero - Venn e per caratteristica
l’insieme PM .
45) Siano dati gli insiemi A = {x ∈ Z / x = k – 3, con k ∈ N ∧ − 3 < k < 2 } e B = {−3, −2}.
Quali delle seguenti proposizioni sono false?
B A ≠ ∅;
AB ≠ ∅;
−5 ∈ B A ;
−3 ∈ B ∩ B A .
46) Qual è il complementare, rispetto ad N, dell’insieme dei numeri dispari?
47) Qual è il complementare, rispetto a Z, dell’insieme N ?
30
48) Siano A e B due insiemi tali che A ⊂ B; stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) A ∪ B = A
V
F
b) AB = ∅
V
F
c) A ∩ B = A
V
F
d) A ∪ AB = B
V
F
e) A ∩ AB = A
V
F
f) B ∩ AB = AB
V
F
Esempio:
Nella seguente figura, coloriamo l’insieme A ∪ (B ∩ C).
In una espressione si risolvono prima le parentesi tonde, quindi coloriamo di giallo B ∩ C, cioè la
parte in comune fra gli insiemi B e C; si ottiene:
Determiniamo, adesso, l’unione fra questo nuovo insieme e l’insieme A; si ottiene:
L’insieme richiesto è in colore celeste.
31
49) Per ciascuna delle seguenti figure, colora l’insieme indicato:
fig. 1
fig. 2
fig. 3
fig. 1: (A ∩ C) ∪ B;
fig. 2: (B ∪ C) ∩ A;
fig. 3: (B ∩ A) ∪ (B ∩ C).
50) Nel seguente diagramma sono rappresentati gli insiemi P, S, M. Riportalo più volte sul tuo
quaderno e colora, se possibile, gli insiemi a fianco indicati:
a) P – S;
b) (S – P) ∩ M;
c) PM ∩ (P – S);
d) (P ∩ S) ∪ S M .
51) Riporta più volte sul tuo quaderno il seguente diagramma e colora gli insiemi indicati:
a) (K ∩ G )G ∪ ( H − G ) ;
b) (H − K ) ∪ (K ∩ H )K ;
c) (H ∩ G) ∪ ( H F ∩ G);
d) (K ∪ G ) ∩ (H − G )F .
32
52) Determina un’espressione con le operazioni fra insiemi che rappresenti la parte colorata nei
seguenti diagrammi:
Partizione
53) Determina una partizione dell’insieme A = {x ∈ N / 0 < x < 10}.
54) Sia M = {x / x è un mese dell’anno}, costruisci una partizione di M con tre sottoinsiemi di M.
55) Siano dati gli insiemi B = {x / x è una lettera della parola “aquilone”}, B1 = {x / x è una lettera
della parola “qua”} e B2 = {x / x è una lettera della parola “Lione”}. L’insieme {B1, B2} è una
partizione di B ? Rappresenta gli insiemi con i diagrammi di Venn e giustifica la tua risposta.
56) Siano dati gli insiemi A = {x ∈ N / x = 2 ⋅ n + 1, con 0 ≤ n < 8 ∧ n ∈ N}, A1 ={x ∈ N / x è un
divisore di 9}, A2 = {x ∈ N / 3 < x ≤ 13 ∧ x è primo} e A3 = {x ∈ N / x + 5 = 20}.
L’insieme {A1, A2, A3} è una partizione di A ?
Rappresenta gli insiemi con i diagrammi di Venn e giustifica la tua risposta.
57) Dati gli insiemi A = {0, 1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {0, 6,10}, C = {x ∈ N / x è un divisore di 8} e
D = {x ∈ N / x + 3 = 1}, l’insieme {B, C, D} è una partizione di A ?
Giustifica la tua risposta.
Prodotto cartesiano
58) Dati gli insiemi A = {−2, 0, 2, 4} e B = {1, 3}, rappresenta in tutti i modi possibili gli insiemi
A × B e B × A.
59) Siano dati gli insiemi F = {x / x è una lettera della parola “mondo”} ed E = {a, e}. Rappresenta
in tutti i modi possibili l’insieme F × E.
33
e D = { x / −1 < x ≤ 2 e x ∈ Z } rappresenta in
60) Dati gli insiemi C = { x / 3 ≤ x ≤ 7 e x ∈ Z }
tutti i modi possibili D × C.
61) Siano dati gli insiemi C = {x ∈ Z / x + 4 = 0} e D = {x ∈ N / x è un divisore di 3}. Rappresenta
in forma cartesiana l’insieme D × C.
62) Sia A × B = {(1, 2), (3, 0), (1, 0), (3, 2), (5, 2), (5, 0)}. Rappresenta in forma tabulare gli insiemi
A e B.
63) Sia A × B = {(x, y) / x ∈ N ∧ 0 < x < 6, y = x + 2}. Rappresenta nel modo che ritieni più
opportuno gli insiemi A e B.
64) Dati gli insiemi A = {0, 3, 5}, B = {a, e} e C = {4, 7, 9}, rappresenta con un diagramma ad
albero ed in forma tabulare i seguenti insiemi:
(A × B) × C
;
A × (C × B)
;
65) Dati gli insiemi A = {x / x è una lettera di “terra”},
C × (B × A).
B = {x / x è una lettera di “torero”} e
C = {x / x è una lettera di “toro”}, rappresenta, con un diagramma ad albero ed in forma
tabulare, i seguenti insiemi:
A × (B × C)
;
B × (C × A)
;
(A × B) × C.
66) Dati gli insiemi A = {b}, B = {−5, 1, 3}, C = {2, 4} e D = {a, u}, calcola il prodotto cartesiano
di ciascuno di essi per se stesso.
67) Inserisci al posto dei puntini le lettere opportune:
a) {…. , m, f} × {a, ….} = {(d, a), (…. , b), (m, ….), (m, b), (…. , a), (f, ….)};
b) {1, …. , 6} × {2, ….} = {(…. , 2), (1, 5), (4, ….), (…. , 5), (6, 2), (6, ….)};
c) ({6, …. , 9} ∩ {7, …. , 4}) × {1, ….} = {(3, ….), (…. , 2}.
68) Nella seguente figura è rappresentato l’insieme A × B. Determina la rappresentazione tabulare di
A e di B.
34
69) Nella seguente figura è rappresentato l’insieme A × B.
c
b
a
m g h f
Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) {b} ⊂ A;
b) (a, g) ∈ A × B;
c) {g, h}⊂ A;
d) (f, b) ∈ B × A;
e) {m, h} ⊂ B.
70) Siano dati gli insiemi A = {x ∈ N / x è un divisore di 12} e B = {x / x è un divisore di 30}. Una
sola delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?
a) {(2, 1), (6, 3)} ⊂ B × A;
b) {(2, 1), (6, 3)} ⊂ A × B;
c) {(2, 12), (4, 3)} ⊂ B × A;
d) A × B ⊃ {(4, 5), (3, 6)};
e) (3, 2) ∈ (A × B) ∩ (B × A).
71) Siano dati gli insiemi A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Rappresenta in
forma tabulare i seguenti insiemi:
35
a) A × ( B ∩ C) ;
d) (C − A) × B ;
b) [C − (B ∩ A)] × (B ∩ A) ;
e) [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)] × A ;
c) (A × B) ∩ (B × C) ;
f) (C × B) − (B × A) .
Esercizi di riepilogo
72) In figura sono rappresentati tre insiemi:
Una sola delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?
a) (C − D) ∪ (D − C) = (C ∪ D) − (C ∩ D);
b) C ∩ D ⊂ P(C) ;
c) C − D = D E ∩ C ;
d) (C ∪ D )E ⊂ C E ∪ D E ;
e) (C − D )E ∩ D ⊆ D .
73) Sia A = {x ∈ N / x è divisore di 45}; una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
a) P(A) ha 12 elementi ;
b) (3, 9) ∈ A2 ;
c) {1, 15} ∈ A2;
d) (3, 5) ∈ A;
e) P(A) è una partizione di A.
74) Siano dati gli insiemi A = {x ∈ N / x è divisore di 45}, B = {x ∈ N / x è divisore di 27}
e C = {x ∈ N / x è divisore di 12}; quale delle seguenti affermazione è falsa?
a) (1, 3, 1) ∈ B2 × C
b) (A ∩ B) − C = ∅
c) (C ∩ B) − A = (A ∩ C) − B
d) {9} ⊂ (A − B)A
e) 2 ∈ C − (A ∩ B)
75) Dati gli insiemi A, B e C dell’esercizio precedente; determina i seguenti insiemi:
a) (A ∩ B) × (B ∩ C);
b) (A ∩ C)B ∪ (B − A);
c) B × (C − A).
36
76) Siano S e T due insiemi generici; stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
se
T ∩ S = S,
allora
S⊂T
V
F;
se
T ∪ S = T,
allora
S⊆T
V
F;
se
p ∈ T,
allora
{p} ∈ P(T)
V
F;
se
S − T = S,
allora
T=∅
V
F;
se
T − S = ∅,
allora
S⊆T
V
F;
se
T − S = ∅,
allora
S⊂T
V
F;
se
S − T = T − S,
allora
T=S
V
F;
se
S × T = T × S,
allora
S=T
V
F.
77) Per ciascuna delle seguenti figure, colora l’insieme indicato:
(B ∩ C) ∪ (A ∩ B)
AC ∩ (B ∪ A)
(A − B)A ∪ (B ∩ C)
[(A ∩ C) ∪ BC ] ∩ (A ∪ B)
78) Per ciascuna delle seguenti figure, determina un’espressione con le operazioni fra insiemi che
rappresenti la parte colorata:
__________________
37
__________________
___________________
79) Fra i ragazzi di un condominio 25 hanno una bicicletta, 22 hanno i pattini, 20 possiedono uno
skateboard e 6 non possiedono alcuno dei tre giochi; inoltre 9 ragazzi hanno tutti e tre i giochi, 4
soltanto la bicicletta, 2 soltanto lo skateboard e 6 possiedono sia la bicicletta che i pattini, ma
non lo skateboard.
Quanti sono i ragazzi del condominio?
(Rappresenta il modello del problema utilizzando i diagrammi di Eulero – Venn).
[40]
80) Il comitato organizzatore della festa patronale del paese di Manigoldia vuole organizzare una
serata musicale scegliendo il genere di musica preferito dalla maggior parte dei 585 ragazzi del
paese.
Dall’indagine svolta è emerso che 423 ragazzi sono appassionati di almeno uno fra i generi
Rock, House e Reggae; 75 amano Rock e House e, di questi, 45 non amano il Reggae; inoltre,
93 sono appassionati di House e Reggae e 73 di Rock e Reggae; 133 amano il Rock ma non la
musica House e 130 amano la musica House ma non la musica Reggae.
Quale sarà il genere musicale della serata?
(Rappresenta il modello del problema utilizzando i diagrammi di Eulero – Venn).
[House]
81) Il responsabile della biblioteca dell’Istituto “Gobbar” ha avuto l’incarico dal Dirigente
Scolastico dell’acquisto di alcuni libri per favorire la lettura da parte degli alunni dell’Istituto.
Agli alunni viene sottoposto un questionario nel quale esprimere la preferenza fra romanzo
storico, romanzo giallo e romanzo d’avventura.
Dal questionario è emerso che su 666 alunni:
− 55 alunni gradiscono tutti e tre i generi;
− 127 alunni gradiscono il romanzo giallo e quello d’avventura;
− 95 alunni gradiscono il romanzo storico e quello giallo, ma non quello d’avventura;
− 178 alunni gradiscono il romanzo d’avventura e almeno uno fra il romanzo storico e
quello giallo;
− 36 gradiscono solo il romanzo storico;
− 419 almeno uno fra il romanzo storico ed il romanzo giallo;
− 513 alunni gradiscono almeno uno fra il romanzo giallo e quello d’avventura.
A quanti alunni della scuola non piace nessuno dei tre generi?
(Rappresenta il modello del problema utilizzando i diagrammi di Eulero – Venn).
[117]
38
CAPITOLO 2
GLI INSIEMI NUMERICI
2.1 Il concetto di numero e l’insieme dei numeri naturali
Osserva la seguente figura:
A
B
C
D
E
Gli insiemi C ed E hanno “qualcosa” in comune, così come gli insiemi B e D: gli elementi
di C sono “tanti quanti” gli elementi di E e gli elementi di B sono “tanti quanti” gli elementi di D.
Questo “qualcosa” (quid come lo definì il matematico Luigi Campedelli) che hanno in
comune gli insiemi B e D si chiama numero naturale 5; quello che hanno in comune gli insiemi C
ed E si chiama numero naturale 3.
Così, quel “qualcosa” che hanno in comune gli insiemi
P = {⊕},
S = {a},
T = {♦}
è il numero naturale 1.
Quel “qualcosa” che hanno in comune gli insiemi privi di elementi, cioè gli insiemi vuoti, è
chiamato numero naturale 0.
Partendo dall’insieme vuoto, aggiungendo ogni volta un elemento all’insieme considerato, si ottiene
l’insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….} che prende anche il nome di
successione dei numeri naturali.
Si chiama successivo (o consecutivo) di un numero naturale n quel numero che segue
“immediatamente” n nella successione dei naturali.
Si chiama antecedente di un numero naturale m quel numero che precede “immediatamente” m
nella successione dei naturali.
Per esempio, 3 è il successivo di 2, 9 è l’antecedente di 10.
0 (zero) non è il successivo di alcun numero naturale.
39
Con il simbolo N0 indichiamo l’insieme dei naturali dal quale escludiamo lo zero; in simboli:
N0 = N - {0}.
Per visualizzare l’insieme N è conveniente rappresentare i suoi elementi su una retta come
segue:
si fissa sulla retta un punto come origine (di due semirette) al quale si associa il numero 0, un
verso (rappresentato con la punta di una freccia) per fissarne l’orientamento e un segmento
come unità di misura. Per rappresentare il numero 1 si riporta, a partire dall’origine e nello
stesso verso dell’orientamento della retta, una volta il segmento unità; per rappresentare il
numero 2 si riporta, a partire dall’origine e nello stesso verso dell’orientamento della retta, due
volte il segmento unità, e così via come mostrato nella seguente figura:
In realtà, per rappresentare l’insieme N sarebbe sufficiente una semiretta, ma preferiamo una retta
…… in attesa di “arricchirla”.
Osserviamo che ad ogni numero naturale possiamo associare un punto sulla retta, ma non è vero il
contrario.
PROVA TU
Rappresenta (su una retta orientata) i seguenti numeri naturali:
3
,
5
,
2
,
10
,
4.
2.2 Operazioni in N
Come già sai, in N sono definite le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e
divisione.
Ricorda:
• L’addizione è quell’operazione che associa a due numeri naturali a e b il numero naturale c
che si ottiene contando tante unità successive ad a quante ne indica b.
I termini di una addizione si chiamano addendi, il risultato si chiama somma.
Esempio
3 + 9 = 12
3 e 9 sono gli addendi, 12 è la somma.
• La sottrazione è quell’operazione che associa a due numeri a e b, presi nell’ordine, un terzo
numero d, se esiste, tale che, addizionato al secondo dà come somma il primo.
Per questo motivo si dice che la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.
Esempio
18 – 5 = 13 perché 13 + 5 = 18.
40
Nella sottrazione a − b = c, il numero a si chiama minuendo, il numero b sottraendo, il
numero c differenza.
Nell’esempio precedente, 18 è il minuendo, 5 è il sottraendo, 13 è la differenza.
•
Calcolare il prodotto fra due numeri a e b, con b > 1, vuol dire calcolare la somma di tanti
addendi uguali ad a quanti ne indica b. (L’operazione con la quale, dati due numeri
naturali, si trova il loro prodotto è detta moltiplicazione).
♦ Se b = 1,
a·1=a
♦ Se b = 0,
a·0=0
Esempio
2·5=2+2+2+2+2
I termini della moltiplicazione si chiamano fattori, il risultato si chiama prodotto.
Esempio
21 · 15 = 315
I numeri 21 e 15 si chiamano fattori; il numero 315 si chiama prodotto.
•
La divisione fra due numeri a e b, nell’ordine e con b ≠ 0, è quel numero q, se esiste, che
moltiplicato per b dà per risultato a (cioè q · b = a).
Per questo motivo si dice che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.
Esempio
12 : 4 = 3 perché 3 · 4 = 12
Nella divisione a : b = q , il numero a si chiama dividendo, il numero b divisore, il numero
q quoziente.
Nell’esempio, 12 è il dividendo, 4 è il divisore e 3 è il quoziente.
Si dice anche che:
o a è divisibile per b;
o b è divisore di a;
o a è multiplo di b;
o b è sottomultiplo di a.
Osservazione: nella definizione dell’operazione di divisione, abbiamo precisato che il divisore deve
essere diverso da zero. Perché?
Si possono presentare due casi:
I. il dividendo diverso da zero e il divisore uguale a zero;
II. il dividendo ed il divisore entrambi uguali a zero.
41
I.
a:0=?
Sappiamo che il quoziente tra due numeri, nei quali il dividendo è non nullo, è quel numero che
moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo. Ora, se il divisore è il numero “0”, devo
trovare un numero che moltiplicato per “0” dà come risultato un numero diverso da “0”; ma
questo numero non esiste perché, come ben sai, per la legge di annullamento del prodotto,
qualsiasi numero moltiplicato per “0” dà come prodotto “0”.
II.
0:0=?
In tal caso, sempre dalla definizione di divisione, il risultato non sarebbe unico (come lo è il
risultato di qualsiasi operazione), perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0.
Possiamo concludere che , in una divisione, il divisore deve essere diverso da zero !
Invece, se il dividendo è zero, il quoziente è sempre zero (0 : b = 0 ∀b∈N0).
Nella scrittura simbolica hai notato un nuovo simbolo “∀”: si legge “per ogni”, o “qualunque sia”
ed è detto quantificatore universale.
Riflettiamo insieme sul “comportamento” delle operazioni definite in N.
L’addizione e la moltiplicazione hanno la seguente caratteristica: la somma di due qualsiasi numeri
naturali è un numero naturale; il prodotto di due qualsiasi numeri naturali è un numero naturale.
Possiamo, allora, dire che:
Le operazioni di addizione e moltiplicazione sono interne
all’insieme N, cioè N è chiuso rispetto alle operazioni di
addizione e moltiplicazione.
Invece la differenza d fra due numeri naturali a e b (d = a – b) è ancora un numero naturale solo
se a è maggiore o uguale a b; il quoziente q fra due numeri naturali s ed r (q = s : r, r ≠ 0) è un
numero naturale solo se s è multiplo di r.
Le operazioni di sottrazione e divisione non sono interne
all’insieme N, cioè N non è chiuso rispetto alle operazioni di
sottrazione e divisione.
42
Da questo nasce la necessità di costruire “nuovi” e “più ampi” insiemi numerici: l’insieme dei
numeri interi relativi e l’insieme dei numeri razionali. Di questi insiemi parleremo più avanti.
Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione in N
Sia per l’operazione di addizione che per quella di moltiplicazione valgono le seguenti proprietà:
Proprietà associativa
La somma o il prodotto non cambiano se i numeri a ,b ,c vengono associati in maniera diversa.
In simboli
∀ a, b, c ∈ N:
(a + b) + c = a + (b + c)
∀ a, b, c ∈ N:
(a · b) · c = a · (b · c)
Esempi
•
(2 + 7) + 9 = 2 + (7 + 9)
Infatti:
(2 + 7) + 9 = 9 + 9 = 18
2 + (7 + 9) = 2 + 16 = 18
•
(3 · 5) · 8 = 3 · (5 · 8)
Infatti:
(3 · 5) · 8 = 15 · 8 = 120
3 · (5 · 8) = 3 · 40 = 120
Proprietà commutativa
La somma di due numeri non cambia se si cambia l’ordine dei numeri; il prodotto di due numeri
non cambia se si cambia l’ordine dei fattori.
In simboli:
∀ a, b ∈ N: a + b = b + a
∀ a, b ∈ N: a · b = b · a
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione
∀ a, b, c ∈ N:
∀ a, b, c ∈ N, c ≤ b:
a · (b + c) = a · b + a · c
a · (b - c) = a · b – a · c
oppure, in modo equivalente:
∀ a, b, c ∈ N:
∀ a, b, c ∈ N, c ≤ b:
43
a · b + a · c = a · (b + c)
a · b – a · c = a · (b − c)
Esempi
•
7 · (3 + 5) = 7 · 3 + 7 · 5
Infatti:
7 · (3 + 5) = 7 · 8 = 56
7 · 3 + 7 · 5 = 21 + 35 = 56
•
4 · 6 + 4 · 7 = 4 · (6 + 7)
Infatti
4 · 6 + 4 · 7 = 24 + 28 = 52
4 · (6 + 7) = 4 · 13 = 52
•
6 · (7 − 5) = 6 · 7 – 6 · 5
Infatti:
6 · (7 − 5) = 6 · 2 = 12
6 · 7 – 6 · 5 = 42 – 30 =12
•
9 · 6 – 9 · 4 = 9 · (6 – 4)
Infatti:
9 · 6 – 9 · 4 = 54 – 36 = 18
9 · (6 – 4) = 9 · 2 = 18
Legge di annullamento del prodotto
Il prodotto di due o più fattori è 0 se e solo se almeno uno dei fattori è 0.
Questo vuol dire che , qualunque sia il numero naturale n, risulta:
n·0=0
e, viceversa, se risulta:
m · n = 0, allora m = 0 o
Per esempio:
n = 0 oppure sia m che n sono uguali a zero.
3 · 12 · 45 · 0 · 48 · 2 · 125 = 0
Proprietà della sottrazione e della divisione
Precisiamo che sia per la sottrazione che per la divisione non vale la proprietà commutativa. Puoi
facilmente rendertene conto facendo qualche esempio.
Proprietà invariantiva della sottrazione
La differenza fra due numeri a e b (con a ≥ b) non cambia aggiungendo o sottraendo lo stesso
numero c ad entrambi i termini della sottrazione (con b ≥ c nell’ultimo caso).
Se a ≥ b:
Se a ≥ b e se b ≥ c:
a – b = (a + c) – (b + c)
a – b = (a – c) – (b – c)
44
Proprietà invariantiva della divisione
Nelle ipotesi in cui le operazioni siano possibili, si ha:
il quoziente di due numeri naturali a e b (ovviamente b ≠ 0) non cambia se si moltiplicano o si
dividono a e b per uno stesso numero c ≠ 0.
a : b = (a · c) : (b · c)
a : b = (a : c) : (b : c)
Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione
Nelle ipotesi in cui le operazioni siano possibili, si ha:
(a + b) : c = (a : c) + (b : c)
(a – b) : c = (a : c) – (b : c)
Poichè la divisione non gode della proprietà commutativa, la proprietà distributiva vale solo nel
caso in cui l’addizione o la sottrazione precedono la divisione.
Potenze e proprietà delle potenze
Ricorderai che il prodotto di più fattori uguali tra loro prende il nome di potenza.
Per esempio: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 6 (si legge “2 alla sesta”) ; 2 si chiama base della potenza e 6
esponente della potenza.
Si pone:
a0 = 1
a≠0
a1 = a
Per le potenze valgono alcune proprietà di sotto elencate:
a p ⋅ a m = a p+m
oppure
a p+m = a p ⋅ a m
a p : a m = a p −m
oppure
a p −m = a p : a m
oppure
a p ⋅m = a p
oppure
(a ⋅ b )m
= am ⋅ bm
oppure
(a : b )m
= am : bm
( )
ap
m
= a p ⋅m
a m ⋅ b m = (a ⋅ b )
m
a m : b m = (a : b )
m
( ) = (a )
m
m p
Osservazione
Le proprietà delle potenze permettono di giustificare le posizioni fatte per a 0 e a 1 .
Consideriamo la divisione 81 : 81. Il quoziente fra due numeri uguali è 1, quindi 81 : 81 = 1; d’altra
parte, poiché 81 = 3 4 , la stessa divisione si può scrivere come 3 4 : 3 4 e, applicando le proprietà delle
potenze, si ottiene che 3 4 : 3 4 = 3 4− 4 = 3 0 .
In definitiva:
45
34 : 34 = 81: 81 = 1
 4 4
4−4
0
3 : 3 = 3 = 3
E’ chiaro che il risultato di un’operazione non può dipendere dal modo con il quale essa viene
0
eseguita, quindi 3 = 1 . Ovviamente, poi, si può generalizzare al caso in cui la base della potenza è
un qualunque numero naturale (diverso da zero).
Consideriamo, adesso, la seguente divisione:
64 : 32 il cui risultato è 2; d’altra parte, poiché 64 = 26 e 32 = 25, la stessa divisione si può
scrivere come 2 6 : 2 5 e, applicando le proprietà delle potenze, si ottiene 2 6 : 2 5 = 21 .
26 : 25 = 64 : 32 = 2
 6 5
6−5
1
2 : 2 = 2 = 2
In definitiva
Come osservato in precedenza, il risultato di un’operazione non può dipendere dal modo con il
quale essa viene eseguita. Quindi 21 = 2 . Ovviamente, poi, si può generalizzare al caso in cui la
base della potenza è un qualunque numero naturale (diverso da zero).
Esempi
51 = 5
18 5 : 6 5 = (18 : 6 ) = 35
5 2 ⋅ 5 3 = 55
60 = 1
3 7 : 3 2 = 35
79 = 75 + 4 = 75 ⋅ 7 4
(4 )
116 = 119−3 = 119 : 113
3 2
5
= 46
3 4 ⋅ 5 4 = (3 ⋅ 5) = 15 4
4
( ) = (15 )
1512 = 15 4
3
3 4
PROVA TU
•
•
Applicando le proprietà delle potenze, calcola:
a) 2 3 ⋅ 2 4
e) 45 8 : 58
b) 15 8 : 15 5
f) 12 0
c) 27 3 ⋅ 27 4 ⋅ 27 2
g) 5 9 : 5 9
d) 8 5 ⋅ 35
h) 71
Applicando le proprietà delle potenze, completa:
a) 512 = 58 + ....... = 5....... ⋅ 5.........
d) 7 5 = (21 : 3)
b) 38 = 3...... − ...... = 310 : 3.........
e) 8........ = 83 + ....... = 8........ ⋅ 82
c) 18 3 = (9 ⋅ ......) = 9 ....... ⋅ .....3
f) 9 5 = (36 : ......) = 36 ....... : ................
3
......
= 21...... : 3........
5
46
Numeri particolari : 0 , 1
Osserva i risultati delle seguenti operazioni:
5+0=5
0+8=8
84 + 0 = 84
107 + 0 = 107
6 ·1 = 6
1 · 56 = 56
48 ·1 = 48
1 · 258 = 258
Generalizzando si ha:
∀ a ∈ N :a + 0 = a = 0 + a
∀ b ∈ N0 :
b ·1 = b =1· b
Quindi, se ad un numero a aggiungiamo 0 otteniamo ancora a e se un numero b∈N0 viene
moltiplicato per 1 otteniamo ancora b.
Il numero 0 (per l’addizione) ed il numero 1 (per la moltiplicazione) si comportano nello stesso
modo: “non fanno cambiare il numero”.
Ciascuno dei due numeri prende il nome di elemento neutro :
0 è l’elemento neutro per l’addizione
1 è l’elemento neutro per la moltiplicazione
2.3 Divisibilità e numeri primi
Parlando della divisione fra due numeri naturali, abbiamo visto cosa significa che un numero
naturale a è divisibile per un numero naturale b.
Senza eseguire la divisione, esistono dei criteri per stabilire se un numero a è divisibile per un
numero b, per particolari valori di b.
Li elenchiamo di seguito:
o Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari (0, 2, 4, 6, 8).
o Un numero è divisibile per 3 se lo è la somma delle sue cifre.
o Un numero (di almeno tre cifre) è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle sue due
ultime cifre a destra oppure se termina con due zeri.
o Un numero è divisibile per 5 se termina con 5 o con 0.
o Un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre.
o Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e la
somma delle cifre di posto dispari è 0 oppure è un multiplo di 11.
47
o Un numero (di almeno tre cifre) è divisibile per 25 se lo è il numero formato dalle ultime sue
due cifre oppure se termina con due zeri.
o Un numero è divisibile per 10 quando termina almeno con uno zero.
o Un numero è divisibile per 100 quando termina almeno con due zeri.
o Un numero è divisibile per 1000 quando …………………………….
Scomposizione in fattori primi
Un numero naturale maggiore di 1 si dice primo se ha come divisori soltanto se stesso e
l’unità (0 e 1 non sono numeri primi).
Due numeri naturali si dicono primi fra loro (o coprimi) se hanno come divisore comune
soltanto l’unità.
Euclide ha dimostrato che i numeri primi sono infiniti. I numeri primi minori di 100 sono i seguenti:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17, 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47, 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 89; 97
Curiosità
Due numeri primi consecutivi per i quali la differenza è 2 si chiamano numeri primi gemelli. Ad
esempio sono numeri primi gemelli 3 e 5; 11 e 13.
Ogni numero non primo può essere scritto come prodotto di più numeri primi. Il procedimento che
consente di scrivere un numero come prodotto di numeri primi si chiama scomposizione in fattori
primi o fattorizzazione. Si ha, per esempio:
Il fattore 2 si ripete 3 volte ed il fattore 3 si ripete due volte, quindi
72 = 23 · 32
La scomposizione in fattori primi di ciascun numero naturale maggiore di 1 è unica, a meno
dell’ordine.
Massimo Comun Divisore e minimo comune multiplo
Consideriamo due numeri naturali, per esempio 45 e 75. Determiniamo tutti i loro divisori.
I divisori di 45 sono: 1, 3, 5, 9, 15, 45
I divisori di 75 sono: 1, 3, 5, 15, 25, 75
Come puoi notare i numeri 1, 3, 5, 15 sono divisori di entrambi; il più grande dei divisori comuni,
cioè 15, è chiamato Massimo Comun Divisore fra 45 e 75 e si indica M.C.D.(45, 75) = 15.
48
Per determinare il MCD fra due o più numeri non è necessario, tuttavia, determinare tutti i divisori
dei numeri dati e poi scegliere il maggiore fra quelli comuni; esiste, infatti, il seguente “algoritmo”
che ne consente la determinazione:
si scompongono i numeri dati in fattori primi;
si moltiplicano fra loro i fattori comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente con
cui compaiono nelle singole scomposizioni.
Esempio
MCD(144, 24, 84)
144 = 24 · 32
24 = 23 · 3
84 = 22 · 3 · 7
quindi
MCD (144, 24, 84) = 22 · 3 = 12
Consideriamo, adesso i numeri 18 e 24. Determiniamo i loro multipli (diversi da zero: sono
infiniti!).
I multipli di 18 sono: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, ……..
I multipli di 24 sono: 24, 48, 72, 96, 12, 144, 168, 192, 216, 240, 264, …….
Come puoi osservare vi sono multipli comuni dei due numeri (72, 144, 216,…); il più piccolo dei
multipli comuni, cioè 72, è chiamato
minimo
comune multiplo fra 18 e 24 e si indica:
m.c.m.(18, 24) = 72.
Per determinare il mcm fra due o più numeri non è necessario trovare i multipli comuni e, poi,
scegliere il minore; esiste, così come per il MCD, il seguente “algoritmo” che ne consente la
determinazione:
si scompongono i numeri dati in fattori primi;
si moltiplicano fra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo
esponente con cui compaiono nelle singole scomposizioni.
Esempio
mcm (90, 24)
90 = 2 · 32 · 5
24 = 23 · 3
quindi
mcm (90, 24) = 23 · 32 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360
Esercizi svolti
Ecco alcuni esempi nei quali è necessario calcolare il MCD fra due numeri.
Applicando la proprietà distributiva, riscriviamo la somma 6 + 14 come prodotto fra un fattore
esterno ed una addizione fra due numeri in modo che gli addendi siano coprimi:
49
osserviamo che 6 = 2 · 3 e 14 = 2 · 7, quindi 6 + 14 = 2 · 3 + 2 · 7;
2 è un divisore sia di 6 che di 14, quindi 2 è un fattore comune ai due numeri; anzi 2 è il
Massimo Comun Divisore fra 6 e 14 [MCD (6, 14) = 2]; tale numero è il fattore esterno
cercato;
i termini della somma sono 3 e 7 che sono, rispettivamente, i quozienti fra 6 e 2 (6 : 2 = 3)
e fra 14 e 2 (14 : 2 = 7).
Si ottiene, allora, la seguente uguaglianza:
6 + 14 = 2 · 3 + 2 · 7 = 2 · (3 + 7)
Proviamo ancora.
Vogliamo scrivere la sottrazione 30 – 12 come prodotto fra un fattore esterno ed una sottrazione fra
due numeri che siano coprimi.
Poiché i termini della sottrazione non devono avere fattori in comune, il fattore esterno deve essere
non uno qualunque dei divisori comuni di 30 e 12, ma deve essere il Massimo Comun Divisore fra
30 e 12 [MCD (30, 12)].
Scomponiamo in fattori primi 30 e 12:
30 = 2 · 3 · 5
12 = 22 · 3
quindi MCD (30, 12) = 2 · 3 = 6
allora
30 – 12 = 6 · (5 – 2)
osserva che 5 = 30 : 6 e 2 = 12 : 6.
PROVA TU
Applicando la proprietà distributiva, riscrivi le seguenti operazioni come prodotto fra un fattore
esterno ed una addizione o sottrazione fra due numeri coprimi:
a) 84 + 90 = ………………………………………………
b) 75 – 45 = ………………………………………………
Espressioni in N
Un’espressione aritmetica è una sequenza di numeri legati tra loro da operazioni e in cui possono
presentarsi delle parentesi.
In generale, vi sono tre tipi di parentesi: tonde ( ), quadre [ ], graffe { }.
Negli ultimi tempi, con l’avvento di programmi di calcolo, si usano solo parentesi tonde.
Esempio
Sono espressioni aritmetiche:
18 + (8 – 3) · 2 ;
17 + 5 – 3 + 2 · 4 ;
[(5 + 3) : 4 + 12] · 4 + 3
50
Semplificare un’espressione vuol dire eseguire le operazioni e determinare il suo valore.
Per semplificare un’espressione è necessario osservare alcune regole:
se non sono presenti parentesi si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni
nell’ordine in cui si presentano e, successivamente, le addizioni e le sottrazioni sempre
nell’ordine.
se nell’espressione sono presenti delle parentesi, si eseguono prima le operazioni in esse
racchiuse tenendo conto delle seguenti priorità:
prima si risolvono le operazioni indicate nelle parentesi tonde, poi quelle indicate nelle
parentesi quadre ed infine quelle indicate nelle parentesi graffe, oppure si eseguono prima le
operazioni indicate nelle parentesi più interne.
Per eseguire le operazioni all’interno delle parentesi si seguono le regole esposte al punto
precedente.
Esempi
♦ Semplificare la seguente espressione:
17 + 5 – 3 + 2 · 4 = (si esegue prima la moltiplicazione) =
= 17 + 5 – 3 + 8 = (si eseguono addizioni e sottrazioni nell’ordine) =
= 22 – 3 + 8 = 19 + 8 = 27
♦ Semplificare la seguente espressione:
[(5 + 3) : 4 + 12] · 4 + 3 = (si esegue l’operazione indicata nelle parentesi tonde) =
= [8 : 4 + 12] · 4 + 3 = (si esegue la divisione all’interno delle parentesi quadre) =
= [2 + 12] · 4 + 3 = (si esegue l’operazione indicata nelle parentesi quadre) =
= 14 · 4 + 3 = (si esegue la moltiplicazione) =
= 56 + 3 = 59
♦ Semplificare la seguente espressione:
2 · {7 + [(16 – 8) · (12 + 3) + 42] – 10} =
= 2 · {7 + [8 · 15 + 16] – 10} =
= 2 · {7 + [120 + 16] – 10} =
= 2 · {7 + 136 – 10} = 2 · {143 – 10} = 2 · 133 = 266
PROVA TU
Semplifica le seguenti espressioni:
a)
(2 ⋅ 3 + 5) : (6 + 5) − (9 − 4 ⋅ 2)
b) [8 – (18 – 15 : 5 ⋅ 4)] ⋅ 3 – [(12 – 8) ⋅ 2 – 7] ⋅ 5
c) 23 ⋅ 2 – [32 – (72 – 7) : 7 – 50 +2] + {[(22 ⋅ 32 +13) : 7] : 7} ⋅ 23
51
Osservazione
Il sistema di numerazione (insieme dei simboli e delle regole per rappresentare i numeri) che noi
usiamo è decimale, perché usiamo dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (detti cifre), ed è un
sistema posizionale, perché il valore di ciascuna cifra dipende dalla posizione che occupa
all’interno del numero.
Consideriamo i numeri 12 e 21; per scriverli usiamo le stese cifre (2 e 1) che, però, occupano
posizioni diverse. Nel numero 12 , la cifra 1 rappresenta la decina, quindi vale 1 · 10 = 10, la cifra 2
rappresenta le unità ed il suo valore è 2; nel numero 21, la cifra 2 rappresenta il numero delle
decine, cioè vale 2 · 10 = 20, la cifra 1 rappresenta le unità ed il suo valore è proprio 1.
I numeri naturali si possono scrivere come una somma i cui termini sono prodotti fra una potenza di
dieci e una cifra opportuna (scrittura polinomiale):
• 745 = 7 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100
• 12654 = 1 · 104 + 2 · 103 + 6 · 102 + 5 · 101 + 4 · 100
PROVA TU
Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri naturali:
567;
7456;
23;
15892
2.4 Considerazioni sui numeri naturali
0 0 0 0 0 0 0 0
Per avere una maggiore consapevolezza di come funziona il
sistema di numerazione decimale consideriamo un contachilometri formato da otto ingranaggi: su
ogni ingranaggio sono disposte tutte le cifre a nostra disposizione, naturalmente sistemate in ordine
crescente (nel nostro caso da 0 a 9).
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 2
…………
0 0 0 0 0 0 0 9
Stabiliamo che sia sempre l’ultimo ingranaggio a dover
ruotare
autonomamente:
così
sul
contachilometri
si
visualizzerà prima 1, poi 2, in ordine crescente, fino ad
arrivare a 9, senza che gli altri ingranaggi possano subire
variazioni. Arrivati a 9, l’ultimo ingranaggio non ha altri
simboli a disposizione e, quindi, deve ricominciare da 0.
0 0 0 0 0 0 1 0
A questo punto, però, il penultimo ingranaggio fa uno scatto
in avanti e diventa 1: questo succede perché il nostro
sistema di numerazione ha base 10.
52
0 0 0 0 0 0 1 1
…………
0 0 0 0 0 0 1 9
0 0 0 0 0 0 2 0
L’ultimo ingranaggio continua a girare autonomamente e
così arriverà 1, 2 e così fino a 9, senza che l’ingranaggio
precedente possa ruotare.
Terminate le cifre a disposizione, si deve ricominciare da 0,
ma questo fa ruotare l’ingranaggio che precede, per cui si
visualizza la cifra 2. E così via, fino ad arrivare a 99.
0 0 0 0 0 0 9 9
0 0 0 0 0 1 0 0
E’ sempre l’ultimo ingranaggio a girare autonomamente e,
non avendo altri simboli a disposizione, ricomincia da 0 ed
avvisa l’ingranaggio precedente che deve ruotare.
Ma anch’esso si trova alla fine dei simboli a disposizione e, dovendo ricominciare da 0, avvisa
l’ingranaggio che lo precede (il terzultimo) che deve ruotare portandosi sulla cifra 1.
0 0 0 0
0 0 0 0
…………
0 0 0 1
…………
0 0 1 0
0 9 9 9
1 0 0 0
Si continua fino a 999 e, con lo stesso meccanismo di prima,
il numero successivo diventa 1000 e poi 10000, 100000,
ecc., senza alcun limite al numero degli ingranaggi, cioè al
0 0 0 0
0 0 0 0
numero delle cifre che compongono il numero che vogliamo
scrivere. Il numero è costruito a partire dall’ultima cifra,
anche se noi siamo abituati a leggere e scrivere il numero da
sinistra verso destra.
Naturalmente gli zeri iniziali non hanno valore e quindi non si scrivono e non si leggono.
Per una più comoda lettura dei numeri grandi ogni 3 cifre, a partire dalla destra, possiamo mettere un
puntino che, prima dell’avvento del calcolo elettronico, si poneva manualmente in alto; avendo
difficoltà a posizionarlo in alto con la tastiera del computer, ora il puntino si può posizionare in basso,
cioè 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, ecc.
104
103
102
101
100
L’ultima cifra (4) del numero 53174 è chiamata unità; la penultima
5
3
1
7
4
cifra rappresenta quanti giri completi ha effettuato l’ultimo
ingranaggio ed è chiamata decina (il suo valore = 7 10); la
terzultima cifra rappresenta quanti giri completi ha effettuato il
4
510 =
3
50.000 +
310 =
3.000 +
1102 =
100 +
7101 =
70 +
Per comodità di calcolo scriviamo sopra ogni cifra la potenza del 10
4=
per cui deve essere moltiplicata: 100, 101, 102, 103, ecc., cioè, andando
0
410 =
53.174
53
penultimo ingranaggio ed è chiamata centinaia (10 10 = 100 = 1 102), e così via per le migliaia, decine di migliaia, centinaia di
migliaia, ecc.
da destra verso sinistra, la base elevata a 0, 1, 2, 3 e così via.
I numeri naturali si possono scrivere in forma polinomiale, come una somma i cui termini sono i
prodotti tra le cifre che compongono il numero e le corrispondenti potenze del dieci.
Esempi
• 53.174 = 5104 + 3103+ 1102 + 7101+ 4100
• 745 = 7102 + 4101 + 5100
Questo procedimento sarà molto utile quando si dovrà trasformare un numero scritto utilizzando un
sistema di numerazione in base n nello stesso numero scritto nel sistema di numerazione decimale.
ATTENZIONE
I simboli che utilizziamo nell’attuale sistema di numerazione decimale per indicare tutte le cifre
hanno avuto nella loro storia una continua e profonda evoluzione.
Gli Indù (India), a partire dal I secolo d.C., usarono inizialmente solo 9 cifre (da 1 a 9) ed i simboli
utilizzati erano molto diversi da quelli attuali. Verso il IV secolo d.C. introdussero un simbolo per
indicare il nulla, lo zero; ma solo a partire dal VII secolo d.C. il sistema di numerazione è diventato
decimale con l’inserimento del simbolo 0 nel set completo dei numeri.
L’evoluzione della forma delle cifre è stata continua nel tempo: prima per il contributo degli Arabi
che li hanno utilizzati per primi dopo gli Indù, per arrivare agli Europei nel Medio Evo
attraversando la Spagna, fino ad assumere la loro forma attuale solo intorno agli inizi del XVI
secolo d.C., come riportato in fonti ufficiali dell’epoca.
PROVA TU
Inventa dieci simboli diversi: il primo simbolo chiamalo ZERO, il secondo UNO, il terzo DUE, e
così via fino all’ultimo che chiamerai NOVE; comincia a contare come sai, scrivendo però i tuoi
simboli e non quelli attualmente in uso. Non cambia assolutamente la modalità di scrivere i numeri,
ma i simboli che li rappresentano graficamente saranno completamente diversi.
In conclusione possiamo dire che un sistema di numerazione è un insieme di simboli e di regole
che servono per contare.
Proviamo ora ad evidenziare le regole che unitamente ai dieci simboli in uso costituiscono il
sistema di numerazione decimale:
• si utilizzano dieci simboli indipendenti uno dall’altro e sistemati rigorosamente in ordine
crescente: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;
• il successivo di un numero naturale si ottiene facendo aumentare di uno l’ultima cifra,
lasciando inalterate tutte le cifre che precedono; solo nel caso in cui l’ultima cifra è pari a 9
54
(ultima cifra a disposizione) nel numero successivo l’ultima cifra diventa 0 (si riparte
dall’inizio) e la cifra precedente aumenta di 1.
Osserviamo che:
se un numero è formato solo da cifre pari a 9 il successivo sarà sempre costituito da un 1
seguito da tanti 0 quanti erano i 9 (dopo 99 troviamo 100, dopo 999 troviamo 1000 ecc.);
una cifra assume un valore diverso in funzione del posto che occupa: se il 5 occupa l’ultimo
posto vale cinque, se occupa il penultimo posto vale cinquanta, se occupa il terzultimo posto
vale cinquecento, e così via; per questo motivo si dice che il sistema di numerazione
decimale è un sistema di numerazione posizionale.
CENNI STORICI
Tra tutti i sistemi di numerazione utilizzati nel tempo dai vari popoli, e di cui sia rimasta traccia,
solo tre sono posizionali:
1) La numerazione babilonese (all’inizio del secondo millennio a.C.) ha come base 60 e per
contare fino a 60 utilizza solo due simboli:
−
▼ che vale 1 e si può ripetere 9 volte, disposti al massimo su tre righe;
−
che vale 10 e si può ripetere solo 5 volte, disposto al massimo su due righe;
−
lo zero è indicato con il simbolo ′ (60 si scrive ▼ ′ );
−
tra una cifra e l’altra si lascia uno spazio per indicare che si passa ad un altro livello.
La procedura per scrivere il numero in forma polinomiale è la seguente:
si divide il numero assegnato per la base 60: il resto costituisce l’ultima cifra ed il
quoziente, se minore di 60, costituisce la penultima cifra;
se invece il quoziente è maggiore o uguale a 60 si divide ancora per 60: il resto costituisce
la penultima cifra ed il quoziente, se minore di 60, costituisce la terzultima cifra;
se invece il quoziente è maggiore o uguale a 60 si divide ancora per 60: il resto costituisce
la terzultima cifra ed il quoziente, se minore di 60, costituisce la quartultima cifra;
e cosi via, fino a quando si ottiene un quoziente minore della base 60, che costituirà
l’ultima cifra (la prima a partire da sinistra).
Esempi
• 57 =
55
▼▼▼
▼▼▼
▼
•
124 60
120
→ 124 = 260 + 4 =
2
aa
4
•
5706 60
5700
6
95
→ 5706 = 1602 + 3560 + 6
60
=
60 1
35
2)
▼▼
▼▼
▼▼
=
▼
▼▼▼
▼▼
▼▼▼
▼▼▼
La numerazione cinese (I secolo a.C.) alternava due gruppi formati da 9 simboli ciascuna, uno
per le cifre di posto dispari, a partire da destra, e l’altro per le cifre di posto pari:
per le unità (ultima cifra), le centinaia (terzultima cifra), le decine di migliaia
(quintultima cifra), ecc., utilizzava i seguenti simboli:
per le decine (penultima cifra), le migliaia (quartultima cifra), centinaia di migliaia
(sestultima cifra), ecc., utilizzava i seguenti simboli:
per scrivere numeri contenenti lo zero, per esempio 2061, poiché non avevano un
simbolo che valesse 0, tra le cifre 2 e 6 lasciavano uno spazio maggiore.
Esempi
•
271 =
• 4.868 =
• 72.201 =
56
Questo modo di scrivere i numeri portava spesso ad una grandissima confusione;
successivamente, per eliminare questo problema i numeri maggiori di 99 sono stati scritti
introducendo ideogrammi particolari per indicare le potenze del 10 (100, 1000, 10000, ecc.),
preceduti dai simboli da 1 a 9 che li moltiplicavano, facendo diventare addizionale il vecchio
sistema di numerazione cinese.
3)
La numerazione maya (dal V al IX secolo d.C.) si scriveva dal basso verso l’alto ed aveva
come base 20; per scrivere i numeri fino a 20 utilizzava solo tre simboli:
a) •
(chicco di grano) che vale 1 e si può ripetere al massimo 4 volte;
b)
(bastone o baccello di fagiolo) che vale 5 e si può ripetere al massimo 3 volte;
c)
(conchiglia) per indicare lo zero.
Per ottenere il valore complessivo del numero bisogna addizionare al valore dell’ultima cifra
il valore della penultima cifra moltiplicata per la base 20, il valore della terzultima cifra
moltiplicata per 400 (=202) e così via.
La procedura per scrivere il numero in forma polinomiale è la stessa utilizzata per la
numerazione babilonese, ricordando che la base è uguale a 20.
Esempi
→
124 = 620 + 4
•
124 20
••••
120 6
4
400 = 1202 + 020 + 0
→
•
400 20
400
20 20
0
20 1
0
16.228 = 2203 + 0202 + 1120 + 8
→
••
16228 20
16220
8
57
811 20
800
40 20
11
40 2
•
•••
Tutti i resti e l’ultimo quoziente delle divisioni continue sono scritti in grassetto per rendere più
semplice e immediata la scrittura del numero naturale in forma polinomiale: il primo resto nella
divisione continua rappresenta, come si verifica in ogni sistema di numerazione posizionale,
l’ultima cifra, che nella numerazione maya si scrive in basso; il secondo resto rappresenta la
seconda cifra andando verso l’alto, da moltiplicare per 20 (abbiamo eseguito una sola volta la
divisione per la base); il terzo resto rappresenta la terza cifra da moltiplicare per 202 (abbiamo
eseguito due volte la divisione per la base); e cosi via fino al’ultimo quoziente da moltiplicare
per una potenza della base con esponente sempre crescente e che rappresenta l’ultima cifra in
alto nella numerazione maya.
Da notare, infine, come l’uso di un simbolo per indicare lo ZERO renda il sistema di
numerazione maya molto simile al sistema di numerazione decimale.
Riflettiamo
Il sistema di numerazione decimale offre dei notevoli vantaggi rispetto ai sistemi di
numerazione posizionali ora esposti per due motivi: usa una base 10 e le cifre utilizzate sono
tutte indipendenti una dall’altra, il che ha reso molto più semplici e veloci i calcoli ed ha
permesso la sua completa diffusione essendo i numeri più usati in tutto il mondo.
Tutti gli altri sistemi di numerazione sono di tipo additivo, cioè il valore del numero è dato dalla
somma di tutti i valori scritti:
→ Gli Egiziani usavano diversi geroglifici per indicare 1, 10, e tutte le potenze del 10 fino ad
un milione, e che potevano ripetere al massimo 9 volte; le cifre potevano essere disposte
sia in orizzontale (in ordine crescente da sinistra a destra) sia in verticale (in ordine
crescente dal basso verso l’alto).
→ I Greci utilizzavano come cifre le 27 lettere dell’alfabeto arcaico (le lettere indicate con *
sono sparite nell’alfabeto greco attuale): nove lettere per i numeri che vanno da 1 a 9;
altre nove lettere per i numeri che vanno da 10 a 90 e, infine, le ultime nove lettere per i
numeri che vanno da 100 a 900; non avevano alcun simbolo per indicare lo Zero.
1=α
2=β
3=γ
(alpha)
(beta)
(gamma)
10 = ι
20 = κ
30 = λ
(iota)
(kappa)
(lambda)
100 = ρ
200 = σ
300 = τ
(rho)
(sigma)
(tau)
4=δ
5=ε
6=ϛ
7=ζ
8=η
9=θ
(delta)
(epsilon)
(stigma) *
(zeta)
(eta)
(theta)
40 = µ
50 = ν
60 = ξ
70 = ο
80 = π
90 = ϛ
(mu)
(nu)
(xi)
(omicron)
(pi)
(koppa) *
400 = υ
500 = φ
600 = χ
700 = ψ
800 = ω
900 = ϛ
(ypsilon)
(phi)
(chi)
(psi)
(omega)
(sampi) *
58
Questi simboli non potevano essere ripetuti, si scrivevano da sinistra verso destra in ordine
decrescente; sommando il loro valore si poteva contare tranquillamente fino a 999.
Per scrivere numeri da 1000 a 9999 anteponevano ad una delle cifre della prima colonna
un apostrofo ( ’ ) che moltiplicava per 1000 il simbolo che seguiva.
Per ottenere numeri sempre più grandi utilizzavano il simbolo M che valeva 10.000; si poteva
ottenere un suo multiplo qualunque posizionando su M il numero che doveva essere
moltiplicato per 10.000.
Esempi
’β = 1000 · 2
=
2000;
’γφ = 1000·3 + 500
πδ
=
3500;
πδ
M = 10.000 · 84 = 840.000;
M’γφ = 10.000·84+1000·3+500 = 843.500.
→ Il sistema di numerazione romano, che ha subito modifiche essenziali nel tempo, alla fine
della sua evoluzione (Medioevo) utilizzava 7 simboli:
I = 1;
V = 5;
X = 10;
L = 50;
C = 100;
D = 500;
M= 1000.
Le regole utilizzate per scrivere i numeri romani sono:
I simboli I, X, C e M si possono ripetere al massimo 3 volte, mentre V, L e D non
si possono ripetere;
le cifre si scrivono in ordine decrescente, dal più grande al più piccolo da sinistra
verso destra: essendo un sistema di numerazione di tipo addizionale tutti questi
valori devono essere sommati;
se invece le cifre I, X e C precedono un’altra cifra che vale di più, devono essere
sottratte dalla cifra che segue:
IV =
5 −1
=
4
IX = 10 − 1
=
9
IL = 50 − 1
=
49
IC = 100 − 1 = 99
ID = 500 – 1 = 499
IM = 1000 − 1 =
999
XL = 50 −10 = 40
XC = 100 − 90 = 90
XD = 500 − 10 =
490
XM = 1000 −10 = 990
CD = 500−100 = 400
CM =1000 − 100 =
900
Con questi simboli i numeri si possono scrivere fino a 3999; per scrivere numeri più grandi i
romani utilizzavano altri simboli aggiuntivi: una lettera sopra segnata moltiplicava il suo
valore originario per mille, una lettera sopra segnata due volte moltiplicava il suo valore per
un milione.
59
= 5.000;
= 500.000;
= 10.000;
= 1.000.000;
= 50.000;
= 100.000;
= 1.000.000.000
I numeri romani sono ancora utilizzati per indicare i numeri ordinali (primo, secondo, ecc.),
per indicare i capitoli di un libro, individuare una sequenza (XII secolo d.C.; Papa Paolo VI,
Papa Benedetto XVI), indicare la data di costruzione di edifici importanti (MXMLXXVI) o
sul portale delle chiese (MCCXLIII), ecc.
2.5 Il sistema di numerazione binario
Il sistema di numerazione binario merita una particolare attenzione, perché è quello utilizzato nel
calcolo numerico elettronico. Il computer non riesce a distinguere 10 simboli diversi come numeri,
ma ha solo una possibilità di scelta: VERO o FALSO, ON o OFF (in qualche elettrodomestico e in
parecchi interruttori di macchinari ci sono due simboli per indicare se il collegamento è chiuso o
aperto : O e │).
Il sistema di numerazione binario utilizza proprio questi due simboli:
O (cerchietto) che vale 0 e │ (barretta) che vale 1.
Per i due simboli del sistema binario spesso sono utilizzate le cifre 0 (zero) e 1 (uno), ma questo
provoca una gran confusione perché i numeri scritti nel sistema binario si possono leggere nello
stesso modo di quelli scritti nel sistema decimale (10 nel sistema binario non può essere letto dieci).
Il sistema di numerazione binario ha come base 2 ed è del tipo posizionale, come il sistema di
numerazione decimale, del quale ha le stesse regole, anche se la lettura non è altrettanto semplice ed
immediata:
a ruotare autonomamente è sempre l’ultimo ingranaggio;
nella rotazione da O a │ gli ingranaggi precedenti restano fermi;
│ è l’ultima cifra a disposizione (svolge la stessa funzione del 9 nel sistema di numerazione
decimale) e per il numero successivo l’ultimo ingranaggio torna indietro e riparte da O, con
la conseguente rotazione dell’ingranaggio precedente, che da O si porta su │.
Proviamo a contare, utilizzando anche per il sistema binario lo stesso schema del contachilometri.
60
O 0
Partiamo con 5 ingranaggi su cui sono posizionati solo i due simboli
│
1
utilizzati; per un controllo più immediato eliminiamo tutti i cerchietti
│
O 2
iniziali, perché altrimenti i numeri sarebbero difficilmente identificabili.
│
│
L’ultima cifra diventa alternativamente cerchietto e barretta e si
3
│
O O 4
│
O
│
│
possono notare le seguenti caratteristiche:
− se il numero termina con un cerchietto è pari, se termina con una
│
5
│
O
6
− tutti i numeri uguali ad una potenza del 2 si scrivono con una
│
│
7
barretta seguita da un numero di cerchietti pari all’esponente:
│
O O O 8
│
O O
│
O
│
O
│
barretta è dispari;
2 = 21 → │ O
; 4 = 22 → │OO ; 8 = 23
→ │OOO
9
L’uso di due soli simboli comporta una scrittura del numero 8 con
│
O 10
quattro cifre, per cui risulterebbe poco pratico per noi utilizzare
│
│
questo sistema di numerazione per scrivere numeri molto grandi.
11
PROVA TU
Continua a scrivere da solo in sequenza i numeri controllando che:
a numeri pari corrispondano sempre numeri che terminano col cerchietto;
ad ogni numero pari ad una potenza di 2 (2n) corrispondano sempre numeri formati da una
barretta e da n cerchietti:
24 = 16 → │OOOO; 25 = 32 → │OOOOO; 26 = 64 → │OOOOOO.
Per la trasformazione di un numero qualsiasi dal sistema decimale a quello binario basta ricavare la
forma polinomiale del numero dato, ricordando che la base è 2.
Esempi
• 95 = │O│││││
61
95
94
1
2
47
46
1
2
23
22
1
2
11
10
1
2
5
4
1
2
2
2
0
2
1
• 150 = │OO│O││O
150
150
0
• 237 = │││O││O│
237
236
1
2
75
74
1
2
118
118
0
2
37
36
1
2
18
18
0
2
59
58
1
2
9
8
1
2
29
28
1
2
14
14
0
2
4
4
0
2
7
6
1
2
2
2
0
2
3
2
1
2
1
2
1
Il numero scritto nel sistema binario lo puoi ricavare facendo corrispondere all’ultimo
quoziente della divisione continua la prima cifra del numero (da sinistra verso destra),
all’ultimo resto la seconda cifra, al penultimo resto la terza cifra e così via.
PROVA TU
Trasforma i seguenti numeri dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione
binario, utilizzando il metodo della divisione continua per la base 2:
• 66;
240;
385;
144;
2068.
Per la trasformazione di un numero qualsiasi dal sistema binario a quello decimale bisogna attivare
la procedura adottata per scrivere un numero in forma polinomiale; sapendo che la base è 2,
vediamo a quale numero corrisponde nel sistema decimale il seguente numero: │O││O││O│.
28
27
26
25
24
23
22
21
20
│
O
│
│
O
│
│
O
│
Per scrivere il numero in forma polinomiale dobbiamo sommare i prodotti tra le cifre che
compongono il numero e le potenze della base sovrastante; in corrispondenza di ogni cerchietto
(che vale 0) il prodotto è nullo per la legge di annullamento del prodotto e pertanto non dà alcun
contributo, mentre in corrispondenza di ogni barretta (che vale 1) il prodotto sarà esattamente
uguale al valore della potenza, per cui avremo:
128 + 027 + 126 + 125 + 024 + 123 + 122 + 021 + 120 = 256 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 365.
62
Per rendere i calcoli sempre più semplici, invece delle potenze della base potremmo scrivere
direttamente il loro valore, annullando quelli in corrispondenza dei cerchietti e cioè:
256 128
│
O
64
32
16
8
4
2
1
│
│
O
│
│
O
│
PROVA TU
Trasforma i seguenti numeri dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione
decimale:
• │ O │ O ││;
│
O O ││││;
│││
O O O │;
│ O │ O │ O │ O │; ││ O ││ O ││││.
ATTENZIONE
A questo punto dovresti essere abbastanza pratico per costruire un sistema di numerazione ternario
utilizzando come cifre tre figure geometriche:
= 1;
=2
 =3
Il sistema di numerazione geometrico è posizionale, ha base 3 e non ha lo Zero.
Completare la seguente tabella:
1=
2=
3=
4=
5=
6=
7=
8=
9=
63



10 =
=
11 =
=
12 =
=
13 =
=
14 =
=
15 =
=
16 =
=
17 =
=
18 =
=

 






55 =
99 =
100 =
75 =
72 =
123 =
415 =
365 =
222 =
Per completare la seconda colonna della tabella basta applicare il metodo del
contachilometri e contare in maniera progressiva.
Per completare la terza colonna della tabella si deve scrivere il numero in forma
polinomiale; come esempio, trasformiamo il primo numero della colonna:
27
9
3
1
 1
2
3
1
sopra ogni cifra scriviamo il valore assunto dalle potenze
della base con esponente crescente a partire da destra;
sotto ogni cifra scriviamo il proprio valore;
11 + 33 + 29 + 127 = 55
Per completare la quarta colonna della tabella si deve eseguire la divisione continua per la
base 3, facendo attenzione che si deve scrivere quando il resto è 1, quando il resto
è 2,  quando non c’è resto (numero divisibile per 3):
55 = 
?!?
3
55
54
18
3
1
18
6
↓
0
6
2
↓
0
↓

↓
3

Questa discordanza con la trasformazione di un numero dal sistema ternario al sistema
decimale è dovuta al fatto che il primo non ammette lo Zero al contrario del secondo; il cerchio
dovrebbe essere il corrispondente di 3, ma nella divisione sappiamo che il resto deve essere
sempre minore del divisore. Pertanto, la procedura per trasformare un numero dal sistema
ternario a quello decimale diventa la seguente:
55 = 
55
3
54
18
3
1
18
6 − 1 =
↓
0
3
1
↓
2
↓

↓
5
3
64
Quando il resto è 0 (numero divisibile per 3) si deve diminuire di 1 il quoziente
corrispondente e poi si può procedere nella divisione; se ciò avviene nell’ultima divisione
anche il quoziente finale diminuisce di 1: da 2 passa a 1 (→) e da 1 passa a 0 (in questo
caso all’ultimo quoziente non corrisponde alcun simbolo).
99 = 
99
3
99
33 - 1 = 32
0
30
10
↓
2
9
3

↓
1
3
↓
0
↓
3
3
3
1 - 1 = 0

Ora si può completare la tabella senza ulteriori intoppi.
PROVA TU
Adesso costruisci un sistema ternario con le stesse figure geometriche ma introducendo lo Zero:
il sistema ternario diventa di tipo posizionale, di base 3 e con una cifra di valore nullo.
 =0
=2
Assegna questi valori e completa la stessa tabella di prima e
con gli stessi numeri. Le assonanze che riscontrerai con i sistemi di numerazione decimale e
= 1;
binario ti faranno accorgere quanto sia importante l’inserimento dello Zero in un sistema di
numerazione. Buon divertimento!
2.6 L’insieme Z
Quanti sono i numeri naturali?
Sicuramente sono tanti e non si possono contare, solitamente si dice che sono ”infiniti”.
Eppure i numeri naturali non sono sufficienti a descrivere situazioni della realtà ed è, quindi,
necessario definire altri “numeri”.
65
Con un numero naturale possiamo indicare:
quante persone si trovano sulla metropolitana di Roma alle ore 13;
quante caramelle ci sono in un sacchetto;
quanti goal ha segnato Del Piero nel campionato 2008/2009;
quante stelle ci sono nella bandiera americana.
Esaminiamo la seguente situazione:
Roberta vuole comprare un i-pod nuovo, ma non ha il denaro sufficiente; Giuseppe le presta
200 € e dopo un settimana Roberta gli restituisce 80 €; qual è il debito di Roberta, e qual è il
credito di Giuseppe?
Il debito di Roberta e il credito di Giuseppe sono espressi dallo stesso numero (120 €), ma per
Giuseppe e Roberta la situazione è ben diversa: Roberta deve dare soldi a Giuseppe e Giuseppe
deve ricevere soldi da Roberta.
I numeri naturali non sono sufficienti a descrivere questa situazione, così come non sono sufficienti
per indicare la temperatura di località diverse del nostro pianeta : al Polo Nord la temperatura
potrebbe essere di 15° al di sotto dello zero, mentre in Italia potrebbe essere di 15° sopra lo zero.
Analizziamo, inoltre, i seguenti problemi:
1) Qual è quel numero che addizionato a 10 dà come somma 23 ?
2) Qual è quel numero che addizionato a 15 dà come somma 7 ?
Sicuramente sai risolvere rapidamente il problema al punto 1). Il numero che risolve il problema è il
numero 13 (perché 23 – 10 = 13) che è un numero naturale.
Prova a trovare la soluzione in N del problema al punto 2).
Dopo vari tentativi dovrai arrenderti e ammettere che il problema non ha soluzione in N. Dovresti
trovare il risultato di 7 – 15 !
Si rende, dunque, necessario ampliare l’insieme N ed introdurre un nuovo tipo di numero: il numero
preceduto dal segno “+” o dal segno “−”: questi nuovi numeri sono chiamati interi relativi o,
semplicemente, interi.
L’insieme degli interi relativi è indicato con Z, cioè:
Z = { ………, − 3, −2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3, ………}
Grazie a questo nuovo insieme, il numero che descrive il credito di Giuseppe è +120, quello che
descrive il debito di Roberta −120; la temperatura al Polo Nord è −15°, quella in Italia è +15°.
Il problema al punto 2) ha come soluzione il numero −8.
66
Osservazione
I segni “+” e “-” che precedono il numero intero non sono simboli di addizione e sottrazione, ma
sono strettamente legati al numero.
Definizioni
♦ I numeri preceduti dal segno “+” sono detti interi positivi.
♦ I numeri preceduti dal segno “−” sono detti interi negativi.
♦ Due numeri che hanno lo stesso segno si dicono concordi; due numeri che hanno segno
diverso si dicono discordi.
♦ Il numero 0 si scrive sempre senza segno.
Esempi
(− 7) e (− 12) sono concordi;
(+5) e (+14) sono concordi;
(− 89) e (+54) sono discordi;
(+45) e (− 21) sono discordi.
♦ Si chiama valore assoluto o modulo di un numero intero il numero stesso senza segno
(utilizzeremo indifferentemente e “volutamente” i due modi di dire).
Per indicare il valore assoluto di un numero si usa scrivere il numero fra due linee verticali.
Esempi
o per indicare il valore assoluto di – 3 si scrive − 3 ;
o per indicare il valore assoluto di +10 si scrive + 10 .
Valgono, secondo la definizione, le seguenti uguaglianze:
−5 = 5 ;
+ 24 = 24
♦ Due interi si dicono uguali se sono concordi ed hanno lo stesso modulo.
♦ Due interi si dicono opposti se sono discordi ed hanno lo stesso modulo.
Ad esempio: – 47 e + 47 sono due numeri interi opposti.
+
Il sottoinsieme di Z formato dagli interi positivi si indica con Z ; il sottoinsieme di Z
formato dagli interi negativi si indica con Z - .
Quindi:
Z = Z - ∪ {0} ∪ Z +.
ATTENZIONE
67
Il numero “− a” indica l’opposto di a e non è detto che sia un numero negativo
se a > 0, − a < 0
(non deve ingannare la presenza del segno “-”): 
se a < 0, − a > 0
Anche i numeri interi possono essere rappresentati su una retta orientata (cominciamo, così, ad
“arricchire” la nostra retta).
Dopo aver fissato, infatti, un punto sulla retta come origine di due semirette (al quale associare il
numero zero) e un segmento come unità, per rappresentare il numero +1 si riporta, a partire
dall’origine e nello stesso verso dell’orientamento della retta, una volta il segmento unità; per
rappresentare il numero +2 si riporta, a partire dall’origine e nello stesso verso dell’orientamento
della retta, due volte il segmento unità; per rappresentare il numero −1 si riporta, a partire
dall’origine e nel verso opposto all’orientamento della retta, il segmento unità; per rappresentare il
numero - 3 si riporta, a partire dall’origine e nel verso opposto all’orientamento della retta, tre volte
il segmento unità; e così via.
−5
−3
−1
0
+1
+2
+4
Osservazione
Un intero a è maggiore di un intero b (a > b) se a segue b nella successione degli interi (oppure
sulla retta).
Un criterio per confrontare due interi a e b è il seguente:
se a e b sono discordi, è maggiore il numero positivo;
se a e b sono positivi, è maggiore il numero che ha valore assoluto maggiore;
se a e b sono entrambi negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.
Esempi
Fra i numeri (+3) e (−1) è maggiore (+3) perché i due numeri sono discordi e (+3) è
positivo.
Fra i numeri (+7) e (+2) è maggiore (+7) perché i due numeri sono positivi e |+7| = 7 è
maggiore di |+2| = 2.
Fra i numeri (−5) e (−14) è maggiore (−5) perché i due numeri sono entrambi negativi e
|−5| = 5 è minore di |−14| = 14.
Ti potrai rendere conto, facilmente, di quanto affermato rappresentando i numeri sulla retta.
PROVA TU
68
o Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri interi:
+3;
−8;
0;
+1; −7;
−5;
+9
o Confronta i seguenti numeri interi:
(− 8) e (+ 5);
(+ 4) e (+ 3);
(− 6) e (−15)
2.7 Operazioni in Z
In Z l’operazione di addizione è così definita:
•
La somma di due numeri interi concordi è un numero intero, concorde con quelli dati,
avente per modulo la somma dei moduli dei numeri dati.
•
La somma di due numeri interi discordi è un numero intero che ha per segno il segno del
numero che ha modulo maggiore e per modulo la differenza fra i moduli dei due numeri
dati.
Esempi
(+ 53) + (+ 41) = + 94
(+ 25) + (−31) = - 6
(− 56) + (+ 84) = + 28
(−24) + (− 36) = − 60
In Z l’operazione di sottrazione è così definita:
•
La sottrazione fra due interi è definita come l’addizione fra il primo numero e l’opposto
del secondo.
Esempi
(+ 12) – (+ 5) = (+ 12) + (− 5) = + 7
(+ 15) – (+ 7) = (+ 15) + (− 7) = + 8
(− 23) – (+ 15) = (− 23) + (− 15) = − 38
(− 31) – (− 17) = (− 31) + (+17) = − 1
Dal momento che la sottrazione fra due interi è, comunque, un’addizione, non si fa più distinzione,
in Z, fra addizione e sottrazione ma si parla in generale di “somma algebrica”.
Per la moltiplicazione in Z vale la seguente regola:
Il prodotto di due numeri interi concordi è un numero intero positivo che ha per modulo il
prodotto dei moduli dei due fattori.
Il prodotto di due numeri interi discordi è un numero intero negativo che ha per modulo il
prodotto dei moduli dei due fattori.
In modo molto impreciso, ma efficace, possiamo schematizzare la regola della moltiplicazione
con la seguente tabella:
69
•
+
−
+
+
−
−
−
+
Esempi
(+ 12) · (+ 4) = + 48
(- 24) · (+ 3) = −72
(−18) · (− 9) = + 162
(+ 6) · (− 9) = − 54
il prodotto di più fattori uguali si chiama potenza.
Esempi
(+ 3) ⋅ (+ 3) ⋅ (+ 3) ⋅ (+ 3) = (+3) 4 = +81
(− 5) ⋅ (− 5) ⋅ (− 5) ⋅ (− 5) ⋅ (− 5) = (− 5)5 = −3125
(− 3)2 = (− 3) ⋅ (− 3) = +9
(+ 7 )3 = (+ 7 ) ⋅ (+7) ⋅ (+ 7 ) = +343
(− 2)5 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = −32
Osservando gli esempi precedenti, possiamo dedurre le seguenti regole:
La potenza di un intero positivo è sempre un intero positivo.
La potenza di un intero negativo è un numero positivo se l’esponente è pari.
La potenza di un intero negativo è un numero negativo se l’esponente è dispari.
E’ consuetudine per gli interi positivi “omettere” il segno + davanti al numero; per esempio per
indicare il numero intero +5 si scrive semplicemente 5, per indicare il numero +9 si scrive
semplicemente 9 e così via; in questo modo gli interi positivi possono essere “identificati” con i
numeri naturali e l’insieme Z è considerato un “ampliamento” dell’insieme N.
ATTENZIONE
Le potenze (− 2)4 e − 24 non sono uguali!
Infatti:
(− 2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = +16
− 24 = − (2 · 2 · 2 · 2) = −16
PROVA TU
70
(− 3)2 = ……………
(− 2)5 = ……………
(+4)3 = ……………
− 43 = ……………
(−5)2 = ……………
−52 = …………….
Per la divisione in Z vale la definizione data per la divisione in N: il quoziente q fra due interi m e s
è quel numero intero q (q = m : s) tale che m = q · s.
Esempi
a) (+ 15) : (− 3) = − 5
[perché
(− 5) · (− 3) = + 15]
b) (− 15) : (+ 3) = − 5
[perché
(− 5) · (+ 3) = − 15]
c) (− 36) : (− 9 ) = + 4
[perché
(+ 4) · (− 9) = − 36]
d) (+ 54) : (+ 6) = + 9
[perché
(+ 9) · (+6) = + 54]
e) (− 63) : (− 3) = + 21
[perché
(+ 21) · (−3) = − 63]
f) (+ 63) : (+ 3) = + 21
[perché
(+21) · (+3) = + 63]
Dagli esempi svolti puoi notare che per la divisione fra due interi vale la “regola dei segni” come
quella della moltiplicazione; possiamo, quindi, schematizzare la regola con la seguente tabella:
:
+
−
+
+
−
−
−
+
Facciamo alcune riflessioni sulle operazioni definite in Z, e poniamoci qualche domanda:
La somma (algebrica) di due qualsiasi numeri interi è ancora un numero intero?
Sì, la somma algebrica fra due qualsiasi interi è ancora un numero intero!
Il prodotto di due qualsiasi numeri interi è ancora un numero intero?
Sì, il prodotto fra due qualsiasi interi è ancora un numero intero!
La divisione fra due qualsiasi numeri interi è ancora un numero intero?
No, la divisione fra due qualsiasi interi non sempre è un numero intero.
Come abbiamo già osservato per le operazioni di addizione e moltiplicazione in N, possiamo
affermare che:
71
Le operazioni di somma (algebrica) e moltiplicazione sono
interne all’insieme Z, cioè Z è chiuso rispetto alle
operazioni di somma (algebrica) e di moltiplicazione.
L’operazione di divisione non è interna all’insieme Z, cioè Z
non è chiuso rispetto all’operazione di divisione.
Le proprietà della somma algebrica e della moltiplicazione in Z
Sia per l’operazione di somma algebrica che per quella di moltiplicazione valgono le seguenti
proprietà:
Proprietà associativa
La somma o il prodotto non cambiano se i numeri a, b, c vengono associati in maniera diversa.
In simboli
∀ a, b, c ∈ Z :
(a + b) + c = a + (b + c)
∀ a, b, c ∈ Z :
(a · b) · c = a · (b · c)
Proprietà commutativa
La somma di due numeri non cambia se si cambia l’ordine dei numeri; il prodotto di due numeri
non cambia se si cambia l’ordine dei fattori.
In simboli:
∀ a, b ∈ Z :
a+b =b+a
∀ a, b ∈ Z :
a·b = b·a
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica
∀ a, b, c ∈ Z :
a · (b + c) = a · b + a · c
oppure, in modo equivalente
∀ a, b, c ∈ Z :
a · b + a · c = a · ( b + c)
Esempi
•
(+5) · (+3 + (−
− 8)) = (+5) · (+3) + (+5) · (−
− 8)
infatti :
(+5) · (+3 + (−8)) = (+5) · (−5) = − 25
(+5) · (+3) + (+5) · (−8)= +15 + (− 40) = − 25
•
(+4 ) · (+9) – (+4) · (+11) = +4 · (+9 − (+11))
72
infatti
(+4) · (+9) – (+4) · (+11) = +36 – (+44) = −8
+4 · (+9 – (+11)) = +4 · (−2) = − 8
Anche in Z:
vale la legge di annullamento del prodotto, come nell’insieme dei numeri naturali.
Esempio
(− 5) ⋅ (+ 2) ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 0
Ancora sulla somma e moltiplicazione in Z
Poniamo ancora la nostra attenzione sui due “numeri particolari”: 0 e 1.
Adesso è facile rendersi conto che anche in Z il numero 0 è l’elemento neutro per la somma
algebrica e il numero 1 è l’elemento neutro per la moltiplicazione. Infatti:
o
(+ 3) + 0 = 0 + (+ 3) = +3 = 3
o
( −6 ) + 0 = 0 + ( −6 ) = − 6
o
(+ 14) ⋅ 1 = 1 ⋅ (+ 14) = +14 = 14
o
(− 7 ) ⋅ 1 = 1 ⋅ (− 7 ) = −7
In generale:
•
∀a ∈ Z : a + 0 = a = 0 + a
•
∀a ∈ Z : a ⋅ 1 = a = 1 ⋅ a
Osserva le seguenti operazioni:
(− 5) + (+ 5) = 0
(− 12) + (+ 12) = 0
(+ 3) + (−3) = 0
(+ 56) + (− 56) = 0
E’ facile generalizzare: la somma fra un numero intero ed il suo opposto è sempre uguale a zero.
Quindi:
per qualunque intero a esiste un intero a′ che sommato con a dà come risultato 0, cioè l’elemento
neutro per la somma algebrica.
In simboli possiamo scrivere così:
∀a ∈ Z, ∃ a '∈ Z / a + a ' = a ' + a = 0
dove il simbolo “∃” si legge “esiste almeno” ed è detto quantificatore esistenziale.
In generale, questo elemento a′ prende il nome di simmetrico di a.
Si può dimostrare che il simmetrico di un elemento è unico.
73
Il simmetrico di un numero intero rispetto all’operazione di somma algebrica è il suo opposto.
Diciamo, allora, che ogni elemento di Z è simmetrizzabile rispetto alla somma algebrica.
Il simmetrico (rispetto all’operazione di somma algebrica) di −3 è +3; il simmetrico (rispetto
all’operazione di somma algebrica) di + 15 è −15; il simmetrico (rispetto ….) di + 54 è - 54, ecc…
Per l’operazione di moltiplicazione esiste il simmetrico di un numero intero?
Per esempio, esiste in Z un numero che moltiplicato per −5 dà per risultato 1, cioè l’elemento neutro
per la moltiplicazione? Oppure, esiste in Z un numero che moltiplicato per +14 dà per risultato 1?
Se riflettiamo per qualche minuto, la risposta è NO! Non riusciamo a trovare in Z numeri che
soddisfano la condizione richiesta.
Ma, ricorda, che 0 e 1 sono numeri proprio particolari!
Riflettiamo ancora: esiste in Z un numero che moltiplicato per 1 dà come risultato 1?
Adesso la risposta è SI’. Il numero cercato è 1, perché 1·1 = 1.
Esiste in Z un numero che moltiplicato per −1 dà come risultato 1?
Anche questa volta la risposta è SI’. Il numero cercato è −1, perche (−1) · (−1) = 1
Possiamo affermare che qualunque numero intero, diverso da 1 e da −1, non ammette simmetrico
rispetto all’operazione di moltiplicazione e, quindi, si ha che:
non tutti gli elementi di Z sono simmetrizzabili.
Riguardo la somma algebrica e la moltiplicazione in Z possiamo, quindi, dire che:
L’operazione di somma algebrica, in Z, ammette elemento
neutro e ogni elemento di Z è simmetrizzabile.
L’operazione di moltiplicazione, in Z, ammette elemento neutro
ma non tutti gli elementi di Z sono simmetrizzabili.
Espressioni in Z
Un’espressione nella quale compaiono interi relativi è detta algebrica.
Per semplificare un’espressione algebrica si seguono le regole già viste per le espressioni
aritmetiche.
74
Dal momento che l’operazione di sottrazione in Z è un’addizione, un’espressione algebrica può
essere “liberata” dalle parentesi seguendo questa semplice regola:
se la parentesi è preceduta dal segno “ + ” , si tolgono parentesi e segno che la precede e si
scrivono i termini che vi sono racchiusi con gli stessi segni;
se la parentesi è preceduta dal segno “ − ”, si tolgono parentesi e segno che la precede e si
scrivono i termini che vi sono racchiusi con i segni opposti.
Esempi
•
– 8 + (+ 7 – 5 + 9) – (+ 3 + 5 – 8) =
(davanti alla prima parentesi tonda c’è il segno “+”, per cui possiamo togliere parentesi e
segno e scrivere i termini racchiusi nella parentesi con gli stessi segni )
= – 8 + 7 – 5 + 9 – (+ 3 + 5 – 8) =
(davanti alla parentesi c’è il segno “–”, togliamo parentesi e segno, trascrivendo tutti i
termini racchiusi in parentesi con il segno opposto)
=–8+7–5+9–3–5+8=3
Ovviamente, possiamo “liberare” dalle due parentesi in un unico passaggio.
•
12 · {2 + (12 – 4 + 6) + 3 · [15 – (23 + 4 – 2)] + 8} =
= 12 · {2 + 12 – 4 + 6 + 3 · [15 – 23 – 4 + 2] + 8} =
= 12 · {16 + 3 · (–10) + 8} =
= 12 · {16 – 30 + 8} =
= 12 · {– 6} = – 72
2.8 L’insieme Q
Nell’insieme Z l’operazione di divisione non è interna ed inoltre gli interi relativi non sono adatti a
rappresentare alcune situazioni della realtà.
Tre amici si vogliono dividere in parti uguali i 20 cioccolatini contenuti in una scatola; quanti
cioccolatini avrà ciascuno di essi?
Qual è quel numero che moltiplicato per 5 dà come prodotto 3?
Problemi come questi non hanno soluzione nè in N nè in Z. E’ necessario ampliare l’insieme Z !
Nel primo problema devo trovare il risultato di 20 : 3; il secondo problema si riconduce a trovare il
quoziente fra 3 e 5 ( ricorda la definizione di divisione).
75
Il
quoziente fra 20 e 3 si indica
20
3
, il quoziente fra 3 e 5 si indica .
3
5
In generale, se a e b (b ≠ 0) sono numeri naturali, il quoziente a : b si indica con
a
e si chiama
b
frazione; a è il numeratore e b il denominatore.
E’ chiaro, dagli esempi, che la linea “ _ ” che separa il numeratore a e il denominatore b ha il
significato di divisione.
Se il denominatore di una frazione è 1, la frazione rappresenta un numero intero:
∀ a ∈ N: a =
a
1
Ricorda:
Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore.
Una frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore del denominatore.
Una frazione si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore.
Una frazione propria è sempre minore di 1.
Una frazione impropria è sempre maggiore di 1.
Una frazione apparente è, in realtà, un numero intero.
Osserva la seguente figura:
il segmento AD, nel caso a), rappresenta i
2
del segmento AB,
3
il segmento AD, nel caso b), rappresenta i
4
del segmento AB.
6
In realtà, il segmento AD, nei due casi, ha la stessa lunghezza; quindi le due frazioni rappresentano
lo stesso numero.
Definizione
Due frazioni
a
c
e , (b ≠ 0, d ≠ 0) sono equivalenti se a · d = b · c
b d
Esempi:
o Le frazioni
3
9
e
sono equivalenti, infatti: 3 · 21 = 7 · 9 = 63
7
21
o Le frazioni
10
2
e
sono equivalenti, infatti: 2 · 15 = 3 · 10 = 30
15
3
76
La frazione
2
4
8
12
è equivalente a , ma anche a
ed anche a
, e potrei continuare a scrivere
3
6
12
18
frazioni equivalenti a
2
.
3
In realtà esistono infinite frazioni equivalenti ad una frazione data e tutte queste frazioni
rappresentano la stesso numero.
Allora, nell’insieme di tutte le possibili frazioni, posso costruire dei sottoinsiemi i cui elementi sono
tutte le frazioni equivalenti ad una data frazione; ciascuno di questi sottoinsiemi si chiama classe di
frazioni equivalenti.
Tali sottoinsiemi formano una partizione dell’insieme delle frazioni.
Definizione
Si chiama numero razionale assoluto ciascuna classe di frazioni equivalenti.
Per indicare una classe di frazioni equivalenti si scrive, racchiusa fra parentesi quadre, una delle
frazioni appartenente ad essa.
Così:
1
1
 4  è la classe di tutte le frazioni equivalenti a 4 ;
8
8 
 6  è la classe di tutte le frazioni equivalenti a 6 .
In generale, per indicare un numero razionale assoluto, è conveniente scegliere come
“rappresentante” quella frazione nella quale numeratore e denominatore sono coprimi e scriverlo
senza usare le parentesi quadre.
Esempi
2 2
 3  = 3
4 1
 8  = 2
18 
 6  = 3
L’insieme dei numeri razionali assoluti si indica con Qa.
Possiamo estendere il concetto di frazione al caso in cui a e b (b ≠ 0) siano numeri interi relativi.
Ricordando che il quoziente fra a e b è un numero positivo se a e b sono concordi ed è un numero
negativo se a e b sono discordi, esistono frazioni precedute dal segno “+” o dal segno “−” .
L’insieme Qa viene così ampliato, ottenendo l’insieme dei numeri razionali relativi (o
semplicemente insieme dei numeri razionali) indicato con Q.
Anche l’insieme Q può essere rappresentato su una retta orientata.
Si fissa su una retta orientata un punto origine al quale si associa il numero 0 e si sceglie un
segmento come unità al quale si associa il numero 1.
77
Per rappresentare un numero razionale positivo si divide l’unità in tante parti quante ne indica il
denominatore e, di queste parti, se ne riportano, nello stesso verso indicato dall’orientamento,
tante quante ne indica il numeratore.
Per rappresentare un numero razionale negativo si procede come nel caso dei numeri razionali
positivi, riportando le parti nel verso opposto a quello indicato dall’orientamento della retta.
Rappresentiamo i numeri +
−1
−
3
2
3
3
, − , +
3
4
2
0
+
4
2
1
3
+
3
−
11
.
5
2
PROVA TU
Rappresenta, su una retta orientata, i seguenti numeri razionali:
+
1
3
−
,
4
3
, +
5
8
−
,
3
7
,
Come per gli interi, chiamiamo valore assoluto o modulo di un numero razionale, il numero
razionale senza segno, cioè il numero razionale assoluto e possiamo, inoltre, “identificare” i numeri
razionali positivi con i numeri razionali assoluti.
 3 3
+  = ;
 5 5
 15  15
+  =
 7 7
Qualunque intero relativo è un numero razionale nel quale il denominatore è 1; in simboli:
∀a ∈ Z : a =
a
1
Se il numeratore è 0 e il denominatore è un numero diverso da zero, la frazione è
equivalente a zero; in simboli
∀b ∈ Z − {0} :
0
=0
b
Dalla definizione di frazioni equivalenti, segue la seguente proprietà:
Proprietà invariantiva
Se si moltiplica o si divide numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero
intero, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
In simboli:
a a⋅k
=
,
b b⋅k
(k ≠ 0)
78
oppure (se h è un divisore comune di a e b):
a a:h
=
,
b b:h
( h ≠ 0)
Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono
coprimi.
Usando la proprietà invariantiva, una frazione può essere ridotta ai minimi termini o, come si dice,
semplificata.
Per ridurre una frazione ai minimi termini, si determina il MCD fra numeratore e denominatore e,
successivamente, si dividono entrambi per il MCD trovato.
Esempio
La frazione
18
non è ridotta ai minimi termini. Infatti,
45
MCD(18, 45) = 9;
− dividiamo numeratore e denominatore per 9;
− otteniamo:
Le frazioni
18 : 9 2
= .
45 : 9 5
18
2
e
sono equivalenti e, quindi, rappresentano lo stesso numero.
45
5
Spesso, per semplificare una frazione, non si determina il MCD fra numeratore e denominatore, ma
si procede per “semplificazioni successive”, dividendo numeratore e denominatore per un divisore
comune e ripetendo la stessa operazione fino a quando numeratore e denominatore non siano
coprimi.
6
18
Nell’esempio della frazione precedente, poiché 18 e 45 sono entrambi divisibili per 3, si ha
45
2
15
6
18
2
= .
e ancora: 6 e 15 sono divisibili per 3, quindi:
45 15
5
5
La proprietà invariantiva si usa anche per ridurre frazioni allo stesso denominatore.
Esempio
Consideriamo le frazioni
5
7
e
; ci proponiamo di scrivere due frazioni equivalenti ad esse che
12 18
abbiano lo stesso denominatore.
Calcoliamo il mcm fra i denominatori: mcm (12,18) = 36.
Questo è il denominatore comune delle due frazioni.
COMPLETA, applicando la proprietà invariantiva:
79
5 .........
=
12
36
7 ........
=
.
18
36
Perché è necessario ridurre due o più frazioni allo steso denominatore ?
♦ Per confrontarle, cioè stabilire se sono equivalenti e, se non lo sono, quale è maggiore o minore;
♦ per poter calcolare la loro somma algebrica.
Confronto fra numeri razionali relativi
•
Consideriamo due numeri razionali positivi; se i due numeri hanno lo stesso denominatore
è maggiore il numero razionale che ha numeratore maggiore; se i due numeri hanno
denominatore diverso, prima si riducono allo stesso denominatore e poi si procede come
nel caso precedente.
•
Se i due numeri razionali sono negativi, così come per gli interi relativi, è maggiore quello
che ha valore assoluto minore. (Il confronto è, quindi, riconducibile a quello di due
numeri razionali assoluti).
•
Se i due numeri razionali sono discordi è maggiore il numero positivo.
Esempi
Nelle seguenti coppie di numeri razionali, individua il numero maggiore:
a)
4
9
e
13
13
b)
3
5
e
8
12
c) −
4
3
e +
9
8
d) −
6
8
e −
5
7
a) I due numeri razionali sono entrambi positivi ed hanno lo stesso denominatore:
9>4
quindi:
9
4
> .
13 13
b) I due numeri sono entrambi positivi, ma hanno denominatore diverso; li riduciamo, prima, allo
stesso denominatore e, successivamente, confrontiamo i numeratori:
mcm (8, 12) = 24 ⇒
3 3⋅3 9
=
=
,
8 8 ⋅ 3 24
allora:
⇒
10 > 9
5
5 ⋅ 2 10
=
=
;
12 12 ⋅ 2 24
5 3
> .
12 8
c) i due numeri razionali sono discordi, quindi: +
3
4
>− .
8
9
d) i due numeri sono entrambi negativi; dobbiamo confrontare i loro valori assoluti, cioè
riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore:
6
8
e
;
5
7
6
42
8
40
=
e
=
;
5
35
7
35
80
confrontiamo i numeratori: 42 > 40 ⇒
42
40
6
8
>
⇒
>
;
35
35
5
7
è maggiore il numero razionale con valore assoluto minore, quindi −
8
6
>− .
7
5
PROVA TU
Confronta le seguenti frazioni:
a) −
6
4
e −
9
6
c) +
13
19
e +
12
21
b) +
7
3
e +
21
8
d) −
4
5
e +
2
3
Assegnati due numeri razionali, è possibile, qualche volta, trovare “scorciatoie” per stabilire quale
dei due è maggiore?
Se sei un abile osservatore, risponderai SI’.
Considera i numeri razionali alla lettera d):
se hai ben compreso il significato di frazione propria ed impropria, ti sarai accorto che
frazione impropria (quindi è > 1),
13
è una
12
19
è una frazione propria (quindi è < 1). E’ facile, quindi, senza
21
ridurre i numeri razionali allo stesso denominatore, stabilire quale di essi è il maggiore: “è più
grande” il numero maggiore di 1 quindi
13
.
12
PROVA TU
Confronta i seguenti numeri razionali:
−
5
6
e −
7
4
; +
27
38
e +
45
43
Frazioni e numeri decimali
Ricorda
♦ Un numero decimale si dice limitato se il numero di cifre dopo la virgola è finito.
♦ Un numero decimale si dice illimitato se il numero di cifre dopo la virgola non è finito.
♦ I numeri decimali illimitati si dividono, a loro volta, in due gruppi:
numeri decimali illimitati “periodici” e numeri decimali illimitati “aperiodici”.
81
♦ I numeri periodici (cioè quei numeri che, dopo la virgola, presentano un gruppo di cifre che
si ripete e che viene detto periodo) si dividono in numeri periodici “semplici” e numeri
periodici “misti”.
(Un numero è periodico semplice quando il gruppo di cifre che si ripete inizia subito dopo la
virgola; un numero è periodico misto quando il gruppo di cifre che si ripete non inizia subito
dopo la virgola e, in questo caso, il gruppo di cifre che precede il periodo è chiamato
antiperiodo).
Una qualsiasi frazione dà origine ad un numero decimale limitato oppure ad un numero
decimale illimitato periodico.
Anticipiamo che i numeri decimali illimitati “aperiodici” sono chiamati numeri irrazionali.
Consideriamo alcune frazioni e determiniamo, eseguendo la divisione fra numeratore e
denominatore, il numero decimale corrispondente:
4
= 0,571428571428571428......= 0, 571428
7
13
= 1,44444.... = 1, 4
9
9
= 0,45
20
5
= 0,1923076923076………. = 0,1923076
26
5
= 0,833333........ = 0,83
6
7
= 0,466666........ = 0,46
15
7
= 1,75
4
6
= 0,24
25
In quali casi il quoziente è un numero decimale limitato?
In quali casi il quoziente è un numero decimale periodico?
In quali casi il quoziente è un numero periodico semplice?
In quali casi il numero è un numero periodico misto?
Fra le frazioni considerate, ne esiste una che origina un numero decimale illimitato aperiodico?
Per rispondere a queste domande dobbiamo fissare la nostra attenzione sui denominatori delle
frazioni.
Negli esempi esaminati abbiamo ottenuto:
♦ un numero decimale limitato con i denominatori 25, 20, 4 (cioè con numeri che, scomposti
in fattori primi, contengono solo potenze di 2 e/o potenze di 5);
♦ un numero decimale illimitato periodico con i denominatori 15, 26, 6, 7, 9 [cioè con
numeri che, scomposti in fattori primi, contengono solo potenze di numeri primi diversi da
82
2 e/o da 5 (in tal caso si ottengono numeri periodici semplici) o con numeri che, scomposti
in fattori primi, contengono, oltre a potenze di 2 e/o di 5, anche potenze di altri numeri
primi (in tal caso si ottengono numeri periodici misti)].
Generalizzando, si ha la seguente proprietà:
una frazione che ha per denominatore un numero nella cui scomposizione in fattori primi
compaiono solo potenze di 2 e/o potenze di 5 dà origine ad un numero decimale limitato
(perché moltiplicando per una opportuna potenza di 2 e/o di 5, sia il numeratore che il
denominatore, posso ottenere al denominatore una potenza di 10).
Una frazione che ha per denominatore un numero nella cui scomposizione in fattori primi non
compaiono potenze di 2 e/o di 5 dà origine ad un numero decimale periodico semplice.
Una frazione che ha per denominatore un numero nella cui scomposizione in fattori primi, oltre
a potenze di 2 e/o di 5, compaiono potenze di altri numeri primi dà origine ad un numero
decimale periodico misto.
Nessuna delle frazioni considerate ha generato un numero decimale illimitato aperiodico.
Da frazione decimale a numero decimale
Esempi
•
3
3
= 2 = (se moltiplico numeratore e denominatore per 5 ottengo al denominatore
20 2 ⋅ 5
100 = 102) =
•
8
= (se moltiplico numeratore e denominatore per 2, il denominatore diventa 10) =
5
=
•
3⋅5
15
=
= 0,15
2
2
100
2 ⋅5
8 ⋅ 2 16
=
= 1,6
5 ⋅ 2 10
7
7
= 2 = (se moltiplico numeratore e denominatore per 22, il denominatore diventa
25 5
100=102) =
7 ⋅ 22
7⋅4
28
= 0,28
=
=
2
2
100 100
5 ⋅2
PROVA TU
13
= ..........
10
Da numero decimale limitato a frazione
83
56
= ..........
25
15
= ..........
50
Viceversa, ogni numero decimale limitato può essere trasformato in una frazione che ha al
numeratore il numero senza la virgola e al denominatore una potenza di 10 avente per esponente il
numero delle cifre decimali.
Esempi
• 45,36 è uguale ad una frazione che ha al numeratore 4536 e, poichè le cifre dopo la virgola
sono 2, al denominatore 102; per cui:
45,36 =
4536 4536 1144
=
=
.
100
25
10 2
• 0,523 è uguale ad una frazione che ha al numeratore 523 e, poichè ci sono 3 cifre dopo la
virgola, al denominatore 103; per cui:
0,523 =
523 523
=
.
10 3 1000
PROVA TU
0,23 = …………
12,2 = ……………
4,125 = …………
Da numero periodico semplice a frazione
Un numero periodico semplice è uguale ad una frazione che ha per numeratore la differenza fra il
numero senza la virgola e la sua parte intera, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del
periodo.
♦ Trasformiamo in frazione il numero 2, 6
Il numero senza la virgola è 26 e la sua parte intera è 2; il periodo è formato da una sola
cifra; quindi:
2, 6 =
26 − 2
24
8
= .
=
9
9
3
♦ Trasformiamo in frazione il numero 1, 23
Il numero senza la virgola è 123 e la sua parte intera è 1; il periodo è formato da due cifre;
quindi:
1, 23 =
123 − 1 122
=
.
99
99
Da numero periodico misto a frazione
Un numero periodico misto è uguale ad una frazione che ha al numeratore la differenza fra il
numero senza la virgola e la “parte” che precede il periodo (compresa la parte intera) e al
denominatore il numero formato da tanti 9 per quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri
per quante sono le cifre dell’antiperiodo.
♦ Trasformiamo il numero 1,23
84
Il numero senza la virgola è 123; la “parte” che precede il periodo è 12; periodo e
antiperiodo sono formati, entrambi, da una sola cifra; seguendo la regola esposta in
precedenza si ha : 1,23 =
123 − 12 111 37
=
.
=
90
90
30
♦ Trasformiamo il numero 21,54132
Il numero senza la virgola è 2154132; la “parte” che precede il periodo è 2154; il numero di
cifre dell’antiperiodo è due; il numero di cifre del periodo è tre; seguendo la regola esposta
in precedenza si ha :
21,54132 =
2154132 − 2154
2151978
717326
=
=
.
99900
99900
33300
Tentiamo, con alcuni esempi, di giustificare la regola esposta in precedenza.
Sia n = 2, 6
Moltiplicando ambo i membri per 10, otteniamo:10 n = 26, 6
Eseguiamo la seguente sottrazione: 10 n – n
10 n – n = 26,66666666666… - 2,666666666666… (le cifre decimali sono uguali).
Mettiamo in colonna:
26,66666666666...... −
2,66666666666...... =
24,00000000000
Quindi 10 n – n = 26 - 2 = 24.
Ma 10 n – n = ( per la proprietà distributiva) = (10 - 1) n = 9 n,
per cui: 9 n = 24 ⇒ n =
24
8
; riducendo ai minimi termini si ottiene n = .
3
9
In definitiva:
2, 6 =
24 8
=
9 3
Sia n = 1,23
Moltiplicando ambo i membri prima per 10 e poi per 100, otteniamo:
10 n = 12, 3 e 100 n = 123, 3
Eseguiamo la seguente sottrazione: 100 n – 10 n
85
100 n – 10 n = 123,3333333……. – 12,3333333…….
Mettiamo in colonna:
123,333333............ −
12,333333............ =
111,000000000000
Quindi, 100 n – 10 n = 111
Ma 100 n – 10 n = (per la proprietà distributiva) = (100 – 10) n = 90 n
per cui: 90 n = 111 ⇒ n =
111
37
; riducendo ai minimi termini, si ottiene n =
.
90
30
In definitiva:
1,23 =
111 37
=
90 30
Se il numero decimale è preceduto dal segno “−”, basta, ovviamente, trasformare in frazione il suo
valore assoluto e lasciare lo stesso segno:
− 1,23 = −
37
30
− 1,2 = −
,
12
6
=−
10
5
PROVA TU
12, 4 = .........
1,56 = .............
234, 65 = ..........
5,3421
2.9 Operazioni in Qa
Somma e differenza
La somma o la differenza di due frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che ha
per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore, rispettivamente, la somma o la
differenza dei numeratori.
In simboli:
a c a+c
+ =
b b
b
,
a c a−c
− =
b b
b
3 1 3 +1 4
=
+ =
5 5
5
5
,
9 4 9−4 5
= .
− =
7 7
7
7
Esempi
Se le frazioni hanno denominatore diverso, per calcolare la loro somma o differenza, si riducono
le frazioni allo stesso denominatore e ci ritroviamo, così, nel caso precedente.
86
o Calcoliamo la somma:
2 5
+ ;
3 7
riduciamo allo stesso denominatore le due frazioni:
mcm (3, 7) = 21, quindi
2
14
= (per la proprietà invariantiva) =
3
21
5
15
= (per la proprietà invariantiva) =
;
7
21
allora:
2 5 14 15
+ =
+
3 7 21 21
Le due frazioni hanno, ora, lo stesso denominatore; basta, quindi, sommare i numeratori:
2 5 14 15 14 + 15 29
=
+ =
+
=
3 7 21 21
21
21
o Calcoliamo la differenza:
8 1
− ;
5 2
riduciamo allo stesso denominatore le due frazioni:
mcm(2, 5) = 10, quindi
8
16
= (per la proprietà invariantiva) =
;
5
10
1
5
= (per la proprietà invariantiva) =
;
2
10
allora:
8 1 16 5
− =
− .
5 2 10 10
Le due frazioni hanno ora lo stesso denominatore; basta, quindi, sottrarre i numeratori:
8 1 16 5 16 − 5 11
− =
−
=
=
5 2 10 10
10
10
Moltiplicazione in Qa
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per
denominatore il prodotto dei denominatori. In simboli:
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
o Il prodotto fra
87
5 4
e é:
9 7
5 4 5 ⋅ 4 20
=
⋅ =
.
9 7 9 ⋅ 7 63
o Il prodotto fra
6
14
e
è:
35
9
6 14 6 ⋅ 14 84
⋅ =
=
.
35 9 35 ⋅ 9 315
In questo caso, il risultato della moltiplicazione è una frazione riducibile [MCD(84, 315) = 21];
quindi, applicando la proprietà invariantiva:
6 14 6 ⋅ 14 84
84 : 21
4
⋅ =
=
=
=
35 9 35 ⋅ 9 315 315 : 21 15
Avremmo ottenuto lo stesso risultato se avessimo “semplificato” le frazioni prima di eseguire la
moltiplicazione, con quella operazione che viene chiamata “semplificazione a croce”.
♦ Nella moltiplicazione di due frazioni, se il numeratore di una frazione e il denominatore
dell’altra hanno divisori in comune, possiamo dividerli per il loro MCD e, successivamente,
eseguire la moltiplicazione.
Calcoliamo lo stesso prodotto:
6 14
⋅
35 9
Osserviamo che:
− MCD(6, 9) = 3 (il numeratore di
−
6
14
e il denominatore di
sono entrambi divisibili per 3);
35
9
6
14
e il numeratore di
sono entrambi divisibili per 7).
35
9
2
2
6
14
2⋅2 4
⋅
=
Procedendo nelle divisioni descritte, otteniamo:
=
35
9
5 ⋅ 3 15
3
5
MCD(35,14) = 7 (il denominatore di
E’ sempre opportuno, prima di eseguire una moltiplicazione, semplificare per due motivi:
♦ si eseguono moltiplicazioni fra numeri “più piccoli”;
♦ il prodotto delle due frazioni (dopo la semplificazione) è una frazione irriducibile.
Quoziente in Qa
Definizione
Si chiama reciproco di un numero razionale quel numero razionale che si ottiene da quello dato
scambiando fra loro numeratore e denominatore.
88
Esempi
o il reciproco di
7 2
è ;
2 7
o il reciproco di 3 è
1
;
3
o Il reciproco di 1 è 1.
• Esiste il reciproco di “0” ?
Ricorda che 0 =
0
∀a ≠ 0 ; il suo reciproco avrebbe per denominatore 0 e questo non è
a
possibile.
Il reciproco di 0 non esiste
Anche in Qa, come in N e in Z, si definisce quoziente di due numeri razionali assoluti quel numero
razionale assoluto che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo.
Come già sai, per calcolare il quoziente fra due frazioni, si calcola il prodotto fra il dividendo ed il
reciproco del divisore:
15 9 15 8
5 8 5 ⋅ 8 40
: = ⋅ = (dopo aver semplificato) = ⋅ =
=
.
7 8 7 9
7 3 7 ⋅ 3 21
Infatti:
40 9
5 3 5 ⋅ 3 15
⋅ = (dopo aver semplificato) = ⋅ =
= .
21 8
7 1 7 ⋅1 7
Per le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione definite in Qa, valgono le
proprietà già viste per le operazioni definite in N e in Z.
2.10 Operazioni in Q
Le operazioni definite in Qa si estendono al caso di numeri razionali relativi.
Per eseguire le operazioni fra numeri razionali relativi si seguono i procedimenti già visti per gli
interi relativi.
Potenza di un numero razionale
Se in un prodotto ci sono n fattori uguali il prodotto è una potenza, in analogia con quanto detto per
i numeri interi.
89
4
2 2 2 2 24
2
Esempio:   = ⋅ ⋅ ⋅ = 4
3 3 3 3 3
3
n
In generale:
an
a
=
 
bn
b
Per le potenze in Q valgono le proprietà già viste per le potenze in Z.
Val la pena soffermarsi sulla seguente proprietà:
a p : a m = a p −m
Se l’esponente del dividendo è minore dell’esponente del divisore, otteniamo per quoziente una
potenza con esponente negativo.
Per esempio:
53 : 55 = 53−5 = 5−2 .
Con quale numero razionale possiamo identificarla?
Abbiamo detto che, in Q, l’operazione di divisione non è altro che la moltiplicazione fra il
dividendo ed il reciproco del divisore, per cui si ha:
53 : 55 =
53
5⋅5⋅5
(ricordando il significato di potenza) =
5
5⋅5⋅5⋅5⋅5
5
Ora, riduciamo l’ultima frazione ai minimi termini, otteniamo:
1 1
1
5⋅5⋅5
=
5⋅5⋅5⋅5⋅5
2
1
1 1
= 2 =  .
5⋅5 5
5
1 1 1
5 3 : 5 5 = 5 −2

2
In definitiva:  3 5 5 3
1 12  1 
5 : 5 = 5 = 2 = 2 =  
5
5
5
5

Come ben sai, il risultato di una stessa operazione è unico, quindi:
5
Osserva che
−2
1 1
= 2 = 
5
5
2
1
è il reciproco di 5.
5
90
Ancora un esempio:
2
5
2 2
2
  :  =  
3 3
3
2 −5
2
= 
3
−3
D’altra parte, per definizione di divisione si ha:
2
2
2 2
 ⋅ 
 
2
5
3
2 2
3 3

=
= dopo aver semplificato
  :  =
5
2
2
2
2
2










3 3
2
 
 ⋅ ⋅  ⋅ ⋅ 
 
3 3 3 3 3
3
(
()
)
3
1
1
1
=
=
=
 2   2   2   2 3
 ⋅ ⋅   
3 3 3 3
2
3
3
 3
3
= 1 ⋅  =  
 2
2
3
In definitiva:
2
5
−3
2 2
2 
  :  =   
−3
3
3 3
3  2
3
⇒  = 
2
5
3 
2
2 2
3  3
  :  =   
3 3
2 
Osserva che
3
2
è il reciproco di .
2
3
Generalizziamo:
Una potenza con esponente negativo è equivalente ad una potenza che ha come base il reciproco
della base e come esponente il valore assoluto dell’esponente.
In simboli:
∀a ∈ Q − {0} ∧ ∀p ∈ N : a
−p
1 1
= p = 
a
a
p
Esempi
o
91

+

2

3
−3

= +

3

2
3
o
 5
− 
 7
−2
 7
= − 
 5
2
o
 4
− 
 9
−5
 9
= − 
 4
5
(+ 2)
o
−4
 1
= + 
 2
4
Dal momento che una uguaglianza è vera anche se la leggo “da destra verso sinistra”, si ha che:
se
 4
− 
 9
−5
 9
= − 
 4
5
5
 9
 4
−  = − 
 4
 9
allora
−5
Possiamo, allora, generalizzare:
1
∀a ∈ Q − {0} ∧ ∀p ∈ Z : a =  
a
−p
p
Esercizi svolti
Applicando le proprietà delle potenze, semplifichiamo le seguenti espressioni:
2
3
8
5
8
2
4
6
−2
−3
o
 3  3  3
 3  3
 3
−  ⋅−  : −  = −  : −  = − 
 4  4  4
 4  4
 4
o
 1  1  1
 1  1
 1
+  : +  ⋅+  = +  ⋅+  = +  .
 2  2  2
 2  2
 2
6
 4
= − 
 3
3
4
PROVA TU
Applicando le proprietà delle potenze, semplifica le seguenti espressioni, come negli esempi
precedenti:
 5
a)  + 
 9
−5
3
5
 4  4
= .................. ;  −  ⋅  −  = ............ ;
 7  7
5
8
2
4
6
12
7
13
 3  3
 +  :  +  = ............
 8  8
9
 2  2  2  2
b)  +  ⋅  +  ⋅  +  :  +  = ......................
 3  3  3  3
14
 5  5  5  5
c)  −  :  −  ⋅  −  :  −  = ...................
 2  2  2  2
Esercizi svolti
Giochiamo con le potenze!
3
a) Calcoliamo il prodotto:
 1
5
 +  ⋅ (+ 2 )
 2
Un osservatore molto superficiale direbbe che le due potenze hanno basi diverse per cui non
possono essere applicate le proprietà delle potenze. Invece…….sei un osservatore molto
92
acuto e ti accorgi che le basi delle due potenze sono “parenti molto stretti”: trascurando,
infatti, il segno “+”,
1
è il reciproco di 2 (potresti tranquillamente affermare il viceversa) e,
2
per quanto detto a proposito delle potenze con esponente negativo,
1
= 2 −1 . Sostituendo nel
2
prodotto, otteniamo:
[
3
 1
5
−1
 +  ⋅ (+ 2 ) = (+ 2 )
 2
]
3
⋅ (+ 2 ) = (applicando le proprietà viste) = (+ 2 ) ⋅ (+ 2 ) = (+ 2 )
−3
5
3
 2  2
−  ⋅+ 
 3  3
b) Calcoliamo il prodotto:
5
2
5
Anche in questo caso, in modo frettoloso, diresti che le due potenze hanno basi diverse.
Se osservi attentamente, le due basi, come nel caso precedente, sono “parenti molto stretti”:
si differenziano solo per il “segno”.
Fai molta attenzione alle seguenti considerazioni:
•
i numeri razionali positivi si scrivono senza segno (si identificano con il loro
modulo);
•
qualsiasi numero razionale negativo lo posso considerare come il prodotto fra −1 ed
il modulo del numero dato;
quindi −
2
2
= −1 ⋅ ;
3
3
sostituendo nel prodotto dato, si ha:
3
5
3
2  2
 2  2

 −  ⋅  +  =  − 1⋅  ⋅  + 
3  3
 3  3

5
e, applicando le proprietà delle potenze, otteniamo:
3
5
3
3
5
8
8
2
 2  2

2
2
2
3 2
 −  ⋅  +  =  − 1 ⋅  = (− 1) ⋅   ⋅   = −1 ⋅   = −  .
3
 3  3

3 3
3
3
3
 3  3
c) Calcoliamo il prodotto  +  ⋅  − 
 5  5
2
3
 3
Ricordando le considerazioni fatte nell’esercizio precedente, si ha  −  = −1 ⋅ .
5
 5
93
Sostituendo nel prodotto e applicando le proprietà delle potenze, si ottiene:
3
2
3
2
3
3
 3  3
3 
3
2 3
 +  ⋅  −  =   ⋅  − 1 ⋅  =   ⋅ (− 1) ⋅  
5
 5  5
5 
5
5
2
Applicando la proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione, si ha:
 3
+ 
 5
3
2
 3
3
⋅−  =  
 5
5
3
2
3
2
5
3

3
 3
3
2 3
⋅  − 1 ⋅  =   ⋅ (− 1) ⋅   = 1 ⋅   =  
5

5
5
5
5
5
Dagli esempi precedenti, deduciamo che:
una potenza con base negativa ed esponente dispari è equivalente all’opposto della potenza
avente per base il modulo della base e per esponente lo stesso esponente.
In altre parole, meno rigorose dal punto di vista formale, il segno “−” si porta fuori dalle
parentesi.
Una potenza che ha base negativa ed esponente pari è equivalente ad una potenza avente per
base il modulo della base e per esponente lo stesso esponente.
In altre parole, meno rigorose dal punto di vista formale, il segno “−” si elimina.
Esempi
5
o
 5
5
−  = − 
 7
7
5
6
 7
7
−  =  
4
 4
o
6
PROVA TU
Applicando le proprietà delle potenze, semplifica le seguenti espressioni:
2
7
5
6
 4  4
a)  +  ⋅  − 
 9  9
 3  3
b)  +  :  − 
 8  8
2
1
 1
6 
c)  −  ⋅ (+ 4 ) :  − 
 4
 4
d)
(+ 3)
−2
3
5
 1  1
⋅−  ⋅+ 
 3  3
−4
Giochiamo ancora con le potenze.
3
•
4
Riscriviamo la potenza   in modo che non vi compaia la linea di frazione.
7
Ricordando che la linea di frazione ha il significato di divisione e che la divisione fra due
numeri razionali si trasforma in moltiplicazione, si ha:
3
43
1
4
3
3
3
3 1
  = 3 = 4 : 7 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 
7
7
7
7
3
94
3
3
1
4
−3
Ma   = (7 ) , quindi si ha:   = 4 3 ⋅ 7 −3
7
7
−2
•
5
Riscriviamo la potenza   in modo che non vi compaia la linea di frazione.
3
Seguendo il procedimento indicato nell’esempio precedente, si ha:
5
 
3
−2
5 −2
1
1
= −2 = 5 − 2 : 3 − 2 = 5 −2 ⋅ − 2 = 5 − 2 ⋅  
3
3
3
−2
= 5 − 2 ⋅ 32
Ormai sei diventato un attento osservatore e non ti sarà certamente sfuggito che la potenza al
denominatore è “passata al numeratore” con esponente opposto.
2
•
 4 
−  ⋅+
 9 
Semplifichiamo la seguente espressione:
2
2
 2  2 
 4
4
Osserviamo che  −  =   =   
 9
9
 3  
3
 2  2 
3
 =   
2
 3  
2
 4 
−  ⋅+
 9 
•
3

2
3
2
−3
3
 3
2
e che  +  =   , quindi:
 2
3
2
2
⋅ 
3
−3
4
2 2
=   ⋅ 
3 3
−3
=
2
.
3
Dopo averle riscritte in modo che vi compaiano solo moltiplicazioni, semplifichiamo le
seguenti espressioni:
2
 1  3
a) 4 3 ⋅  −  :  + 
 4  2
3
Ricorda che:
o 4 = 22 ;
2
o
2
 1
1
−2
−  =   = 4 ;
 4
4
o la divisione si trasforma in moltiplicazione;
o il denominatore di una potenza “passa” al numeratore con esponente opposto.
Quindi, l’espressione data diventa :
2
3
( ) ⋅ (2 )
 1  3
43 ⋅  −  :  +  = 2 2
 4  2
95
3
2 −2
3
2
⋅   = 2 6 ⋅ 2 − 4 ⋅ 2 3 ⋅ 3 −3 = 2 5 ⋅ 3 −3
3
1
 
5
b)
3
 9
⋅− 
 10 
2
 4 
 
 27 
5
Ricorda che:
3
1
o   = 5 −3 ;
5
5
5
5
 9
9
−5
o  −  = −   = −9 5 ⋅ 10 −5 = −(3 2 ) ⋅ (2 ⋅ 5) = −310 ⋅ 2 −5 ⋅ 5 −5
 10 
 10 
2
2
−2
 4 
o   = 4 2 ⋅ 27 − 2 = (2 2 ) ⋅ (33 ) = 2 4 ⋅ 3 −6 ;
 27 
o Le potenze che si trovano al denominatore “passano” al numeratore con
esponente opposto.
Allora:
3
5
1  9 
  ⋅− 
−3
10
−5
−5
 5   10  = 5 ⋅ − 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = −5 −3 ⋅ 310 ⋅ 2 −5 ⋅ 5 −5 ⋅ 2 −4 ⋅ 3 6 .
2
2 4 ⋅ 3 −6
 4 
 
 27 
(
)
Applicando la proprietà commutativa e la proprietà associativa si ottiene:
3
5
1  9 
  ⋅− 
−3
10
−5
−5
 5   10  = 5 ⋅ − 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = −5 −3 ⋅ 310 ⋅ 2 −5 ⋅ 5 −5 ⋅ 2 −4 ⋅ 3 6 = −2 −9 ⋅ 316 ⋅ 5 −8 .
2
2 4 ⋅ 3 −6
 4 
 
 27 
(
4
c)
5
 6   4   25 
  : −  ⋅ 
5  3  4 
6
3
 8  5 
−
⋅

  
 9   24 
)
2
Sicuramente ora sei in grado di seguire “consapevolmente” la sequenza dei passaggi e, quindi, puoi
completare descrivendo le proprietà che di volta in volta sono state applicate.
96
4
5
2
 6   4   25 
  :  −  ⋅ 
 5   3   4  = .....................................................................................................................
6
3
 8  5 
 −  ⋅ 
 9   24 
=
 2⋅3 


 5 
4
2
5
 52 
⋅ 2 
 2  = ..................................................................................................................
6
3
 23   5 
 − 2  ⋅ 3 
 3   2 ⋅3 
 3
⋅ − 
 4
5
24 ⋅ 34  3  54
− 4 ⋅ 2  ⋅ 4
5
 2  2 = ........................................................................................................................
=
18
2
53
⋅
312 29 ⋅ 33
=
35 4 −4
⋅5 ⋅2
210
= ...............................................................................................................
218 ⋅ 3−12 ⋅ 53 ⋅ 2−9 ⋅ 3−3
−24 ⋅ 34 ⋅ 5−4 ⋅
= − (24 ⋅ 34 ⋅ 5−4 ⋅ 35 ⋅ 2−10 ⋅ 54 ⋅ 2−4 ) ⋅ (2−18 ⋅ 312 ⋅ 5−3 ⋅ 29 ⋅ 33 ) = .................................................................
= −2−19 ⋅ 324 ⋅ 5−3.
PROVA TU
Dopo averle riscritte in modo che vi sia solo l’operazione di moltiplicazione, semplifica le seguenti
espressioni:
a)
(− 2)5 :  − 1 
2
 2
−3
5
−6
2 2  5  4 
b)   ⋅   :  −  ⋅  − 
 5   5   2   25 
4
 5   10 
  : 
3
9
c)    5 
 4
− 
 15 
Applicazioni delle potenze
97
3
3
E’ evidente che l’utilizzo delle potenze permette di scrivere con pochi simboli numeri “molto
grandi” e “molto piccoli”.
In particolare risulta di grande utilità pratica l’uso delle potenze di 10.
Ricorda che una potenza di 10 è uguale al numero formato dall’unità seguita da tanti zeri quanto ne
indica l’esponente della potenza. Così 100 = 1; 101 = 10;
10 −1 =
Inoltre
1
= 0,1 ;
10
10 − 2 =
1
1
=
= 0,01 ;
2
100
10
102 = 100, 103 = 1000; ………….
10 −3 =
1
1
=
= 0,001 ; …………
3
1000
10
Osserva:
o
2350000 = 235 ⋅ 10000 = 235 ⋅ 104;
o
300000 = 3 ⋅ 105:
o
0,00000027 = 27 ⋅ 0,00000001 = 27 ⋅ 10−8.
Quando un numero è scritto usando le potenze di 10, si dice che è scritto in notazione
esponenziale.
Convenzionalmente, per facilitare ulteriormente calcoli e confronti, quando si scrivono i numeri in
notazione esponenziale, si lascia una sola cifra (diversa da zero) prima della virgola.
Così:
o 2350000 = 235 ⋅ 104 = 2,35 ⋅ 106
o 0,00000027 = 27 ⋅ 10-8 = 2,7 ⋅ 10-7
o 529 ⋅ 10−10 = 5,29 ⋅ 102 ⋅ 10−10 = 5,29 ⋅ 10−8
PROVA TU
Scrivi in notazione esponenziale i seguenti numeri:
a)
14600000 = …………….
b)
0,0000034 = …………….
c)
23,4 ⋅ 10−3 = …………….
d)
2347,21 ⋅104 = ……………
Esempi di operazioni con numeri in notazione esponenziale
a)
3,4 ⋅ 107 ⋅ 5,87 ⋅ 10-3 = (3,4 ⋅ 5,87) ⋅ (107 ⋅ 10-3) =
= 19,958 ⋅ 107+(-3) = 19,958 ⋅ 104 = 1,9958 ⋅ 105
98
3, 4 ⋅107
 3, 4  107
7 − ( −3)
= 0, 579 ⋅1010 = 5, 79 ⋅109
b) 5,87 ⋅10−3 =  5,87  ⋅ 10−3 = 0, 579 ⋅10


c)
79,4 ⋅ 10 6 = 8,91 ⋅ 103
7,94 ⋅ 10 7 = 79,4 ⋅ 10 6 =
PROVA TU
a) 25,3 ⋅ 10-3 ⋅ 1,5 ⋅ 107 = ………………
b)
2,45 ⋅ 10 6
= …………………….
3,27 ⋅ 10 −8
c)
5,36 ⋅ 10 5 = …………………….
Proprietà delle operazioni in Q
Per le operazioni in Q valgono le proprietà già viste per le operazioni in Z
Nell’insieme Q le operazioni di somma algebrica e di moltiplicazione sono operazioni interne;
infatti la somma algebrica di due qualsiasi numeri razionali è ancora un numero razionale e il
prodotto di due qualsiasi numeri razionali è ancora un numero razionale.
In simboli:
∀a, b ∈ Q : c = a + b ∈ Q
∀a, b ∈ Q : p = a ⋅ b ∈ Q
• Per la somma algebrica in Q esiste l’elemento neutro: il numero 0; infatti:
∀a ∈ Q, a + 0 = 0 + a = a
• Per la moltiplicazione in Q esiste l’elemento neutro: il numero 1; infatti:
∀a ∈ Q, a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
• Ogni numero razionale ammette simmetrico rispetto alla somma algebrica; tale elemento è
l’opposto; infatti
∀a ∈ Q, ∃ a '∈ Q / a + a ' = a '+ a = 0
Si può dimostrare che il simmetrico di un elemento è unico.
In Z non esiste il simmetrico di un numero rispetto alla moltiplicazione; e in Q ?
Ci chiediamo, cioè, se per qualunque numero razionale a esiste un altro numero razionale b tale che
a · b = b · a = 1.
99
Per esempio, consideriamo il numero −
2
2
; esiste un numero razionale che moltiplicato per − dà
5
5
come risultato 1?
Se rifletti, ti convincerai facilmente che questo numero esiste ed è quello che abbiamo chiamato
reciproco; infatti:
−
Il simmetrico di
2  5
5  2
⋅−  = − ⋅−  = 1
5  2
2  5
6
11
rispetto all’operazione di moltiplicazione è
.
11
6
Possiamo affermare che tutti i numeri razionali ammettono simmetrico rispetto alla
moltiplicazione (cioè sono tutti simmetrizzabili)?
Pensa al numero 0 (ancora lui)!
Se esistesse il simmetrico di 0 rispetto alla moltiplicazione, coerentemente con quanto detto prima,
dovrebbe essere il suo reciproco; allora si avrebbe un numero razionale con denominatore 0 e
questo è impossibile; oppure dovrebbe esistere un numero razionale a tale che a · 0 = 1!
La risposta alla domanda precedente è, quindi, NO!
E’ chiaro, allora, che non tutti gli elementi di Q sono simmetrizzabili.
Esiste un insieme numerico per il quale tutti gli elementi sono simmetrizzabili?
SI’! E’ l’insieme dei numeri razionali privato dello zero, quindi l’insieme Q − {0}.
In simboli:
∀a ∈ Q − {0} : ∃ a ' ∈ Q − {0} / a ⋅ a ' = a ' ⋅ a = 1
In generale:
• Il simmetrico di un numero razionale ( ≠ 0) rispetto alla moltiplicazione è il suo reciproco.
Si può dimostrare che tale simmetrico è unico.
Per le operazioni in Q possiamo dire che:
L’operazione di somma algebrica, in Q, ammette elemento neutro ed
ogni elemento è simmetrizzabile.
L’operazione di moltiplicazione, in Q, ammette elemento neutro, ma non
tutti gli elementi ammettono simmetrico.
100
In Q - {0}}, ogni elemento ammette simmetrico rispetto all’operazione di
moltiplicazione.
2.11 Gli insiemi N, Z, Q
Facciamo una rapida sintesi su quello che abbiamo visto a proposito degli insiemi numerici.
Abbiamo visto che, ampliando l’insieme N, si costruiscono gli altri insiemi numerici Z, Q.
Inoltre:
i numeri relativi positivi si possono “identificare” con i numeri naturali;
i numeri razionali con denominatore 1 si possono “identificare” con i numeri interi.
Possiamo, allora, dire che:
N è sottoinsieme di Z e che Z è sottoinsieme di Q.
In simboli:
N⊂Z⊂Q
Rappresentiamo queste relazioni con i diagrammi di Eulero – Venn:
APPROFONDIMENTO
Le operazioni definite in N, Z e Q associano, in modo univoco, a due numeri un altro numero e per
questo sono dette operazioni binarie.
In generale, un’operazione si dice binaria se a due elementi di un dato insieme associa un
elemento dello stesso insieme.
Inoltre, avrai sicuramente osservato che, talvolta, le operazioni definite in insiemi diversi hanno le
stesse proprietà.
Classifichiamo, allora, gli insiemi numerici in base alle proprietà delle operazioni che in essi sono
definite.
101
L’insieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione; si dice che:
(N, +) è una struttura algebrica;
(N, ⋅) è una struttura algebrica.
L’insieme Z è chiuso rispetto alle operazioni di somma algebrica e di moltiplicazione; quindi:
(Z, +) è una struttura algebrica;
(Z, ⋅) è una struttura algebrica.
L’insieme Q è chiuso rispetto alle operazioni di somma algebrica e di moltiplicazione; quindi:
(Q, +) è una struttura algebrica;
(Q, ⋅) è una struttura algebrica.
Per l’operazione di somma algebrica in Z ed in Q valgono anche altre proprietà:
l’operazione di somma algebrica è associativa;
l’operazione di somma algebrica ammette elemento neutro;
ogni elemento ammette il simmetrico (è, cioè, “simmetrizzabile”).
Allora, si dice che:
(Z, +) è un gruppo;
(Q, +) è un gruppo.
Inoltre, la somma algebrica è commutativa; si dice, allora, che:
(Z, +) è un gruppo abeliano;
(Q, +) è un gruppo abeliano.
L’operazione di moltiplicazione in Z, pur essendo associativa ed avendo elemento neutro, è tale che
ogni elemento di Z non è simmetrizzabile, quindi (Z, ⋅) non è un gruppo.
L’operazione di moltiplicazione in Q, pur essendo associativa ed avendo elemento neutro, è tale che
ogni elemento di Q non è simmetrizzabile (ricorda che esiste un numero razionale, lo zero, che
non ha simmetrico), quindi ( Q, ⋅) non è un gruppo.
102
Si ha, invece, che:
(Q − {0}}, ⋅) è un gruppo abeliano.
103
ESERCIZI CAPITOLO 2
GLI INSIEMI NUMERICI
Conoscenza e comprensione
1) Completa la seguente tabella, come nell’esempio della seconda riga:
Insieme
Simbolo
Numeri naturali
N
Numeri interi
……
………………………………
N0
Numeri razionali assoluti
……
Numeri interi negativi
……
………………………………
Z+
………………………………
Q
Numeri razionali positivi
……
Q−
………………………………
2) Dopo aver definito il successivo di un numero naturale, completa la seguente tabella come
nell’esempio:
n
antecedente successivo
3
2
4
…
15
…
0
…
…
21
…
…
…
32
…
…
…
32
44
…
…
…
…
101
…
0
…
104
3) Come puoi rappresentare i numeri naturali su una retta orientata?
4) Elenca le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione in N e fai un esempio per ciascuna di
esse.
5) Cosa vuol dire che un insieme è chiuso rispetto ad una operazione?
6) Rispetto a quali operazioni è chiuso l’insieme dei numeri naturali?
7) Quali operazioni non sono interne ad N ?
8) Perché il numero “0” è chiamato elemento neutro dell’addizione in N ?
9) Qual è l’elemento neutro della moltiplicazione in N ?
10) Che cosa si intende per “potenza” di un numero naturale?
11) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) 32 ⋅ 34 = 36
V
F
b) 53 + 56 = 59
V
F
c) 40 = 0
V
F
= 84
V
F
e) 79 − 73 = 76
V
F
f) 62 ⋅ 42 = 244
V
F
g) 125 : 45 = 35
V
F
h) 94 ⋅ 92 = 310
V
F
i) 183 : 23 = 36
V
F
d) 86 : 82
12) Che cos’è il massimo comun divisore fra due o più numeri naturali? Come si indica?
13) Che cos’è il minimo comune multiplo fra due o più numeri naturali? Come si indica?
14) Qual è il procedimento che ti consente di determinare il massimo comun divisore ed il minimo
comune multiplo fra due o più numeri naturali?
15) Perché è stato costruito l’insieme dei numeri interi (relativi)?
16) Quando due numeri interi sono concordi? E quando sono discordi?
17) Scrivi almeno tre coppie di interi concordi e tre coppie di interi discordi.
18) Come rappresenti i numeri interi su una retta orientata?
19) Che cosa si intende per valore assoluto o modulo di un numero intero?
20) Quando due interi si dicono opposti? Scrivi almeno tre coppie di numeri opposti.
105
21) Che cosa si intende per “somma algebrica” in Z ?
22) Quali operazioni sono interne a Z ? Quali non sono interne a Z ?
23) Quali operazioni, in Z, ammettono elemento neutro? Qual è l’elemento neutro per ciascuna di
esse?
24) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) La somma di due numeri concordi è sempre positiva.
V
F
b) La somma di due numeri discordi è sempre concorde con il primo numero.
V
F
c) La differenza fra due numeri discordi è sempre negativa .
V
F
d) Il prodotto di due numeri concordi è sempre positivo.
V
F
e) Il quoziente di due numeri discordi, se esiste, è negativo.
V
F
f) La somma di due numeri discordi ha per modulo la differenza dei moduli
V
F
dei due numeri.
25) Cosa significa che ogni elemento di Z è simmetrizzabile rispetto all’operazione di somma
algebrica?
26) Ogni elemento di Z è simmetrizzabile rispetto all’operazione di moltiplicazione?
27) Perché è stato necessario “costruire” l’insieme dei numeri razionali?
28) Quali delle seguenti affermazioni sono vere?
a) Una frazione si dice apparente soltanto se numeratore e denominatore sono uguali.
b) Una frazione si dice impropria soltanto se il denominatore è un multiplo del numeratore.
c) Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore è minore del denominatore.
d) Una frazione si dice impropria se il numeratore è un multiplo del denominatore.
e) Una frazione si dice apparente se il numeratore è un multiplo del denominatore.
f) Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore.
g) Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore sono
numeri primi.
h) Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono coprimi.
29) Due frazioni
s
k
e
sono equivalenti se:
p
m
a) s ⋅ k = p ⋅ m
b) k ⋅ p = m ⋅ s
c) s − m = k − p
d) s + k = p + m
30) Come definisci un numero razionale assoluto?
106
6
31) Qual è il significato della scrittura   ?
5
32) A quale classe appartiene la frazione
12
?
15
33) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
V
F
 8 10 
2 1 
b)  ,
 ⊂  ∩ 
12 20 
3 2
V
F
2 4
1
c)  ,  ⊂  
4 8 
2
V
F
 8 10 
2 1 
d)  ,
 ⊂  ∪ 
12 20 
3 2
V
F
 4  1
e)   ∈  
16   4 
V
F
f)
108 51
=
36
17
V
F
18
6
∈  
15
5
V
F
 45 
h) 1 ∈  
 45 
V
F
a)
g)
9
3
∈  
4
2
34) Come rappresenti i numeri razionali su una retta orientata?
35) È possibile stabilire, senza eseguire la divisione, se una frazione genera un numero decimale
finito o un numero periodico? Come procedi per stabilire se il numero è periodico semplice o
periodico misto?
36) Come operi per eseguire la somma fra due numeri razionali (distingui i due casi: i numeri hanno
lo stesso denominatore; i numeri hanno denominatore diverso)? E per eseguire la
moltiplicazione? E per eseguire la divisione?
37) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a)
2 1 3
+ =
3 2 5
V
F
b)
5 3
 10 
⋅ ∈  
9 4
 24 
V
F
c)
15 7 3
:
=
28 10 8
V
F
V
F
d) 2 +
4
6
∈  
5
5
38) Quali operazioni sono interne all’insieme Q ? E quali ammettono elemento neutro?
39) Ogni elemento di Q è simmetrizzabile rispetto alla somma algebrica? E rispetto alla
moltiplicazione?
40) Con quale numero razionale puoi identificare una potenza con esponente negativo?
107
41) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) 2−3 = −23
4
b)  
5
−2
52
= 2
4
7
 1
1
c)  −  = −  
 2
2
 3
d)  − 
 5
−4
2
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
7
5
= − 
3
4
5
 2  5
 2
e)  −  ⋅  −  =  − 
 5  2
 5
3
Esercizi
L’insieme N
42) A quali dei seguenti insiemi puoi associare il numero naturale “4”?
A = {x / x è una lettera della parola “collo”};
B = {x / x è una lettera della parola “colla”};
C = {x / x è una lettera della parola “Marta”};
D = {x / x è una lettera della parola “pollo”};
E = {x / x è una lettera della parola “parco”}.
43) Uno solo dei seguenti insiemi non definisce il numero naturale “5”; quale?
A = {x / x è una lettera della parola “roccia”};
B = {x / x è una lettera della parola “marina”};
C = {x / x è uno dei continenti della Terra};
D = {x / x è una lettera della parola “pareo”};
E = {x / x è una lettera della parola “calcio”}.
44) Individua tre insiemi che definiscono, rispettivamente, i numeri naturali 5, 9, 10.
45) Indica se, nell’insieme N, le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) 11 è il precedente di 10
V
F
b) 11 è il successivo di 10
V
F
c) 12 è il precedente di 14
V
F
d) 9 < 9
V
F
108
e) 2 ≠ 6
V
F
f) 302 è un numero dispari
V
F
g) 3024 è un numero pari
V
F
h) l’antecedente di un numero pari è dispari
V
F
i) 7 ≥ 7
V
F
l) 252 è divisibile per 3
V
F
46) Dire se ciascuna delle seguenti scritture è “corretta” o “non corretta”:
27 > 27
……………………………
27 = 27
……………………………
27 ≥ 27
……………………………
27 < 27
……………………………
27 ≤ 27
……………………………
47) Traduci le seguenti frasi nella simbologia matematica:
a) 10 è diverso da 21
………………………
b) 24 è minore di 27
………………………
c) 35 è maggiore di 31 ………………………
d) a è maggiore di b
………………………
e) a è maggiore o uguale a b
f)
x è uguale a 23
……………..
………………………
g) x è minore o uguale a 8 ………………………
h) a è maggiore di 2 e minore di 7 ………….……………………
i)
a è maggiore o uguale a b e minore di 10 ………………………
l)
a è maggiore di 8 e minore o uguale a 12 ………………………
m) a è maggiore o uguale a 20 e minore o uguale a 30 ………………………
n) a è diverso da b
………………………
Inserire al posto dei puntini uno dei simboli “<” (minore), “ >” (maggiore), così da ottenere
relazioni corrette.
48) 3 ….. 5
15 ….. 21
12 ….. 10
49) 7 ….. 0
34 ….. 72
15 ….. 12
50) 0 ….. 7
25 ….. 15
26 ….. 28
51) 19 ….. 41
43 ….. 97
137 ..... 130
109
52) 2 ….. 640
89 ….. 88
72 ..... 124
53) 625 ….. 619
71 ….. 59
184 ..... 183
54) 2720 ….. 294
536 ….. 29
444 ..... 356
55) n − 1 ….. n
n ….. n + 1
n + 3 ….. n + 2
56) 2n + 3 ….. 2
2n − 1 ….. 2n
n − 3 ….. n − 4
57) 2n + 6 ….. 5
n − 10 ….. n − 12
5 − 2n ….. 0
58) Disponi in ordine crescente i seguenti numeri:
23 , 5 , 9 , 72 , 624 , 103 , 11 , 499 , 71 .
59) Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri:
6 , 83 , 27 , 122 , 101 , 98 , 59 , 77 , 90 , 299 .
60) Scrivi il precedente ed il successivo di ognuno dei seguenti numeri naturali:
1 ; 7 ; 12 ; 152 ; 0 ; 3099 ; 99999 ; n ; n − 1 ; n + 2 .
61) Scrivi i numeri naturali n che soddisfano le seguenti relazioni:
a) n < 5
……………………….....
b) n ≤ 5
……………………….....
c) n > 5
……………………….....
d) n < 1
……………………….....
e) n ≤ 0
……………………….....
f)
……………………….....
5<n<6
g) 5 ≤ n < 11 ……………………….....
h) 5 < n ≤ 11 ……………………….....
i)
5 < n < 11 ……………………….....
l)
5 ≤ n ≤ 11 ……………………….....
m) n ≤ 1
……………………….....
n) n < 0
……………………….....
62) Rappresenta su una retta orientata (ricorda dalla teoria che per rappresentare l’insieme N è
sufficiente una semiretta ma … ) i seguenti numeri:
7,
0,
1,
9,
14,
10,
3.
63) Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri:
110
0,
70 ,
10 ,
120 ,
50 ,
115 ,
20 .
Perché non è opportuno scegliere come unità di misura la stessa dell’esercizio precedente?
64) Completa la seguente tabella eseguendo in N l’operazione indicata:
+
0
1
3
5
10
18
0
Vi è qualche casella che rimane
2
“vuota”? Cosa puoi dedurre?
9
10
15
18
20
65) Completa la seguente tabella eseguendo in N l’operazione indicata:
–
0
1
3
5
10
18
0
Vi è qualche casella che rimane
2
“vuota”? Cosa puoi dedurre?
9
10
15
18
20
66) Completa la seguente tabella eseguendo l’operazione indicata:
.
1
3
5
10
18
0
Vi è qualche casella che rimane
2
“vuota”? Cosa puoi dedurre?
9
10
15
18
20
111
0
67) Completa la seguente tabella eseguendo in N l’operazione indicata:
0
:
1
3
5
10
18
0
Vi è qualche casella che rimane
2
“vuota”? Cosa puoi dedurre?
9
10
15
18
20
68) Riscrivi con i simboli della matematica le seguenti frasi e stabilisci se esse sono vere o false
come nell’esempio:
Se dal doppio di 12 si sottrae il triplo di 4 si ottiene 12.
2 ⋅ 12 – 3 ⋅ 4 =
= 12
a) Aggiungendo 8 al quoziente fra 15 e 3 si ottiene la
differenza fra il quadruplo di 5 e il doppio di 3.
b) La somma fra la quarta parte di 24 e il doppio di 3 è
uguale alla differenza fra il triplo di 5 e 3.
c) Il doppio della somma fra 7 e 4, diminuito di 5, è
uguale al triplo di 6.
d) Il quadrato di 6, diminuito di 20, è uguale al quadrato
di 4.
e) Se al cubo di 3 aggiungi il quadrato di 5 ottieni il
triplo di 18.
×V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
f) Se moltiplichi il quadrato della differenza fra 15 e il
doppio di 5 per 3 ottieni un numero uguale alla somma
fra il doppio di 30 e il triplo di 5.
69) Inserisci al posto dei puntini il numero mancante e indica l’operazione eseguita per ottenere
quel numero:
a) 7 + …
= 16 l’operazione eseguita è ……………….
b) 12 – … = 3 l’operazione eseguita è ……………….
c) …. + 23 = 35 l’operazione eseguita è ……………….
112
d) …. ⋅ 2 = 88 l’operazione eseguita è ……………….
e) ….. − 9
= 7 l’operazione eseguita è ……………….
f) 30 : …. = 5 l’operazione eseguita è ……………….
g) ...... ⋅ 31 = 0 l’operazione eseguita è ……………….
h) ….. : 6
= 16 l’operazione eseguita è ……………….
Calcolare le seguenti espressioni in N:
70) 33 – 21 + 16
[…]
71) 24 – 3 + 12 – 10
[23]
72) 104 – 36 + 15
[83]
73) 87 – 40 – 27
[20]
74) 18 – 35 : 7
[ ... ]
75) 7 ⋅ 9 – 6 ⋅ 5
[…]
76) 21 : 3 – 14 : 2
[…]
77) 10 ⋅ 2 – 2 ⋅ 3 + 5 – 3
78) 49 : 7 + 18 : 9 – 20 : 20
79) 56 + 12 + (30 + 15 – 9) + 4
[16]
[8]
[108]
80) 34 – (25 – 6 + 10) – 5
[0]
81) (18 + 90 – 73) + 12 – (56 + 34 – 80)
[37]
82) (12 + 4 ⋅ 2) – (5 ⋅ 4 – 5) : 3
[15]
83) (10 ⋅ 2 – 2 ⋅ 3 – 15 : 15) : (3 ⋅ 5 – 28 : 2 – 1)
84) (38 + 97) + [20 + (36 – 12)] + (12 + 72 – 80)
85) 154 – [139 – (54 + 70) + 2] – (86 – 19)
86) (29 + 54 – 10) – [(250 – 138) – (45 + 15 – 20)]
[?]
[183]
[70]
[1]
87) 24 ⋅ 3 + 12 ⋅ 2 – 50
[46]
88) 2 ⋅ (12 + 3) + 7 ⋅ 2 – 20
[24]
89) 42 – [24 – (2 ⋅ 3 + 8)]
[32]
113
90) 7 + [(11 – 2 ⋅ 5) + (6 + 3) ⋅ 4 – 20]
[24]
91) 54 + 3 – [46 – (20 ⋅ 3 – 49) – (24 – 10 ⋅ 2)]
[26]
92) 54 – {36 – [10 + (7 ⋅ 3 – 5) – 9] ⋅ 2}– 38
[14]
93) (28 – 3 ⋅ 7) + {12 ⋅ 10 – [9 + (34 ⋅ 12 – 26 ⋅ 13) – (5 ⋅ 12 – 58)]}
[50]
94) 12 + 72 : 9 – 3 ⋅ 4 + 21 – 14
[15]
95) [18 – 3 ⋅ (3 ⋅ 8 – 5 ⋅ 4)] : (21 – 3 ⋅ 5)
[1]
96) {[12 – (15 : 3 + 5) + 4 ⋅ 5] : 11 + (14 ⋅ 5 : 10 + 12 : 4)} : (6 ⋅ 8 – 5 ⋅ 9)
[4]
97) 64 : 16 ⋅ {(7 ⋅ 5 – 3 ⋅ 5) ⋅ (7 ⋅ 2 – 4) : [(6 ⋅ 9 – 27 ⋅ 2) + (3 + 22 : 11)] ⋅ (13 ⋅ 3 – 12 ⋅ 3)} [480]
98) [3 + (10 ⋅ 4 – 19 ⋅ 2 + 3)] : (28 : 7 + 12 : 3)
[1]
99) {[21 – (44 : 11 + 24 : 3) + (6 ⋅ 7 – 21) ⋅ 2] : 17 + 12 ⋅ 10 – 23} : (5 ⋅ 5 – 15)
[10]
Esempio
Sostituisci x con un numero naturale in modo che le seguenti relazioni siano vere:
a) x – 3 = 0;
b) 2 ⋅ x = 0;
c) 2 ⋅ x − 4 = 0.
a) La differenza fra due numeri naturali è 0 quando i due numeri naturali sono uguali; quindi x
deve essere uguale a 3.
b) Ricorda la legge di annullamento del prodotto: il numero richiesto è, dunque, 0.
c) La differenza fra due numeri naturali è 0 quando i due numeri naturali sono uguali; allora deve
essere 2 ⋅ x = 4. Per ottenere x è sufficiente dividere i prodotto per 2: il numero richiesto è 2.
Sostituisci x con il numero naturale che rende vera ciascuna delle seguenti uguaglianze:
100) 1 ⋅ x = 0
x+0=0
x⋅0=0
101) x + 12 = 18
x : 9 = 27
20 : x = 10
102) 5 ⋅ x + 2 = 22
2⋅ x–5=7
10 ⋅ x + 1 = 31
103) 5 : 0 = x
0:5=x
0:0=x
104) 20 – (x + 2) = 12
2 ⋅ (x – 3) = 0
26 + (x − 4) = 26
114
105) (x – 3) ⋅ (x – 5) = 0
(2 ⋅ x − 4) ⋅ (x + 7) = 0
5 ⋅ (x – 11) = 0
106) 3 ⋅ (x + 2) = 0
4 ⋅ (x − 1) = 16
9 − (x + 2) ⋅ (x −1) = 9
107) (x – 3) : 5 = 0
6 : (x – 1) = 1
(x + 2) : 9 = 2
108) (2 ⋅ x + 8) : 6 = 8
(x − 10) : 2 = 10
(4 − x) : 3 = 0
109) Barra con il segno × le caselle corrispondenti alle operazioni che rendono vere le seguenti
proposizioni:
a) N è chiuso rispetto all’operazione
+
–
.
:
b) 1 è l’elemento neutro per l’operazione
+
–
.
:
c) 0 è l’elemento neutro per l’operazione
+
–
.
:
d) L’insieme P dei numeri pari è chiuso rispetto all’operazione
+
–
.
:
e) L’insieme D dei numeri dispari è chiuso rispetto all’operazione
+
–
.
:
+
–
:
+
–
.
.
f) L’operazione è commutativa in N
g) L’operazione è associativa in N
:
Per ciascuna delle seguenti operazioni indica la proprietà applicata:
110) 5 + 9 = 9 + 5
………………………………………
111) 3 ⋅ 9 ⋅ 2 = 27 ⋅ 2
………………………………………
112) 12 + 7 + 13 = 12 + 20
………………………………………
113) 225 : 45 = 25 : 5
………………………………………
114) (12 + 5) ⋅ 3 = 36 + 15
………………………………………
115) a ⋅ b = b ⋅ a
………………………………………
116) (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
………………………………………
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione o alla
sottrazione e, senza far uso della calcolatrice, determina il valore delle seguenti espressioni:
117) 15 ⋅ (23 + 12)
118) (34 − 15) ⋅ 24
119) 36 ⋅ (42 + 65)
115
120) (108 − 76) ⋅ 57
121) 45 ⋅ (157 + 43)
122) 74 ⋅ (238 − 145)
123) (45 − 21) ⋅ 13
124) (32 + 12) ⋅ 9
125) (43 + 56 + 21) ⋅ 3
126) 13 ⋅ (23 + 5 − 12)
127) (35 − 12 + 24) ⋅ 17
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione o sottrazione,
completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino vere:
128) 3 ⋅ (5 + 4) = 3 ⋅ …… + …… ⋅ 4 = …… + 12
= 27
129) 6 ⋅ (9 − 2) = …… ⋅ 9 − 6 ⋅ …… = ….... − …… = ……
130) …… ⋅ (12 + 3) = 2 ⋅ …... + 2 ⋅ …... = 24 + …… = 30
131) 7 ⋅ (…… − 4) = 7 ⋅ ……−
− 7 ⋅ 4 = …… − …… = 42
132) …… ⋅ (15 − ……) = 6 ⋅ …… − …… ⋅ 7 = …... − 42 = 48
Applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione o alla sottrazione e,
senza far uso della calcolatrice, determina il valore delle seguenti espressioni:
133) (32 + 44) : 4
(225 − 165) : 15
134) (36 + 180) : 12
(72 − 40) : 8
135) (385 − 245) : 14
(64 + 352) : 16
Calcola il valore delle seguenti potenze:
31 ;
18 ;
32;
25;
42 ;
40;
53;
120;
07 .
136) Completa le seguenti uguaglianze come mostrato nel primo esempio:
105 = 100.000
107 = ………
102 = ………
101 = ………
116
137) Scrivi i seguenti numeri come potenze che hanno base 10:
10 = ………
1.000 = ………
100.000 = ………
100.000.000 = ………
138) Completa in modo da ottenere uguaglianze vere:
a) 75 ⋅ 7… = 79
(35)… = 320
b) 125 : 4…. = 35
3… ⋅ 4… = 123
c) (54 ⋅ 54) 3 : 5… = 25
d) 164 = (80 : 5)4 = 80…. : 5….
e) (2… ⋅ 34 ) 2 = 6….
f) 7….. = 74 + …. = 7…. ⋅ 75
g) (72 ⋅ 75)2 : (710 ⋅ 7…) = 1
h) 37 = (.... : 6)7 = ….. …. : 6 ….
123) Le seguenti relazioni non sono corrette. Correggi gli errori:
a) 25 ⋅ 24 : 23 = 217
b) (96 : 92)5 = 915
c) 156 + 154 = 1510
d) 215 : 75 ⋅ 32 = 97
Risolvi applicando le proprietà delle potenze:
139) 32 ⋅ 35
67 : 65
140) (135 ⋅ 136) : 1310
74 ⋅ 79 : 710
25 ⋅ 44
141) (162 : 82) ⋅ (123: 63)
142)
143)
117
(2
(3
4
⋅ 23
5
: 32
) :2
)⋅ 3 : (3 ⋅ 3)
2
10
0
2
[24]
[1]
144) (75 ⋅ 72)4 : [(73)2 ⋅ 79] : 75
(
[78]
)( )
5
145) 13 6 : 13 2 ⋅ 13 4 ⋅ 133
[1315]
146) [(34)5 ⋅ 33 : (32)0] : (37 ⋅ 32)2 ⋅ 36
[311]
147) (39 ⋅ 33 ⋅ 30) : (33)4
[1]
148) [510 ⋅ (56 ⋅ 55) : 519]0
[1]
149) {[(57⋅ 53)2 : 515]2 : 56}3 : 510
[…]
150) [(45 : 25)3 ⋅ (123 : 63) ] : 210
[28]
Esempio:
Applicando le proprietà delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni:
a) 23 ⋅ (8 2 : 4)
b) 123 ⋅ 16 ⋅ 92
a) Riscrivi, prima, le basi di ciascuna potenza come potenza di 2 e, successivamente, applica le
proprietà delle potenze. Ottieni:
(
23 ⋅ [(23)2: 22] = 2 3 ⋅ 2 6 : 2 2
)
= 23 ⋅ 2 4 = 27
b) Scomponi in fattori le basi di ciascuna potenza e, successivamente, applica le proprietà delle
potenze e le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione. Ottieni:
(2 ⋅ 3)
2
3
( )
⋅ 2 4 ⋅ 32
2
( )
= 22
3
(
)(
⋅ 33 ⋅ 2 4 ⋅ 3 4 = 2 6 ⋅ 2 4 ⋅ 33 ⋅ 3 4
)
= 210 ⋅ 37
Applicando le proprietà delle potenze, come nell’esempio, calcola il valore delle seguenti
espressioni:
[
(
]
)
3
151) 27 4 ⋅ 9 3 : 812 ⋅ 9 ⋅ 27 2 : 815
{ [
]
}
152) 4 3 ⋅ 16 3 : (8 ⋅ 64 : 4 ) : 128 ⋅ 32 2
153) 183 ⋅ 252 ⋅ 154 ⋅ 8
(
154) 12 2 ⋅ 6 3
) : (18
4
2
⋅ 24 3
[322]
[214]
[26 ⋅ 310 ⋅ 58]
)
[217 ⋅ 313]
155) [(36 : 93) ⋅ 27]3 : 39
[ …]
156) [242 ⋅ (43)5 : 32] ⋅ 162
[244]
118
Calcola il valore delle seguenti espressioni, applicando, se possibile, le proprietà delle
potenze:
157) (35 : 27 + 9 ⋅ 2) : {35 : 32 ⋅ [15 – (4 ⋅ 5 – 32) : 11 – (4 ⋅ 2 – 50) ⋅ 2 + 30]}
[1]
158) [(34 – 25 – 52) : 23 + 32 ⋅ 5 – 114 : 114 + 25 : 32] : (3 ⋅ 24) + (113)0
[2]
159) {[(47 : 45 + 32)2 : 52 – (53 – 11 ⋅ 10)2 : 32] : [(53 – 3)0 – (34 : 81)]} + 7
[Priva di significato]
160) {53 : 5 – 103 ⋅ 10 : [153 ⋅ 154 : 155 – (4 ⋅ 8 + 62 – 54 : 53 ⋅ 10 – 70 ⋅ 3)2 + 10] 3 }2 :
: [34 : 32 + 3 ⋅ 2]2
[1]
161) {[(37 : 34)5 : (34 ⋅ 33)] : 35 – 32 ⋅ 2} : [(35)2 : 39] + {[(42 ⋅ 3 – 25 + 2) : 6]2 + 30} : 5
[5]
162) Completa in modo che le seguenti relazioni siano vere (esempi pag. 52):
a) 2 ⋅ … + ….. ⋅ 10 0 = 23
b) …. ⋅ 10 2 + 4 ⋅ …. + …. ⋅ 10 0 = 240
c) 4 ⋅ .… + 2 ⋅ …. = 402
d) 1 ⋅ …. + … ⋅ 10 + 3 ⋅ …. = 1063
e) 2 ⋅ …. + 3 ⋅ …. = 2030
163) Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri naturali:
37;
245;
425;
3678;
12698;
13065;
1001 .
DIVISIBILITA’
164) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
119
a) Un numero è divisibile per 4 se lo è la somma delle sue cifre.
V
F
b) Un numero è divisibile per 5 soltanto se termina con 0.
V
F
c) Se l’ultima cifra di un numero è 6, esso è divisibile per 2.
V
F
d) Un numero che termina con 5 è divisibile per 5.
V
F
e) Un numero è divisibile per 3 se lo è il prodotto delle sue cifre.
V
F
f) Un numero pari è sempre divisibile per 4.
V
F
g) Un numero pari, multiplo di 5, è divisibile per 10.
V
F
h) Un numero pari tale che la somma delle sue cifre è multiplo di 3
V
F
V
F
è divisibile per 6.
i) Un numero che termina con 4 o con 8 è divisibile per 4.
Scomponi in fattori primi i seguenti numeri:
165)
936 ;
2.646 ;
1.296 ;
60.480 ;
42.000 .
166)
12.000 ;
21.168 ;
13.552 ;
43.200 ;
1.690 .
167)
77.077 ;
23.625 ;
201.344 ;
4.900 ;
17.303 .
168) Determina il M.C.D. e il m.c.m.:
a) (792 ; 1.080)
[72 ; 11.880]
b) (1.890 ; 4.620)
[210 ; 41.580]
c) (3.840 ; 2.160 ; 5 40)
[60 ; 34.560]
d) (4.536 ; 1.890 ; 1.260)
[126 ; 22.680]
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione o alla
sottrazione, riscrivi le seguenti addizioni o sottrazioni come prodotto fra un fattore esterno ed
una addizione o sottrazione fra numeri coprimi:
169)
60 + 198
170)
72 – 48
171)
819 − 294
172)
4500 − 2835
173)
1081 + 2940
174)
340 – 128
175)
216 + 660
176)
2450 + 3600
177)
8624 − 1872
178)
630 + 294
179)
220 + 165 – 330
180)
280 + 385 – 245
181)
210 + 60 + 90
120
L’INSIEME Z
182) Nella seguente tabelle n è un intero relativo; completala:
n
+5
…
….
– 208
….
…
+ 21
…
–a
a
precedente successivo
…
…
–8
…
…
+1
….
….
+ 11
….
…
– 17
…
…
…
– 101
…
…
…
…
183) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) Il successivo di un intero negativo può essere un intero positivo.
V
F
b) Il precedente di un intero positivo può essere un intero negativo.
V
F
c) Il successivo di un intero positivo è sempre un intero positivo.
V
F
d) Il precedente di un intero positivo può essere 0.
V
F
e) Il successivo di un numero non negativo è sempre positivo.
V
F
f) Il successivo di un intero negativo è sempre un intero negativo.
V
F
g) Il precedente di un intero positivo è sempre positivo.
V
F
h) Il successivo di un intero non positivo può essere positivo
V
F
i) Il precedente di un intero negativo è sempre un intero negativo.
V
F
l) Il precedente di un intero non positivo è sempre un intero negativo.
V
F
m) Il successivo di un intero negativo può essere 0.
V
F
V
F
V
F
n) Se il precedente ed il successivo di un intero n sono entrambi negativi,
allora n è un intero negativo.
o) Se il precedente ed il successivo di un intero b sono discordi, allora b è 0.
Inserisci al posto dei puntini uno dei simboli “<”, “ >”, in modo da ottenere relazioni vere:
184)
– 3 ….. + 2 ;
+ 3 ….. + 2 ;
0 ….. – 1 .
185)
– 12 ….. – 3 ;
+ 1 ….. – 4 ;
– 5 ..... 0 .
186)
– 205 ….. + 1 ;
+ 5 ….. + 3 ;
+ 72 ..... – 124.
187)
− 5 …. + 1 ;
− 3 …. − 7 ;
+ 5 …. + 1 .
121
Sapendo che n < 0, completa inserendo al posto dei puntini uno dei simboli “<”, “>”, in
modo da ottenere relazioni vere:
188) n …. n − 1 ;
− n − 1 …. n ;
− n + 1…. 0
189) − n …. 0 ;
− n ….. n ;
− n + 1…. 1
190) |− n| …. 0 ;
− |− n| − 1…. 0 ;
|− n| + 1 …. 0
Scrivi in forma tabulare gli insiemi formati dai numeri interi che soddisfano le seguenti
relazioni:
191)
–2≤a≤3
A = { ……………… }
192)
–1≤b<2
B = { ……………… }
193)
–3<c<+3
………………………
194)
–1<d≤3
………………………
195)
–7≤e<–1
………………………
196)
+2≤f<+3
………………………
197)
+6<g<7
………………………
198)
+2<h<+3
………………………
199)
–7≤m≤–1
………………………
200)
−5<n<−4
………………………
201)
−1<p≤0
………………………
202) Scrivi prima in ordine crescente e, successivamente, in ordine decrescente i seguenti interi:
−4;
+3;
−5;
+ 10 ;
− 11 ;
−1;
0;
+2.
203) Rappresenta su una retta orientata i seguenti interi:
−5;
+4;
+1;
−3;
+1
– 103
+6;
−2;
0.
204) Completa la seguente tabella:
–7
–1
–4
0
+ 12
–5
+5
+ 10
scrivi l’opposto di ciascun
numero
scrivi l’opposto dell’opposto
di ciascun numero
scrivi il modulo di ciascun
numero
scrivi il modulo dell’opposto
di ciascun numero
scrivi l’opposto del modulo
di ciascun numero
122
Le operazioni in Z
205) Completa le seguenti tabelle:
a
b
– 12
+7
a + (– b)
−a+b
– a + (– b)
+1
–2
+5
a
b
– 5
– 9
+7
– 12
– 4
– 6
+8
+ 12
– 13
+ 15
a– b
– 10
b– a
– a– b
+3
+6
– 1
Completa in modo che le seguenti relazioni siano corrette:
206) (− 5) + (……) = 0 ;
(+12) − (……) = + 16 ;
(…..) − (− 15) = + 30 .
207) (+ 18) + (…..) = + 25 ;
(…...) + (− 8) = − 20 ;
(− 24) − (…..) = 0 .
208) (− 58) − (…..) + (+ 32) = + 7 ;
(……) + (− 24) + (− 18) = − 64 .
Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni di numeri interi:
209) (– 10) + (– 8) ;
(– 12) + (+ 9) ;
(+ 15) + (– 20)
210) (+ 8) – (+ 7) ;
(+ 12) – (– 5) ;
(+ 4) – (– 9)
211) (+ 7) + (+ 2) ;
(+ 12) + (+ 7) ;
(– 3) + (+ 3)
212) ( − 4) − (+ 21) ;
(+ 32) − (+ 45) ;
(−24) − (−9)
213) (– 11) – (+ 4) ;
(– 9) – (– 7) ;
(− 5) – (– 5)
214) (+7) + (−5) − (+ 6) ;
(−3) + (−12) + (+ 21)
215) (– 102) – (– 305);
(+ 97) – (– 101) ;
216) (−12) − (− 45) − (+ 23)
217) (+ 7) + (+ 2) + (– 8) + (– 5) + (+ 3)
123
(−304) – (– 703)
218) (– 3) + (– 5) + (– 1) + (– 4) + (– 12)
219) (+ 7) + (+ 1) + (+ 3) + (+ 9)
220) (− 201) + (+ 172) + (– 36) + (+ 55)
221) Completa la seguente tabella:
a
b
–7
+3
+2
– 12
–9
0
−8
–4
–5
+6
+ 10
–9
− 15
+8
–a
–b
a
b
−a
−b
a+b
a + (– b)
a + b
a+b
222) Dal confronto delle ultime due colonne dell’esercizio precedente stabilisci quali delle
seguenti relazioni è vera:
a) a + b < a + b ;
b) a + b > a + b ;
c) a + b = a + b ;
d) a + b ≤ a + b ;
e) a + b ≥ a + b .
Esegui le seguenti somme algebriche:
223) (– 7) + (+ 3) – (– 12) + (– 3) – (– 5)
224) (– 23) – (– 21) + (– 2) – (– 13) + (– 12)
[+ 10]
[– 3]
225) – 8 – 5 – 12 + 7 – 9 + 5
[– 22]
226) – 121 + 102 – 37 – 12 + 47
[– 21]
227) – (– 7 + 2) + (– 9 + 4 – 2) + 2
228) – { – [– (– 12 + 3) – (– 8 + 9) + (+ 5 – 7)] – 3} – 8
229) – { – [– (– 1 – 5)] – [– (– 7 + 8)] – 3} – 8
230) 26 – {– [– 5 – (– 7 – 21 + 6) + (– 9 – 2)] – [– 7 – (– 10 – 7) – (– 3 + 5)] + 5} – 14
[0]
[+ 1]
[0]
[+ 21]
124
Riscrivi le seguenti espressioni togliendo tutte le parentesi e, successivamente, calcolane il
valore (esempi pag. 75):
231) − [− (5 + 8 − 2) + (7 + 12 − 20 − 4)] − (− 2 + 6 + 11)
232) − {− 15 + [−12 + 3 − ( 7 − 25) + 14] − 21} + 8
233) 32 + {− 15 − [5 + (24 − 16 + 7) – 13] – 20 − (− 7 + 18)}+ 10
234) − {− [− (−2 – 7 – 3) + 21− 4] – 16} + [− (− 5 – 8) + 25] + 1
235) − 3 + {− 1 − [1 – 5 – 12 + (5 – 14 – 6) + 8] – 4} − (− 13 – 21 + 33)
236) Completa la tabella:
a
b
– 2
+3
– 10
– 2
+7
– 3
+1
– 5
–0
– 4
0
0
+3
+5
a⋅b
a ⋅ (– b)
(– a) ⋅ b
(– a) ⋅ (– b)
Esegui le seguenti moltiplicazioni:
237) (+ 7) ⋅ (+ 12) ;
(− 7) ⋅ (+ 9) ;
(– 5) ⋅ (– 9) .
238) (– 18) ⋅ (− 32) ;
(+ 15) ⋅ (– 12) ;
(− 25) ⋅ (– 1) .
239) (– 7) ⋅ (– 5) ⋅ (− 3) ;
(– 2) ⋅ (+ 3) ⋅ (– 4) ⋅ (– 1) ⋅ (+ 10) .
Calcola il valore delle seguenti espressioni:
240) (+ 3) ⋅ (– 5) – {– [– 7 ⋅ (– 3 + 2) – 6 ⋅ (– 5 + 7)] + 11} ⋅ (– 1) + 3
241) (+ 5 – 3) ⋅ [– 2 + (– 2 + 7 + 4) ⋅ (– 2)] + (– 2 – 5) ⋅ [(– 3) ⋅ (– 6 + 10 – 1 )]
[+ 4]
[+ 23]
242) (– 4 + 7) ⋅ [– 3 – 2 + (– 3) ⋅ (– 5 + 3) ⋅ (3 + 5) – 1] + (+ 3) ⋅ (– 2)
[+ 120]
243) {− 3 ⋅ [2 + (− 5 − 3) ⋅ 3 − (− 6 + 2)] ⋅ (− 2) – 10} ⋅ (2 – 4)
[+ 236]
125
244) Completa la seguente tabella:
a
b
+ 28
−7
− 33
+ 11
− 30
−6
− 35
+5
− 52
− 13
+ 48
+8
0
−6
+ 12
−1
a:b
a : (− b)
(− a) : (− b)
(− a) : b
(− a) : (− a)
Esegui le seguenti divisioni:
245) (− 9) : (+ 3) ;
(+ 24) : (− 8) ;
(− 32) : (− 8) ;
246) (− 252) : (− 9) : (− 4) ;
[(− 63) : (− 7)] : (+ 9) ;
(− 56) : [(+ 36) : (− 9)] .
247) − 48 : [− 42 : (− 7) ] : [(− 16 : (+ 4)];
(+ 49) : (− 7) .
+ 16 : {[− 20 : (+ 5)] : [− 6 : (− 3)} : [(− 4) : (− 4)] .
Completa in modo che le seguenti relazioni siano corrette:
248) (− 4) ⋅ (…..) = − 36 ;
(… 7) ⋅ (+ ….) = − 56 ;
(+ ….) ⋅ (… 9) = + 63
249) (− ….) ⋅ (… 45) = − 45 ;
(−….) ⋅ (… 42) = + 294 ;
(+ 43) ⋅ (…..) = 0
250) (+ ….) : (… 8) = − 9 ;
(…45) : (+ 3) = − …… ;
(− … ) : (… 12) = + 9
251) (+ ….) ⋅ (… 1) = − 37 ;
(… 27) ⋅ (− 13) = …;
(− ….) ⋅ (…25) = + 100
252) (+ 35) : (…. ) = + 7 ;
(− ….) : (… 14) = + 1 ;
(……) : (+ 16) = 0
253) (+….) ⋅ (…7) ⋅ (+ 12) = − 252 ;
(− 9) ⋅ (… 12) ⋅ (− ….) = − 324
254) (+ 12) : (− ….) ⋅ (… 7) = + 21;
(+ 14) ⋅ (− …) : (… 10) = − 7
Calcola il valore delle seguenti espressioni:
255) [3 ⋅ (6 − 8) + 10 : (− 2 )] ⋅ (− 2) – [3 ⋅ 5 + 3 ⋅ (− 4) – (+ 20) : (− 5)] – 5
256) {− [− (− 7 + 4) ⋅ (5 – 7) – (− 20) : (− 10)] ⋅ (− 10) + (− 10 + 2) ⋅ (− 7 – 2 )} : (− 8 + 6)
257) {− [− (− 5 + 4) ⋅ (− 2) − (− 72) : 3 : (− 6)] ⋅ [(− 8) : 2 – (− 4 ⋅ 3 + 2)] + 4} : (− 10)
[10]
[4]
[− 4]
258) {[(− 10) : 5 – 12 : 3 – 8 : (− 2)] ⋅ (4 – 10) – (− 12) : ( − 3)} − {[(− 8) : (− 2) +
+ 8 ⋅ (− 10) : 5 – (+ 40) : (− 10) : 2] – 2} : (− 2 + 5) – 4
[8]
126
Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcolane il valore:
259) Aggiungi il quadruplo di – 2 alla differenza tra il triplo di – 3 e il doppio di 2.
[– 21]
260) Somma il prodotto di 3 per la somma tra 3 e il doppio di – 2 alla differenza tra 9 e il
quadruplo di – 2.
[+ 14]
261) Sottrai il triplo di − 5 dal prodotto fra 15 e – 9; successivamente dividi il numero
ottenuto per l’opposto della somma fra il doppio di –14 e il triplo di 6.
[– 12]
262) Moltiplica per –10 la somma fra il successivo del doppio di –3 con il precedente di 8;
dividi il numero così ottenuto per la quinta parte della differenza fra il quadruplo di 8
e il doppio di 11.
[–10]
Sostituisci x con il numero intero che rende vera ciascuna delle seguenti uguaglianze (ricorda
l’esempio di pag.113):
263) x + 21 = 0;
− x − 10 = 0;
− x + 12 = 0
3 ⋅ (− x) = 0
264) 3 ⋅ x + 2 = 14;
4 ⋅ (− x) = 4;
− 6 ⋅ x = − 6;
−8⋅x=8
265) (x + 3) ⋅ (x – 1) = 0;
(5 – x) ⋅ (x + 1) = 0
266) x ⋅ (2 ⋅ x + 6) = 0;
− x ⋅ (4 ⋅ x + 8) = 0
267) (− 5) ⋅ (x – 7) = 35;
(3 ⋅ x – 6 ) ⋅ 2 = − 8
268) (+ 7) ⋅ (− 5 – x) = − 49;
[2 ⋅ (− x) + 7] ⋅ 5 = 25
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica,
completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino vere:
269) − 64 + 36 = + 4 ⋅ (− …. + 9) ;
− 64 + 36 = − 4 ⋅ (16 − …. )
270) − 64 − 72 = … 4 ⋅ (… 16 + ….) ;
…… − 56 = − 8 ⋅ (− 9 ... ….)
271) 45 − ….. = ... …. (− 5 … 2) ;
− 144 + ….. = … …… (− 9 + 5)
Riscrivi le seguenti somme algebriche come prodotto fra un intero negativo ed una somma
algebrica fra interi i cui moduli siano coprimi:
272) − 45 − 9 ;
243 − 63 ;
125 + 30
273) − 315 + 49 ;
−180 + 25 ;
− 48 − 96
274) − 81 − 36 ;
− 121 + 11 ;
42 − 84
127
Riscrivi le seguenti somme algebriche come prodotto fra un intero positivo ed una somma
algebrica fra interi i cui moduli siano coprimi:
275) − 450 + 1620 ;
−1323 + 252 ;
675 + 50
297 − 66 ;
45 − 450
− 150 + 65 ;
− 120 − 60
276) − 256 − 64 ;
277) 84 + 42 ;
Calcola le potenze indicate:
278) (− 2)5 ;
(− 1)11 ;
(− 1)6 ;
− (− 2)4 ;
− (− 2)5
279) (+ 7)3 ;
(− 5) 3 ;
(− 4)2 ;
− (− 7)2 ;
− (− 1)9
280) − 13 ;
− 34 ;
(− 3)4 ;
05 ;
− (+ 2)3
(−12)0 ;
Calcola il valore delle seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle potenze:
281) (− 3) 5 : (− 3) 2 ;
282)
[(− 2) ]
2
[(− 7)
3
5
;
[

7
3
283)  (− 3) : (− 3)

284)
{
285)
{(
(− 2) 7 : (− 2) 4 ;
] : [(− 3)
5
2
⋅ (− 3)
2
 − ( −16 )3  :  − ( −4 )3 

 

: (− 7 )
3
2
}
]
3
4
]
[(+ 4)
3
5
;
⋅ (+ 4 )
4
: (+ 4 )
14
[− 33]
3
] : [(− 2) ] + [2 − (− 3)
5
2
3
2
6
: ( −4 ) : ( +4 )  : ( −2 )


[
7
]
2

2
3
2
286) 4 3 : (− 4 ) + (− 5) : 5 3 ⋅ (− 35) : 7 2 + (− 4 ) ⋅ 6

[
3

7
 : (− 3)

 −15 )4 ⋅ (10 + 5 )5 : ( 2 ⋅ 9 − 3)  : ( −5 )4 ⋅ ( +5 )3 : ( +5 )5 

 

287) 42 − (− 2 ) : 2 4
(− 2) 3 ⋅ (− 2) 4
(− 5) 5 : (+5) 3 ;
3
8
]
3
2
[−1]
4
}
[33]
: 35
[

3
2
2
 − − 5 ⋅ (− 4 ) − (− 7 )

] [
] + (− 4)
0
: 3 6 + 2 2.(− 2 ) ⋅ (− 2 ) + (− 3) : (− 3)
0
2
7
1
2
[0]
] : (− 3 )
3
12
[86]
128
L’insieme Qa
288) Associa ad ogni classe la frazione ad essa appartenente:
3
a)  
7
1)
1 
b)  
3
15
27
11
c)  
8
33
24
2)
3)
264
33
5
d)  
9 
4)
e) [8]
6
18
5)
24
56
289) Per ciascuna delle seguenti classi scrivi quattro frazioni ad essa appartenenti:
7
 9  ;
9
15  ;
[3] ;
3
 8  ;
[1]
Completa in modo che le seguenti relazioni risultino vere:
290)
1
6
......
=
=
4
......
48
291)
5
.......
20
35
......
=
=
=
=
3
9
........
........
36
292)
36
......
9
3
=
=
=
24
12
.......
......
293)
5 =
20
......
=
......
3
=
=
15
......
=
.......
16
80
......
=
......
4
=
......
12
294) Completa la tabella inserendo in maniera opportuna le frazioni elencate a sinistra:
3
;
5
15 8
;
;
5
3
3
;
9
5
;
8
20 15
;
;
4
7
13 39
7
5
20 17 23
;
;
;
;
;
;
.
39 13 12 32 10 17
21
Frazioni proprie
3
5
8
3
Frazioni improprie
Frazioni apparenti
20
4
Completa in modo da ottenere coppie di frazioni appartenenti alla stessa classe:
295)
.... 9
=
;
3 27
4 12
=
;
.... 18
5 10
=
9 ....
296)
20 ....
=
;
25 5
12 28
=
;
15 ....
26 10
=
52 .....
297)
.... 21
=
;
32 56
6 ....
=
;
27 36
30 .....
=
12
8
129
Fra le seguenti frazioni individua quelle che non sono ridotte ai minimi termini e riducile:
298)
21
;
6
12
;
25
46
;
24
56
;
27
72
;
45
121
;
81
64
48
299)
58
;
116
45
;
32
81
;
128
162
;
135
54
;
65
120
;
200
145
56
300)
46
;
33
121
;
231
99
;
180
42
;
79
124
;
81
24
;
32
91
26
Completa, inserendo i simboli “ >, <, = ” in modo che le seguenti relazioni siano vere:
301)
7
8
9
;
10
45
72
…
;
15
24
302)
11
3
…
;
7
2
24
54
…
;
18
48
12
120
…
7
70
303)
36
24
…
;
81
56
16
12
…
;
28
21
5
7
…
13
13
304)
15
12
…
;
17
17
8
7
…
8
;
10
15
10
…
24
16
305)
12
21
…
;
15
25
15
…
8
13
;
10
20
8
…
15
10
…
3
…
5
7
6
306) Completa la seguente tabella:
Numero
Frazione generatrice
8,6
……
3, 6
……
……
……
3
25
1
40
2, 34
……
……
7
15
0,13
……
130
307) Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri razionali assoluti:
3
;
4
5
;
8
0,12 ;
3;
12
;
9
2,56 ;
5
;
4
36
;
18
16
;
24
27
12
35
;
9
9
;
4
21
10
308) Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri razionali assoluti:
3
;
5
5
;
4
2;
1,54 ;
9
;
8
3,48 ;
2
;
3
309) Qual è il maggiore fra i numeri 2,5; 2, 5 ; 2, 50 ? E il minore fra 3, 762 ; 3,762 ; 3,762 ?
Esegui le operazioni indicate e, se possibile, riduci ai minimi termini i risultati ottenuti:
310)
3 4
+ ;
7 7
9 13
−
;
5 10
9
+2 ;
5
311)
2
5
+
;
16 6
3
6
+
;
10 45
4+
312)
7
2
+
;
8
6
5−
313)
9 3
⋅
;
4 2
314)
315)
11 17
−
6 15
2 1 1
+ − ;
3 4 2
5+
3 4
:
;
5 9
21 8
;
⋅
16 15
12
8
:
25 35
3 14
⋅
;
7 9
5 10 12
⋅
⋅
;
8 3
25
55 42 36
3
⋅
⋅
⋅
27 35 154 8
68 34
:
;
15 20
98 14 28
:
:
50 25 12
316) 3 −
7
;
12
317) 2, 3 −
11
;
18
7
;
3
10
10
+
;
24
36
7 1
+
12 4
14 5
⋅ −1 ;
25 2
0,14 +
2
5
;
7
3
5 3
: +2 ;
12 4
3
4⋅ − 2
5
13
− 1, 36 ;
6
0, 5 + 1,27 −
7
6
Determina il valore delle seguenti espressioni:
318)
9
5
5
1
−
−
−
8 10 12 24
319)
5 1 3
− +
9 3 4
 8 2 5 6 1 6
320)  +  +  +  +  + 
 10 6   3 5   2 8 
321)
131
5 4 9
− ⋅
2 3 16
1 
 6 
 35 
 36 
 21 
 4 
7 
 4 
322) 3 ⋅
7 2 10
− ⋅
9 5 3
[1]
 2 3  6 11
323)  −  ⋅ +
 3 8  5 15
13 
12 
5 3   3 1 7   4 1  41
7
324)  − +  +  − −  + 1 − +  −
 10 12 4   2 5 20   5 2  60
325)
[2]
9 5 9   6 7 3
⋅  + − + − 
8  4 60   10 4 2 
 29 
 40 
7 
16 15   3 9
5   7

326)  8 +  ⋅  2 − −  ⋅  − −  − 1 − 
4 
13 26   2 15 12   8 

 25 
 32 
5  2 1 
327)  ⋅  −  +
4  5 3
13 
 6 
3 4 7
+ ⋅
4  7 3
5 5 5   7 3
328)  + −  :  − 
 8 4 6   12 8 
[5]
 9 7 
2   9 3   1 1  8
329)  − ⋅  2 −  :  −  +  +  ⋅
3   10 5   2 4  9
 5 10 
 32 
 9 
330) Calcola il valore delle seguenti potenze:
3
2
2
  ;
5
2
3
  ;
4
1
  ;
6
2
 
3
4
Applicando le proprietà delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni:
3
4
3 3
331)   ⋅   ;
2 2
5
3
 7   12 
  ⋅  
 9   14 
5
 2  2 
332)    ;
 3  
7
4
2 4
  : 
3 9
6
3 3
  :  ;
5 5
5
5
2
6
 2  3 
 15 
⋅
  :
  
4
 5  
3
 14   9 
3
333)   ⋅   :   ;
 3   28 
2
2
4
3
6
 3  2 
  
 2  
2
2
3
2
 3  4 
 5   6   3  
3
334)   ⋅   ⋅    :    :  
 4   5   2  
2
 2  
4
3
3 3
  ⋅   ;
4 4
[1]
132
Determina il valore delle seguenti espressioni, applicando, se possibile, le proprietà delle potenze:
3
3
2
3 4 1 2
335)   ⋅   +   ⋅  
2 5 2 5
3
336) 3 4 : 33 −  
2
2
3
4
⋅ 
9
2
2
 221 
 125 
3
 73 
 27 
5
 5   10   3   3 
337)   :   +   :  
4  3  4 4
3
 45 
 64 
0
 14 3  3 3 2  15  4  4  4 3 
338)   ⋅   −  + ⋅   :   
8  5   5  
 9   7  9 
5
 2 

2
3  8  3 

339)  3 −  ⋅ − 1 − 
2  9  4 


13 
 6 
2

3
2

2 2 
340) 2 2 + 3 2 +   :   
 5   5  


2
2

7 4  1  1 
5  
: +  :  : 1 − ⋅  3 −  
10 8   2  2 
3  

2

17    29 1 3


: 10 +   :  + + − 2  : 10
5    10 2 5




[5]
L’insieme Q
341) Siano a e b numeri razionali; completa le seguenti tabelle:
a
−
3
4
2
7
5
0
−3
133
−a
|a|
− |a|
1
a
−
1
a
−
1
a
a
b
9
4
5
−
2
2
3
a+b
a−b
a⋅ b
1 1
⋅
a b
a:b
1 1
+
a b
−
1 1
:
a b
3
4
−
5
6
7
4
9
5
−1
342) Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri razionali:
−
12
;
7
− 1, 3 ;
4
;
5
10
;
7
− 0,85 ;
6
;
5
−4;
1
.
2
343) Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:
a) Tutti i numeri razionali ammettono opposto.
V
F
b) Esiste il reciproco di qualsiasi numero razionale.
V
F
c) Esiste un numero razionale che è uguale al suo reciproco.
V
F
d) Il prodotto fra un numero razionale e il suo reciproco è sempre 0.
V
F
e) Il reciproco di un numero razionale a, se esiste, è sempre minore di a.
V
F
f) Il reciproco di un numero razionale, se esiste, è sempre minore di 1.
V
F
g) Un numero razionale e il suo reciproco, se esiste, sono discordi.
V
F
V
F
V
F
V
F
h) Sia a un numero razionale tale che 0 < a < 1, allora
1
> 1.
a
i) Siano a, b due numeri razionali, diversi da zero, tali che a < b, allora
l) Sia a un numero razionale tale che a < − 1, allora
1 1
> .
a b
1
< 1.
a
Completa, inserendo i simboli “ >, <, = ” in modo che le seguenti relazioni siano vere:
344) −
345)
346)
7
4
…. − ;
5
3
3
4
…. − ;
8
7
12
…. 0,84
13
5
7
…. ;
2
2
5
8
…. ;
2
3
− 1,25 …. −
− 2, 3 ….
7
;
3
−
7
7
…. − ;
4
3
6 ….
36
;
5
5
4
−5 …. −
21
4
134
Esegui le seguenti operazioni:
347)
7 3
+ ;
18 4
348) 1 −
−
2 4
+ ;
3 5
−
13 5
+ ;
24 6
−3−
2
;
5
3
5
+2+ ;
4
6
12 3 7
+ +
5 2 10
349)
4 5 1 5
− + +
;
9 12 6 18
3 7
3
− +
;
5 15 10
9 7 5
5
− − +
8 4 16 12
350)
3 1 7
+ − ;
5 2 4
−
2 5 7
+ − ;
3 4 6
5 11 5
− + ;
12 18 6
351)
9 15
⋅
;
5 4
 14   27 
−  ⋅ −  ;
 9  8 
352) −
12  27 
: −  ;
7  14 
−8 :
353) −
45  8  3
;
⋅ −  ⋅
16  27  10
3  9 5
: −  :
13  2  18
2
  3 7
354)  − 4  ⋅  − +  ;
5
  8 2
355)
17  2 
: −  ;
36  9 
−
15
;
4
357)
3  5
9   5 3 
:  −  +  −  ;
7  21 14   6 7 
358)
25  15

:  − 5 ;
8 2

2 1
−
5 3
25  32   2 
⋅ −  ⋅ − 
12  15   5 
−
3 4 24
:
⋅
8 5 35
−3 :
6
;
5
5
: (− 4)
4
 4 8
− 2 ⋅ −  :
 9  27
−
14 
3   3  8
⋅  2 −  −  − + 1 :
25 
7   2  5
 4
  25 
 − + 2 :  −  ;
 7
  28 
1 3
  3 4
 − + 2 :  − + 
 5 10
  4 3
 2 1 7   12  7
359)  − − +  ⋅  −  −
 5 3 6   13  5
 4 1 3   9 27  1   13    7
 6   13 
360)  − + +  ⋅  +  −  :  −  − 2 −  − 4  ⋅  :  − 
 5   15 
 5 6 2   13 26  4   20    2
135
−2−
5  3 7  7

⋅  − +  ⋅  − 3
13  4 10   3

 1  2
−  : −  ;
 2  3
 3   21  6
356)  −  :  −  ⋅
;
 7  4  5
4
−2
7
 9
 − 5 
14 
13 
  5 7  27  13 17   5  7   16   8 13 
361) 3 −  −  ⋅
+  − +  :  −  −  :  −  +  − + 
  12 18  2  4 6   36  2   15   3 4 
 3
 3 1
 2 1  1  1
 9
362)  − 3  ⋅ −  − :  − 3  +  + 2 − +
 3 4  5  2
 5
 2
 2 4
4
 3 
 3
 − 14 
Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:
363) Aggiungi ai
3
2
5
di
l’opposto del doppio di
; dividendo, poi, il numero così ottenuto per
4
3
6
il reciproco di 6 ottieni l’opposto di 7.
364) Se sottrai dai
7
5
3
1
27
di
i
della differenza fra 2 e
ottieni la metà di
.
5
3
4
2
12
365) Il prodotto fra la differenza tra
parte della somma fra
differenza tra 3 e
3
4
F
V
F
5
5
4
e1 e i
della somma fra 2 e
è maggiore della terza
6
3
3
5
10
e − .
9
3
366) Il quoziente tra la somma di
V
V
e 2 con i
5
2
della differenza tra 3 e
13
5
1
.
4
F
è uguale alla
V
F
367) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a) Il cubo dell’opposto di un numero razionale è uguale all’opposto del cubo del numero
stesso.
b) Il quadrato dell’opposto di un numero razionale è uguale all’opposto del quadrato del
numero stesso.
c) Il quadrato del reciproco di un numero razionale, diverso da zero, è uguale al reciproco del
quadrato del numero stesso.
d) Il cubo di un numero razionale può essere uguale all’opposto del cubo del modulo del
numero stesso.
e) L’opposto del quadrato di un numero razionale è uguale all’opposto del quadrato del
modulo del numero stesso.
136
368) Calcola il valore delle seguenti potenze:
2
4
 3
+  ;
 7
0
 1
−  ;
 3
3
 4
−  ;
 9
3
 2
−  ;
 5
1
 5
+  ;
 2
 6
−  ;
 13 
1
− 
4
3
Esegui le seguenti operazioni applicando le proprietà delle potenze e lasciando il risultato
sotto forma di potenza:
3
4
5
 2  2
369)  −  ⋅  −  ;
 3  3
4
 7  2 
 −   ;
 9  
7
 1  1
+  : +  ;
 4  4
0
 4  3 
370)  +   ;
 9  
5
5
5
 3   14 
−  ⋅ −  ;
 7   25 
4
4
3
8
4
3
 5
 5
+  : +  ;
 7
 7
 3  3
+  ⋅ − 
 8  8
3
3
5
4
6
 3
 3   3   3  
+
⋅
+
:
+
⋅
+
 
 



 
 7
 7   7   7  
5
 3   12   1 
371)  −  :  +  :  −  ;
 5  5   4
 3  5  2  5 
372)  −  ⋅  +  
 2   9  
4
 1  3 
+  : − 
 5   10 
4
 1  3
: −  : + 
 3  8
11
0
 3  3  9  3  6  3  
 5  2  15  2 
373)  −  :  +   ⋅  −  ⋅  +  :  −   
 2   5   5   
 3   8  
2
374) Calcola il valore delle seguenti potenze con esponente negativo (esempi, pag. 91):
 1
− 
 2
− 3
; −4
−1
 2
− 
 3
;
− 4
2
; − 
3
− 4
 5
; + 
 3
− 2
; (− 5)− 4;
− 1− 4 ;
(− 1)− 4
375) Trasforma le seguenti potenze con esponente negativo in potenze con esponente positivo:
(−3)−2;
4
 
7
− 6
;
 1
− 
 3
5−3;
− 4
;
5
 
4
−8
;
 1 
− 
 25 
−3
;
 9
− 
 8
− 5
376) Trasforma le seguenti potenze con esponente positivo in potenze con esponente negativo:
4
 3
−  ;
 5
137
5
2
5;
7
  ;
9
8
 2
−  ;
 5
12
9
(− 4) ;
7
  ;
3
 5
− 
 7
6
Esempio:
a) Scriviamo la frazione
3
sotto forma di prodotto.
5
3
2
b) Scriviamo la potenza   sotto forma di prodotto.
7
a) Una frazione è il prodotto fra il numeratore e il reciproco del denominatore; quindi:
1
1
3
= 5−1,
= 3 ⋅ ; ma
5
5
5
3
= 3 ⋅ 5−1
5
dunque
3
2
b) Per quanto visto al punto a),   = (2 ⋅ 7 -1)3 = (applicando la proprietà distributiva delle
7
3
–3
potenze) = 2 ⋅ 7 .
3
2
In definitiva   = 2 3 ⋅ 7 –3.
7
377) Riscrivi le seguenti frazioni sotto forma di prodotto come nell’esempio:
5
3
  ;
4
 5
− 
 9
− 4
1
;
3
;
3
 7
−  ;
 12 
9
;
13
−
4
;
13
2
 
9
− 7
Applicando le proprietà delle potenze, semplifica le seguenti espressioni (esempi, pag. 91 e
successive):
1
378)  
5
− 3
4
 
9
: (− 5) ;
6
5
1
− 3
379)   : (− 12 ) ;
 12 
 3
380)  − 
 2
3
 6
381)  − 
 11 
382) 8
− 4
 6
⋅− 
 11 
3
5
4
9
⋅  ;
4
2
 9   13 
  ⋅− 
 13   9 
5
 5 7
−  ⋅  ;
 7 5
−4
2
2
⋅  ;
3
5
3
1
2
  : (− 5) ;
5
− 2
6
: 
 11 
 1
5 1
:  −  ⋅ (− 8) ⋅  
 8
8
9
− 3
 1
: − 
 9
 5
− 
 8
− 6
− 5
2
 8
⋅− 
 5
4
−1
2
138
 1
383) 4−2 ⋅  − 
 4
3
1
: 
4
6
[− 4]
5
3
4
2
7
 2   3   2  
 3
384)   ⋅  −  ⋅  −   :  − 
 3   2   3  
 2
−2
7
1  5  1 
385) ( −3) ⋅   : 3 ⋅  −  
 3    3  
[− 1]
−1
4
 −34 
−2
4
 2 2  5 −3 2 4  3 

     
 5
386)  −  ⋅   :     :  − 
 2
 5   2   5   
 2  6 
  
 5  
−3
2
3
−4
 7   4   7   4  
387)  −  :   ⋅   :  −  
 4   7   4   7  
  4 2 
−   
  7  
−1
5
−4 2
−4 −3
 1 2 
  1 −4

1 1  
1
5
3 
−3 





−3 
388)  −  ⋅  2 :  −  ⋅    : ( −2 ) ⋅ ( −2 )   ⋅   ⋅ ( −2 ) :  −  

 2   2   
 2  
 2  
  2 
[−27]
389) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
139
a)
− 5− 3 ⋅ 53 = 0
V
F
b)
− 53 ⋅ 5− 5 = 52
V
F
c)
(− 5)− 4
V
F
d)
5 −3 : (− 5)−3 = 0
V
F
e)
− 5−3 : (− 5)−3 = 1
V
F
f)
 1
− 
 5
V
F
g)
 1
− 
 5
V
F
h)
(− 5)− 4 ⋅
V
F
=
− 2
− 4
1
54
⋅ 5−2 = 5−4
4
1
⋅   =1
5
4
 1
−8
−  = 5
 5
Dopo averle riscritte in modo che non vi siano né l’operazione di divisione né la linea di
frazione, semplifica le seguenti espressioni (Esercizi svolti pag. 91 e successive):
390) 32 : 93
[3−4]
391) 16−3 : 86
[2−30]
392) (−5)−6 : 125
[5−9]
393) (−9)3 : 27 ⋅ 9−4
[−3−5]
394) 2−3 ⋅ (−4)2 : 25
[2−4]
395) 54 : 25−2 ⋅ 5−6
[52]
396) (−4)3 ⋅ 8−2 : (−2)4
1
397) 3−2 ⋅  
9
398)
( −8 )
399)
( −7 )
−5
1
⋅   : (− 34)
9
⋅ 4 −2
3
32
4
2
: 49−2
7 : ( −7 )
[−75]
−5
3
2
400)
1  1
:   ⋅ − 
2  2
−82 ⋅ 4−3
( −6 )
3
5
[2−7]
:182 :12−5
401)
−34 ⋅ 245
402)
123 ⋅ ( −8 ) : ( −9 )
−1
16 ⋅ 6
2
3
[ 2−4 ⋅ 3− 5]
4
[−6−8]
3
4
4  7
403)   ⋅  −  : (7)2
7  8
−3
[3−4]
[−210]
−1
−4
−5
[−2−4]
2
 3   2   16 
404)  −  :   :  
 4 9  3 
[2−6 ⋅ 7−1]
−1
[− 28]
140
4
 5  1 
 −  ⋅ 
3   15 
405) 
−3
 9 
 25 
 
2
[5−4]
−2
3
 7   81  1
−  :  ⋅
9   49  7
406) 
A
2
−3
1 7
−  ⋅ 
9 3
3
[33 ⋅ 7]
2
49 
9
−2 
  ⋅ 12 :  − 
16
 27 
407)   6
5
−1
 25   2   4 
  : −  ⋅ 
 24   3   5 
[− 29 ⋅ 311 ⋅ 5−13 ⋅ 7 −4]
Applica, se possibile, le proprietà delle potenze e determina il valore delle seguenti espressioni:
−3
2

1 
−2  1 
408) − 2 + (− 2 ) ⋅   − 33 :    ⋅ 2 4
2
 3  

[− 17]
 1  2  1  −3

409) − 33 ⋅   ⋅   + 2 0 
 4   8 

[− 891]
 1  −2  1   1  2

410) − 3 −  −  ⋅  −  +   ⋅ 33 
 2   4   3 

[− 5]
−1

 11 3  5  7  −1 
 1 5  7 
−2
411) 5 0 +  +  :  −  − (− 2 )  : + ⋅  :   
 12 8   17 

 6 4  7  5  
2
− 2

1
1  3
− 2
412) (− 3) +   −  −  + 
6 
2  2

 2 −3 
413)  −  
 3  
 5
414)  − 
 4
141
− 2
−2
2
[−1]
2
 1   2 3  
3  3  4 
: − − 3 −  +   + −  ⋅ 1 − 
4  7  3 
 3   3 2  
2
2
−1
4
4
−3
−3
 3   2   3   2    3 
⋅   :  −  +   :  −   ⋅  
 2   3   2   3    2 
2
2
− 2
2
−2
1 3   3 9    1 1   1 1    1 
 8  
:  −  +  2 − −  :  − +   ⋅  −  :  +   −  − 
5 2   5 10    3 2   2 3    3 
 5  
 59 
100 
 26 
 27 
 223 
 − 60 
Calcola il valore delle seguenti espressioni sostituendo al posto delle lettere le quantità indicate:
a=
416) 3 x 2 − 2 y −1 + 2 xy 2 + 2
1
5
x=− ; y=−
5
2
3
a +1
4
b + c −2
a 2 bc −
2
 3 
2
1
; b=−
3
2
415) a + 2b − 3ab
 21 
 50 
2
5
a = −1; b = − ; c =
5
4
125 
 24 
1
 5
 5 1

418)  − + a  : +  − b − 2  − − 2
 12
 12  3
 3b
5
a= ; b=2
6
 5
 − 6 
1 2
xy − 2 x − y
419) 3
+ x2
2
5y
x = −3; y = −
2 2
3
a −b
1
420) 3
⋅  ⋅c
1
b
a − 2b  
3
a = −3; b = −2; c =
417)
2
1
2
[14]
1
4
 1
 − 12 
421) Completa i seguenti calcoli sulla notazione esponenziale come mostrato nei primi due esempi:
a) 2100 = 2,1 ⋅ 103
b) 0,075 = 7,5 ⋅ 10−2
c)
3500 = ………
d) 0,64 = ………
e)
60000 = ………
f)
8150 = ………
g) 0,14 = ………
h) 0,00036 = ………
142
Problemi
422) Lucia e Barbara si incontrano in profumeria.
Lucia: “Che sorpresa, non pensavo di incontrarti qui proprio oggi, 27 agosto! Sai, entro in
questo negozio ogni 12 giorni”.
Barbara: “Anche per me è una sorpresa! Io ci passo ogni 8 giorni. Chissà quando ci
incontreremo di nuovo in questo posto!”
Lucia: “Ma è facile! Basta fare un po’ di conti”.
Barbara, perplessa: “Eh?!”
Quando si incontreranno nuovamente Lucia e Barbara nella profumeria?
[20 settembre]
423) Stefano e Francesco hanno terminato di decorare l’albero di Natale con tre serie di lampadine
intermittenti: una rossa, una blu e una verde.
Stefano: “Bello, vero? Pensa, le lampadine rosse si accendono ogni 3 secondi, quelle blu ogni
6 secondi e quelle verdi ogni 9 secondi”.
Francesco, guardando l’orologio: “Bellissimo! Adesso sono le 20.10 e le lampadine sono tutte
accese; io dico che anche alle 20.30 saranno tutte accese”.
Stefano, dubbioso, pensa per qualche attimo: “Ma che dici! Saranno tutte accese alle 20.40”.
Chi ha ragione?
[Stefano]
424) Il gioco del “BOOM”.
Marta spiega alla sua amica Giorgia il gioco che ha fatto stamattina a scuola.
“Si conta da 1 a 100, ma quando si deve dire un multiplo di 7 o un numero che contiene la
cifra 7 si dice “BOOM”. Come mi sono divertita; ad un certo punto si diceva solo BOOM!”
Giorgia:“Chissà quante volte avrete detto “BOOM”!
Marta: “Forse 30 volte.”
Marta ha indovinato?
E quante volte si dice BOOM se si conta fino a 300?
[si;
143
92]
425) Il nome nascosto.
Inserisci , nel seguente schema, i numeri derivanti dalle definizioni. Riportando nella colonna
a fianco, le lettere dell’alfabeto italiano corrispondenti ai numeri inseriti nelle caselle gialle
( esempio A = 1; B = 2; C = 3; … ), si ottiene un nome di persona.
1. Il numero che sostituito ad x rende
vera
l’uguaglianza 3 ⋅ (2 ⋅ x − 14) = 0.
2. Il quadrato del doppio del numero alla
definizione 1.
3. Il più piccolo numero palindromo pari di
cinque cifre tutte diverse da zero. (un
numero si dice palindromo se letto da
sinistra verso destra e viceversa non
cambia).
4. Il quadrato del numero naturale che rende vera la relazione (x + 3) ⋅ (3 ⋅ x – 36) = 0.
5. L’elemento neutro della moltiplicazione in Q.
426) Tre amiche vanno regolarmente al parco a correre: la prima ogni 10 giorni; la seconda ogni 15
giorni e la terza ogni 14 giorni. Una domenica si trovano a correre insieme. Dopo quante
domeniche si ritroveranno al parco per la prima volta a correre insieme.
a) 22
b) 25
c) 30
d) 70
e) mai
[c]
[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 2002]
427) Fra le seguenti affermazioni:
(i)
310 è un cubo;
(ii)
310 è dispari;
(iii)
310 è un quadrato
Quali sono quelle corrette?
a) solo (i);
b) solo (ii);
c) solo (iii);
d) (ii) e (iii);
e) tutte e tre
[d]
[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 2004]
144
428) a, b, c sono tre numeri naturali. Sappiamo che a è divisibile per 15, b è divisibile per 12 e c è
divisibile per 21. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?
a)
a2 + b2 + c2 è divisibile per 18;
b) a + b + c è divisibile per 9;
c)
a + b + c è divisibile per 2;
d)
(a + b + c)2 è divisibile per 9;
e)
a2 + b2 + c2 è divisibile per 15.
[d]
[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 2004]
429) Il numero 10100 + 10010 è uguale a:
a) 10020 ;
b) 1020 (1 + 1080);
c) 10100 (1010 + 1);
d) 10120 ;
e) 110110 .
[b]
[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 2007]
430) Quanti sono i numeri interi positivi multipli di almeno uno tra 5 e 7 e minoro o uguali a 1000?
a) 288;
b) 302;
c) 314;
d) 342;
e) 382.
[c]
[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 2008]
145
431) Quale dei seguenti numeri termina con il maggior numero di zeri?
a) 22 ⋅ 33 ⋅ 55
b) 23 ⋅ 35 ⋅ 52
c) 25 ⋅ 53 ⋅ 32
d) 45 ⋅ 56 ⋅ 64
e) 46 ⋅ 65 ⋅ 54
[d]
[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 1998]
432) Dati cinque interi consecutivi, cosa si può dire della cifra delle unità del loro prodotto?
a) Può essere qualunque cifra.
b) Può essere qualunque cifra pari.
c) Può essere 0 oppure 5.
d) E’ sempre 0.
e) Nessuna delle precedenti.
[d]
[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 1996]
433) Ogni mese un grossista spedisce ad un negoziante 24 litri, 32 litri e 40 litri di tre varietà
diverse di vino utilizzando il minimo numero possibile di recipienti tutti uguali e
completamente riempiti, ovviamente senza mescolare qualità diverse di vino nello stesso
recipiente. Quanti recipienti riceverà quel negoziante in un anno?
a) 36
b) 72
c) 144
d) 288
e) i dati non sono sufficienti
[c]
[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 2000]
146
434) Nonostante siano passati parecchi mesi dalle elezioni , nella repubblica delle Banane non si è
ancora fatta chiarezza sui risultati. La nuova commissione che sta esaminando i verbali
provenienti dai seggi si trova spesso di fronte a verbali pasticciati. In uno compare la seguente
sottrazione
a
0
0
8
c
2
4
♦
♥
8
8
d
2
♣
♠
b
7
3
in cui lettere e simboli rappresentano cifre illeggibili (non è detto che simboli e lettere diversi
rappresentino cifre diverse). Nonostante tutto, la commissione riesce a ricostruire in parte, il
calcolo.
Quali sono le cifre corrispondenti alle lettere a, b, c, d ?
[Coppa Fermat, 2007]
147
CAPITOLO 4
Le relazioni
4.1 Le relazioni e la loro rappresentazione
Siano A = {Roma, Parigi, Valencia, Oslo} e B = {Francia, Italia, Spagna, Cile, Libia} due insiemi;
consideriamo la proposizione aperta p(x , y) : “x è capitale di y”, con x ∈ A e y ∈ B.
Alcuni elementi di A × B, rendono vera la proposizione, altri la rendono falsa.
Per esempio, la coppia ordinata (Roma , Italia) ∈ A × B rende vera la proposizione “Roma è la
capitale dell’Italia”; invece la coppia ordinata (Valencia , Cile) ∈ A × B rende falsa la proposizione
“Valencia è la capitale del Cile”.
Diciamo, allora, che esiste una relazione ℜ da A verso B e che Roma è in relazione con Italia, ma
Valencia non è in relazione con Cile.
Esistono altri modi per dire che “Roma è in relazione con Italia”: “Italia è il corrispondente di
Roma”, “a Roma associa Italia”.
Per indicare che “Roma è in relazione con Italia” si scrive “Roma ℜ Italia”; per indicare che
“Valencia non è in relazione con Cile” si scrive “Valencia ℜ Cile”.
Definizione
Dati due insiemi A e B non vuoti definiamo relazione ℜ da A verso B (o che A è in relazione con B)
una qualsiasi legge che lega elementi di A ad elementi di B. Se l’elemento a∈A è in relazione
mediante la legge ℜ con l’elemento b∈B si scrive aℜ
ℜb e b è detta immagine di a
e
a
controimmagine di b.
L’insieme formato dalle coppie ordinate di elementi (x, y) con x∈A e y∈B che sono in relazione è
un sottoinsieme di A × B che prende il nome di grafico della relazione ed è indicato con la stessa
lettera con la quale si indica la relazione; per questo, è in uso definire una relazione ℜ come un
qualsiasi sottoinsieme di A × B.
Nell’esempio precedente, Italia è immagine di Roma e Roma è controimmagine di Italia; il grafico
ℜ della relazione è il seguente: ℜ = {(Roma , Italia), (Parigi , Francia)}.
Come si può notare, alcuni elementi di A (Roma , Parigi) hanno un’immagine in B, mentre altri
elementi di A (Valencia , Oslo) non hanno immagine in B: il sottoinsieme di A, formato da
elementi che hanno almeno un’immagine in B, si chiama dominio della relazione ℜ e si indica
con D.
In maniera analoga, esistono elementi di B (Italia , Francia) che hanno una controimmagine in A e
altri elementi di B (Spagna , Cile , Libia) che non hanno controimmagine in A: il sottoinsieme di B,
1
formato da elementi che hanno almeno una controimmagine in A, si chiama codominio della
relazione ℜ e si indica con C.
In altre parole:
o
si chiama dominio di una relazione l’insieme formato dalle controimmagini;
o
si chiama codominio di una relazione l’insieme formato dalle immagini.
Nell’esempio considerato
D = {Roma , Parigi} e C
= {Italia , Francia}
Una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme di A × B ; pertanto può essere rappresentata
in diversi modi (fasc. 1, pag. 12 e succ.):
rappresentazione sagittale:
si rappresentano gli insiemi A e B con i diagrammi di Eulero Venn e si collegano, con un segmento orientato (freccia), gli
elementi di A e di B che sono in relazione.
rappresentazione mediante tabella a doppia entrata:
si riportano in una tabella gli elementi di A e di B: nella prima colonna si scrivono gli elementi di A,
nella prima riga si scrivono gli elementi di B.
Nella casella intersezione fra una riga e una colonna si scrive SI’ (o si mette una crocetta) se
l’elemento della riga e l’elemento della colonna sono in relazione, altrimenti si scrive NO.
Italia
Cile
Francia
Libia
Spagna
Roma
SI’
NO
NO
NO
NO
Parigi
NO
NO
SI’
NO
NO
Valencia
NO
NO
NO
NO
NO
Oslo
NO
NO
NO
NO
NO
ℜ
In alternativa, nella casella intersezione fra una riga e una colonna, si scrive 1 se l’elemento della
riga e l’elemento della colonna sono in relazione, altrimenti si scrive 0.
Italia
Cile
Francia
Libia
Spagna
Roma
1
0
0
0
0
Parigi
0
0
1
0
0
Valencia
0
0
0
0
0
Oslo
0
0
0
0
0
ℜ
2
Si è soliti, però, scrivere soltanto SI’ o mettere una crocetta o 1, per non “appesantire” la tabella; ad
esempio:
ℜ
Roma
Parigi
Italia
Cile
Francia
Libia
Spagna
ℜ
Roma
×
×
Italia
Cile
Valencia
Oslo
Oslo
Libia
Spagna
1
Parigi
Valencia
Francia
1
rappresentazione cartesiana:
si disegnano due semirette, tra loro perpendicolari,
aventi la stessa origine. Si riportano sulla semiretta
orizzontale gli elementi di A, cioè gli elementi del
primo insieme, e sulla semiretta verticale gli elementi di
B, cioè gli elementi del secondo insieme. Si conducono,
poi, da ciascun elemento le semirette che formano la
quadrettatura e si segna, infine, una crocetta, od un
puntino, all’intersezione delle semirette condotte dagli
elementi che sono in relazione.
rappresentazione tabulare:
si rappresenta, in forma tabulare, il sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B formato dalle coppie
ordinate i cui elementi sono in relazione. Praticamente, non è altro che il grafico della relazione.
ℜ = {(Roma , Italia), (Parigi , Francia)}.
rappresentazione mediante grafo:
si usa questo tipo di rappresentazione se la relazione è definita da un insieme A in se stesso; cioè
associa ad elementi di A altri elementi di A.
Ciascuno degli elementi di A viene rappresentato con un puntino; gli elementi che sono in relazione
si collegano con delle frecce.
In figura è rappresentata con un grafo una relazione ℜ definita
nell’insieme A = {a, b, c, d} tale che a ℜ a, b ℜ c e b ℜ d.
Il segno sta ad indicare che un elemento è in relazione con se stesso.
3
Esempi
a)
Dati gli insiemi A = {x ∈ N : 0 < x < 6} e B = {y ∈ Z : −2 ≤ y < 4} , sia ℜ la relazione da A
verso B definita dalla proposizione p(x, y) : “x è il quadrato di y”.
Determiniamo dominio e codominio di ℜ.
Per determinare gli elementi di A × B che rendono vera p(x, y) si opera così:
scegliamo un elemento di A, per esempio 1; formiamo, poi, le proposizioni p(1, y) scegliendo y
in tutti i modo possibili fra gli elementi di B. Si hanno, così, proposizioni del tipo:
p(1, −1): “1 è il quadrato di -1” (V);
p(1, 0) : “1 è il quadrato di 0” (F);
p(1, 1) : “1 è il quadrato di 1” (V);
………………………………….;
p(1, 3) : “1 è il quadrato di 3” (F).
Ripetiamo lo stesso procedimento per gli altri elementi di A e, successivamente, rappresentiamo
la relazione ℜ in forma sagittale:
−1
−
Gli elementi di A che hanno almeno un immagine in B sono 1 e 4; quindi il dominio della
relazione è D = {1, 4}. Gli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A
sono −1, 1, −2, 2; quindi il codominio della relazione è l’insieme C
= {−2, −1, 1, 2}.
b) In figura è rappresentata, mediante tabella a doppia entrata, una relazione ℜ da A verso B:
ℜ
b
a
1
d
1
e
i
c
1
o
u
1
4
Rappresentiamo gli insiemi A e B in forma tabulare e determiniamo dominio e codominio della
relazione.
Ricorda che, nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata, gli elementi del primo
insieme (quelli di A) sono riportati nella prima colonna e gli elementi del secondo insieme
(quelli di B) sono riportati nella prima riga. Si ha, dunque: A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, d}.
Osservando la posizione degli “1” si rileva che a ℜ b, e ℜ c, i ℜ b, u ℜ c; gli elementi di A
che hanno almeno un’immagine in B sono a, e, i, u; gli elementi di B che hanno almeno una
controimmagine in A sono b e c. Allora si ha che il dominio della relazione è D = {a, e, i, u} e
= {b, c}.
il codominio C
PROVA TU
1. Siano A = {Anna, Carlo, Ada, Fabio, Marta, Clara} e B = {a, b, c, d, e, f, g} due insiemi e ℜ
x ℜ y ⇔ “x inizia con y”.
una relazione da A verso B così definita:
Rappresenta ℜ mediante tabella a doppia entrata e con la rappresentazione cartesiana;
determina, successivamente, dominio e codominio di ℜ.
2. In figura è rappresentata una relazione ℜ fra due insiemi E ed F:
F
20
9
11
16
m
p
s
t
r
z
E
a) Rappresenta ℜ in forma sagittale ed in forma tabulare; determina dominio e codominio di ℜ.
b) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
▪
11 ℜ m
V
F
▪
r ℜ 16
V
F
▪
s ℜ 20
V
F
▪
t∈D
V
F
▪
t∈C
V
F
V
F
▪
(m, 11) ∈ ℜ
5
4.2 Relazione inversa
Siano A = {x ∈ N : 1 < x ≤ 8} e B = {−3, −1, 2, 3, 4} due insiemi.
Considera le seguenti relazioni:
ℜ1, da A verso B, così definita:
x ℜ1 y ⇔ “x è il doppio di y”
ℜ2, da B verso A, così definita :
y ℜ2 x ⇔ “y è la metà di x”
ℜ1
ℜ2
Osservando la rappresentazione sagittale di ℜ1 e di ℜ2, notiamo che:
4 ℜ1 2
e
2 ℜ2 4 ,
quindi 2 è immagine di 4 nella relazione ℜ1 e 2 è controimmagine di 4 nella relazione ℜ2;
6 ℜ1 3
e
3 ℜ2 6 ,
quindi 3 è immagine di 6 nella relazione ℜ1 e 3 è controimmagine di 6 nella relazione ℜ2;
8 ℜ1 4
e
4 ℜ2 8 ,
quindi 4 è immagine di 8 nella relazione ℜ1 e 4 è controimmagine di 8 nella relazione ℜ2.
Il dominio di ℜ1 è D1 = {4, 6, 8}, il codominio di ℜ1 è C1 = {2, 3, 4}; mentre il dominio di ℜ2 è
D2 = {2, 3, 4}, il codominio di ℜ2 è C2 = {4, 6, 8}.
Osserviamo, quindi, che D1 = C2 e D2 = C1.
La relazione ℜ2 è chiamata relazione inversa di ℜ1 e si indica con (ℜ
ℜ1)−1.
6
Definizione
Dati due insiemi A e B ed una relazione ℜ da A verso B, si chiama relazione inversa di ℜ la
relazione ℜ-1 che ad y ∈ B fa corrispondere x ∈ A tale che x è la controimmagine di y nella
relazione ℜ . In simboli:
y ℜ-1 x ⇔ x ℜ y.
Come osservato, nell’esempio introduttivo, il dominio di ℜ-1 è uguale al codominio di ℜ ed il
codominio di ℜ-1 è uguale al dominio di ℜ.
ATTENZIONE
In figura sono rappresentate due relazioni ℜ1 (colore blu ) e ℜ2 (colore rosso).
Osservandole con molta attenzione, notiamo che il
dominio di ℜ1 è uguale al codominio di ℜ2 e,
viceversa, il codominio di ℜ1 è uguale al dominio di
ℜ2; le due relazioni non sono, però, una l’inversa
dell’altra.
Sai spiegarne il motivo?
4.3 Le relazioni in un insieme e le loro proprietà
Siano dati l’insieme A = {mina, casa, gatto, palla, circo, boa} e la relazione ℜ definita dalla
proposizione aperta p(x, y): “x ha lo stesso numero di lettere di y”, con (x, y) ∈ A2.
Rappresentiamo la relazione mediante grafo:
7
Osserviamo che:
− per ogni elemento di A c’è una freccetta che torna sull’elemento stesso e ciò indica che ogni
elemento è in relazione con se stesso: si dice, allora, che vale la proprietà riflessiva.
− alcune coppie di elementi di A, per esempio mina e casa, sono collegate da due frecce
orientate in senso opposto; questo vuol dire che “mina ℜ casa” e, viceversa, “casa ℜ
mina” e questo si verifica per ogni coppia di elementi che sono in relazione; infatti,
ancora ad esempio, “circo ℜ palla” e “palla ℜ circo”: si dice, allora, che vale la proprietà
simmetrica.
− I tre elementi circo, palla, gatto sono tali che “circo ℜ palla”, “palla ℜ gatto” e “circo ℜ
gatto”: si dice che vale la proprietà transitiva.
Se in una relazione accade che x ℜ y e y ℜ x, nella rappresentazione mediante grafo si preferisce
collegare x e y con una linea (anziché con due frecce orientate in senso opposto una rispetto
all’altra), come mostrato nella seguente figura:
Consideriamo, adesso, l’insieme B = {21, 35, 23, 45} e la relazione ℜ definita in B dalla
proposizione p(x, y) : “la somma delle cifre di x è minore della somma delle cifre di y”.
Per esempio, 21 ℜ 35 perché la somma delle cifre di 21 è (2 + 1) = 3, la somma delle cifre di 35 è (3
+ 5) = 8, e 3 < 8. Possiamo dire che 35 ℜ 21? No, perché 8 < 3 è una proposizione falsa.
In figura è rappresentata con un grafo la relazione ℜ.
B
21
•
35
•
23
•
•
45
8
Osserviamo che:
▪
nessun elemento ha la freccetta che ritorna su se stesso e quindi nessun elemento è in
relazione con se stesso: si dice, allora, che vale la proprietà antiriflessiva;
▪
gli elementi che sono in relazione sono collegati da una sola freccia e non c’è la freccia
orientata in senso opposto; per esempio 21 e 23 sono collegati da una freccia orientata da 21
verso 23, ma non c’è una freccia orientata da 23 verso 21; questo significa che 21 ℜ 23, ma
che 23 ℜ 21: si dice che vale la proprietà antisimmetrica.
In generale, si hanno le seguenti definizioni:
Sia ℜ una relazione definita in un insieme A:
o
se ∀ x ∈ A : x ℜ x, si dice che per ℜ vale la proprietà riflessiva;
o
se ∀ x ∈ A : x ℜ x, si dice che per ℜ vale la proprietà antiriflessiva;
o
se ∀ x, y ∈ A tali che x ℜ y anche y ℜ x, si dice che per ℜ vale la proprietà simmetrica;
o
se ∀ x, y ∈ A, x ≠ y, tali che x ℜ y e y ℜ x, si dice che per ℜ vale la proprietà
antisimmetrica;
o
se ∀ x, y, z ∈ A tali che x ℜ y ∧ y ℜ z, anche x ℜ z, si dice che per ℜ vale la proprietà
transitiva.
ATTENZIONE
In figura è rappresentata una relazione ℜ definita in un insieme B.
Osserviamo che:
•
esiste almeno un elemento (il 3) che non è in relazione
con se stesso e quindi non vale la proprietà riflessiva;
poiché esiste almeno un elemento (quale?) che, invece, è
in relazione con se stesso, non vale la proprietà
antiriflessiva;
•
esiste almeno una coppia (x, y) tale che x ℜ y, ma y ℜ x
[la coppia (0, 1)] e quindi non vale la proprietà simmetrica; d’altra parte esiste almeno una
coppia (x, y) tale che x ℜ y e y ℜ x, quindi non vale la proprietà antisimmetrica;
•
osserviamo che alcune terne, ad es. (5, 2, 3), sono tali che se x ℜ y e y ℜ z anche x ℜ z [infatti
5 ℜ 2 ∧ 2 ℜ 3 ⇒ 5 ℜ 3], ma vi è almeno una terna, (0, 1, 2), che non verifica tale proprietà;
quindi non vale proprietà transitiva.
9
Esempi
Nelle figure 1, 2 e 3 sono rappresentate tre relazioni (osserva che, nelle figure 1 e 2, gli elementi
dell’insieme sono riportati nello stesso ordine):
ℜ
a
a
1
b
b
c
d
1
1
2
•
1
c
1
1
1
d
1
1
1
fig. 1
0
•
•
3
fig. 2
1
•
fig. 3
Analizziamo la relazione rappresentata nella fig. 1:
▪
in tutte le caselle della “diagonale” (di colore giallo nella figura) c’è “1”; questo vuol dire che
ogni elemento è in relazione con se stesso e, quindi, vale la proprietà riflessiva;
▪
le caselle di colore celeste sono disposte simmetricamente rispetto alla diagonale, questo vuol
dire che vale la proprietà simmetrica.
Analizziamo la relazione rappresentata nella fig. 2:
▪
Esiste un punto sulla ideale “diagonale” sul quale non c’è la crocetta; questo indica che esiste
un elemento che non è in relazione con se stesso, ma esiste qualche elemento che è in
relazione con se stesso; dunque, non valgono nè la proprietà riflessiva né quella antiriflessiva;
▪
per ognuna delle crocette in verde non esiste la sua simmetrica rispetto alla diagonale; questo
vuol dire che vale la proprietà antisimmetrica.
Analizziamo la relazione rappresentata dalla fig. 3:
▪
su nessun elemento c’è la freccia che torna su stessa e questo indica che nessun elemento è in
relazione con se stesso: vale, quindi, la proprietà antiriflessiva;
▪
le frecce sono orientate in un solo senso; questo indica che ogni qualvolta un elemento è in
relazione con un altro elemento, quest’ultimo non è in relazione con il primo: vale, quindi, la
proprietà antisimmetrica;
▪
le frecce formano un “triangolo” (ma è necessario fare attenzione al loro orientamento) e
questo indica che “0” è in relazione con “1”, “1” è in relazione con “3” e “0” è in relazione con
“3”: vale, quindi, la proprietà transitiva.
10
PROVA TU
1) Rappresenta con un grafo le relazioni rappresentate in fig. 1 ed in fig. 2 dell’esempio precedente
e stabilisci se per esse vale la proprietà transitiva.
2) Osserva le seguenti relazioni e stabilisci quali proprietà valgono per esse:
•
•
•
•
•
ℜ
3
6
3
1
1
6
1
9
1
12
9
12
1
1
1
1
fig. a
fig. b
fig. c
4.4 Relazioni di equivalenza e relazioni d’ordine
Definizione
Sia ℜ una relazione definita in un insieme A.
ℜ è una relazione d’equivalenza se per essa valgono le seguenti proprietà:
− proprietà riflessiva;
− proprietà simmetrica;
− proprietà transitiva.
Gli elementi che sono in relazione in una relazione d’equivalenza si dicono equivalenti.
Consideriamo, nuovamente, l’insieme A = { mina, casa, gatto, palla, circo, boa} e la relazione ℜ
definita dalla proposizione aperta p(x, y): “x ha lo stesso numero di lettere di y”, con (x, y) ∈ A2.
Abbiamo visto che per ℜ valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: essa è, quindi, una
relazione di equivalenza. Gli elementi equivalenti sono: mina e casa; gatto, palla e circo.
Possiamo, allora, determinare dei sottoinsiemi di A formati da elementi tra loro equivalenti (nella
relazione ℜ).
Si hanno i seguenti sottoinsiemi: A1 = { boa} ; A2 = { mina, casa} ; A3 = { circo, gatto, palla} .
Adesso, completa le seguenti proposizioni:
A1 ∪ A2 ∪ A3 = …………………………………….... ;
ogni sottoinsieme è ……………… dall’insieme vuoto;
A1 ∩ A2 = ………..; A1 ∩ A3 = …………; A2 ∩ A3 = …………….
11
Possiamo, allora, dire che l’insieme { A1, A2, A3} è una …….………………… dell’insieme A.
Ciascuno dei sottoinsiemi A1, A2, A3 si chiama classe di equivalenza e l’insieme { A1, A2, A3} si
chiama insieme quoziente e si indica con A / ℜ .
Una classe di equivalenza può essere indicata racchiudendo fra parentesi quadre un elemento del
sottoinsieme scelto come rappresentante; ad esempio, per indicare l’insieme A3 si scrive [circo]; si
ha, dunque:
• A1 = [boa] = {boa}; A2 = [mina] = {mina, casa}; A3 = [circo] = {circo, gatto, palla}
• A / ℜ = {[boa], [mina], [circo]}
La simbologia usata per indicare una classe di equivalenza ti è già nota: nello stesso modo abbiamo,
infatti, indicato un insieme formato da frazioni equivalenti che prende il nome di “classe”. Del resto,
se rifletti, la relazione “essere equivalenti” nell’insieme delle frazioni è una relazione d’equivalenza.
In generale:
sia ℜ una relazione d’equivalenza definita in un insieme A:
▪
se x ℜ y, allora x è equivalente a y;
▪
un sottoinsieme di A formato da elementi tra loro equivalenti si chiama classe d’equivalenza e
si indica con [x], dove x è un elemento del sottoinsieme scelto come suo rappresentante;
▪
l’insieme formato da tutte le classi di equivalenza si chiama insieme quoziente e si indica con
la scrittura A / ℜ .
La relazione di equivalenza determina sempre una partizione dell'insieme A.
12
Definizione
Sia ℜ una relazione definita in un insieme A.
ℜ è una relazione d’ordine se per essa valgono:
▪
la proprietà riflessiva o la proprietà antiriflessiva;
▪
la proprietà antisimmetrica;
▪
la proprietà transitiva.
In particolare,
ℜ è una relazione d’ordine stretto se è una relazione d’ordine e per essa vale la proprietà
antiriflessiva;
ℜ è una relazione d’ordine largo se è una relazione d’ordine e per essa vale la proprietà
riflessiva.
Esempi
1) Studiamo la relazione rappresentata in figura:
ℜ
a
c
d
e
a
×
×
×
c
×
×
×
d
×
×
e
×
×
f
×
×
f
×
Studiare una relazione vuol dire determinare le proprietà che valgono per essa e, eventualmente,
stabilire di che tipo è la relazione.
Osserviamo la figura data:
▪
in ognuna delle caselle della diagonale (in colore giallo) c’è una crocetta e ciò indica che
ogni elemento è in relazione con se stesso: vale la proprietà riflessiva;
▪
le crocette (nelle caselle in celeste) sono disposte simmetricamente rispetto alla diagonale:
vale la proprietà simmetrica.
Con questo tipo di rappresentazione non è proprio semplice stabilire se vale la proprietà transitiva.
13
Rappresentiamo, allora, la stessa relazione con un grafo:
A
Notiamo che gli elementi a, c, f sono collegati in modo da formare un triangolo; vale, dunque, la
proprietà transitiva.
Poiché valgono la proprietà riflessiva, la proprietà simmetrica e la proprietà transitiva, la relazione è
una relazione d’equivalenza.
Le classi di equivalenza sono: [a] = {a, c, f}; [d] = {d, e}; l’insieme quoziente è A / ℜ = {[a], [d]}.
2) Studiamo la relazione rappresentata in figura:
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10
o
nei punti intersezione appartenenti alla diagonale non ci sono crocette, quindi nessun elemento
è in relazione con se stesso: vale la proprietà antiriflessiva;
o
per ogni crocetta non c’è la sua simmetrica rispetto alla diagonale: vale la proprietà
antisimmetrica.
o
Per stabilire se vale la proprietà transitiva, in generale, la cosa più opportuna è, quindi, quella di
rappresentare la relazione con un grafo, come nell’esempio precedente.
14
Talvolta un po’ di attenzione può evitare del lavoro in più.
Se osserviamo attentamente le crocette ci accorgiamo che esistono tre elementi 0, 2, 4 tale che
0 è in relazione con 2, 2 è in relazione con 4, ma 0 non è in relazione con 4.
In simboli si ha:
0 ℜ 2, 2 ℜ 4, ma 0 ℜ 4 : non vale la proprietà transitiva.
La relazione, dunque, non è una relazione d’ordine.
PROVA TU
▪
Sia A = {2, 3, 5, 6, 9, 12, 36} e la relazione ℜ in esso così definita:
x ℜ y ⇔ “x è divisore di y”.
Verifica che ℜ è una relazione d’ordine e stabilisci se è d’ordine largo o stretto, se è totale o
parziale.
▪
Sia B = {41, 56, 401, 74, 35} e ℜ la relazione in esso così definita:
x ℜ y ⇔ “la somma delle cifre di x è uguale alla somma delle cifre di y”.
Verifica che ℜ è una relazione d’equivalenza; determina le classi d’equivalenza e l’insieme
quoziente.
4.5 Funzioni
Dati gli insiemi A = {Alma, Bruno, Carlo, Anna} e B = {a, b, c, d}, sia ℜ una relazione da A verso
B definita dalla proposizione aperta p(x, y): “x inizia con la lettera y”.
Rappresentiamo, in forma sagittale, la relazione ℜ:
Osserviamo che ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B; in questo caso la
relazione ℜ prende il nome di funzione.
15
Definizione
Una relazione ℜ da A verso B è una funzione se ogni elemento di A ha una sola immagine in B; in
simboli:
∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B | x ℜ y.
Riflettiamo sulla definizione di funzione: affinché una relazione ℜ da A verso B sia una funzione si
deve verificare che:
−
il dominio della relazione ℜ sia uguale all’insieme A (D = A);
−
ogni elemento di A deve avere una sola immagine, cioè la relazione deve essere univoca.
Se una di queste due proprietà non è verificata, la relazione non è una funzione.
Osserva le figure 1 e 2:
fig. 1
▪
fig. 2
la relazione rappresentata in fig. 1 non è una funzione perché l’elemento 0 non ha immagine
in B; quindi D ≠ A;
▪
la relazione rappresentata in fig. 2 non è una funzione perché all’elemento 1 di E
corrispondono due elementi in F (1 e −1), quindi la relazione non è univoca.
Qual è la legge che definisce la relazione in fig. 1 ?
x ℜ y : ……………………………………………………………………………….
Qual è la legge che definisce la relazione in fig. 2 ?
x ℜ y : ……………………………………………………………………………….
Osserva la fig. 2; la relazione inversa di quella rappresentata è una funzione? …………
16
Una funzione si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto (generalmente la lettera f ) e si può
scrivere in vari modi:
▪
f : A → B (si legge “la funzione effe da A verso B”);
▪
f : x → y (si legge “la funzione effe che ad x associa y”, o “la funzione f che ad x fa
corrispondere y”).
Per indicare l’immagine di x tramite una funzione f si scrive f(x) (si legge “effe di x”) e poiché
si è soliti indicare il corrispondente di un elemento con la lettera y, si scrive anche y = f(x).
Useremo indifferentemente y o f(x) per indicare l’immagine di x tramite la funzione f.
Per esempio, per indicare la funzione f da N0 verso Z che a ciascun numero naturale associa il suo
opposto, scriveremo indifferentemente:
f : N0 → Z | y = − x
f : x → y = − x (x∈ N0 ∧ y ∈ Z )
f(x) = − x (x∈ N0 ∧ y ∈ Z )
y = − x (x∈ N0 ∧ y ∈ Z ).
Nelle seguenti figure sono rappresentate tre funzioni:
fig. 3
▪
fig. 4
fig. 5
Osserviamo la fig. 3:
non accade mai che due elementi distinti di A abbiano la stessa immagine in B, il che è lo stesso
dire che elementi distinti di A hanno immagini distinte in B.
Funzioni di questo tipo si dicono iniettive.
17
▪
Osserviamo la fig. 4:
il codominio della funzione è l’insieme F (tutti gli elementi di F sono “colpiti” da frecce).
Funzioni di questo tipo si dicono suriettive.
▪
Osserviamo la fig. 5:
ha le caratteristiche delle funzioni di cui alle figg. 3 e 4; cioè elementi distinti di Q hanno
immagini distinte in P e, inoltre, il codominio della funzione è l’insieme P; quindi questa
funzione è sia iniettiva che suriettiva.
Funzioni di questo tipo si dicono biunivoche.
In generale:
Sia f : A → B una funzione:
▪
f è iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte in B;
in simboli:
f iniettiva ⇔ ∀ x1, x2 ∈ A | x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
oppure, in modo equivalente:
f iniettiva ⇔ ∀ y ∈ Cf , ∃! x ∈ A | y = f(x)
▪
f è suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A;
in simboli:
f suriettiva ⇔ ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A | y = f(x)
▪
f è biunivoca se f è iniettiva e suriettiva;
in simboli:
f biunivoca ⇔ ∀ y ∈ B, ∃! x ∈ A | y = f(x)
Osserviamo ancora le funzioni rappresentate nelle figg. 3, 4 e 5 e, per ciascuna di esse, stabiliamo se
anche la relazione inversa è una funzione.
Fig. 3:
poiché Cf
≠ B, l’inversa è soltanto una relazione, perché esiste qualche elemento di B
che
non ha immagine in A.
Fig. 4:
ciascun elemento di F ha due controimmagini in G; l’inversa è soltanto una relazione
perché non è univoca.
Fig. 5:
ciascun elemento di P ha una sola controimmagine in Q; la relazione inversa, dunque, è
una funzione.
18
La funzione rappresentata in fig. 5 è una funzione biunivoca; possiamo, dunque, affermare che:
se f è una funzione da A verso B, la sua inversa è una funzione se solo se f è biunivoca.
Se f è una funzione biunivoca, si dice, anche, che f è invertibile.
Se f è la lettera usata per indicare la funzione, la funzione inversa si indica con f −1.
Riassumendo:
f invertibile ⇔ f biunivoca
f −1 funzione ⇔ f biunivoca
Esempi
1) Stabiliamo se la relazione rappresentata in figura è una funzione e, in caso affermativo,
classifichiamola (classificare una funzione vuol dire stabilire di che tipo è: generica, iniettiva,
suriettiva o biunivoca):
ℜ
0
0
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
1
3
1
Poniamo A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; la relazione è, allora, da A verso B.
Fissiamo la nostra attenzione sulla disposizione degli “1”:
in ogni riga della tabella c’è un solo “1”; significa che ogni elemento di A ha una sola
immagine in B. La relazione, dunque, è una funzione.
Nella tabella ci sono colonne (1, 3, 5) le cui caselle non contengono “1”, quindi qualche
elemento di B, (1, 3, 5), non ha controimmagine in A: la funzione non è suriettiva.
Solo in una casella di ciascuna delle rimanenti colonne, (0, 2, 4, 6), c’è “1”; questo vuol dire
che gli altri elementi di B (0, 2, 4, 6) hanno una sola controimmagine in A: la funzione,
dunque, è iniettiva.
Non essendo suriettiva, però, la funzione non è biunivoca e la sua inversa non è, quindi, una
funzione.
19
2) Stabiliamo se la relazione rappresentata in figura è una funzione ed, eventualmente,
classifichiamola:
Poniamo E = {0, 3, 6, 9, 12} e G = {0, 1, 2, 3, 4}; quindi ℜ è una relazione da E verso G.
Ancora una volta, fissiamo la nostra attenzione sulla disposizione delle crocette nella
rappresentazione della relazione.
Su ciascuna semiretta verticale c’è una sola crocetta, quindi ogni elemento di E ha una sola
immagine in G; la relazione, dunque, è una funzione.
Su ciascuna semiretta orizzontale c’è una crocetta, quindi tutti gli elementi di G hanno una
controimmagine in E; la funzione è suriettiva.
Se osserviamo con attenzione, su ciascuna semiretta orizzontale c’è una sola crocetta, quindi
ogni elemento di G ha una sola controimmagine in E; la funzione è anche iniettiva.
Essendo iniettiva e suriettiva, la funzione è biunivoca.
Poiché la funzione è biunivoca, la sua inversa è una funzione.
PROVA TU
a) Sia ℜ la relazione da A = {2, 3, 7, 5} verso B = {4, 25, 9, 49, 11, 17} definita dalla
proposizione aperta p(x, y) : “il quadrato di x è y”.
ℜ è una funzione? In caso di risposta affermativa, classifica la funzione.
b) Stabilisci se la relazione ℜ da N verso N così definita :
xℜy⇔y=2⋅x
è una funzione e, in caso di risposta affermativa, classificala. Stabilisci, inoltre, se la relazione
inversa è una funzione.
20
4.6 Funzioni composte
Siano A = {Enna, Nizza, Madrid, Roma, Beirut, Lima}, B = {Italia, Libia, Spagna, Francia, Perù},
C = {Europa, Asia, Africa, America, Oceania} tre insiemi; siano f e g due funzioni così definite:
f : A → B definita dalla proposizione p : “x è una città di y ”,
g : B → C definita dalla proposizione q : “y è una nazione di z”.
In figura sono rappresentate in forma sagittale le funzioni f e g:
f
g
Possiamo notare che, se applichiamo una dopo l’altra le funzioni f e g, ogni elemento di A ha
un’immagine in C ; per esempio l’elemento “Enna” di A ha come immagine l’elemento “Europa” di
C; l’elemento “Lima” di A ha come immagine l’elemento “America” di C; e così via.
Si ottiene, quindi, una nuova funzione da A verso C; questa funzione è chiamata funzione
composta e si indica con g ° f (si legge “g composto f ”).
Nell’esempio, la funzione g ° f è definita dalla proposizione t : “x è una città del continente y”.
Per indicare l’elemento di C, immagine di un elemento di A tramite la funzione composta g ° f , si è
soliti scrivere anche y = g(f(x)) (si legge “y è uguale a gi di effe di x”).
In generale:
21
date due funzioni f : A → B e g : B → C, si chiama funzione composta mediante f e g la
funzione g ° f che ad ogni elemento x di A fa corrispondere un elemento y di C in modo tale che
f(x) ∈ B e g(f(x) ∈ C.
Osserviamo che, per poter parlare della funzione composta g ° f , è necessario che la funzione f sia
suriettiva.
Poniamo la nostra attenzione sul modo di indicare una funzione composta:
la scrittura g ° f indica che prima è stata applicata la funzione f e, successivamente, è stata
applicata la funzione g.
Abbiamo, allora, definito una operazione binaria tra funzioni chiamata operazione “composizione”
di funzioni o “prodotto” tra funzioni e indicata con il simbolo “°”.
Siano f e g due funzioni così definite:
f : N → N tale che f(x) = x + 1
g : N → N tale che g(x) = 2 ⋅ x
o
determiniamo f(g(0)), cioè,
l’immagine di “0” nella funzione f ° g. Prima si applica la
funzione g e, successivamente, la funzione f; quindi si ottiene:
g
f
0 
→
2⋅ 0=0 
→
0 + 1 = 1, dunque:
▪
determiniamo g(f(0)), cioè,
f(g(0)) = 1;
l’immagine di “0” nella funzione g ° f; prima si applica la
funzione g e, successivamente, la funzione f; quindi si ottiene:
f
g
0 
→
0+1=1 
→
2 ⋅ 1 = 2, dunque:
g(f(0)) = 2;
possiamo, subito, notare che f(g(0)) ≠ g(f(0)).
o
determiniamo f(g(1)), cioè, l’immagine di “1” nella funzione f ° g :
g
f
1 
→
2⋅ 1=2 
→
2 + 1 = 3, dunque:
▪
f(g(1)) = 3;
determiniamo g(f(1)), cioè, l’immagine di “1” nella funzione g ° f:
f
g
1 
→
1+1=2 
→
2 ⋅ 2 = 4, dunque:
g(f(1)) = 4;
notiamo, ancora, che h(k(1)) ≠ k(h(1)).
o
determiniamo f(g(2)), cioè, l’immagine di “2” nella funzione f ° g:
g
f
2 
→
2⋅ 2=4 
→
4 + 1 = 5, dunque:
f(g(2)) = 5;
22
▪
determiniamo g(f(2)), cioè, l’immagine di “2” nella funzione g ° f:
f
g
2 
→
2+1=3 
→
2 ⋅ 3 = 6, dunque:
g(f(2)) = 6;
osserviamo, ancora una volta, che f(g(2)) ≠ g(f(2)).
o
determiniamo f(g(3)), cioè, l’immagine di “3” nella funzione f ° g (COMPLETA) :
g
f
3 
→
2 ⋅ ….. = ….. 
→
….. + 1 = ….., dunque: f(g(3)) = …..;
▪
determiniamo g(f(3)), cioè, l’immagine di “3” nella funzione g ° f (COMPLETA):
f
g
3 
→
….. + 1 = ….. 
→
2 ⋅ ….. = ….., dunque: g(f(3)) = ……;
osserviamo che f(g(3))….. g(f(3)) .
In generale, possiamo dire che f(g(x)) ≠ g(f(x)) e, quindi, f ° g ≠ g ° f.
Per l’operazione di composizione di funzioni non vale la proprietà commutativa.
Sia g una funzione da N verso N0 che a ciascun numero naturale associa il suo successivo; in
simboli g : N → N0 tale che g(x) = x + 1.
E’ facile verificare che g è una funzione biunivoca e, pertanto, essa è invertibile; la sua inversa è la
funzione g -1 che ad ogni numero naturale, diverso da zero, associa il suo precedente.
In simboli:
g -1 : N0 → N tale che g −1 (x) = x − 1.
Consideriamo la funzione composta g −1 ° g :
−1
quindi:
g −1(g(0)) = 0;
quindi:
g −1(g(1)) = 1;
g
g
2 
→
2 + 1 = 3 →
3 − 1 = 2,
quindi:
g −1(g(2)) = 2:
g
3 
→
… + 1 = … … − 1 = …,
quindi:
g −1(g(3)) = ….
g
g
0 
→
0 + 1 = 1 →
1 − 1 = 0,
−1
g
g
1 
→
1 + 1 = 2 →
2 − 1 = 1,
−1
In generale:
−1
g
g
x 
→
y = x + 1 →
y − 1 = (x + 1) − 1 = x + 1 − 1 = x, quindi
g −1(g(x)) = x ;
in altre parole, la funzione g -1 ° g è tale che ad ogni numero naturale associa se stesso.
23
La funzione che ad un elemento associa se stesso si chiama funzione identità e si indica con la
lettera i.
In generale:
se f è una funzione invertibile, allora f -1 ° f = i
PROVA TU
1)
Dati gli insiemi A = { Milan, Juventus, Real Madrid} ,
B = { Milano, Torino, Madrid} e
C = { Francia, Italia, Spagna, Argentina} , siano f e g due funzioni :
f : A → B definita dalla proposizione p : “x è una squadra della città y”,
g: B → C definita dalla proposizione q : “y è una città di z”.
Determina la proposizione che definisce la funzione g ° f .
2)
Sia A = {−3, −1, 0, 2, 4} ; siano h e k due funzioni così definite:
h : Z → Z tale che
h(x) = x − 2,
k : Z → Z tale che
k(x) = 3 ⋅ x
Determina l’immagine degli elementi di A tramite la funzione h ° k e la funzione k ° h.
4.7 Funzioni numeriche
Una funzione f definita da A verso B si dice numerica se gli insiemi A e B sono insiemi numerici.
In alcuni esempi precedenti abbiamo già incontrato funzioni numeriche.
Le seguenti sono funzioni numeriche:
a)
f : Q → Q tale che
b)
g(x) =
x+2
3
c)
h(x) =
2x − 3
x
y=x–5
24
In una funzione numerica, x prende il nome di variabile indipendente e y prende il nome di
variabile dipendente; infatti mentre il valore da assegnare ad x può essere scelto a piacere, quello
di y dipende da quello assegnato ad x.
Per la funzione al punto a) è stato indicato l’insieme numerico nel quale è definita la funzione, per
le funzioni al punto b) e al punto c) è stata solo indicata la proposizione che definisce la funzione,
ma non gli insiemi numerici fra i quali essa è definita.
La funzione al punto b) associa ad un numero il quoziente fra la somma del numero stesso con 2, e
il numero 3.
La funzione al punto c) associa ad un numero il quoziente fra il doppio del numero stesso diminuito
di 3, ed il numero stesso.
Per le funzioni, si definisce come insieme di partenza (cioè come dominio) l’insieme di tutti numeri
con i quali siano possibili le operazioni da eseguire per determinare il corrispondente di un numero.
Per esempio, il dominio della funzione al punto b) è l’insieme Q ; infatti, le operazioni necessarie
per determinare l’immagine di un qualsiasi numero sono tutte possibili in Q (anche l’operazione di
divisione perché il divisore è diverso da zero).
La funzione al punto c) è espressa per mezzo di una frazione il cui denominatore non è un numero
fisso, ma dipende dal valore assegnato ad x. Ora, sappiamo che, in una frazione, il denominatore
deve essere diverso da zero. In questo caso, dunque, deve essere x ≠ 0; il dominio della funzione s è,
allora, Q − { 0} .
Esempi
1) Determiniamo il dominio della funzione:
y=
2x+ 4
.
x −1
La funzione è espressa mediante una frazione; quindi il suo denominatore (x − 1) deve essere
diverso da zero.
Quindi:
x − 1 = x + (− 1) ≠ 0.
Ora l’unico caso in cui una somma algebrica vale zero è quello in cui i due termini della somma
sono opposti. Non sarà, dunque, possibile attribuire ad x il valore “1” perché in tal caso il
denominatore della frazione è “0” e la frazione perde di significato.
Il dominio della funzione è, allora, Q − { 1} .
25
2) Determiniamo il dominio della funzione:
h ( x) =
x−3
.
2x − 1
Anche questa funzione è espressa mediante una frazione; deve essere, dunque, 2x − 1 ≠ 0.
Ma 2x −1 ≠ 0 ⇒ ( l’unico caso in cui una somma algebrica vale zero è quello in cui i termini
della somma sono opposti) 2x ≠ 1 ⇒ (il prodotto fra due numeri è “1” solo se i due numeri sono
1
uno il reciproco dell’altro) x ≠ .
2
1 
Il dominio della funzione h è Q −   .
2
1) Determiniamo il dominio della funzione:
y=
x
.
3x + 4
Come per le funzioni precedenti, deve essere 3x + 4 ≠ 0.
Ma 3x + 4 ≠ 0 ⇒ 3x ≠ − 4; il numero che moltiplicato per 3 dà come prodotto − 4 è −
quindi, dovrà essere x ≠ −
4
,
3
4
.
3
 4
Il dominio delle funzione è, allora, Q − −  .
 3
PROVA TU
Determina il dominio delle seguenti funzioni:
3
;
x
▪
y=
▪
f(x) = 2x – 3 ;
▪
g(x) =
x −1
;
3x+1
▪
h( x ) =
x−7
;
2
26
2
x−6 ;
3
▪
l (x ) =
▪
m( x ) =
x−2
;
3x
▪
n( x ) =
x
.
x −5
27
IL PRESENTE FASCICOLO E’ STATO REALIZZATO DA:
Prof.ssa Rescio Anna Maria
Prof. Tiralongo Salvatore
Prof. Vadacca Antonio
Patrocinio gratuito di
Il Sindacato dei Consumatori
Provincia di Brindisi
Comune di Brindisi
COORDINAMENTO
GENITORI
DEMOCRATICI
ONLUS
Associazione Dirigenti Scolastici
28
CAPITOLO 4
Le relazioni
Conoscenza e comprensione
1) Quando due insiemi A e B si dicono in relazione ℜ?
2) Quale simbolo indica che a è in relazione ℜ con b?
3) Quale simbolo indica che d non è in relazione ℜ con e?
4) Che cos’è il dominio di una relazione ? E il codominio?
5) Se b è immagine di a tramite la relazione ℜ, allora:
a) a ℜ b
V
F
b) b ℜ a
V
F
c) a è un elemento del dominio di ℜ
V
F
d) b è un elemento del dominio di ℜ
V
F
e) a è un elemento del codominio di ℜ
V
F
f) b è un elemento del codominio di ℜ
V
F
g) (a, b) è un elemento del grafico di ℜ
V
F
h) (b, a) è un elemento del grafico di ℜ
V
F
i) a è controimmagine di b
V
F
l) b è controimmagine di a
V
F
[Negli esercizi che seguono, D indica il dominio di ℜ e C indica il codominio di ℜ].
6) Sia ℜ una relazione da A verso B. Una sola delle seguenti affermazioni è sempre vera.
Quale?
a) D ⊂ A;
b) B ⊃ C ;
c) ℜ ⊆ A ∩ B ;
d) D ⊆ A;
e) ℜ ⊂ B × A .
7) In quanti e quali modi si può rappresentare una relazione?
8) Se ℜ una relazione da A verso B, come puoi definire la relazione inversa?
9) Osserva la relazione ℜ da L verso F rappresentata in figura e completa le seguenti proposizioni:
a)
D = { …………………};
b)
C
c)
ℜ …. L … F ;
d)
ℜ = { …………………………};
e)
d ….. m ;
f)
a è …………………… di s ;
g)
e …… D ;
h)
m è ……………… di c ;
i)
(t, d) …… ℜ ;
l)
..... ℜ t ;
=
{ …………………};
m)
s è immagine di ….. e di ……;
n)
d è …………………………… di s e di ……;
o)
D ….. L; C ….. F ;
p)
….. ℜ −1 b .
10) Sia ℜ = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} il grafico di una relazione definita da una proposizione aperta
p(x, y); le seguenti proposizioni sono vere o false?
2
a) {a, c} ⊂ D
V
F
b) 1 ℜ −1 a
V
F
c) b ℜ 2
V
F
d) c ℜ 3
V
F
e) {1, 2, 3} ⊆ C
V
F
f) D ⊃ {a, b, c}
V
F
g) c è immagine di 3
V
F
h) a è controimmagine di 1
V
F
i) 2 è controimmagine di b
V
F
l) {(1, a), (2, b), (3, c)} = ℜ −1
V
F
m) a ℜ 2
V
F
n) ℜ = D × C
V
F
o) 1 ℜ a
V
F
p) (a, 1) ∈ C × D
V
F
q) 3 è controimmagine di c
V
F
11) Nella seguente tabella è rappresentata una relazione ℜ da S verso T :
ℜ
0
1
3
−1
1
1
1
2
4
6
9
1
3
1
4
Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere:
a) (1, − 1) …. ℜ e ( …. , 9) ∈ ℜ;
b) 2 … D
e 1 …. C ;
c) S …. D
e C …. T ;
d) (2, …. ) ∈ ℜ e (1, 3) …. ℜ ;
e) {2, 4} ⊄ …. e {0, 3}⊄ ….;
f) ℜ = {(… , …), (… , …), (… , …), (… , …)};
g) ℜ …. S × T ;
h) y ℜ x se “y è ……………………… di x” ;
i) (1, 1) …. ℜ −1 e (1, 1) …. ℜ .
3
12) Siano ℜ1 = {(m, p), (s, z), (n, f), (s, p)} e ℜ2 = {(z, s), (p, m), (z, n), (f, s)} le rappresentazioni
tabulari delle relazioni ℜ1 e ℜ2 ; siano D1 e C1 il dominio e codominio di ℜ1, D2 e C2 il
dominio e codominio di ℜ2. Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a) D1 = C
2
b) C 1 = D 2
c) ℜ2 = (ℜ1) −1
d) m ℜ1 p ∧ p ℜ2 m
e) n ℜ1 f ∨ f ℜ2 n
13) Sia ℜ una relazione definita in un insieme A. Quali proprietà possono valere per ℜ ? Enuncia
tali proprietà.
14) Sia ℜ una relazione definita in un insieme A:
a) se ∃! x ∈ A
 x ℜ x, allora ℜ è riflessiva
V
F
b) se ∃ x ∈ A
 x ℜ x , allora ℜ non è antiriflessiva
V
F
c) se ∃ x, y ∈ A
 x ℜ y e y ℜ x, allora ℜ è simmetrica
V
F
d) se ∀ x, y ∈ A, x ≠ y : x ℜ y e y ℜ x, allora ℜ è antisimmetrica
V
F
e) se ∃ x, y ∈ A
 x ℜ y e y ℜ x, allora ℜ non è simmetrica
V
F
f) se ∃ x, y, z ∈ A
 x ℜ y, y ℜ z e x ℜ z, allora ℜ è transitiva
V
F
g) se ∃ x ∈ A
 x ℜ x, allora ℜ è riflessiva
V
F
15) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a) Se ℜ è una relazione d’equivalenza, valgono la proprietà simmetrica e transitiva.
b) Se ℜ è una relazione d’equivalenza, vale la proprietà riflessiva.
c) Se per una relazione ℜ valgono la proprietà riflessiva e transitiva, ℜ è una
relazione d’equivalenza.
d) Se per una relazione ℜ vale la proprietà antiriflessiva, ℜ non è una relazione
d’equivalenza.
e) Se ℜ è una relazione d’equivalenza, valgono la proprietà riflessiva e transitiva.
16) Sia ℜ è una relazione d’equivalenza definita in un insieme A. Che cos’è una “classe di
equivalenza”? Come si indica?
4
17) Sia ℜ una relazione d’equivalenza definita in un insieme A. Che cos’è l’insieme quoziente?
Come si indica?
L’insieme quoziente è una partizione ? Motiva la tua risposta.
18) Sia ℜ una relazione d’equivalenza definita nell’insieme B = {f, g, h, k, m, n, p, s, t}; allora:
a) se m ℜ s allora s ℜ m
V
F
b) ∃ x ∈ B
xℜx
V
F
c) se g ℜ h e g ℜ k, è sempre vero che h ℜ k
V
F
d) ∃ x ∈ B, x ℜ x
V
F
e) se m ℜ s, allora m∈ [s]
V
F
f) se g ℜ h e k ℜ h, è sempre vero che g ℜ k
V
F
g) ∃ x, y ∈ B
 x ℜ y , ma y ℜ x
V
F
19) Nella seguente tabella è rappresentata una relazione ℜ.
ℜ
2
4
2
×
×
4
×
×
6
×
8
6
8
×
×
×
×
Rappresentala in forma sagittale e in forma cartesiana e, successivamente, stabilisci se le seguenti
affermazioni sono vere o false:
a) ℜ è riflessiva
V
F
b) ℜ è simmetrica
V
F
c) ℜ è transitiva
V
F
d) ℜ è antisimmetrica
V
F
e) ℜ è antiriflessiva
V
F
f) ℜ è una relazione d’equivalenza
V
F
20) Quando una relazione è una relazione d’ordine?
21) Quando una relazione si dice di ordine stretto? E quando si dice d’ordine largo?
5
22) Quando una relazione d’ordine si dice d’ordine totale? E quando di ordine parziale?
23) Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:
a)
Se ℜ è una relazione d’ordine, vale sicuramente la proprietà antiriflessiva.
b) Se ℜ è una relazione d’ordine, vale la proprietà transitiva.
c)
Se ℜ è una relazione d’ordine, vale la proprietà simmetrica.
V
F
V
F
V
F
Rappresenta con un grafo:
24) una relazione d’equivalenza;
25) una relazione d’ordine largo totale;
26) una relazione d’ordine stretto totale;
27) una relazione d’ordine largo parziale;
28) una relazione d’ordine stretto parziale.
29) In figura è rappresentata una relazione ℜ definita in un insieme A.
Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) ℜ è una relazione d’ordine.
V
F
b) ℜ è una relazione d’ordine stretto.
V
F
c) ℜ è una relazione d’ordine parziale .
V
F
30) Sia ℜ = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)} il grafico di una relazione ℜ definita in un insieme A.
Della relazione ℜ si può dire che:
6
a) è riflessiva
V
F
b) è antisimmetrica
V
F
c) è transitiva
V
F
f) è una relazione d’ordine parziale
V
F
31) Quali caratteristiche deve avere una relazione per essere una funzione?
32) Perché la relazione rappresentata in figura non è una funzione?
33) Sia ℜ = {(1, a), (2, b), (3, b)} una relazione da A verso B, dove A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}.
La relazione ℜ è una funzione? Giustifica la tua risposta.
34) Quando una funzione è iniettiva? E suriettiva?
35) Quando una funzione è biunivoca?
36) Nelle seguenti figure sono rappresentate tre relazioni. Stabilisci se esse sono delle funzioni e, in
caso affermativo, indicane il tipo.
ℜ
1
2
3
×
orso
per
fig. 1
5
×
bus
la
4
×
×
fig. 2
fig.3
37) Sia f una funzione da S = {−1, 0, 4, 7} verso T = {9, 6, 8}; le seguenti affermazioni sono vere o
false?
a) f può essere iniettiva;
V
F
b) f può essere suriettiva;
V
F
c) f può essere biunivoca;
V
F
d) almeno un elemento di A ha più di un’immagine in B;
V
F
e) ciascuno degli elementi di B può avere una sola controimmagine in A.
V
F
7
38) Dati gli insiemi D = {−5, −1, 1, 5} e F = {0, 2, 4, 7}, sia g una funzione da F verso D . Le
seguenti affermazioni sono vere o false?
a) g può essere iniettiva;
V
F
b) g può essere suriettiva;
V
F
c) g può essere biunivoca;
V
F
d) se g è suriettiva, almeno un elemento di F ha due
V
F
e) se g è iniettiva, non può essere suriettiva;
V
F
f)
V
F
V
F
immagini in D;
la relazione inversa può essere una funzione ;
g) se g non è suriettiva, g non è iniettiva.
39) Dati gli insiemi G = {a, b, c} e M = {1, 3, 7, 9, 13} sia h una funzione da M verso G. Le
seguenti affermazioni sono vere o false?
a) h può essere iniettiva;
V
F
b) h può essere suriettiva;
V
F
c) h può essere biunivoca;
V
F
d) se h è suriettiva, almeno un elemento di M ha più di
V
F
V
F
un’immagine in G;
e) la relazione inversa non può essere una funzione.
40) Sia f : A → B una funzione. Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) Se f è suriettiva , almeno un elemento di B non ha controimmagine in A.
b) Se elementi distinti di A hanno immagini distinte, f è biunivoca.
c) Se un elemento di B ha due controimmagini in A, f è iniettiva.
d) Se f è iniettiva, è anche suriettiva.
e) Se f è biunivoca, allora f è iniettiva.
41) Quando l’inversa di una funzione è ancora una funzione?
42) Di seguito sono rappresentate tre funzioni; la relazione inversa è una funzione:
8
fig. 1
fig. 2
fig. 3
a) Solo in fig. 1
b) Solo in fig. 2
c) Solo in fig. 3
d) In fig. 2 e in fig. 3
e) In fig. 1 e in fig. 3
43) Siano f : A→ B e g : B → C due funzioni; cosa indica la scrittura g ° f ? E la scrittura f ° g ?
Stabilisci se le seguenti relazioni sono corrette:
(g o f )(x ) = g ( f ( x)) ;
( f o g )( x) = f ( g ( x)) ;
( f o g )( x) = g ( f ( x)) ;
(g o f )(x ) = f ( g ( x)) .
44) Per il prodotto fra due funzioni vale la proprietà commutativa?
45) Se una funzione f è invertibile, quale funzione si ottiene dal prodotto fra f e la sua inversa f −1 ?
46) Siano F = {(1, 5), (2, 5), (3, 6)} e G = {(5, 9), (6, 10)} le rappresentazioni tabulari,
rispettivamente, di una funzione f e di una funzione g. Una sola delle seguenti affermazioni è
vera. Quale?
a) {(9, 1), (9, 2), (10, 3)} è la rappresentazione tabulare di g ° f
b) 2 è l’immagine di 9 nella funzione g ° f
c) 1 è la controimmagine di 9 nella funzione g ° f
d) 10 è la controimmagine di 3 nella funzione f ° g
e) La funzione g ° f è invertibile.
9
Esercizi
Le relazioni
1) Dati gli insiemi
A = {Bari, Milano, Trento, Napoli, Rieti, Ancona, Parma};
B ={Lazio, Marche, Veneto, Puglia, Piemonte, Campania},
sia ℜ la relazione da A verso B definita dalla proposizione aperta p(x, y) : “x è una città di y”.
Dopo aver rappresentato la relazione mediante tabella a doppia entrata, determina:
a) il grafico ℜ della relazione;
b) il dominio della relazione;
c) il codominio della relazione.
2) Siano E = {mare, neve, ferro, strada, scia, ruota, foglia} e F = {x ∈ N 1 < x ≤ 7 } due insiemi
e ℜ una relazione da E verso F così definita: “x è formata da y lettere”.
Rappresenta la relazione in tutti i modi possibili e, successivamente, determina la
rappresentazione tabulare del suo dominio e del suo codominio.
3) Sia ℜ la relazione da S verso T così definita: “x termina con y”, essendo S = {rosso, nero,
celeste, viola, bianco, rosa, verde} e T = {a, e, i, o, u}.
Rappresenta la relazione ℜ in forma cartesiana e mediante tabella a doppia entrata; stabilisci se
le seguenti affermazioni sono vere o false:
10
a) (o, rosso) ∈ ℜ
V
F
b) {(viola, a)} ⊂ ℜ
V
F
c) u ∉ C
V
F
d) D ⊆ S
V
F
e) a ℜ rosa
V
F
f) e è immagine di verde
V
F
g) nero ℜ o
V
F
h) C ⊂ T
V
F
i) nero è controimmagine di o
V
F
l) i non ha controimmagine in S
V
F
4) Siano A = {x ∈ Z −4 ≤ x ≤ 3} e B = {x ∈ N 1 ≤ x < 10} due insiemi; ℜ una relazione da A
verso B così definita: x ℜ y ⇔ y = x2.
Dopo aver rappresentato ℜ in forma cartesiana, completa le seguenti proposizioni in modo che
esse risultino vere:
a) {−2, 1} …. D
b) −4 ∉ ….
c) 2 ℜ ….
d) 9 è immagine di …. e di ….
e) 6 …. C
f) −1 è controimmagine di ….
g) −2 …. 4
h) {1, 4, 9} = ….
i) 3 …. D
l) 0 …. D
m) −3 è .………………………. di 9
n) ℜ …. A × B
5) Sia ℜ = {(a, m), (c, s), (a, d), (e, p), (e, s)} la rappresentazione tabulare di una relazione ℜ.
Qual è il dominio di ℜ ? E il codominio?
6) Rappresenta in forma tabulare il dominio D e il codominio C delle relazioni rappresentate nelle
seguenti figure:
fig. a
fig. b
fig.c
Completa, poi, le seguenti proposizioni:
in fig. a:
A…D
e
C … B
in fig. b:
D …M
e
T…C
in fig. c:
D…S
e
C…P
11
7) Nelle seguenti figure sono rappresentate alcune relazioni da un insieme A verso un insieme B;
per ciascuna di esse determina:
l’insieme A e l’insieme B;
il grafico di ℜ;
dominio e codominio.
ℜ
0
1
×
6
×
9
f
7
×
(b)
g
h
(c)
ℜ
s
1
a
b
c
5
×
(a)
ℜ
3
1
6
9
12
2
1
4
1
6
1
d
3
1
1
1
8
(d)
(e)
(f)
8) Nella seguente tabella è rappresentata una relazione ℜ da A verso B:
ℜ
1
5
7
×
0
2
×
4
×
6
rappresentala in forma sagittale ed in forma tabulare; stabilisci, inoltre, se le seguenti
affermazioni sono vere o false:
12
5ℜ4
V
F;
6ℜ7
V
F
2ℜ5
V
F;
5∈B
V
F
{1, 5} ⊂ C
V
F;
D ⊃ {0, 2}
V
F
7∉ C
V
F;
{0}⊂ D
V
F
(6, 7) ∈ ℜ
V
F;
(6,1) ∉ ℜ
V
F
(1, 0) ∉ ℜ
V
F;
{0, 4, 6} ⊂ D
V
F
9) Completa le seguenti figure in modo che esse rappresentino la stessa relazione ℜ da A verso B.
ℜ
…
a
×
5
9
…
…
c
×
Siano A = {x ∈ Z −2 ≤ x < 6} e B = {x ∈ Z −4 ≤ x < 3 } due insiemi.
Rappresenta, in forma tabulare e cartesiana, le seguenti relazioni e determina, per ciascuna di
esse, dominio e codominio.
10) ℜ :
x ℜ y ⇔ “x − y < 0”.
11) ℜ:
x ℜ y ⇔ “x e y sono discordi”.
12) ℜ:
x ℜ y ⇔ “x è la metà di y”.
13) ℜ:
x ℜ y ⇔ “la differenza fra il doppio di x e y è minore di 1”.
14) ℜ:
xℜy⇔“
x
è una frazione apparente”.
y
Sia B = { x ∈ N / x < 15}; rappresenta, in forma tabulare e con un grafo, le seguenti relazioni
definite in B:
15) ℜ1:
x ℜ1 y ⇔ “x è il triplo di y”.
16) ℜ2: x ℜ2 y ⇔ “x e y sono coprimi”.
17) ℜ3:
x ℜ3 y ⇔ “la somma fra x e il doppio di y è maggiore di 15”.
18) ℜ4: x ℜ4 y ⇔ “il prodotto fra x e y è minore di 10”.
19) ℜ5: x ℜ5 y⇔ “la differenza fra la metà di x e il doppio di y è un numero naturale”.
20) ℜ6: x ℜ6 y ⇔ “il quoziente fra x e y è un numero naturale”.
21) Dati gli insiemi A = { x ∈ N 2 ≤ x < 18 e x è pari} e B = { x ∈ N x ≤ 5}, sia ℜ la relazione da
A verso B definita dalla proposizione aperta p(x, y) : “y è un divisore di x”.
o Rappresenta ℜ mediante tabella a doppia entrata.
o Rappresenta in forma tabulare l’insieme D = { y ∈ B ∀ x ∈ A, x ℜ y} e l’insieme
F = { y ∈ B ∀ x ∈ A, x ℜ y}.
o Determina il sottoinsieme di B formato da elementi che hanno solo due controimmagini in A.
o Determina il sottoinsieme di A formato da elementi che hanno almeno tre immagini in B.
13
La relazione inversa
22) Sia ℜ = {(m, 2), (f, 5), (h, 7), (m, 4), (h, 9)} il grafico di una relazione ℜ. Determina la
rappresentazione tabulare di ℜ−1.
23) Dati gli insiemi A = { x ∈ Z −4 ≤ x < 5} e B = { x ∈ N x ≤ 8 }; sia ℜ la relazione da A verso B
così definita:
x ℜ y ⇔ “y è la differenza fra 1 e x”.
Rappresenta, in forma tabulare e mediante tabella a doppia entrata, ℜ−1 . Qual è la proposizione
aperta che definisce ℜ−1?
24) Siano A = { x ∈ N x = 4n ∧ n = 1, 3, 5, 7 } e B = {1, 3, 5} due insiemi; sia ℜ la relazione da A
verso B definita dalla proposizione p(x, y) : “x è multiplo di y”.
Rappresenta ℜ−1 in forma cartesiana ; determina dominio e codominio di ℜ−1.
Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:
a) 4 ℜ 1
V
F
b) (2,12) ∈ ℜ−1 ∧ (20, 2) ∈ ℜ−1
V
F
c) (4, 3) ∉ ℜ
V
F
d) 3 ℜ 12
V
F
e) 2 è immagine di 4 nella relazione ℜ ed è
V
F
V
F
V
F
V
F
controimmagine di 12 nella relazione ℜ−1
f) 3 non ha controimmagini nella relazione
ℜ ma ha un’ immagine nella relazione ℜ−1
g) Dℜ ⊂ Cℜ −1
h) D ℜ −1 = C
ℜ
25) In figura sono rappresentate tre relazioni. Per ciascuna di esse determina la rappresentazione
sagittale della relazione inversa e rappresenta, nel modo che ritieni opportuno, dominio e
codominio di ℜ−1.
ℜ
7
0
1
8
9
10
ℜ
1
1
1
s
t
(a)
g
1
p
3
14
f
m
1
2
d
(b)
1
1
(c)
Le relazioni in un insieme
26) Sia ℜ = {(1, 1), (1, 4), (1, 2), (2, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} la rappresentazione
tabulare di una relazione ℜ definita in un insieme A. Rappresenta ℜ con un grafo e stabilisci
quali proprietà valgono per essa.
27) Le seguenti figure rappresentano delle relazioni definite da un insieme in se stesso.
Individua le proprietà che valgono per ciascuna di esse.
fig. a
ℜ
fig. b
ℜ
a
b
a
×
×
4
b
×
×
6
c
2
8
2
4
6
1
8
10
1
1
1
d
fig. c
c
ℜ
5
6
×
5
×
×
×
6
d
×
×
×
×
×
e
10
e
fig. d
fig. e
fig. g
fig. h
7
8
9
×
×
×
7
×
8
×
9
fig. f
fig. i
28) Sia A = { x ∈ N 0 < x ≤ 8} e ℜ una relazione da A in se stesso così definita:
x ℜ y ⇔ “il prodotto fra x e y è un numero pari”.
Dopo aver rappresentato la relazione in tutti i modo possibili, individua le proprietà che
valgono per essa.
15
29) Osserva il grafo della relazione ℜ definita nell’insieme A e completa le seguenti affermazioni in
modo che risultino vere:
a) ℜ = {……………………………………………………………………………… };
b) ℜ è riflessiva perché ………………………………………………………………..;
c) ℜ è ……………………. perché ∀ x, y ∈ A, x ≠ y : se x ℜ y anche y ℜ x ;
d) ℜ è transitiva perché ………………………………………………………………. ;
e) ℜ è una relazione … ………………………. perché è …………………….,
…………………… e ………………………………….. .
f) [a] = {…, …, …};
g) […] = { b, …};
h) ...
ℜ=
{ [a] ,
[...] , [...] } .
30) Osserva il grafo della relazione ℜ definita nell’insieme B e completa le seguenti proposizioni in
modo che esse risultino vere:
a) ℜ è …………………………….. perché ogni elemento di B non è in relazione con
se stesso;
b) ℜ è antisimmetrica, perché ………………………………………………………. ;
c) ℜ è transitiva, perché ……………………………………………………………. ;
d) ℜ è una relazione ….. …….…….. …………….. perché è …………………….,
…………………………………… e ……………………………………. ;
e) ℜ è una relazione … ……………….. parziale, perché …………………………. .
16
31) Osserva i seguenti grafi e stabilisci se le relazioni da essi rappresentate sono relazioni di
equivalenza o relazioni d’ordine.
Qualora siano relazioni di equivalenza, determina le classi di equivalenza e l’insieme quoziente;
qualora siano relazioni d’ordine, specifica se sono relazioni d’ordine stretto o relazioni d’ordine
largo, relazioni d’ordine parziale o relazioni d’ordine totale.
fig. 1
fig. 2
fig. 3
fig. 4
Studia la relazione ℜ definita nell’insieme indicato.
Qualora ℜ sia una relazione d’equivalenza, determina l’insieme quoziente; qualora sia una
relazione d’ordine, indica se è d’ordine largo o stretto, parziale o totale. (Esempi 1 - 2, Teoria,
fasc. 2, pag. 42):
32) ℜ :
x ℜ y ⇔ “x termina con la stessa lettera di y”.
A = {mosca, bue, panda, gatto, cane, iena, orso}
Rappresenta ℜ con un grafo.
33) ℜ :
x ℜ y ⇔ “x e y iniziano con la stessa cifra”.
B = {23, 456, 201, 43, 37, 44, 65, 232, 48, 60}
Rappresenta ℜ con un grafo.
34) ℜ :
xℜy⇔“
x
è una frazione propria”.
y
C = { x ∈ N 2 < x < 8}
Rappresenta ℜ in forma cartesiana.
17
35) ℜ :
x ℜ y ⇔ “x è divisore di y”.
D = { x ∈ N 0 < x ≤ 15}
Rappresenta la relazione mediante tabella a doppia entrata.
36) ℜ :
x ℜ y ⇔ “la somma fra x e y è multiplo di 3”.
E = { x ∈ N 3 ≤ x ≤ 12}
Rappresenta la relazione con un grafo.
37) ℜ :
x ℜ y ⇔ “il prodotto delle cifre di x è minore del prodotto delle cifre di y”.
F = {13, 67, 25, 28, 43, 428, 301, 182, 92}
Rappresenta ℜ con un grafo.
38) Marco, Luigi, Simone e Nicola si sono sfidati in una corsa in bicicletta ed hanno chiesto a
Marta di compilare l’ordine di arrivo.
Marta, allora, ha costruito un grafo dove è rappresentata la relazione “x è arrivato dietro a y”
(per semplicità ha riportato solo le iniziali dei nomi dei quattro amici).
Qual è l’ordine di arrivo?
39) Aldo, Luca, Bruno, Enrico, Carlo, Giulio, Dario, Fabio, partecipano ad un torneo di tennis
organizzato dal Circolo di Manigoldia. Il torneo si svolge con incontri ad eliminazione diretta.
Il seguente grafo (per semplicità sono state riportate le iniziali dei nomi dei giocatori)
rappresenta la relazione “x ha vinto con y”.
18
a)
Chi è stato eliminato al primo turno?
b)
Quali sono stati gli incontri di semifinale?
c)
Chi ha vinto il torneo?
Funzioni
40) Quali delle relazioni rappresentate nelle seguenti figure sono funzioni? Perché?
a
d
•
ac
2
a
•
3
4
b
•
a
f
•1
v
g•
fig. 4
3
4
a
5
6
1
b
e
1
•
•
fig. 1
ℜ
2
p
•
b
s
•
c
1
5
e
1
fig. 6
f
10
1
g
h
m
1
•
d
a
fig. 10
2
7
1
1
1
c
•
a
•
e
a
•
1
1
25
1
29
1
fig. 9
r
4
•
•
•
5
fig. 11
6
12
3
2
4
19
1
22
ℜ
fig. 8
b
•
a
•
p
1
fig. 7
a
8
•
fig. 5
ℜ
19
7
•
fig. 3
16
d
•
fig. 2
13
c
6
a
•
p
b
m•
c•
d
•
•
•
•
h
m
1
•
•
•
t
•
b
•
•
m
e
s
•
g
b
fig. 12
19
41) Dati gli insiemi A = {4, 6, 8, 10, 12} e B = { x ∈ N x < 7}, sia ℜ la relazione da A verso B così
definita:
x ℜ y ⇔ “y è la metà di x”.
Determina dominio e codominio di ℜ e stabilisci se ℜ è una funzione.
42) Sia ℜ una relazione da A verso B così definita:
x ℜ y ⇔ “ x inizia con y”,
dove A = { x  x è una parola della lingua italiana } e B = { x  x è una lettera dell’alfabeto
italiano }.
ℜ è una funzione? Motiva la tua risposta.
La relazione inversa è una funzione? Motiva la tua risposta.
43) Siano A l’insieme formato dai cognomi dei tuoi compagni di classe e B l’insieme delle lettere
dell’alfabeto italiano; la relazione da A verso B che ad ogni alunno associa la lettera con cui
inizia il cognome è una funzione?
La relazione inversa è una funzione? Motiva le tue risposte.
44) Siano A = {−1, 0, 1, 2} e B = { a, b, c} due insiemi e ℜ = {(−1, d), (0, c), (2, b), (1, a)} il
grafico di una relazione ℜ.
Rappresenta ℜ in forma sagittale e stabilisci se essa è una funzione.
45) Dati gli insiemi E = {4, 6, 8} e F = {5, 7, 9, 11}, sia ℜ = {(4, 5), (6, 7), (8, 9)} la
rappresentazione tabulare di una relazione ℜ da E verso F.
Rappresenta la relazione in forma cartesiana, stabilisci se essa è una funzione e, in caso di
risposta affermativa, determina il suo codominio.
46) Dati gli insiemi G = { m, n, p, s} e H = { a, e, u}, sia ℜ una relazione da G verso H tale che:
mℜa,
nℜe,
pℜu.
Rappresenta ℜ in forma matriciale; stabilisci se ℜ è una funzione e, in caso di risposta
affermativa, determina il suo codominio.
47) Dati gli insiemi M = {−2, −1, 0, 1, 2} e P = {0, 1}, sia ℜ la relazione da M verso P tale che
ogni numero negativo di M ha come immagine 0 e ogni numero positivo di M ha come
immagine 1.
Dopo aver rappresentato ℜ, sia in forma sagittale che mediante tabella a doppia entrata,
stabilisci se essa è una funzione. In caso di risposta negativa, determina un sottoinsieme di M in
modo tale che la relazione ℜ sia una funzione.
20
48) Nelle seguenti figure sono rappresentate alcune relazioni.
Stabilisci se esse sono delle funzioni e, nel caso di risposta affermativa, classificale.
(Classificare una funzione vuol dire stabilire se essa è iniettiva, suriettiva, biunivoca)
a
•
2
•
1
c
a
b
a•
•
•
4
•
fig. 1
•
•
6
•
c
•
2
•
•
c
v
•
c
m
6
•
•
8
•
•
fig. 4
•
d
a
fig. 6
fig. 8
m
•
a
b
fig. 5
fig. 7
r
•
b
s
•
c
u
•
nc
•
u
b
n•
a•
zc
5
1
•
fig. 3
•
•
8
9
•
•
7
3
5
•
f
c
g
c•
n
•
s
•
fig. 2
2
3
m
•
b
n
•
c
s
•
cr
a
2
b
•
a
c
•
a
•
fig. 9
fig. 10
s
c
3
s
•
c
•
z
e
fig. 11
•
•
1
fig. 12
2
•
•
t
•
c
•
v
c
r
b
•
•
z
c
fig. 13
21
49) Nella seguente figura è rappresentata una funzione f :
B
A
A
c
•
a
d
•
a
a
1
•
2
•
•
3
b
•
a
•
Completa le seguenti proposizioni:
a) f ( … ) = f ( … ) = 1;
b) a è controimmagine di ……;
c) 3 non ha …………………..;
d) c è ………………….. di 1;
e) f (b) = ……. ;
f) C
f
= {………………….} ;
g) C
f
⊂ …. .
Esempio
Siano A = {− 4, −2, 0, 2} e B = { x ∈ Z −2 < x < 4} due insiemi e ℜ la relazione da A verso B
definita dalla proposizione aperta
m(x, y) : “y è uguale alla metà di x, aumentata di 1”.
Stabilisci se ℜ è una funzione e, eventualmente, classificala.
Rappresentiamo B in forma tabulare: B = {−1, 0, 1, 2, 3}.
Riscriviamo la relazione ℜ in simboli:
xℜy⇔y=
x
+1
2
e stabiliamo se ogni elemento di A ha un’immagine in B.
Se x = − 4, allora y =
−4
+ 1 = −2 + 1 = −1; poiché −1 ∈ B, (− 4) ℜ (−1) e, quindi, − 4 ha
2
immagine in B;
se x = −2, allora y =
se x = 0, allora y =
22
−2
+ 1 = −1 +1 = 0; poiché 0 ∈ B, (−2) ℜ 0 e, quindi, −2 ha immagine in B;
2
0
+ 1 = 0 + 1 = 1; poiché 1 ∈ B, 0 ℜ 1 e, quindi, 0 ha immagine in B;
2
se x = 2, allora y =
2
+ 1 = 1 + 1 = 2; poiché 2 ∈ B, 2 ℜ 2 e, quindi, 2 ha immagine in B.
2
Tutti gli elementi di A hanno una ed una sola immagine in B, quindi la relazione ℜ è una
funzione.
Rappresentiamo ℜ in forma sagittale:
A
2 −2
2
3
B
A
•
•
0
−4
•
•
0
•
2
•
−1
•
1
•
2
•
Osserviamo che:
•
elementi distinti di A hanno immagini distinte in B, quindi ℜ è una funzione iniettiva;
•
esiste un elemento di B che non ha controimmagine in A, quindi ℜ non è suriettiva e,
dunque, non è biunivoca.
La relazione ℜ è, pertanto, una funzione iniettiva.
50) Dati gli insiemi A = { x ∈ N 0 < x < 6} e B = {x ∈ Z − 4 < x < 7}, sia ℜ la relazione da A
verso B così definita dalla:
x ℜ y ⇔ : “ y è uguale al doppio di x, diminuito di 3”.
Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme A, il dominio e il codominio di ℜ,
stabilisci se la relazione ℜ è una funzione. Nel caso in cui ℜ sia una funzione, classificala.
51) Dati gli insiemi A = { x ∈ Z  x = 3n − 5 con n ∈ N ∧ 0 ≤ n < 6} e B = { x ∈ Z − 4 < x < 40},
sia ℜ la relazione da A verso B così definita :
x ℜ y ⇔ “y è uguale al triplo di x, aumentato di 4”.
Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme A, il dominio e il codominio di ℜ,
stabilisci se la relazione ℜ è una funzione. Nel caso in cui ℜ sia una funzione, classificala.
52) Siano F = { x ∈ Z −3 ≤ x ≤ 4} e E = {1, 3, 9, 19, 33} due insiemi e ℜ una relazione da D
verso E così definita:
x ℜ y ⇔ “y è uguale alla somma fra il doppio del quadrato di x e 1”.
Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme F, il dominio e il codominio di ℜ,
stabilisci se la relazione ℜ è una funzione. Nel caso in cui ℜ sia una funzione, classificala.
23
53) Sia ℜ la relazione da G verso H così definita:
x ℜ y ⇔ “ y è uguale al doppio della somma fra x e 3”
con G = { x ∈ N x = 2n + 1 ∧ n ∈ N ∧ 1 ≤ n < 9} e H = { x ∈ N x = 4n ∧ n ∈ N ∧ 2 ≤ n < 6}.
Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme G, il dominio e il codominio di ℜ,
stabilisci se la relazione ℜ è una funzione.
Nel caso in cui ℜ sia una funzione, classificala.
54) Dati gli insiemi F = {−1, 1, 2, 7} e S = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}, sia ℜ la relazione da F verso S così
definita:
x ℜ y ⇔ “aggiungendo 2 ad x si ottiene il quadrato di y”.
Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme F, il dominio e il codominio di ℜ,
stabilisci se la relazione ℜ è una funzione. Nel caso in cui ℜ sia una funzione, classificala.
55) Siano A = {2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2} due insiemi e f una funzione da A verso B tale che:
f (2) = 2;
f (3) = 0;
f (4) = 2;
f (5) = 0 .
Rappresenta la funzione mediante tabella a doppia entrata e classificala.
56) Sia f una funzione da E = {−3, −2, −1, 0} verso H = {2, 3, 4, 5, 6} tale che:
f (−2) = 6;
f (−3) = 2;
f (0) = 5;
f (−1) = 3 .
Rappresenta f in forma cartesiana e classificala.
57) Sia f una funzione da A = {−2, 0, 3} verso B = {−1, 1}; quale delle seguenti affermazioni è
sicuramente vera?
a) Ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A.
b) Esiste almeno un elemento di B che non ha controimmagine.
c) Elementi distinti di A hanno sempre immagini distinte.
d) Ogni elemento di B ha una sola controimmagine in A.
e) Esistono almeno due elementi distinti di A che hanno la stessa immagine in B.
58) Sia g una funzione suriettiva da A = {−1, 0, 1, 2} verso B = { a, b, c} tale che:
f (−1) = f (1) = b;
A quanto è uguale f (2)? Motiva la tua risposta.
24
f (0) = c.
59) Sia f una funzione iniettiva da S = {−4, −2, −1, 1} verso T = {0, 1, 2, 4, 5} tale che:
f (−4) = 4;
f (−1) = 0;
f (1) = 2.
Una sola delle seguenti affermazioni è sicuramente vera. Quale?
a)
f (−2) = 2;
b)
f (−2) = 1;
c)
f (−2) = 5;
d)
f (−2) = 1 ∨ f (−2) = 5;
e)
f (−2) = 1 ∧ f (−2) = 5.
60) Sia s una funzione suriettiva da M = {3, 4, 6, 7, 9} verso P = { a, b, c, d, e} tale che:
s (4) = a;
s (3) = d;
s (7) = e;
s (9) = b.
Qual è la controimmagine di c? Motiva la tua risposta.
61) Dati gli insiemi A = {3, 0, 1, 2, −1} e B = { a, b, c, d}, sia f : A → B una funzione suriettiva.
Sapendo che :
a, c, d hanno una sola controimmagine;
f (3) = a;
f (0) = c;
f (−1) = d ,
determina f (2) e f (1).
62) Dati gli insiemi A = {−1, 2, 0, 4} e B = { m, s, p, t}, sia f una funzione iniettiva da A verso B.
Sapendo che:
f (2) = s;
f (0) = p;
f (4) = t,
puoi affermare che f è biunivoca?
63) Siano A = { x ∈ N 0 < x < 6} e B = { x ∈Q 1 ≤ x ≤ 2} due insiemi e sia ℜ la relazione da A
verso B così definita:
xℜy⇔y=
2x − 3
.
x −1
Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme A, il dominio ed il codominio di ℜ, spiega
per quale motivo la relazione ℜ non è una funzione.
Determina il sottoinsieme A’ di A in modo tale che la relazione ℜ da A’ verso B sia una
funzione.
25
64) Dati gli insiemi A = { x ∈ Z − 4 ≤ x ≤ 2} e B = { x ∈Q −3 ≤ x < 2}, sia ℜ la relazione da A
verso B così definita:
3x
.
x −4
xℜy⇔y=
2
Rappresenta in forma tabulare gli insiemi A e B, il dominio e il codominio di ℜ e spiega per
quale motivo la relazione ℜ non è una funzione.
Determina il sottoinsieme A’ di A in modo tale che la relazione ℜ da A’ verso B sia una
funzione.
65) Siano A = { x ∈ Z −3 < x ≤ 2} e B = {−4, −1, 1, 4} due insiemi; sia ℜ una relazione da A
verso B così definita:
x ℜ y ⇔ “y è uguale alla differenza fra il triplo di x ed il rapporto fra 4 e x stesso”.
Rappresenta in forma tabulare gli insiemi A e B, il dominio e il codominio di ℜ e spiega per
quale motivo la relazione ℜ non è una funzione.
Determina il sottoinsieme A’ di A in modo tale che la relazione ℜ da A’ verso B sia una
funzione.
66) Sia ℜ una relazione da N verso N così definita:
x −1
.
2
xℜy⇔y=
Rappresenta per caratteristica il dominio di ℜ e spiega per quale motivo la relazione ℜ non è
una funzione.
Determina il sottoinsieme A di N in modo tale che la relazione ℜ da A verso N sia una
funzione.
67) Siano A = { x ∈ Z −3 ≤ x ≤ 3} e B = { x ∈ N 0 ≤ x < 10} due insiemi e sia ℜ la relazione da A
verso B così definita:
x ℜ y ⇔ y = x 2.
Una sola delle seguenti proposizioni è vera; quale?
a) ℜ è una funzione suriettiva;
b) ℜ−1 è una funzione;
c) ℜ è una funzione biunivoca;
d) ℜ è una funzione iniettiva;
e) ℜ è una funzione.
26
68) Siano A =
{x
∈ Z x =
3n − 4
∧ n ∈ N ∧ 1 ≤ n < 7} e B = { x ∈ N 0 < x < 3} due insiemi
n
e sia f la funzione da A verso B tale che f(x) = x .
Rappresenta la funzione f in forma sagittale e stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o
false:
a)
f è iniettiva
V
F
b)
f è suriettiva
V
F
c)
f è biunivoca
V
F
d)
l’inversa di f è una funzione
V
F
e)
C
V
F
f)
∃! x ∈ A f(x) = 1
V
F
g)
∃! x ∈ A f(x) = 2
V
F
f
⊂B
69) Completa la seguente figura sapendo che f : A → B è una funzione biunivoca e che:
f −1 (6) = 3;
f (1) = 9;
A
1
8
B
A
2
•
•
8
f −1 (7) = 4.
9
•
•
4
•
3
•
7
•
6
•
70) Completa la seguente figura sapendo che f : A → B è una funzione biunivoca e che:
f (a) = r;
f −1( t) = b;
f (d) = s;
f −1(m) = c.
27
Esempio
La funzione f : N → N  f (x) = x + 2 non è invertibile.
Affinché una funzione sia invertibile, essa deve essere biunivoca, cioè deve essere iniettiva e
suriettiva.
La funzione f è sicuramente iniettiva per definizione di addizione.
Vediamo se f è suriettiva e, a tal fine, determiniamo i corrispondenti di alcuni numeri naturali:
f (0) = 0 + 2 = 2;
f (1) = 1 + 2 = 3;
f (2) = 2 + 2 = 4;
f (3) = 3 + 2 = 5;
..............................
f (9) = 9 + 2 = 11
Osservando i risultati ottenuti, notiamo che, aumentando il valore assegnato ad x, anche il
valore del suo corrispondente aumenta.
Si vede, allora, che dal codominio di f sono esclusi i numeri 0 e 1, cioè C
f
= { x ∈ N x > 1 }.
La funzione f non è, quindi, suriettiva e, dunque, non è biunivoca.
La funzione f , allora, non è invertibile.
La funzione f è invertibile se è definita da N verso N − {0, 1}, cioè f : N → N − {0, 1}.
Determiniamo, in tal caso, la sua funzione inversa.
La funzione inversa ha come dominio N − {0, 1}, come codominio N ed è tale che:
f −1(2) = 0;
f −1(3) = 1;
f −1(4) = 2; ........................
L’immagine di x ∈ N − {0, 1} si ottiene sottraendo ad x il valore 2. Del resto, se riflettiamo, la
sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.
La funzione inversa, dunque, è f −1 : N − {0, 1} → N tale che f −1 (x) = x − 2.
Spiega perché le seguenti funzioni non sono invertibili. Dopo aver determinato, per ciascuna di
esse, un sottoinsieme di N in modo tale che esse risultino invertibili, scrivi la funzione inversa.
71) f : N → N tale che f (x) = x + 3
72) f : N → N tale che f (x) = x + 5
73) f : N → N tale che f (x) = 2 ⋅ x
74) f : N → N tale che
28
f (x) = 2 ⋅ x + 1
75) f : N → N tale che
f (x) = 2 ⋅ x + 2
76) f : N0→ N tale che
f (x) = 3 ⋅ (x − 1)
77) f : Z → Z tale che
f (x) = 2 ⋅ (x − 4)
78) f : Z → Z tale che
f (x) = x 2 − 1
79) f : Z → Z tale che
f (x) =
80) f : Z → Z tale che
f (x) = 3 ⋅ (x − 2)
x2 + 3
2
81) f : {x ∈ N x = 2 ⋅ n ∧ n ∈ N} → N tale che f (x) =
x
+2
2
Le seguenti funzioni sono invertibili; determina la funzione inversa:
82) f : Z → Z tale che
f(x) = x − 2
83) f : Z → Z tale che
f(x) = x − 5
84) f : Z → Z tale che
f(x) = 8 − x
85) f : Q → Q tale che
f(x) = 2 ⋅ x
86) f : Q → Q tale che
f(x) =
x
+1
3
87) f : Q → Q tale che
f(x) =
x +1
3
88) f : Q → Q tale che
f(x) = 2 ⋅ x − 3
89) f : Q → Q tale che
f(x) = 2 ⋅ x + 5
90) f : Q → Q tale che
f(x) = 2 ⋅ (x + 5)
91) f : Q → Q tale che
f(x) = −
x
+1
2
92) f : Q → Q tale che
f(x) = −
x+3
2
29
93) Nella seguente figura sono rappresentate le funzioni f : A → B e g : B → C
g
f C
a
f
A
8
B
A
a
•
A
b
•
ac
1
•
•
2
7
•
•
a
d
•
a
a
A
6
•
3
•
Completa le seguente relazioni in modo che esse risultino vere:
a)
(g o f ) (a) = ……
b) g (f (…)) = 7
c)
(g o f ) (c) = ……
d) g (f (…)) = g (f (…)) = g (f (…)) = 6
e) g (f ( d )) = g (…) = …
94) Completa la rappresentazione sagittale delle funzioni f : A → B e g : B → C sapendo che:
f (4) = 6;
g (5) = 8;
( g o f ) (1) = 8;
( g o f ) (2) = 10;
g (7) = 9;
( g o f ) (3) = 9.
g
fC
f
A
1
•
8
2
•
3
•
4
•
B
A
5
•
a
8
•
6
9
•
7
•
•
10
•
95) Sia F = { (1, 3), (2, 5), (0, 6)} il grafico di una funzione f e sia G = { (5, 9), (3, 7), (6, 4)} il
grafico di una funzione g.
Determina:
(g o f ) (1);
30
(g o f ) (2);
(g o f ) (0)
96) Dato l’insieme A = { 2, 4, 6, 8} , siano f e g due funzioni definite in A tali che:
f (2) = 4;
f (4) = 6;
f (6) = 8;
f (8) = 2;
g (2) = 8;
g (4) = 2;
g (6) = 4;
g (8) = 6 .
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a)
g (f (2)) = 6
V
F
b)
f (g (0)) = 0
V
F
c)
( g o f ) (4) = 2
V
F
d)
( f o g ) (8) = 8
V
F
e)
go f = f og
V
F
f)
f o g = i (dove i è la funzione identità)
V
F
97) Siano f e g due funzioni definite nell’insieme A = {0, 1, 2, 3} tali che:
f (0) = 3;
f (1) = 1;
f (2) = 0;
f (3) = 2;
g (0) = 1;
g (1) = 0;
g (2) = 3;
g (3) = 2
Determina:
(g o f ) (0);
( f o g ) (1);
f ( g (0));
g ( f(3));
( f o g ) (3);
f ( g (2));
(g o f ) (2);
g ( f (1).
E’ vero che g o f = f o g ?
98) Siano f : Z → Z tale che y = x + 4 e g : Z → Z tale che y = x − 2 due funzioni.
Determina f −1 ,
g −1 ,
go f ,
f og.
Completa:
( g o f ) (0) = ...... ;
( f o g ) (−1) = ..... ;
( g o f ) (−2) = ..... ;
( f o g ) (3) = ...... ;
g ( f (...)) = 5;
f ( g (1)) = ....... ;
( f o g −1 ) (2) = ..... ;
f ( f (−4)) = ..... ;
f −1( f (4)) = .....;
g(g( −3)) = .... ;
( g −1 o g ) (....) = 9 ;
( f −1 o g −1 ) (−7) = ..... ;
g−1( f (−2)) = ….;
f (g (….)) = 6;
f −1(g(−3)) = …..;
g ( f (....)) = 3 ;
g −1 ( f −1 (....)) = 1;
f (g (....)) = −3;
(f
f(f
−1
(....)) = −1;
g ( g (−5)) = ….. ;
−1
of
−1
) (2) = …. .
99) Sia f : Z → Z tale che y = 4 − x una funzione.
Verifica che f o f = i (dove i è la funzione identità).
31
100) Sia g : Q − {0}→ Q − {0} tale che y =
2
una funzione.
x
Verifica che g o g = i
101) Sia f : Z → Z tale che y = x 2 + 1. Completa in modo che le seguenti relazioni risultino vere:
f (0) = …..
f (−1) = f (…) = ….
f ( …) = 0
f (…) = f (−2) = 5
f (…) = f (…) = 10
Rifletti sulle relazioni precedenti: f è iniettiva? Giustifica la tua risposta.
102) Siano h : Q → Q tale che y = 2 ⋅ x e k : Q → Q tale che y = x + 1 due funzioni.
Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a) (k o h) (−1) = −1;
b) h(k (−2)) = −2;
c) (k o h) (2) = h(k (2));
d) (h −1 o k −1 )(1) = (k o h) −1 (1) ;
e) h o h −1 = k o k −1 .
103) Siano f : Q → Q tale che y = −
x
+ 1 e h : Q → Q tale che y = −x due funzioni.
3
Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
a) ( f o h)(0) = (h o f )(0) ;
b) f (h(−3)) = h( f (3)) ;
c) h o h ≠ i ;
d) h( f − 1) =
2
;
3
4
e) ( f o h)(−1) = − .
3
104) Sia f : Q −{1}→ Q tale che f (x) =
a)
f (2) = 2;
b)
f è iniettiva;
c)
f è suriettiva;
d) ( f o f ) (3) non esiste;
e)
32
f non è biunivoca.
2
. Una sola delle seguenti affermazioni è falsa; quale?
x −1
105) Sia f (x) =
x
. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
x +1
a)
Df =Q +
V
F
b)
∃ x ∈ Q tale che f (x) = 1
V
F
c)
Se x < −1, allora f (x) > 0
V
F
d)
Se x > 0 , allora 0 < f (x) < 1
V
F
e)
Cf = Q
V
F
f)
∃! x ∈ Q tale che f (x) = 2
V
F
g)
 1
f  −  = −3
 2
V
F
Determina il dominio delle seguenti funzioni e, per ciascuna di esse, calcola le immagini dei
valori a fianco indicati:
106) y =
2x − 5
3
107) f (x) =
108) y =
3
x+4
3x − 1
2x + 1
109) y = 2 +
1
x−2
110) f (x) = 2 −
111) f (x) =
1
x+2
x2 −1
2x − 3
2
;
3
1
.
2
x = 0;
x = −2;
x = −2;
x=
3
;
2
3
x= − ;
5
x = −1.
x = 0;
x=
2
;
5
1
x= − ;
3
x = 2.
x = 0;
x= −
1
;
2
x=
x = 2;
x= −
2
;
3
x = 0;
x=
x = −1;
x=
x = 3;
x= −
1
;
2
x=
4
;
3
x= −
x = −2.
3
.
4
2
.
3
Problemi
112) Anna, Chiara, Elisa, Giulia, Bianca hanno i capelli biondi, neri o castani.
Solo una di loro ha i capelli neri e solo Giulia ha i capelli castani; Elisa e Chiara hanno capelli
dello stesso colore, invece Bianca e Anna hanno capelli di colore diverso; inoltre Bianca ed
Elisa non hanno capelli dello stesso colore.
Indica con ℜ la relazione “x ha i capelli dello stesso colore di y” e rappresenta il problema con
un grafo. Rispondi ai seguenti quesiti:
a) Qual è il colore dei capelli di Anna?
b) Qual è il colore dei capelli di Bianca?
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113) Ad un controllo, il medico ha misurato l’altezza di Lucia, Marta, Francesca, Paola e Rita. Il
suo collaboratore ha riportato su di un foglio le misure rilevate espresse in centimetri: 175,
172, 168, 165, 161; ha però, dimenticato di scrivere a fianco di ciascuna misura il nome della
ragazza; ricorda, però, che:
− Paola è più bassa di Francesca e di Lucia;
− Rita non è più alta di Paola;
− Francesca è più bassa di Marta;
− Marta non è la più alta.
Sapresti indicare l’altezza di ogni ragazza?
(Rappresenta con un grafo la relazione ℜ “x è più alta di y”).
114) Arianna, Beatrice, Cecilia, Daniela, Elvira, Giorgia si preparano per andare in pizzeria e non
hanno ancora deciso se indossare una maglia gialla o una maglia rossa. Giorgia, raffreddata,
decide di non uscire con le amiche e il giorno dopo telefona ad Arianna per sapere quale
maglia avessero indossato.
Arianna risponde in un modo un po’ strano dicendo:
“Tre di noi avevano la maglia rossa; io e Daniela abbiamo indossato maglie di colore diverso,
così come Cecilia ed Elvira; invece Daniela e Beatrice hanno indossato una maglia dello
stesso colore, ma diversa da quella di Elvira.”
Qual è il colore della maglia di Arianna?
(Rappresenta con un grafo la relazione ℜ “x ha la maglia dello stesso colore di y”).
115) Arturo, Bruno, Claudio e Danilo si sfidano in una gara di tiro con l’arco. Al termine chiedono
a Francesco, l’arbitro, chi ha vinto. Francesco risponde così:
“Bruno ha realizzato un punteggio maggiore di quello realizzato da Claudio, ma minore di
quello di Danilo che, comunque, non ha vinto; Antonio ha superato Bruno.”
Indicata con ℜ la relazione “x ha realizzato un punteggio maggiore di y”, rappresenta il
problema con un grafo e stila la classifica.
116) Anna, Barbara, Claudia, Debora partecipano ad una gara sui 100 metri. La gara termina senza
ex–aequo. Se Claudia è arrivata subito dopo Debora e Barbara è arrivata seconda, chi è
arrivata terza?
117) Delle sei persone, Alberto, Bruna, Cristina, Domenico, Enrico e Fabio, si sa che Domenico e
Enrico sono gemelli, Fabio è il padre di Alberto, Cristina è la madre di Domenico, Bruna è la
moglie di Fabio e Enrico è più vecchio di Bruna. Chi è il più giovane?
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IL PRESENTE FASCICOLO E’ STATO REALIZZATO DA
Ptof.ssa RESCIO ANNA MARIA
Prof. TIRALONGO SALVATORE
Prof. VADACCA ANTONIO
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