LA IIIF DA I NUMERI La Distribuzione di Benford meglio nota come

LA IIIF DA I NUMERI
La Distribuzione di Benford meglio nota come Legge di Benford o Legge della prima
cifra, descrive la distribuzione della probabilità che un numero presente in molte
raccolte di dati reali (popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti
fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località, ecc…) cominci con una
data cifra.
Benford trovò che le probabilità di ogni prima cifra sono le seguenti:
Prima cifra
Probabilità (%)
1
30,01
2
17,6
3
12,5
4
9,7
5
7,9
6
6,7
7
5,8
8
5,1
9
4,6
Una breve e intuitiva spiegazione del perché accade ciò, che la prima cifra 1 si
presenti con maggior frequenza delle altre seguita dalla cifra 2 e così via, è dato dal
fatto che noi contiamo a iniziare dal numero 1. Se proviamo a pensare alle cifre da 1 a
9 è chiaro che abbiamo le stesse probabilità che una cifra inizi con 1 o 2 o 3 o 9. Se,
però, prendiamo già i numeri da 1 a 20 ecco che da 11 a 19 ho molti più numeri che
iniziano con la cifra 1. Se prendiamo quelli da 1 a 30 ne ho molti che iniziano con 1 ma
anche molti che iniziano con 2. Come si può facilmente notare, per avere numeri che
inizino con 9 devo andare molto in là con la numerazione e quindi aumenta anche la
quantità di quelli che iniziano con 1 o con 2. Per questo in una distribuzione di numeri
sarà più alta la probabilità di averne che inizino con 1 piuttosto che con 9. La cosa
comunque singolare è che Benford riuscì a dimostrare che la probabilità che un
numero inizi con una certa cifra tra 1 e 9 è sempre la stessa.
La legge matematica che Benford ha trovato calcola la probabilità che, in una serie
numerica, la prima cifra sia n come:
p(n) = log10 (n + 1) – log10 (n)
La IIF ha voluto provare a testare la Legge di Benford a scuola.
Agli alunni di tutte le classi, ai docenti, al personale ATA e di segreteria è stato
chiesto di scrivere su un’apposita scheda un numero qualsiasi di lunghezza a piacere e
di inserire la scheda in un’urna posta nell’atrio della scuola.
Le schede sono state contate e divise in base alla prima cifra del numero scritto
sopra, per ogni cifra è stato calcolato quante volte essa compariva in testa ai numeri
inseriti nell’urna. Le schede totali sono state 225.
Si sono ottenute così le seguenti probabilità:
Prima cifra
Numero di volte in cui
compare
Probabilità (%)
1
68
30,2
2
43
19,1
3
36
16
4
17
7,6
5
16
7,1
6
12
5,3
7
11
4,9
8
15
6,7
9
7
3,1
TOT
225
100
Si nota che le probabilità si discostano un poco da quelle previste dalla Legge di
Benford. Questo scostamento, a nostro parere, può essere dovuto a tre ragioni:
-
Scarso numero di campioni: si dovrebbe ripetere l’esperimento con una serie
numerica più grande
-
Difficile interpretazione di alcuni dei numeri scritti he potrebbe aver inficiato
le frequenze
-
Alcuni votanti hanno inserito, invece di un numero, il simbolo di infinito (). I
ragazzi scrutinatori hanno conteggiato questi numeri come 8, inficiando così,
non solo la probabilità del numero 8 che infatti è ben distante dal 5,1% previsto
da Benford, ma anche quella degli altri numeri