Le equazioni di grado
superiore al secondo
ITIS Feltrinelli – anno scolastico 2007-2008
R. Folgieri 2007-2008
1
Teorema fondamentale dell’algebra
Ogni equazione algebrica di grado n ha sempre n soluzioni,
che possono essere reali o non reali
Ad esempio, l’equazione x3 – 1 = 0 ha solo una soluzione reale, cioè x = 1,
ed ha altre due soluzioni date da numeri non reali.
Determinare le soluzioni di un’equazione di grado superiore al secondo non
è sempre facile.
Ad esempio le equazioni complete di terzo e di quarto grado hanno formule
risolutive non facili da applicare. Per le equazioni di grado superiore al
quarto non ci sono formule risolutive.
Ci occuperemo solo di alcune equazioni particolari di gradi superiore al
secondo, cioè di quelle che si possono risolvere riconducendole a
equazioni di primo e di secondo grado.
R. Folgieri 2007-2008
2
1
Risoluzione per scomposizione
A volte un’equazione si può scomporre in un prodotto di equazioni, di
primo e di secondo grado. Per effettuare questa operazione occorre avere
dimestichezza con i prodotti notevoli e con le regole di scomposizione
(ad esempio Ruffini) e di raccoglimento a fattor comune.
Vediamo alcuni esempi di equazioni di questo tipo:
X3 – 5x2 + 6x = 0, che si può scomporre raccogliendo la x, e ottenendo così
x(x2 – 5x + 6)=0 risolvibili entrambe
X4 – 16 = 0 è la differenza di due quadrati: (x2+4)(x2 – 4)=0 e il secondo
fattore può ancora essere scomposto: (x2+4)(x+2)(x-2)=0 tutte risolvibili.
3x3 + x2 -19x + 15 si scompone utilizzando il metodo di Ruffini, ottenendo
(x-1)(3x2 + 4x -15)=0 risolvibili entrambe
R. Folgieri 2007-2008
3
Equazioni binomie
Sono quelle la cui forma canonica è
axn + b = 0 con a, b ∈R, n∈N
Le soluzioni si ottengono isolando l’incognita:
Si estrae, poi, la radice n-esima:
x=n −
xn = −
b
a
b
a
Possiamo avere tre casi:
n è pari ed a e b hanno segni concordi → -b/a è un numero negativo. La radice di indice
pari di un numero negativo non è compresa nell’insieme R, così l’equazione non ha soluzioni
reali.
n è pari ed a e b hanno segni discordi → -b/a è un numero positivo. L’equazione ha due
soluzioni reali opposte tra loro, e cioè:
b
b
x = −n −
a
x=n −
a
n è dispari → -b/a è un numero positivo. Qualunque siano i valori di a e di b, l’equazione ha
una sola soluzione reale, data da
b
x=n −
a
Vediamo alcuni esempi (a voi dire a quale dei tre tipi appartengono):
X4 – 16 = 0 ha radici x = ± 2
X3 + 8 = 0 ha la sola radice reale x= - 2
X6 + 64 = 0 non ha radici reali
(x – 2)3 – 27 =0 si può pensare come se l’incognita fosse x-2. Poi si ricava il valore di x, cioé 5
(x+1)4 = 16 si può pensare come se l’incognita fosse x+1, trovando le soluzioni x + 1 = ± 2
R. Folgieri 2007-2008
4
2
Equazioni trinomie
Sono quelle la cui forma canonica è
ax2n + bxn + c = 0 con a, b, c ∈R, n∈N
Le soluzioni si ottengono per sostituzione, ponendo xn = t
L’equazione diventa, quindi: t2 + bt + c = 0
Se il discriminante è maggiore o uguale a 0, l’equazione a due soluzioni reali, che sostituite di
nuovo nella xn = t, forniscono le soluzioni dell’equazione trinomia.
Se n = 2, si ha un’equazione nella forma ax4 + bx2 + c = 0 che si dice biquadratica.
Vediamo alcuni esempi (a voi dire a quale dei tre tipi appartengono):
X6 + 7x3 - 8 = 0 si pone x3=t sostituendo si risolve. Poi si sostituiscono ancora i valori (a voi
provare) e si ottengono le soluzioni reali x=1 e x = -2
3X4 - 7x2 + 2 = 0 si pone x2=t sostituendo si risolve. Poi si sostituiscono ancora i valori (a voi
provare) e si ottengono le soluzioni reali x=±√1/3 e x = ±√2
X4 + 6x2 + 9 = 0 è un’equazione biquadratica. Si pone x2=t sostituendo si ottiene x2=3 che è
impossibile in R e quindi l’equazione non ha soluzioni reali.
R. Folgieri 2007-2008
5
Equazioni reciproche
Reciproche di prima specie: sono quelle in cui i coefficienti dei termini equidistanti dagli
estremi sono numeri uguali.
Es. 5x3 - 6x2 - 6x + 5 = 0
Reciproche di seconda specie: sono quelle in cui i coefficienti dei termini equidistanti dagli
estremi sono numeri opposti.
Es. 2x4 + 7x3 + 5x2 -7x -2 = 0
Se un’equazione reciproca ha come soluzione il numero reale k, allora ha anche come
soluzione il numero reale reciproco, cioè 1/k.
Vedremo solo le equazioni reciproche di terzo, quarto e quinto grado, che si risolvono tutte per
scomposizione, eccetto quelle reciproche di quarto grado e di prima specie.
Reciproche di terzo grado di prima specie
Forma normale ax3 + bx2 + bx + a = 0, con a,b∈R
Il polinomio è sempre divisibile per x+1. SI risolve perciò usando Ruffini. Hanno sempre,
comunque, la soluzione x= -1
Es. 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 è divisibile per x+1, scomponendo, oltre a x= -1, si ha x=1/2 e x=2
Reciproche di terzo grado di seconda specie
Forma normale ax3 + bx2 - bx - a = 0, con a,b∈R
Il polinomio è sempre divisibile per x-1. SI risolve perciò usando Ruffini. Hanno sempre,
comunque, la soluzione x= 1
Es. 3x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0 è divisibile per x+1, scomponendo, oltre a x= 1, e nessun altra
soluzione reale.
R. Folgieri 2007-2008
6
3
Equazioni reciproche di quarto e di quinto grado
Reciproche di quarto grado di prima specie
Forma normale ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, con a,b,c∈R
Dividiamo tutti i termini per x2, ottenendo ax2 + bx + c + b/x + a/x2 = 0
1
1
Mettiamo evidenza i termini equidistanti dagli estremi, ottenendo: a⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟ + b⎛⎜ x + ⎞⎟ + c = 0
x ⎠ ⎝
x⎠
⎝
Ora poniamo:
1
x+
x
=t
Elevando al quadrato, otterremo: x 2 +
1
1
+ 2 = t 2 → x2 + 2 = t 2 − 2
x2
x
Sostituendo nell’equazione, otteniamo a(t2 – 2) + bt + c = 0. Si trovano (se esistono, le soluzioni t1
1
1
e t2 e, tornando alla
e
che risolte danno le soluzioni.
1
x + = t si ottengono
x
x+
x
= t1
x+
x
= t2
Es. 2x4 – 5x3 + 4x2 – 5x + 2 = 0 risolta con il metodo visto, ha soluzioni x = ½ e x= 2
Reciproche di quarto grado di seconda specie
Forma normale ax4 + bx2 - bx - a = 0, con a,b∈R
Manca il termine centrale perché dovrebbe essere uguale a se stesso e al suo opposto e quindi è
uguale a 0. E’ sempre divisibile sia per x+1 sia per x-1. Così tutte hanno soluzioni x= -1 e x=1. Per
il resto si risolvono con Ruffini.
Es. 6x4 – 37x3 + 37x - 6 = 0 dividiamo con Ruffini prima per -1 e poi per 1. Si ottengonoin tutto le
soluzioni x = -1, x = 1, x = 1/6, x = 6.
Reciproche di quinto grado
Di prima specie hanno soluione x= -1,come quelle di terzo grado di prima specie.
Di seconda specie hanno soluione x= 1, come quelle di terzo grado di seconda specie.
Si abbassano di grado con Ruffini e ci si riconduce ad equazioni di quarto grado.
Es. 2x5 + 7x4 + 5x3 - 5x2 - 7x - 2 = 0 dividiamo con Ruffini per 1. Si ottengonoin tutto le soluzioni
x= -1, x = 1 (doppia), x = -1/2, x = -2.
R. Folgieri 2007-2008
7
Equazioni irrazionali
Sono quelle in cui l’incognita compare sotto radice.
Equazioni irrazionali con radici quadrate
Si eleva al quadrato per eliminare la radice. Accorgimenti:
1) Se l’equazione contiene solo una radice, conviene isolarla in uno dei due membri
2) Se contiene due radici e nessun alro termine, conviene mettere una radice in un membro e
una in un altro
3) Se contiene due radici e anche altri termini, conviene che entrambe le radici siano da sole
in uno dei due termini. Eliminando al quadrato resta una radice, che si deve poi isolare per
poter elevare di nuovo al quadrato.
L’equazione ottenuta, però, non è equivalente, per cui, trovate le radici, occorre verificare
che effettivamente siano radici dell’equazione irrazionale di partenza., sostituendo ogni
soluzione all’incognita per stabilire se è soddisfatta.
Vediamo alcuni esempi (a voi applicare il procedimento):
x2 + 5 = 3
3x + 4 − x = 0
x 2 − 5x + 4 − 2x − 6 = 0
x +3 − x −5 = 2
R. Folgieri 2007-2008
8
4
Equazioni irrazionali con radici cubiche
Equazioni irrazionali con radici cubiche
Si elevano al cubo, una o più volte, entrambi i membri dell’equazione. Accorgimenti:
Non è necessario verificare le soluzioni e nemmeno porre condizioni sull’espressione sotto
radice, perché il radicando può essere positivo, negativo o nullo.
Vediamo alcuni esempi (a voi applicare il procedimento):
3
3x − 4 = 3 x − 2
3
1 + 3 x = −2
3
x +1 = x +1
Altri tipi di equazioni irrazionali
Si possono risolvere con un po’ di intuito, per tentativi e qualche accorgimento (e facendo
molti, molti esercizi, che ci permetteranno di riconoscere come procedere)
Es. La seguente equazione si risolve riducendo entrambe le radici allo stesso indice 6:
3
x + 1 = x + 1 → 6 ( x + 1) 2 = 6 ( x + 1) 3
Es. l’equazione seguente si risolve elevando al quadrato due volte ambo i membri
x +1 = x −1
R. Folgieri 2007-2008
9
5
