Il teorema fondamentale dell’algebra
Questo teorema fu provato per la prima volta da Gauss nel 1799,
nella sua tesi di dottorato, presentata in quell’anno presso l’Università
di Helmstedt, Germania. Successivamente egli trovò altre tre diverse
dimostrazioni dello stesso risultato. Quest’ultimo si fonda sul concetto
di numero complesso. In moderno linguaggio matematico,
l’enunciato è il seguente:
Un’equazione algebrica di grado n>0 a coefficienti complessi ha n
radici complesse, ogni radice contata secondo la propria molteplicità.
In particolare l’equazione binomia
Xn = 1
ha n radici, le radici n-esime dell’unità.
Osservazione Contrariamente a quanto credeva Eulero, un’equazione
algebrica a coefficienti tutti reali spesso non ha nessuna radice reale.
Infatti:
Un’equazione di secondo grado a discriminante negativo ha due
radici non reali (v. numeri complessi);
L’equazione
X4 – 4X3 + 2X2 + 4X + 4 = 0,
ha quattro radici non reali (non facili da determinare). Questo
esempio risale a Nikolaus Bernoulli che lo produsse proprio per
smentire Eulero.
È però vero che:
Ogni equazione algebrica a coefficienti reali di grado dispari ha sempre
almeno una radice reale.
Esistono formule di risoluzione per
le equazioni binomie Xn - a=0 di ogni grado (formule di De Moivre);
le equazioni di secondo grado (formule di Newton);
le equazioni di terzo grado (formule di Tartaglia);
le equazioni di quarto grado (formule di Ferrari).
Non esistono invece formule generali per le equazioni di grado
superiore al quarto, come dimostrato da Abel e Galois.
L’esistenza di radici per le equazioni algebriche è legata alla
decomposizione in fattori dei polinomi. Vale infatti il seguente teorema
di Ruffini:
Dato un polinomio p(X), allora è una radice dell’equazione algebrica
p(X)=0 se e solo se il polinomio X- è un divisore di p(X).
Dal teorema fondamentale dell’algebra e dal teorema di Ruffini si
deduce facilmente che ogni polinomio di grado n>0 a coefficienti
complessi è decomponibile nel prodotto di n polinomi di grado 1 a
coefficienti complessi.
La regola di Newton
