FORMULARIO DI MATEMATICA

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FORMULARIO DI
MATEMATICA
Sommario
ALGEBRA ......................................................................................................................... 2
DISEQUAZIONI ................................................................................................................ 5
GEOMETRIA .................................................................................................................... 6
GEOMETRIA ANALITICA .................................................................................................. 7
FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI ......................................................................... 9
TRIGONOMETRIA .......................................................................................................... 11
CALCOLO COMBINATORIO ........................................................................................... 12
PROBABILITA’ ................................................................................................................ 12
PERCENTUALI ................................................................................................................ 12
PROGRESSIONI .............................................................................................................. 12
LOGICA .......................................................................................................................... 13
STATISTICA .................................................................................................................... 13
1
ALGEBRA
INSIEMI
NUMERICI
POTENZE
PRODOTTI
NOTEVOLI
POTENZA
DEL
BINOMIO
n! = 1·2· … ·n
SCOMPOSIZIONI
2
EQUAZIONI
DI 1° GRADO
0x = 0 indeterminata – 0x = b impossibile
DISEQUAZIO
NI DI 1°
GRADO
SISTEMI
LINEARI
a 
VALORE
ASSOLUTO
a
se a  0
a
se a  0
OPERAZIONI
CON I
RADICALI
b
b


a
a
a
b a

a
a
RAZIONALIZ
ZAZIONI
3
b
n
a
m

b
n
a
m

n
a nm
n
a nm
bn a nm

a
RADICALI
DOPPI
2
x
EQUAZIONI
DI
2° GRADO
COMPLETE
ax2+bx+c=0
EQUAZIONI
DI
2° GRADO
INCOMPLETE
 b    b  b  4ac

2a
2a
2
x1  0
ax  bx  x(ax  b)  0
b
x2  
a
b
b
b

     ac
 
2
4  2
x 2
a
a
Spuria
2
Pura
c
c
x  x   
a
a
se –c/a < 0 
2
Relazione tra
coefficienti e
radici e
scomposizio
ne
2
ax +bx+c=0
axn+ c=0
Equazioni
binomie
Equazioni
trinomie
n pari
ax2n+bxn + c=0
c
c
 0  x  n 
a
a
c
  0  no soluz
a

t = xn
n dispari
xn 
c
a
at2 + bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie
4
DISEQUAZIONI
DISEQUAZIONI
DI 2° GRADO
A( x)  0
DISEQUAZIONI
DI GRADO > 2
E FRATTE
Sempre > 0 ! Studiare ≥0 se è P(x) ≤≥0
Per le fratte ≥0 solo al Numeratore
Studiare i segni dei fattori B ( x)  0
..
Le soluzioni sono gli intervalli
con i segni richiesti
Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente:
SISTEMI DI
DISEQUAZIONI
La soluzione del sistema è l’intersezione delle soluzioni delle
singole disequazioni: S = S1 S2  …
Grafico:
( A(X) <≤ >≥0 ) U (B(x) <≤ >≥0)
UNIONE DI
DISEQUAZIONI
EQUAZIONI E
DISEQUAZIONI
IRRAZIONALI
CON RADICE
QUADRATA
(C.E.: A(x)  0)
EQUAZIONI E
DISEQUAZIONI
CON MODULO
 A( x) A( x)  0
A( x)  
  A( x) A( x)  0
5
Soluzione S = S1 U S2
Grafico:
GEOMETRIA
PUNTI NOTEVOLI
DI UN
TRIANGOLO
(intersezione di
..)
POLIGONO
DI n LATI
Altezze
Bisettrici
Mediane
Assi
SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI= (n
Bisettrici angoli esterni
– 2)· 180°
ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) =
(n  2) 180
n
L’asse di un corda passa per il centro.
Raggio e retta tangente sono perpendicolari.
L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda è la metà
dell’angolo al centro corrispondente
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.
CIRCONFERENZA
Un quadrilatero è: INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti .
CONVERSIONI
MISURE ANGOLI
AREE DI FIGURE
PIANE
AH = (AB·AC)/BC
AB2 + AC2 = BC2
2
2
I° TEOREMA DI EUCLIDE: AB = BH·BC AC = CH·BC
2
II° TEOREMA DI EUCLIDE: AH = BH·HC
TEOREMI SUI
TRIANGOLI
RETTANGOLI
APPLICAZIONI
DEL TEOREMA DI
PITAGORA
TEOREMA DI PITAGORA:
h
d l 2
QUADRATO
TRIANGOLO EQUILATERO
SOLIDI
Teorema di Eulero
Facce + Vertici – Spigoli = 2
6
l
3
2
GEOMETRIA ANALITICA
DISTANZA e
PUNTO MEDIO
TRA 2 PUNTI
A(x1 ; y1)
B(x2 ; y2)
Equazione della
RETTA
Coefficiente
Angolare
Parallelismo e
Perpendicolarità
Retta passante
per 2 punti
A(x1 ; y1)
B(x2 ; y2)
Fasci
DISTANZA
PUNTO - RETTA
AB 
x2  x1 2   y2  y1 2
A' B'  x2  x1
 x  x y  y2 
M 1 2 ; 1

2 
 2
Forma implicita
y  mx  q
ax  bx  c  0
m
Forma esplicita
A' ' B' '  y2  y1
Coeff. angolare
m
Intercetta
b
a
q
c
a
y 2  y1
x2  x1
m  m'
m'  
1
m
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
A( x0 ; y0 )
ax  bx  c  0
d ( A; r ) 
axo  byo  c
a2  b2
 a b
C   ; 
 2 2
CIRCONFERENZA
2
2
a b
r  2  2 c      c
 2 2
CIRCONFERENZA
E RETTA
7
a:x  
PARABOLA
con asse //
asse y
b
2a
 
 b
V   ; 
 2a 4a 
a: y  
PARABOLA
con asse //
asse x
b
2a
b 
 
V   ; 
 4a 2a 
Ellisse con i
fuochi sull’asse x
Ellisse con i
fuochi sull’asse y
Iperbole con i
fuochi sull’asse x
Iperbole con i
fuochi sull’asse y
Altre equazioni
dell’iperbole
8
 b 1  
F  ;

 2a 4a 
d:y
1 
4a
b 
1 
F
; 
2a 
 4a
d:x
1 
4a
FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI
DEFINIZIONE
DI FUNZIONE
FUNZIONI
INVERTIBILI
FUNZIONI
COMPOSTE
“Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B
una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento xA uno ed un
solo elemento yB.”
Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive :
f : A B ;
f : xA  yB; oppure
y = f (x)
L’elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L’elemento Y si chiama
variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione.
L’insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o
insieme di definizione o dominio della funzione. L’insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si
chiama codominio della funzione.
Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B è associato una sola volta ad un
elemento di A.
Una funzione biettiva è anche invertibile : cioè se f : x A  y B è biettiva e associamo ad ogni valore y
del codominio l’elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa :
f -1 : y  B  x  A.
Siano date due funzioni f: x  A  y  B e g: y  C  z  D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B  C
(intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x)  I si può associare
l’elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f•g(x) = g(y) = g(f(x)) : AD.
Il dominio della funzione composta può anche non coincidere con l’insieme A ma esserne un sottoinsieme.
CLASSIFICAZI
ONE
CALCOLO
DEL
DOMINIO
Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2)
Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2)
FUNZIONI
MONOTONE
FUNZIONI
PARI,
Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x)  x A
Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x)  x A
9
DISPARI
PERIODICHE
Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha:
f(x) = f(x + kT)
Funzione
esponenziale
Funzione
logaritmica
PROPRIETA’ DI
ESPONENZIALI
E LOGARITMI
Equazioni
esponenziali
Disequazioni
esponenziali
a f ( x)  N 
a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)
a f ( x )  ( ) a g ( x ) 
f ( x )  ( ) g ( x )
a 1
f ( x )  ( ) g ( x ) 0  a  1
a f ( x )  ( ) N 
Disequazioni
logaritmiche
N 0
f ( x)  loga N N  0
f ( x)  () loga N a  1
f ( x)  () loga N 0  a  1
a f ( x )  N  x  R
a f ( x )  N  impossibile N  0
Equazioni
logaritmiche
impossibile
N 0
 f ( x)  0

loga f ( x)  loga g ( x)   g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0
loga f ( x)  N  
N
 f ( x)  a


f ( x)  0

loga f ( x)  () loga g ( x)  
g ( x)  0
 f ( x )  ( ) g ( x ) a  1

 f ( x)  () g ( x) 0  a  1
10


f ( x)  0

loga f ( x)  () N  
g ( x)  0
 f ( x )  ( ) a N
a 1

N
 f ( x)  ()a 0  a  1
TRIGONOMETRIA
ANGOLI
g = 360-esima
parte angolo giro
 g :  r  180 : 
g 
180   r

r 
CIRCONFERENZA
GONIOMETRICA
RELAZIONI
FONDAMENTALI
ARCHI ASSOCIATI
ANGOLI
ELEMENTARI
FORMULE
GONIOMETRICHE
EQUAZIONI
GONIOMETRICHE
Teorema dei
Triangoli
rettangoli e
della corda
a = c sen  = c cos 
b = c sen  = c cos 
a = b tg  = b cotg 
b = a tg  = c cotg 
AREA DEL TRIANGOLO
AB = 2r sen 
A = 1 a b sen  = 1 a c sen  = 1 b c sen 
2
Triangoli
qualunque
TEOREMA DEI SENI
2
2
a
b
c


 2r
sen
sen
sen
TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT
a2 = b2 + c2 – 2bc cos  b2 = a2 + c2 – 2ac cos  c2 = a2 + c2 – 2ac cos 
11
  g
180
CALCOLO COMBINATORIO
n fattoriale
n! = n·(n-1)·…·1
DISPOSIZIONI SEMPLICI
(CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):
PERMUTAZIONI SEMPLICI
(CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):
Dn,k = n·(n-1)·…·(n-k+1)
Pn = Dn,n = n!
COMBINAZIONI SEMPLICI
(NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):
Cn,k =
Drn,k = nk
DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE
(CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI):
COMBINAZIONI con RIPETEZIONE
(NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI):
Cn,k =
PROBABILITA’
p(E) =
Probabilità di un evento E
p(E) = 1 – p(E)
Probabilità dell’evento contrario E
p(E1  E2) =
p(E1) + p(E1) – p(E1  E2)
p(E1  E2) = p(E1) + p(E1)
Probabilità dell’unione di eventi
Probabilità dell’unione di eventi incompatibili
p(E1  E2) = p(E1 ) · p(E2)
Probabilità composta di eventi indipendenti
p(E/F) =
Probabilità condizionale
p(E F) = p(E/F) · p(F)
Probabilità composta di eventi dipendenti
Prova ripetuta n volte
Sia p la probabilità che E si verifichi una volta.
La probabilità che E si verichi k volte su n è
PERCENTUALI
VARIAZIONE PERCENTUALE
CALCOLO DEL VALORE FINALE
PROGRESSIONI
Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e
termine iniziale a0.
Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
an = a0 + (n-1)·d
Sn =
Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e
termine iniziale a0.
an = a0·rn
12
LOGICA
CONNETTIVI
LOGICI
Modus Ponens
Modus Tollens
REGOLE DI
DEDUZIONE
Leggi di De Morgan
STATISTICA
Frequenza
relativa
f = F / T (Frequenza / Totale dati)
Indici di
posizione
centrale
Indici di
dispersione
13
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