FORMULARIO DI MATEMATICA Sommario ALGEBRA ......................................................................................................................... 2 DISEQUAZIONI ................................................................................................................ 5 GEOMETRIA .................................................................................................................... 6 GEOMETRIA ANALITICA .................................................................................................. 7 FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI ......................................................................... 9 TRIGONOMETRIA .......................................................................................................... 11 CALCOLO COMBINATORIO ........................................................................................... 12 PROBABILITA’ ................................................................................................................ 12 PERCENTUALI ................................................................................................................ 12 PROGRESSIONI .............................................................................................................. 12 LOGICA .......................................................................................................................... 13 STATISTICA .................................................................................................................... 13 1 ALGEBRA INSIEMI NUMERICI POTENZE PRODOTTI NOTEVOLI POTENZA DEL BINOMIO n! = 1·2· … ·n SCOMPOSIZIONI 2 EQUAZIONI DI 1° GRADO 0x = 0 indeterminata – 0x = b impossibile DISEQUAZIO NI DI 1° GRADO SISTEMI LINEARI a VALORE ASSOLUTO a se a 0 a se a 0 OPERAZIONI CON I RADICALI b b a a a b a a a RAZIONALIZ ZAZIONI 3 b n a m b n a m n a nm n a nm bn a nm a RADICALI DOPPI 2 x EQUAZIONI DI 2° GRADO COMPLETE ax2+bx+c=0 EQUAZIONI DI 2° GRADO INCOMPLETE b b b 4ac 2a 2a 2 x1 0 ax bx x(ax b) 0 b x2 a b b b ac 2 4 2 x 2 a a Spuria 2 Pura c c x x a a se –c/a < 0 2 Relazione tra coefficienti e radici e scomposizio ne 2 ax +bx+c=0 axn+ c=0 Equazioni binomie Equazioni trinomie n pari ax2n+bxn + c=0 c c 0 x n a a c 0 no soluz a t = xn n dispari xn c a at2 + bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie 4 DISEQUAZIONI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO A( x) 0 DISEQUAZIONI DI GRADO > 2 E FRATTE Sempre > 0 ! Studiare ≥0 se è P(x) ≤≥0 Per le fratte ≥0 solo al Numeratore Studiare i segni dei fattori B ( x) 0 .. Le soluzioni sono gli intervalli con i segni richiesti Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente: SISTEMI DI DISEQUAZIONI La soluzione del sistema è l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni: S = S1 S2 … Grafico: ( A(X) <≤ >≥0 ) U (B(x) <≤ >≥0) UNIONE DI DISEQUAZIONI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON RADICE QUADRATA (C.E.: A(x) 0) EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON MODULO A( x) A( x) 0 A( x) A( x) A( x) 0 5 Soluzione S = S1 U S2 Grafico: GEOMETRIA PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO (intersezione di ..) POLIGONO DI n LATI Altezze Bisettrici Mediane Assi SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI= (n Bisettrici angoli esterni – 2)· 180° ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) = (n 2) 180 n L’asse di un corda passa per il centro. Raggio e retta tangente sono perpendicolari. L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda è la metà dell’angolo al centro corrispondente Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo. CIRCONFERENZA Un quadrilatero è: INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti . CONVERSIONI MISURE ANGOLI AREE DI FIGURE PIANE AH = (AB·AC)/BC AB2 + AC2 = BC2 2 2 I° TEOREMA DI EUCLIDE: AB = BH·BC AC = CH·BC 2 II° TEOREMA DI EUCLIDE: AH = BH·HC TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA TEOREMA DI PITAGORA: h d l 2 QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO SOLIDI Teorema di Eulero Facce + Vertici – Spigoli = 2 6 l 3 2 GEOMETRIA ANALITICA DISTANZA e PUNTO MEDIO TRA 2 PUNTI A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Equazione della RETTA Coefficiente Angolare Parallelismo e Perpendicolarità Retta passante per 2 punti A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Fasci DISTANZA PUNTO - RETTA AB x2 x1 2 y2 y1 2 A' B' x2 x1 x x y y2 M 1 2 ; 1 2 2 Forma implicita y mx q ax bx c 0 m Forma esplicita A' ' B' ' y2 y1 Coeff. angolare m Intercetta b a q c a y 2 y1 x2 x1 m m' m' 1 m y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 A( x0 ; y0 ) ax bx c 0 d ( A; r ) axo byo c a2 b2 a b C ; 2 2 CIRCONFERENZA 2 2 a b r 2 2 c c 2 2 CIRCONFERENZA E RETTA 7 a:x PARABOLA con asse // asse y b 2a b V ; 2a 4a a: y PARABOLA con asse // asse x b 2a b V ; 4a 2a Ellisse con i fuochi sull’asse x Ellisse con i fuochi sull’asse y Iperbole con i fuochi sull’asse x Iperbole con i fuochi sull’asse y Altre equazioni dell’iperbole 8 b 1 F ; 2a 4a d:y 1 4a b 1 F ; 2a 4a d:x 1 4a FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI DEFINIZIONE DI FUNZIONE FUNZIONI INVERTIBILI FUNZIONI COMPOSTE “Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento xA uno ed un solo elemento yB.” Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive : f : A B ; f : xA yB; oppure y = f (x) L’elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L’elemento Y si chiama variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione. L’insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o insieme di definizione o dominio della funzione. L’insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si chiama codominio della funzione. Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B è associato una sola volta ad un elemento di A. Una funzione biettiva è anche invertibile : cioè se f : x A y B è biettiva e associamo ad ogni valore y del codominio l’elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa : f -1 : y B x A. Siano date due funzioni f: x A y B e g: y C z D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B C (intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x) I si può associare l’elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f•g(x) = g(y) = g(f(x)) : AD. Il dominio della funzione composta può anche non coincidere con l’insieme A ma esserne un sottoinsieme. CLASSIFICAZI ONE CALCOLO DEL DOMINIO Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2 f(x1) f(x2) Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2 f(x1) f(x2) FUNZIONI MONOTONE FUNZIONI PARI, Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x) x A Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x) x A 9 DISPARI PERIODICHE Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x + kT) Funzione esponenziale Funzione logaritmica PROPRIETA’ DI ESPONENZIALI E LOGARITMI Equazioni esponenziali Disequazioni esponenziali a f ( x) N a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) a f ( x ) ( ) a g ( x ) f ( x ) ( ) g ( x ) a 1 f ( x ) ( ) g ( x ) 0 a 1 a f ( x ) ( ) N Disequazioni logaritmiche N 0 f ( x) loga N N 0 f ( x) () loga N a 1 f ( x) () loga N 0 a 1 a f ( x ) N x R a f ( x ) N impossibile N 0 Equazioni logaritmiche impossibile N 0 f ( x) 0 loga f ( x) loga g ( x) g ( x) 0 f ( x) g ( x) f ( x) 0 loga f ( x) N N f ( x) a f ( x) 0 loga f ( x) () loga g ( x) g ( x) 0 f ( x ) ( ) g ( x ) a 1 f ( x) () g ( x) 0 a 1 10 f ( x) 0 loga f ( x) () N g ( x) 0 f ( x ) ( ) a N a 1 N f ( x) ()a 0 a 1 TRIGONOMETRIA ANGOLI g = 360-esima parte angolo giro g : r 180 : g 180 r r CIRCONFERENZA GONIOMETRICA RELAZIONI FONDAMENTALI ARCHI ASSOCIATI ANGOLI ELEMENTARI FORMULE GONIOMETRICHE EQUAZIONI GONIOMETRICHE Teorema dei Triangoli rettangoli e della corda a = c sen = c cos b = c sen = c cos a = b tg = b cotg b = a tg = c cotg AREA DEL TRIANGOLO AB = 2r sen A = 1 a b sen = 1 a c sen = 1 b c sen 2 Triangoli qualunque TEOREMA DEI SENI 2 2 a b c 2r sen sen sen TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT a2 = b2 + c2 – 2bc cos b2 = a2 + c2 – 2ac cos c2 = a2 + c2 – 2ac cos 11 g 180 CALCOLO COMBINATORIO n fattoriale n! = n·(n-1)·…·1 DISPOSIZIONI SEMPLICI (CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): PERMUTAZIONI SEMPLICI (CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): Dn,k = n·(n-1)·…·(n-k+1) Pn = Dn,n = n! COMBINAZIONI SEMPLICI (NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): Cn,k = Drn,k = nk DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE (CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): COMBINAZIONI con RIPETEZIONE (NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): Cn,k = PROBABILITA’ p(E) = Probabilità di un evento E p(E) = 1 – p(E) Probabilità dell’evento contrario E p(E1 E2) = p(E1) + p(E1) – p(E1 E2) p(E1 E2) = p(E1) + p(E1) Probabilità dell’unione di eventi Probabilità dell’unione di eventi incompatibili p(E1 E2) = p(E1 ) · p(E2) Probabilità composta di eventi indipendenti p(E/F) = Probabilità condizionale p(E F) = p(E/F) · p(F) Probabilità composta di eventi dipendenti Prova ripetuta n volte Sia p la probabilità che E si verifichi una volta. La probabilità che E si verichi k volte su n è PERCENTUALI VARIAZIONE PERCENTUALE CALCOLO DEL VALORE FINALE PROGRESSIONI Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e termine iniziale a0. Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica an = a0 + (n-1)·d Sn = Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e termine iniziale a0. an = a0·rn 12 LOGICA CONNETTIVI LOGICI Modus Ponens Modus Tollens REGOLE DI DEDUZIONE Leggi di De Morgan STATISTICA Frequenza relativa f = F / T (Frequenza / Totale dati) Indici di posizione centrale Indici di dispersione 13
