Equazioni diofantee

Equazioni diofantee
1. Diofanto d’Alessandria.
Diofanto, vissuto nel III secolo dopo Cristo, è considerato l’iniziatore del calcolo algebrico.
Ben poco si sa della sua vita e quel poco ci è stato trasmesso da H.W. Turbull, uno
storico della matematica che ha rinvenuto e tradotto l’epigramma greco, noto come
Epitaffio di Diofanto:
Hunc Diophantus habet tumulum qui tempora vitae
Illius, mira denotat arte tibi.
Egit sex tantem juvenic; lanugine malas
Vestire hinc coepit parte duodecima.
Septante uxori post haec sociatur, et anno
Formosus quinto nascitur inde puer.
Semissem aetatis post quam attigit ille paternae,
Infelix subita morte peremptus obit.
Quator aestater genitor lugere superstes
Cogitur, hinc annos illius assequere.
Che significa
Questa è la tomba di Diofanto nella quale sono ricordati, con mirabile arte i suoi giorni.
Fu fanciullo per un sesto della sua vita, la barba crebbe sulle sue gote
dopo un altro dodicesimo di vita; dopo un ulteriore settimo prese moglie,
e cinque anni più tardi gli nacque un bel bambino. L’infelice figlio fu rapito da morte prematura vivendo la metà di suo padre, che lo raggiunse
qui quattro anni dopo.
Quanti anni visse Diofanto?
Indicati con x gli anni della sua vita si ha
1
1
1
1
x = x + x + x +5+ x + 4
6 12
7
2
da cui
3
⎛ 1 1 1 1⎞
x =9
⎜1 − − − − ⎟ x = 9 →
28
⎝ 6 12 7 2 ⎠
Se l’epitaffio corrisponde a verità, Diofanto morì a x = 84 anni...
Ci sono pervenute due opere di Diofanto: un libro sui Numeri poligonali e i primi sei
libri del trattato Aritmetica, una collezione di 130 problemi risolti tramite equazioni a
coefficienti numeri interi e le cui soluzioni sono cercate ancora tra i numeri interi.
Le innovazioni dell’Aritmetica ebbero grande influenza sul pensiero algebrico arabo
e giunsero in Italia assai più tardi: nel 1621 fu pubblicata la prima traduzione
dell’Aritmetica, curata dal grande algebrista italiano Raffaele Bombelli.
2. Le equazioni diofantee
Non sempre un’equazione lineare ha soluzioni intere: ad esempio,
2x+6y=3
non ha soluzioni intere.
Infatti il primo membro, qualunque siano i valori interi dati ad x e ad y produce un
numero pari che, quindi non potrà mai coincidere con il 3 a secondo membro che è
dispari !
Cercare soluzioni intere per un’equazione non è uno scherzo da matematici originali:
sono tanti i casi in cui un problema pretende di essere risolto in termini interi.
Non si possono, ovviamente, considerare frazioni di esseri umani, ma non si possono
neanche considerare frazioni delle valute, oltre quelle ufficialmente riconosciute:
qualunque conto in euro non può che essere espresso da un numero intero di. . . centesimi di euro!
Un’equazione lineare
(1)
a x + b y = c,
dove a, b e c sono numeri interi e per la quale si cercano soluzioni intere si dice equazione diofantea.
Risolvere l’equazione (1) significa trovare le coppie di interi (u, v) tali che
a u + b v = c.
Si può riconoscere che l’equazione (1) ha soluzione se e solo se il secondo membro è
un multiplo del Massimo Comun Divisore di a e b, risultato detto, in genere, teorema
di Bezout.
Quasi sempre le questioni che coinvolgono Massimi Comun Divisori si servono
dell’algoritmo euclideo delle divisioni successive: nel caso delle equazioni diofantee
(1) l’algoritmo delle divisioni successive non solo permette di riconoscere quando
l’equazione ammette soluzioni, ma offre anche un procedimento costruttivo per determinarle.
Ad esempio, supponiamo di voler trovare soluzioni dell’equazione diofantea
(2)
74 x + 22 y = 10
Cerchiamo, per decidere in base al teorema di Bezout se l’equazione abbia o meno
soluzioni, il MCD (74, 22) e cerchiamolo con l’algoritmo euclideo delle divisioni
successive:
74 = 22 × 3 + 8
22 = 8 × 2 + 6
8=6×1+2
6=2×3
da esso emerge che l’ultimo resto non nullo è 2 e pertanto
MCD(74, 22) = 2
Il secondo membro dell’equazione (2), 10, è divisibile per tale MCD e quindi
l’equazione ammette soluzioni intere.
Non solo: servendosi delle divisioni successive procedendo a ritroso si ricava
• dalla penultima 2 = 8 − 6
• ricavando 6 dalla seconda 2 = 8 − [22 − 8 × 2]
• ricavando 8 dalla prima 2 = {74−22×3}−[22−{74−22×3}×2]
da cui, svolta l’espressione,
2 = 74 × 3 − 22 × 10
Tenuto presente che il secondo membro dell’equazione diofantea assegnata è
10 = 2 × 5 si ha, moltiplicando per 5 membro a membro,
2 × 5 = 74 × 3 × 5 − 22 × 10 × 5
da cui
10 = 74 × 15 + 22 × (−50)
cioè la coppia x = 15 e y = −50 è soluzione dell’equazione (2).
Unicità ?
Non pensatelo mai: è facile trovare coppie x e y per le quali riesca
74 x + 22 y = 0
ad esempio x = −22 e y = 74 oppure x = −44 e y = 148 ecc. ecc. e allora le coppie
(15 − 22, −50 + 74) , (15 − 44, −50 + 148), . . .
sono soluzioni della (2), negando quindi ogni idea di unicità.
2.1 - Equazioni diofantee di grado superiore.
Ricordiamo due equazioni diofantee famose: la prima
x2 + y2 = z2
le cui soluzioni intere sono le terne pitagoriche, le misure di quei particolari triangoli
rettangoli con cateti e ipotenusa interi.
Il caso più noto è quello x = 3, y = 4, z = 5
Altre terne pitagoriche sono
x = n2 − m2,
y = 2 n m,
z = n2 + m2,
∀ n > m∈ Ν
La seconda, la famosa relazione detta Teorema di Fermat,
xn + yn = zn,
n ≥3∈Ν
che solo meno di una decina di anni fa è stata definitivamente riconosciuta come priva di soluzioni intere.