Equazioni diofantee impossibili

Equazioni diofantee impossibili
Di Cristiano Armellini, [email protected]
Con il presente articolo vogliamo descrivere tutta una serie di equazioni diofantee (equazioni in due
variabili x, y intere) che non possono avere soluzioni. Iniziamo con l’equazione x + y = z che
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per l’Ultimo Teorema di Fermat non può avere soluzioni intere positive nelle variabili x, y, z.
Possiamo scrivere : x = z − y = ( z − y )( z + zy + y ) . Cerchiamo le soluzioni nella forma
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z − y = 1
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che porta all’equazione diofantea 3 y + 3 y + 1 − x = 0 . Questa equazione
 2
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 z + zy + y = x
non può avere soluzioni proprio perché se le avesse anche x + y = z avrebbe soluzioni intere e
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questo ci porterebbe ad un assurdo.
Analogamente se
x + y = z 3
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porta all’equazione diofantea 3 y − 3 z y + z − 1 = 0 che non può avere
 2
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 x − xy + y = 1
soluzioni intere per i motivi del caso precedente
Così per
x + y = z 2
abbiamo
 2
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 x − xy + y = z
3 y 2 − 3 z 2 y + z 4 − z = 0 senza soluzioni y, z intere
Potevamo da x + y = z scrivere , quindi ad esempio
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x + y = z
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porta a 3 y − 3 yz + z − z = 0 (senza soluzioni y, z intere)
 2
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 x − xy + y = z
idem per
x + y = z 3
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porta a ( z − y ) − y ( z − y ) + y = 1 (che non sviluppiamo per brevità ma
 2
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 x − xy + y = 1
che come le altre non può avere soluzioni intere).
Con lo stesso procedimento possiamo considerare l’equazione diofantea x + y = z dove si può
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scrivere x = ( z − y )( z + y ) e operando con il metodo descritto sopra si possono trovare
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decine di altre equazioni diofantee che non possono avere soluzioni. Idem per x + y = z con n
n
n
n
intero maggiore di 2.
Un altro approccio interessante è, sempre usando l’Ultimo Teorema di Fermat, dimostrato da Wiles
nel 1993, x n + y n = z n , n > 2 è porre z = ax + by con a, b interi non necessariamente positivi.
Quindi deduciamo che nemmeno x n + y n = (ax + by ) n può avere soluzioni intere, fissati a, b, n (n
> 2). Così pure (az + by ) n + y n = z n
L’equazione diofantea più importante rimane s − 4n = v con s, v interi n = pq dal momento che
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una sua immediata soluzione avrebbe conseguenze molto importanti sulla fattorizzazione dei
numeri interi anche di grandi dimensioni. Infatti s = p + q, v = p − q, n = pq