E.5. Congruenze

E.5. Congruenze
Nella sezione D. (esempio (d)) abbiamo introdotto la relazione di congruenza modulo n: dati due numeri interi x, y e
un numero intero positivo n diciamo che x è congruo a y modulo n (in formula x ≡ n y se n è un divisore di x–y.
Abbiamo visto che è una relazione di equivalenza, che verifica cioè le proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva.
Esempi
•
Congruenze modulo 2: dati due interi x, y, diciamo che sono congrui modulo 2 (in formula x ≡ y ) se x–y è
2
pari. Si vede subito che 0 è congruo (modulo 2) a tutti i numeri pari, mentre 1 è congruo (modulo 2) a tutti i
numeri dispari. Quindi ogni numero intero è congruo (modulo 2) a 0 oppure a 1. Quindi nella partizione
definita dalla congruenza modulo 2 vi sono due classi di congruenza: [0]2, [1]2.
•
Congruenze modulo 3: dati due interi x, y, diciamo che sono congrui modulo 3 (in formula x ≡ 3 y ) se x–y è
multiplo di 3. Si vede subito che 0 è congruo (modulo 3) a tutti i multipli di 3. 1 è congruo (modulo 3) a tutti
i numeri del tipo {..., -5, -2, 1, 4, 7, 10, ...} = {1+3k | k∈Z}. 2 è congruo (modulo 3) a tutti i numeri del tipo
{..., -4, -1, 2, 5, 8, 11, ...} = {2+3k | k∈Z}. Quindi nella partizione definita dalla congruenza modulo 3 vi
sono tre classi di congruenza: [0]3, [1]3, [2]3.
TEOREMA E.5.1.
Dati due numeri interi x, y, si ha che x ≡n y se e solo se x, y, divisi per n danno lo stesso resto.
Prova
Vediamo il ‘solo se’. Supponiamo x ≡ n y . Quindi esiste un intero k tale che x–y = nk. Supponiamo che la divisione
euclidea di x per n dia come quoziente q e come resto r (in formula, x = nq+r, con 0=r<n). Da queste due ipotesi,
sostituendo troviamo y = nq+r-nk, e quindi y = n(q–k)+r, con 0=r<n. Quindi, per l’unicità del resto, anche il resto
della divisione euclidea di y per n è r, cioè lo stesso di x.
Adesso dimostriamo il ‘se’. Supponiamo che x, y, divisi per n diano lo stesso resto. Quindi possiamo scrivere x =
nq1+r, con 0=r<n, e y = nq2+r. Da questo segue x–y = n(q1–q2), e quindi x ≡ n y .
TEOREMA E.5.2.
Le relazioni di congruenza sono additive: dati i numeri interi a, a’, b, b’, se a ≡ n a' e b ≡ n b' allora a+b ≡n a'+b'.
Prova
Da a +n a' e b +n b' segue a–a’=hn e b–b’=kn (per h, k interi opportuni). Sommando membro a
membro si ha a+b–(a’+b’) = (h+k)n, quindi a+b ≡n a'+b'.
TEOREMA E.5.3.
Le relazioni di congruenza conservano gli opposti: dati i numeri interi a, a’, se a +n a' allora –a
≡n –a'.
Prova
Basta osservare che –a–(–a’) = –(a–a’), e quindi poiché a–a’ è multiplo di n (per ipotesi) lo deve essere anche –a–(–
a’) e questa è la tesi.
TEOREMA E.5.4.
Le relazioni di congruenza sono moltiplicative: dati i numeri interi a, a’, b, b’, se a ≡n a' e b ≡n b'
allora a ⋅ b ≡n a '⋅ b ' .
Prova
Da a ≡n a' e b ≡n b' segue:
a–a’=hn e b–b’=kn (per h, k interi opportuni).
Moltiplicando membro a membro si ha:
ab–ab’–a’b+a’·b’ = hkn2.
Osserviamo che, sommando e sottraendo a’b’ si ottiene:
ab–ab’–a’b+a’·b’ = ab–ab’–a’b+a’·b’+a’·b’ +a’·b’ –a’·b’ = ab+(a-a’)b’+(b–b’)a’–a’b’ = hkn2,
e quindi
ab–a’b’ = (a-a')b'+(b–b')a'+hkn2.
Poiché tutti gli addendi dell’espressione di destra sono multipli di 3 (per ipotesi o esplicitamente),
ne segue ab ≡n a'b'.
Vediamo qualche esempio di problemi in cui in una relazione di congruenza compaiano incognite.
Esempi
•
Per ogni a intero, n naturale, un problema del tipo x ≡n a ha infinite soluzioni: tutti gli interi della forma a+nk,
al variare di k negli interi.
•
Per ogni a,b intero, n naturale, un problema del tipo ax ≡n b è equivalente a un problema del tipo ax–ny = b, e
ha quindi soluzioni intere in x, y se e solo se MCD(a, n) divide b.
Esercizi
1.
Trovate, se ne esistono, tutte le soluzioni di 2x ≡ 4 5, di 2x ≡ 5 5, di 2x ≡ 4 4, di 3x ≡ 4 5.
2.
Provate che per ogni x intero, x ≡3 x .
3.
Provate che per ogn a, b, c interi, il numero b2–4ac è congruo (modulo 4) a 0 oppure a 1.
4.
Provate che se MCD(x,6) = 1, allora x2 ≡ 241.
5.
Provate che se, dati gli interi a, b e il naturale n vale a ≡ n b, allora MCD(a,n) = MCD(b,n).
3
E.6. I quozienti di Z
In questa sezione consideriamo gli insiemi formati dalle classi di congruenza di Z modulo n, che
indicheremo con Zn. Negli esempi della sezione E.5. abbiamo visto che se n=2 si hanno 2 classi di
congruenza e se n=3 se ne hanno 3. In generale le classi di congruenza modulo n sono proprio n, in
quanto dal teorema E.5.1. segue che le classi di congruenza modulo n sono tante quanti i possibili
resti della divisione per n; questi ultimi sono evidentemente n, e precisamente: 0, 1, ..., n–1.
Quindi la scrittura Zn indica l’insieme {[0]n, [1]n, [2]n, ..., [n–2]n, [n–1]n} . Quando non vi siano
rischi di ambiguità, le classi di congruenza potranno essere rappresentate più brevemente con
notazioni come 0, 0, 0 o anche 0.
I teoremi E.5.2-4 consentono di installare negli Zn una struttura algebrica. Dati due elementi [a]n,
[b]n elementi di Zn definiamo la loro somma nel modo che segue:
[a]n+[b]n: = [a+b]n.
A parole la definizione significa: per sommare due classi si sceglie un rappresentante di ciascuna
classe, si sommano (in base all’usuale somma di numeri interi) e si calcola la classe del risultato. Il
simbolo di somma a destra dell’uguaglianza rappresenta l’usuale somma di numeri interi, quello a
sinistra rappresenta la nuova operazione fra classi che si vuole definire. È fondamentale osservare
che tutto questo è possibile grazie al teorema E.5.2., che garantisce che la somma non dipende dalla
scelta del rappresentante.
Esempi
•
Vediamo come si comporta la somma in Z2.
[0]2+[0]2 = [0+0]2 = [0]2
[0]2+[1]2 = [0+1]2 = [1]2
[1]2+[0]2 = [1+0]2 = [1]2
[1]2+[1]2 = [1+1]2 = [2]2 = [0]2
Possiamo rappresentare la somma in Z2 con una tabella a doppia entrata, con la
convenzione che nella cella all’incrocio della riga etichettata a e della colonna etichettata
b si riporta il valore a+b.
0 1
0 0 1
1 1 0
Verifichiamo in un caso particolare che la somma non dipende dalla scelta del rappresentante: come
rappresentante della classe [1]2 potrei scegliere 29, in quanto [1]2 = [29]2. Allora si otterrebbe [1]2+[1]2 =
[29+29]2 = [58]2 = [0]2.
•
Vediamo come si comporta la somma in Z3.
[0]3+[0]3 = [0+0]3 = [0]3
[0]3+[1]3 = [0+1]3 = [1]3
[1]3+[0]3 = [1+0]3 = [1]3
[1]3+[1]3 = [1+1]3 = [2]3
[0]3+[2]3 = [0+2]3 = [2]3
[2]3+[0]3 = [2+0]3 = [2]3
[1]3+[2]3 = [1+2]3 = [3]3 = [0]3
[2]3+[1]3 = [2+1]3 = [3]3 = [0]3
[2]3+[2]3 = [2+4]3 = [4]3 = [1]3
Rappresentiamo anche la somma in Z3 con una tabella a doppia entrata.
0
0 0
1 1
2 2
1
1
2
0
2
2
0
1
In modo analogo si può introdurre l’operazione di passaggio al reciproco, definendolo nel modo
che segue:
–[a]n: = [–a]n.
Anche qui, il simbolo di cambiamento di segno (‘–’) a destra dell’uguaglianza rappresenza l’usuale
operazione fra numeri interi, quello a sinistra rappresenta la nuova operazione sull’insieme delle
classi di congruenza.
Esempi
È immediato verificare che in Z2 si ha:
-
–[0]2 = [–0]2 = [0]2
–[1]2 = [–1]2 = [1]2
In Z3 si ha:
-
–[0]3 = [–0]3 = [0]3
–[1]3 = [–1]3 = [2]3
–[2]3 = [–2]3 = [1]3
Continuando nell’analogia, si può introdurre anche il prodotto fra classi di congruenza, definendo:
[a]n·[b]n: = [a·b]n.
Esempi
•
Possiamo rappresentare anche il prodotto in Z2 con una tabella a doppia entrata.
0 1
0 0 0
1 0 1
Esercizi
1.
Rappresentate con tabelle opportune somma, reciproco e prodotto in Z4.
TEOREMA E.6.1
Sia Zn un quoziente di Z e siano a, b, c∈Zn. Valgono le seguenti proprietà:
•
Associativa della somma
a+(b+c) = (a+b)+c
•
Neutri additivi
a+[0]n = [0]n +a = a
•
Reciproci rispetto alla somma
a+(–a) = -a+a = [0]n
•
Commutativa della somma
a+b = b+a
•
Associativa del prodotto
a· (b·c) = (a·b) ·c
•
Distributiva del prodotto rispetto alla somma
a(b+c) = ab+ac
•
Neutri moltiplicativi
a· [1]n = [1]n ·a = a
Prova
Tutte queste uguaglianze si provano usando la stessa tecnica, che consiste nel trasportare il problema dal livello delle
classi a quello dei rappresentanti, che sono numeri interi e per i quali valgono le proprietà corrispondenti. Vediamo un
esempio (le prove rimanenti sono lasciate per esercizio). Proviamo a(b+c) = ab+ac. Siano p, q, r numeri interi tali che
a=[p]n, b=[q]n e c=[r]n. Ricordo che a, b, c sono classi di interi. Allora a(b+c) = [p]n([q]n +[r]n) = [p]n· [q+r]n =
[p·(q+r)]n = [pq+pr]n= [pq]n+[pr]n = [p]n·[q]n+[p]n·[r]n = ab+ac.
Come abbiamo già visto in esempi della sezione E.5., l’equazione ax = b non ha sempre soluzioni
in Zn. Essa equivale infatti alla congruenza ax +n b che a sua volta equivale all’equazione
diofantina ax–ny = b. Quest’ultima ha soluzioni intere se e soltanto se MCD(a,n) divide b. In
particolare questo significa che in Zn non tutti gli elementi diversi da 0 sono invertibili. Se n è un
numero primo, e a è un numero diverso da 0, l’equazione ax = 1 ha soluzioni in Zn. Quindi se n è
primo tutti gli elementi diversi da 0 sono invertibili in Zn. Un anello in cui il prodotto sia
commutativo e dotato di neutro e in cui tutti gli elementi diversi da 0 siano invertibili è detto un
campo. Quindi Zn è un campo nei casi in cui n sia un numero primo. Se n non è un numero primo,
allora Zn non è un campo. Vediamo perché.
Supponiamo che n sia un intero positivo non primo: questo significa che esistono h,k interi positivi
diversi da 1 tali che n = hk. Voglio dimostrare che la classe [h]n non è invertibile in Zn, in altre
parole che l’equazione [h]n·x = 1 non ha soluzioni in Zn. L’equazione è equivalente all’equazione
diofantina hx–ny = 1, che non ha soluzioni intere perché MCD(h,n) = h, e h non è un divisore di
1.
Esempi
?
In Z4 la classe [2]4 non è invertibile; infatti l’equazione [2]4·x = 1 non ha soluzioni. Invece la classe [3]4 è
invertibile. Qual è la sua inversa?
?
In Z5 tutti gli elementi ?1 sono invertibili. In particolare l’inverso di [4]5 è [4]5 mentre l’inverso di [3]5 è
[2]5.
Esercizi
1.
Determinare tutti gli elementi invertibili di Z12 e calcolarne gli inversi.
2.
Provate che se a, b sono invertibili in Zn, allora anche ab è invertibile in Zn.
E.7. Criteri di divisibilità
Analizziamo alcuni criteri di divisibilità per i numeri scritti in base dieci:
•
divisibilità per 2
Consideriamo l’ultima cifra del numero desiderato: se è divisibile per 2 allora l’intero numero lo è. Sia C =
n
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, allora ogni numero intero m si può scrivere in base dieci come m =
n
con n intero e gli, ai elementi di C, al variare di i fra 0 e n. Va osservato che m =
Σ
i=0
Σ
ai10i
i=0
n
Σ
ai10i = a0 +
i=1
n
ai10i = a0 +10·
Σ
i=1
ai10i–1 . Poiché il secondo addendo di quest’ultima somma è sicuramente pari, essendo
multiplo di 10, ne segue che m è pari se e solo se lo è a0 .
•
divisibilità per 2k
Un ragionamento analogo si può applicare per verificare la divisibilità per una qualunque potenza positiva di
n
2. Se 0<k=n, si ha: m =
Σ
i=0
k–1
ai10i =
Σ
i=0
n
ai10i +
Σ
i=k
ai10i . In questa somma il primo addendo è
proprio il numero costituito dalle k cifre più a destra della rappresentazione decimale di m, mentre il secondo
addendo è multiplo di 10k, quindi anche di 2k. In conclusione, un numero intero è divisibile per 2k se e solo
se lo è il numero costituito dalle k cifre più a destra della sua rappresentazione decimale. Questo criterio è
applicabile anche a numeri con un numero di cifre significative inferiore a k; infatti ogni numero con h cifre
significative (h<k) può essere interpretato come un numero di k cifre in cui i coefficienti delle potenze di 10
con esponente compreso tra h e k (estremi inclusi) sono nulli.
•
divisibilità per tre: un intero è divisibile per 3 se e solo se lo è la somma delle cifre della sua rappresentazione
in base dieci.
•
divisibilità per nove: un intero è divisibile per 9 se e solo se lo è la somma delle cifre della sua
rappresentazione in base dieci.
Consideriamo un numero m di n+1 cifre:
n
Si ha: m =
Σ
i=0
n
ai10i =
Σ
i=0
n
ai(1+9)i =
Σ
i=0
i
Σ
i 
ai
k=0 k
n
1k·9i–k =
Σ
i=0
n
ai +
Σ
i=0
i–1
ai
Σ
k=0
i 
k
1k·9i–k . In pratica dalla doppia sommatoria abbiamo ‘tirato fuori’ l’addendo che si ottiene nel caso k=i. Il
primo dei due addendi è proprio la somma delle cifre di m, il secondo è difficile da calcolare, e non ha
importanza farlo, ma è immediato notare che si tratta di un multiplo di 9. Quindi m e la somma delle cifre
della sua rappresentazione decimale sono congrui modulo 9, e, a maggior ragione, modulo 3.
Esercizi svolti
Esercizio 07 (sezione E.4.)
È vero che per ogni numero intero m vale quanto segue: se si divide m2 per 4 si ottiene 0 oppure 1
come resto?
Se dividiamo m per 4 otteniamo: m=4q+r con q, r interi e r maggiore o uguale a 0 e minore di 3
Allora m2 =16q2+8qr+r2 =
4(4q2+2qr) +r2
=
4k+r2 (k intero).
2
2
Se r=0 allora r =0 quindi m =4k+0;
se r=1 allora r2=1 quindi m2 =4k+1;
se r=2 allora r2=4 quindi m2 =4k+4 = 4(k+1)+0;
se r=3 allora r2=9 quindi m2 =4k+9 = 4(k+2)+1;
Esercizio 08 (sezione E.4.)
È vero che se si divide un qualunque numero primo, maggiore di 6, per 6 si ottiene sempre come
resto 1 oppure 5?
Sia p un numero primo maggiore di 6, lo possiamo scrivere come: p = 6q+r con q intero, 0<q e r
maggiore o uguale a 0 e minore di 6.
Il caso r=0 non è possibile, perché allora1<q, quindi 6 e q dividerebbero entrambi p che è
primo per ipotesi;
Il caso r=1 è possibile: ad esempio, 7=6·1+1;
Il caso r=2 non è possibile, perché allora m sarebbe pari, e non esistono numeri primi pari
diversi da 2;
Il caso r=3 non è possibile, perché m sarebbe multiplo di 3, e non esistono primi multipli di 3
diversi da 3;
Il caso r=4 non è possibile, perché allora m sarebbe pari, e non esistono primi pari diversi da 2;
Il caso r=5 è possibile: ad esempio, 11=6·1+5;
In altre parole la condizione che deve soddisfare r è: MCD(6, r) =1
Esercizio 09 (sezione E.4.)
Determinare per quali valori interi di a hanno soluzioni intere le seguenti equazioni:
2ax+y=a
(a)
perché questa equazione abbia soluzioni intere il MCD(2a, 1) deve
dividere a; ma MCD(2a, 1) = 1, per ogni valore intero di a. Quindi …
4ax+2ay=a
(b)
perché questa equazione abbia soluzioni intere il MCD(4a, 2a) deve
dividere a; ma MCD(4a, 2a) = 2|a| e 2|a| non divide a qualunque sia a
intero.
4ax+2ay=a+1 perché questa equazione abbia soluzioni intere il MCD(4a, 2a) deve
(c)
dividere a+1; ma 2|a| può dividere a+1 solo se a=1 oppure a=–1. In
entrambi i casi l’equazione ha soluzioni intere.
2ax+4ay=4
(d)
perché questa equazione abbia soluzioni intere il MCD(4a, 2a) deve
dividere 4. 2|a| divide 4 se e solo se a è un elemento di {–2,–1,1,2}.
2ax+4y=a
(e)
perché questa equazione abbia soluzioni intere il MCD(4a, 2) deve
dividere a; ma MCD(4a, 2) = 2, e 2 divide a se e solo se a è pari.
a2x-ay=a-1
(f)
perché questa equazione abbia soluzioni intere il MCD(a2, –a) deve
dividere a–1; ma MCD(a2, –a) = |a|, e |a| divide a-1 se e solo se a = 1.
Esercizio 09 bis (sezione E.4.)
1
Provate che la retta di equazione y = x+ 2 non passa per punti del piano con entrambe le
coordinate intere.
La risoluzione di questo problema equivale alla ricerca delle soluzioni intere dell’equazione 2y =
2x+1; dal momento che MCD(2, 2) = 2, e 2 non divide 1, non esistono soluzioni intere per questa
equazione.
Esercizio 11 (sezione E.4.)
Si indica a mod n il resto di una divisione euclidea di un intero a per n. Determinate, se ne
esistono, alcuni valori di a (a intero) per cui siano contemporaneamente verificate: a mod 3 = 2 e
a mod 5 = 1.
Possiamo scrivere a come un generico multiplo di 3 a cui sommiamo 2 e come un multiplo di 5 a
cui sommiamo 1, in formule:
a =3x+2 e a = 5y+1 da cui si ricava 3x+2 = 5y+1.
Determinare qualche valore intero di a che soddisfi le condizioni equivale a trovare le soluzioni
intere, se ne esistono, dell’equazione 3x-5y = -1; poiché MCD(3, -5) =1, allora esistono infinite

x 0 = 3
soluzioni intere per tale equazione, ad esempio una soluzione particolare è: 
da cui si ricava


y
=
2

 0

x = 3 − 5t
la rappresentazione di tutte le soluzioni intere dell’equazione al variare di t in Z: 
.


y = 2 − 3t


Quindi a=3(3-5t)+2 = 5(2-3t)+1al variare di t in Z.
Esercizio 13 (sezione E.4.)
È vero che l’insieme {3x+5y | x, y in Z} coincide con Z?
3x+5y = c ha soluzioni intere qualunque sia c in Z, poiché MCD(3, 5)=1 e 1|c, quindi l’insieme
dato coincide con Z.
Esercizio 14 (sezione E.4.)
È vero che l’insieme {6x+9y | x, y in Z} coincide con Z?
6x+9y= c ha soluzioni intere solo se MCD(6, 9) | c ma MCD(6, 9) = 3, quindi l’equazione data
ha soluzioni intere solo se c = 3k con k in Z. L’insieme dato equivale all’insieme {3k | k in Z}.
Esercizio 16 (sezione E.4.)
È vero che l’insieme {7x+1 | x in Z} coincide con Z?
7x = c–1 ha soluzioni intere se e solo se MCD(7,0) | (c–1). quindi se e solo se il resto della
divisione di c per 7 è 1, cioè c è congruo a 1 modulo 7 (c ≡ 7 1) .
Esercizio 4 (sezione E.5.)
Provate che se MCD(x,6) = 1, allora x2 ≡ 241.
Per il teorema E.2.1. vale x = 6k+r (con k, r interi opportuni, 0=r<6). Allora x2=36k2+12kr+r2 =
12k(3k+r)+r2. Da MCD(x,6) = 1 segue r=1 oppure r=5. Se k è pari, allora 12k è multiplo di 24; se
k è dispari, poiché anche r lo è, si ha che (3k+r) è pari. In entrambi i casi, 12k(3k+r) è multiplo di
24. Quindi x2 ≡ 24 r2. Ma, dato che r=1 oppure r=5, ne segue che r2 ≡ 24 1.