Tutorato di Probabilità e Statistica

Tutorato di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
Università Ca’ Foscari di Venezia
Dipartimento di informatica
6 maggio 2007
Samuel Rota Bulò
Tutorato di Probabilità e Statistica
Distribuzione uniforme
Definition
Una legge di probabilità è detta uniforme di parametri a e b se ha
densità
(
1
, a≤x ≤b
f (x) = b−a
0,
altrimenti
La f.r. di una v.a. continua uniforme è


x <a
0,
x−a
F (x) = b−a , a ≤ x ≤ b


1,
x >b
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Legge normale o gaussiana . . .
Definition
Una legge di probabilità è detta normale su R di parametri µ e σ 2
se ha densità
(x−µ)2
1
f (x) = √
· e − 2·σ2
2·π·σ
Sia X ∼ N(0, 1) e sia Y = σ · X + µ. Allora Y ∼ N(µ, σ 2 ).
Questo ci permette di fare i calcoli utilizzando una legge
normale di parametri 0 e 1 con quindi la seguente densità
f (x) = √
x2
1
· e− 2
2·π
per poi passare ad una normale di parametri µ e σ 2 mediante
la trasformazione.
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. . . Legge normale o gaussiana
La f.r. di una v.a. N(0, 1) si indica con Φ e non è possibile
calcolarla analiticamente, data però la sua importanza
troviamo tavole numeriche per calcolarla.
Z x
−t 2
1
√
Φ(x) =
e 2 dt
·
2 · π −∞
x −µ
Fµ,σ2 (x) = Φ
σ
N(0, 1) è simmetrica, ovvero se X ∼ N(0, 1) allora
−X ∼ N(0, 1). Da questo segue che
Φ(x) = 1 − Φ(−x)
Inoltre abbiamo un’ulteriore relazione per i quantili φα di una
N(0, 1) e per i quantili qα di una N(µ, σ 2 )
φα = −φ1−α
qα = σφα + µ
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Legge gamma . . .
Si chiama funzione gamma, la funzione Γ : R → R+ definita
da
Z ∞
Γ(α) =
x α−1 · e −x dx
0
in generale non è possibile calcolare analiticamente l’integrale.
Sappiamo però che se n è un numero intero positivo,
Γ(n) = (n − 1)!
Definition
Una legge di probabilità è detta gamma su R di parametri α > 0 e
λ > 0 se ha densità
( α
λ
· x α−1 · e −λ·x x > 0
f (x) = Γ(α)
0
altrimenti
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. . . Legge gamma
F (x) =
λα
·
Γ(α)
x
Z
x α−1 · e −λ·x dx
0
Non esistono forme semplici per la funzione di ripartizione
delle leggi gamma, a meno che α non sia un numero intero
> 0.
m−1
X (λ · x)k
Fm (x) = 1 −
· e −λ·x
k!
k=0
La legge gamma di parametri 1 e λ è detta esponenziale.
Teorema
Siano X1 , . . . , Xn v.a. indipendenti di legge Γ(α1 , λ), . . . , Γ(αn , λ)
rispettivamente. Allora
X1 + . . . + Xn ∼ Γ(α1 + . . . + αn , λ)
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Legge esponenziale
Definition
Una legge gamma di parametri 1 e λ è detta anche esponenziale di
parametro λ e ha densità
(
λ · e −λ·x x > 0
f (x) =
0
altrimenti
e funzione di ripartizione
F (x) = 1 − e −λ·x
Teorema
Le leggi esponeniali godono della proprietà della mancanza di
memoria
P{X > m + k|X > k} = P{X > m}
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Media e varianza delle distribuzioni continue
Se X ∼ U(a, b) allora
E [X ] =
b+a
2
Var [X ] =
(b − a)2
12
Se X ∼ N(µ, σ 2 )
E [X ] = µ
Var [X ] = σ 2
Se X ∼ Γ(α, λ)
E [X ] =
α
λ
Var [X ] =
α
λ2
In particolare se X ∼ Exp(λ) = Γ(1, λ)
E [X ] =
1
λ
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Var [X ] =
1
λ2
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Funzione generatrice di momenti di v.a. unidimensionali
Si chiama funzione generatrice di momenti (f.g.m.) di una v.a.
unidimensionale X , la funzione mX definita per z ∈ R, da
mX (z) = E [e zX ]
è sempre definita per z = 0 in cui abbiamo mX (0) = 1.
Se la f.g.m. di due v.a. X , Y coincidono in un intorno dell’origine
allora necessariamente esse hanno la stessa legge
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F.g.m. di alcune distribuzioni
Binomiale B(n, p): (1 − p + pe z )n
Poisson Pois(λ): e λ(e
Geom Geom(p):
z −1
)
p
1−(1−p)e z
con z < − log(1 − p)
2 2
µz+ σ 2z
Normale N(µ, σ 2 ): e
α
λ
Gamma Γ(α, λ): λ−z
con z < λ
λ
Esponenziale Exp(λ): λ−z
con z < λ
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Alcune proprietà della f.g.m.
Somma di v.a. indipendenti
Siano X , Y v.a. indipendenti. Allora
mX +Y (z) = mX (z)mY (z)
la f.g.m. è molto utile nel calcolo dei momenti di ordine k
vale la relazione
h
i
dkm
k zX
(z)
=
E
X
e
dz k
Calcolo dei momenti di ordine k
Sia X una v.a. la cui f.g.m. è definita in un intorno dell’origine
allora
h i
dkm
(0)
=
E
Xk
dz k
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