Tutorato di Probabilità e Statistica

Tutorato di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
Università Ca’ Foscari di Venezia
Dipartimento di informatica
12 aprile 2006
Samuel Rota Bulò
Tutorato di Probabilità e Statistica
Probabilità condizionata . . .
Definition
Si consideri uno spazio di probabilità (Ω, A, P) e due eventi A,
B ∈ A con P(B) > 0. La probabilità condizionata di A dato B è
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Teorema di Bayes
Siano A, B ∈ A con P(A) > 0 e P(B) > 0. Allora
P(A|B) =
Samuel Rota Bulò
P(B|A) · P(A)
P(B)
Tutorato di Probabilità e Statistica
. . . Probabilità condizionata
Teorema delle probabilità totali
Siano Ei ∈ A con i ∈ [1, n] eventi che formano una partizione di Ω.
Allora
n
X
P(A|Ei ) · P(Ei )
P(A) =
i=1
Samuel Rota Bulò
Tutorato di Probabilità e Statistica
Eventi indipendenti
Definition
Due eventi A, B ∈ A sono indipendenti se
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Teorema
Due eventi A, B ∈ A con probabilità non nulla sono indipendenti
sse è vero che
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
Definition
Due eventi A, B ∈ A sono condizionatamente indipendenti dato
l’evento C ∈ A con P(C ) > 0, se
P(A ∩ B|C ) = P(A|C ) · P(B|C )
Samuel Rota Bulò
Tutorato di Probabilità e Statistica
. . . Eventi indipendenti
Definition
Una famiglia di eventi Ei ∈ A con i ∈ [1, n] sono globalmente
indipendenti se
!
\
Y
P
Ei =
P(Ei )
i∈J
i∈J
per ogni sottoinsieme J di {1, 2, . . . , n}.
Se l’uguaglianza vale solo per insiemi J composti da due elementi,
allora gli eventi sono indipendenti a coppie.
Samuel Rota Bulò
Tutorato di Probabilità e Statistica
Esercizi
Samuel Rota Bulò
Tutorato di Probabilità e Statistica