Compiti vacanze classi 4D
Ripassare scomposizioni e prodotti notevoli, metodo di Ruffini, razionalizzazioni, equazioni irrazionali.
(Libro di prima e seconda).
Recuperare formulario con regole di risoluzione di equazioni e disequazioni in modulo e irrazionali (vedi
sito).
Ripasso della teoria di geometria analitica. Importante recuperare o rifare un formulario.
Ripasso formule e teoremi della trigonometria e della geometria solida. Idem per il formulario.
IMPORTANTE: è fondamentale il ripasso di tutti i tipi di equazione e disequazione finora studiati (secondo
grado, grado superiore al secondo, valore assoluto, irrazionali, goniometriche, esponenziali, logaritmiche).
Gli esercizi assegnati non sono poi molti ma è importante svolgerli con attenzione (senza scopiazzarli
altrove) allo scopo di ripassare un po’ tutti gli argomenti che saranno l’ABC per la quinta.
1) Risolvere le equazioni in modulo:
x + 3 + x2 = 0
a.
2x −1 = 2
b.
c.
2x − 4 − x + 5 = 0
d.
e.
3x − 1 − x = 5
f.
g.
2 − x = 3x + 1
x − 1 + 2 − 3x − 4 x + 5 = 0
3x − 1 − x = 5 + x
x − 5 + x = x2
h.
2) Risolvere le equazioni irrazionali:
x2 − 4 = x + 3
x +
x−2 =
2x − 1
x =
3) Risolvere le disequazioni varie:
1. 4 5 x
3.
4
− 14 x
7.
9.
11.
+ 1 > 0
1− x < 3
x+2 − x
5.
2
x +3
2.
4.
≥0
x + 1
< 4
x − 1
1− 2x − 1 + x − 3 − x > 0
x + x − 2 < −1
6.
x 3 − 5x 2 + 6x ≤ 0
2 x + 5 > −2 x 2
x +1
<1
2−x
8.
x−2 + x−3<0
10.
5 − 2x > 4 + x
12.
x2 − 4 ≥ 4 + 2 x
3
2x −1
x2 − 4x + 3 + 1 + x2 ≥ 0
13.
14.
x − 3 > 2x + 1
16.
19.
x <
3
17.
x2 − 4 − 4
1 − x < 1 + 3x
15.
x3 − x + 2 ≤ x + 1
18.
2x − 1 ≤ 5 + x
x 2 + 4x + 4 − 2x − 1
x − 2x − 1
>0
4+ x
1− x − 8
2
3
20.
<0
4) Risolvere le disequazioni goniometriche:
tg 2
a.
sen 2 x < cot gx
b.
d.
cos 7 x − cos 3 x
>0
sen x cos x
e. cos
g.
l.
ln( tg 2 x − 2 ) ≥ 0
h.
2 senx − 1
< 0
2 senx + 1
1 − 3 cot g 2 x
<0
c. 2 cos x − 1
x
+ cos x < 1
2
2
x − sen x > 1 + sen x
log 1 ( sen x − cos x ) > 0
2
m. 4senx − cos 2 x
3tg 2 x − 1 < 3tgx
f.
<2
i.
sen 2 x + cos 2 x − 1
≤ 0
π
sen 2 x −
4
n.
senx + cos x > 0
5) Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:
a.
c.
1+ x
2 3x =
x
2 x+2 ⋅ 2 x 2 x−2
3 ⋅ 2 x log2 9 − 2 x log2 3 − 2 = 0
3
1+ x
3x
⋅
x
5 1− x =
b.
d.
1
3x
9 1+ x
32x − 2 = 3 x
6) Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche:
(
lo g 1 x −
a.
c.
1− x2
)= 0
2
xLog 3 + Log (1 + 3
lo g 3 ( x + 1) + lo g (x + 1) 3 =
b.
x
) = 1 + 2 Log 3
d.
lo g a
x =
1
lo g a x
2
10
3
7) Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:
2x +1
2x
7
− x
≤
x
3
2 +1
a. 2 − 1
3 x (3
c.
e.
b.
4 ⋅7
− 1) > 6
d.
2 1− x + 2 1+ x > 4
f.
10
x
x log 2
g.
64 − 2 ⋅ 3 x > 45 + 32− x
4
+ x ≥4
2
h.
21 +
x −1
7
≥ 1
x
2 x + 1 ≥ 5 1− x
4x + 3
>
2x −1
2x − 2
8) Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche:
log 1 ( x 2 + 2 ) − log 1 ( x − 2 ) ≤ log 1 ( x + 1)
2
1.
3.
L o g L o g (x
ln
5.
8.
2
2
2
2.
− 16) < 0
2
1
<
x
ln 2 x
6.
lo g 3 lo g 2 ( x − 1) < 0
4.
2 log 2 x 3 − log 4 x 2 + 1 < 0
x Log
log 3 ( 2 x 2 − 3 x + 10 ) < 2
9.
lo g 1 2
x
7.
3+ x +3
> 0
x −1 −2
> 100
log 2 − x ( x − 1) > 1
log 2 log 2
10.
9) Risolvere gli esercizi vari:
a.
c.
log 23 x − 9 ≥ log 3 x + 1
1+ x
log 5
> log 5 2
1− x
b.
d.
2 x −1 − 2 − 6
> 0
3x
1
= lo g 2 8
Logx +
Log y 10
x Logy = 1 0 0
1
<2
x
Risolvere i problemi di geometria analitica:
A) Le equazioni dei lati di un triangolo sono:
AB: x - 2y + 4 = 0;
BC: 3x + y - 2 = 0;
AC: x + 5y + 4 = 0
a. determinare le coordinate dei vertici A,B,C;
b. determinare l’equazione della retta t parallela alla retta AB e passante per C e l’equazione della retta n
perpendicolare ad AB e passante per B;
c. detto D il punto di intersezione tra t ed n, determinare l’area del trapezio ABCD;
d. determinare il punto P della retta BC equidistante da A e da C.
B) Dato il fascio di rette di equazione: ( k-1) x - (k-2) y + k = 0, determinare:
a. il centro del fascio;
b. detta r la retta del fascio passante per l’origine ed s la retta del fascio passante per A(0,3), le equazioni
delle bisettrici degli angoli formati dalle due rette;
c. le rette del fascio che hanno distanza uguale ad 1 dall’origine;
d. le coordinate del punto simmetrico di A rispetto ad r.
C) Determinare l’equazione della circonferenza di raggio 1 2 3 4 sapendo che il centro è nel terzo
quadrante e che è circoscritta ad un rettangolo avente due vertici nei punti A(1,0) e B(0,1). Calcolare il
perimetro del rettangolo.
D) Una circonferenza passa per l’origine del sistema di riferimento, ha il centro sulla bisettrice del primo
quadrante ed è tangente in A alla retta t di equazione x + y - 8 = 0: scrivere l’equazione della circonferenza.
Preso sulla retta t il punto B di ordinata 2, si conduca da B l’ulteriore tangente alla circonferenza e si indichi
con C il punto di contatto; calcolare l’area del triangolo ABC.
E) Dopo aver tracciato la curva di equazione
distanza uguale a 2
y =
4 − 9 x 2 , determinare il punto di essa che ha
2 dalla retta x + y - 4 = 0.
F) Un’iperbole equilatera riferita agli assi passa per il punto A(3,1). Si determinino:
- l’equazione dell’iperbole;
- le coordinate dei fuochi;
- l’equazione dell’iperbole riferita agli asintoti.
Un triangolo rettangolo ABC ha l’angolo retto in A e il vertice B nel punto dell’iperbole di ascissa 9/2 e
ordinata positiva. Calcolare le coordinate del vertice C appartenente anch’esso all’iperbole. Si trovi
l’equazione della tangente in A all’iperbole e si verifichi che essa è perpendicolare all’ipotenusa del triangolo
ABC.
y =
kx − 2
(3 − k ) x + 1
G) Determinare per quali valori di k le equazioni:
rappresentano iperboli equilatere
traslate. In tal caso, dimostrare che tutte le iperboli passano per due punti fissi. Determinare il luogo dei
centri del fascio di iperboli.
H) La parabola y = a x + c incontra l’iperbole xy = 4 nel punto A di ascissa x = 1 e nel vertice B
dell’iperbole che appartiene al primo quadrante. Scrivere l’equazione della parabola e calcolare le coordinate
del punto C, ulteriore intersezione delle due curve. Determinare successivamente sul segmento CB un punto
2
D in modo che: A D
2
+ BD 2 = 33 .
Risolvere i problemi di trigonometria:
A) Data la semicirconferenza di diametro AB = 2r e centro O, sia C il punto medio di OA. Determinare sulla
semicirconferenza un punto E in modo che, condotta la tangente t in E alla semicirconferenza e tracciata da C
la parallela alla corda AE che incontri t in D, risulti: CD = 3/2 r. (EAB = x)
B) Un trapezio è rettangolo nei vertici A e B. Inoltre BC = 1, AB = 4 e tg CDA = 4/3. Scelto un punto M sul lato
AB, si conduca per tale punto la parallela a CD che incontri il lato AD nel punto N. Detta Q la proiezione di
N sul lato CD, si determini il punto M in modo che sia verificata la relazione:
CM + 3 MN +
15
3 NQ = 5 + 8 3
4
(BCM = x)
C) Nel quadrato ABCD di lato a, si tracci l’arco di circonferenza di raggio a e centro A interno al quadrato.
Detto T un punto di tale arco, si determini l’angolo TAB = x in modo che sia:
TC
2
(
+ TB 2 = 3 −
)
3 AT
2
.
D) Sono dati due triangoli isosceli simili ABC e A’ B’ C’ le cui basi AB e A’ B’ stanno nel rapporto 2. Sapendo
2
che la somma delle basi è 18 m e la somma delle aree è 60 m , calcolare i perimetri dei due triangoli. Da un
punto P della base AB disegnare la parallela ad un lato del triangolo e far compiere al trapezio ottenuto una
rotazione completa attorno alla retta AB. Come deve essere scelto il punto P affinché il volume del solido
così generato sia uguale al volume del solido generato dal triangolo A’B’C’ in una rotazione completa
attorno alla retta AB?
E) Data una sfera di raggio r, condurre un piano secante la sfera non passante per il centro O. Disegnare il
cono avente per base la sezione ottenuta e tangente esternamente alla sfera. Determinare la distanza OH tra
il piano e il centro della sfera affinché il doppio dell’area della calotta maggiore sommato all’area totale del
cono sia 33/16 dell’area della sfera. (Porre come incognita un angolo che determini la posizione del piano).
Distribuzioni di PROBABILITA’
Studiare sulla scheda. Fare tutti gli esercizi sulle distribuzioni, su sito
Si ricomincerà di lì: buone vacanze.
matematica
probabilità.
